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3.1 一维波动方程的达朗倍尔公式
• 研究对象 无界域 波动方程 （波动方程初值问题） 仅考虑初始条件
• 思路 建立波动方程初值问题的通解公 式，并通过初始条件确定解
一维波动方程初值问题的特征线解法
齐次一维波动方程的初值问题解法 -特征线法 一维波动方程
utt = a u xx
2
其特征方程为
直接积分 特征方程
−∞ < x < +∞, t > 0 ⎧u xx = 16utt 特征线 ⎨ 2 u ( x, 0) = 0, ut ( x, 0) = x ⎩
直接用 达朗倍 特征变换 尔公式 积分
x + at
utt = a u xx
2
1 1 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫atψ (ξ )dξ 2 2a x −
求出定解问题（3）的解后，将 其对时间做积分，就得到定解问 题（2）的解
齐次化原理（冲量法）
⎧vtt = a vxx + f ( x, t )δ (t − τ ) ⎪ (3)⎨ ⎪v t =0 = 0, vt t =0 = 0 ⎩
2
⎧ω tt = a 2ω xx ⎪ (4) ⎨ ⎪ω t =τ = 0, ω t ⎩
-2a -a 2a 3a
0
a
特征线
• x－t平面上斜率为 ± 1 的两族直线
a
x ± at = 常数
为一维波动方程的特征线。 特征变换 特征线法
⎧ξ = x + at ⎨ ⎩η = x − at
一般的二阶偏微分方程
Au xx + 2 Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + Fu = 0
常见的题型
⎧ u xx + 2u xy − 3u yy = 0 ⎨ u ( x, 0) = 3 x 2 , u y ( x, 0) = 0 ⎩
特征方程 特征线 特征变换 积分
存在强迫外力的非齐次一维波动方程初值问题 解法
⎧utt = a 2u xx + f ( x, t ), ⎪ ⎨u t =0 = ϕ ( x) ⎪ ut t =0 = ψ ( x) ⎩
x
代回(2)中，得到方程（1）在定解条件（3）下的解
1 1 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫atψ (ξ )dξ 2 2a x −
无限长弦自由振动的达朗倍尔公式
x + at
达朗倍尔公式的物理意义
u = ∫ f (ξ )dξ = f1 (ξ ) + f 2 (η ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
B − B 2 − AC η =( )x − y A
• 第四步，求积分得通解 • 第五步，根据初始条件写出方程的解
求定解问题的解
⎧ u xx + 2u xy − 3u yy = 0 ⎨ 2 u ( x, 0) = 3 x , u y ( x, 0) = 0 ⎩
特征方程 特征线
( dy )
2
− 2dxdy − 3 ( dx ) = 0
⎧ f1 ( x) + f 2 ( x) = ϕ ( x) ⎪ ⎨ ⎪af1′( x) − af 2′ ( x) = ψ ( x) ⎩
（4） （5）
• 在(5)式两端对x积分
af1 ( x) − af 2 ( x) = ∫ψ (ξ )d ξ + C
0
x
• 两端除以a，并与(4)式联立，可求解出：
1 1 C f1 ( x) = ϕ ( x) + ψ (ξ )d ξ + 2 2a ∫ 2a 0 x 1 1 C f 2 ( x) = ϕ ( x) − ψ (ξ )dξ − 2 2a ∫ 2a 0
2
3x − y = C1 x + y = C2
特征变换
⎧ξ = 3x − y ⎨ ⎩η = x + y
uξη = 0
通解为
u = f1 (ξ ) + f 2 (η )
根据定解条件确定 f1 ,
f2
常见的题型
x>0 y>0 ⎧ u xy = y ⎨ ⎩u (0, y ) = 2 y + 1, u ( x, 0) = 1
ω
ω ′ 的形式
⎧ωt′′t ′ = a 2ϖ xx , t ′ > τ ⎪ 可直接应 ⎨ω ′ t ′=0 = 0 ⎪ ′ 用达朗贝 ⎩ωt ′ t ′=0 = f ( x,τ ) 尔公式
1 ω ′( x, t ′;τ ) = ∫at′ f (ξ ,τ )dξ 2a x −
