第 1 页 共 9 页 第八节 空间向量的应用(一)
知识梳理
一、异面直线所成的角
1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，a′，b′所成的角的大小与点O的选择无关，把a′，b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a，b所成的角(或夹角)．为了简便起见，点O通常取在异面直线的一条上．
2．异面直线所成的角的取值范围：0，π2.
3．求异面直线所成的角的方法：①几何法；②向量法．
二、直线和平面所成的角
1．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角．
特例：当一直线垂直于平面，规定它们所成的角是直角；当一直线平行于平面或在平面内，规定它们所成的角为0°角．
2．直线和平面所成角的取值范围：0，π2.
三、二面角
1．定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为l，两个面分别为α，β的二面角记为αlβ.
2．二面角的平面角． 理解异面直线所成的角、线面角、二面角的概念，并会求这三类空间角的大小或它的一种三角函数值. 第 2 页 共 9 页
(1)过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA，OB，则∠AOB叫做二面角αlβ的平面角．
(2)一个平面垂直于二面角αlβ的棱l，且与两半平面交线分别为OA，OB，O为垂足，则∠AOB就是αlβ的平面角．
说明：①二面角的平面角范围是[0，π]；
②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直．
3．二面角大小的求法：①几何法；②向量法．
4．求二面角的射影公式：cos θ＝S′S，
其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图形F的面积，S′是图形F在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的平面角大小．
高考数学常考知识点之空间向量
空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
baABOAOB
baOBOABA
)(RaOP
运算律：⑴加法交换律：abba
⑵加法结合律：)()(cbacba
⑶数乘分配律：baba)(
3 共线向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作ba//．
当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
4．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式
tOAOPa．
其中向量a叫做直线l的方向向量.
5．向量与平面平行：
已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：//a．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的 高考数学常考知识点之空间向量
6．共面向量定理：
如果两个向量,ab不共线，p与向量,ab共面的充要条件是存在实数,xy使pxayb
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对,xy，使MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB ①
确定球心位置的三种方法
决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．
方法一 由球的定义确定球心
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．
(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；
(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；
(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；
(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心． 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
【解析】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．
【答案】 C
方法二 构造长方体或正方体确定球心
(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；
(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体． 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )
第 1 页 共 5 页 第七节 空间坐标系、空间向量的概念及运算
知识梳理
1．空间直角坐标系及有关概念．
(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做________．x轴，y轴，z轴叫做________．通过每两个坐标轴的平面叫做________．
(2)右手直角坐标系的含义是：一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为________正向，也称这样的坐标系为右手系．
(3)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的________，y叫做点M的________，z叫做点M的________．
答案：1.（1）原点 坐标轴 坐标平面 （2）x轴z轴 （3）横坐标 纵坐标 竖坐标
2．空间两点间的距离公式．
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝________________.
答案：(x1-x2)2+(y1-y2)+(z1-z2)2
3．空间向量的概念及运算．
空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵循______________________，数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算________；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标．
答案： 三角形法则和平行四边形法则 相同
4．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理．
(1)共线向量定理．
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使____________________