x + at ′
⎧vtt = a 2 v xx + f ( x, t ) ⎪ ( 2) ⎨ ⎪ v t = 0 = 0, vt t = 0 = 0 ⎩
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 ,
f2
• 特例：无限长的弦自由横振动
初始条件：
⎧u ⎪ ⎨ ⎪ut ⎩
t =0
= ϕ ( x) t =0 = ψ ( x)
（3）
将 u = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) 代入上式，得到
v( x, t) =
2
∂ ⎛ ∂u ⎞ ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂y ⎠
=x y
2
用什么方法去掉一次微分？
• 两端同时对x积分
∂ ⎛ ∂u ⎞ 2 ⎜ ⎟=x y ∂x ⎝ ∂y ⎠
+0
∂u ∂y
x y = 3
3
+ g ( y)
1
∂u x y = + g 1 ( y ) +0 3 ∂y
3
• 两端同时对y积分
x y u ( x, y ) = + f ( x) + g ( y ) 6
齐次化原理（冲量法）
⎧vtt = a 2 v xx + f ( x, t ) ⎪ ( 2) ⎨ ⎪ v t = 0 = 0, vt t = 0 = 0 ⎩
考虑一个连续作用的 量f(x,t)可以看成瞬时 作用量f(x,t)δ(t-τ)的 叠加
⎧vtt = a 2vxx + f ( x, t )δ (t − τ ) ⎪ (3)⎨ ⎪v t =0 = 0, vt t =0 = 0 ⎩
−∞ < x < +∞,
t >0
叠加原理 达朗倍尔公式 齐次化原理
⎧Vtt = a u xx ⎪ ⎨V t =0 = ϕ ( x) ⎪ ⎩Vt t =0 = ψ ( x)
2
⎧vtt = a 2 vxx + f ( x, t ) ⎪ ⎨v t = 0 = 0 ⎪ ⎩vt t =0 = 0
特点： 非齐次方程 齐次定解条件
(dx) − a (dt ) = 0
2 2 2
特征线
(dx) − a (dt ) = 0
2 2 2
的积分曲线即
一维波动方程的特征线：
x ± at = 常数
1 x－t平面上斜率为 ± a
的两族直线
特征变换
对
utt = a u xx
2
（1）
依据特征线，做如下的代换
特征变换 特征线法
⎧ξ = x + at ⎨ ⎩η = x − at
以速度a沿X轴负方向传播的行波，左行波
达朗倍尔公式的物理意义：弦上的任意扰动以行波的方式分别 向两个方向传播，其速度为a
达朗倍尔公式的物理意义
1 1 u ( x, t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + ∫atψ (ξ )dξ 2 2a x −
• 依赖区间 [ x − at , x + at ]
•影响区域
X－t平面上由
x1 − at ≤ x ≤ x2 + at
确定的区域为[x1,x2] 的影响区域
当区间[x1,x2]缩成一点x0，其 影响区域为过点x0作两条斜率 各为±1/a的直线所夹的角形 区域。
u = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at )
在以 x,t为二维变元的平面上取特征变换的 值 只是 的函数
τ +0
(t > τ )
t =τ
= f ( x ,τ )
τ +0
∫ τ
τ +0
vtt dt = a 2
τ +0 τ −0
−0
∫ τ
vxx dt +
−0
∫ τ
dtf ( x, t )δ (t − τ )
t =τ
−0
vt
= 0 + f ( x,τ ),
vt
= f ( x,τ )
某一时刻的强迫振动可以转换为该时刻的初 始条件（初始速度）
⎧vtt = a 2 v xx + f ( x, t ) ⎪ ( 2) ⎨ ⎪ v t = 0 = 0, vt t = 0 = 0 ⎩
⎧vtt = a 2vxx + f ( x, t )δ (t − τ ) ⎪ (3)⎨ ⎪v t =0 = 0, vt t =0 = 0 ⎩
⎧ω tt = a 2ω xx ⎪ (4) ⎨ ⎪ω t =τ = 0, ω t ⎩
的特征方程
A(dy ) − 2 Bdxdy + C (dx) = 0
2 2
特征方程的积分曲线
B + B 2 − AC y−( ) x = 常数 A
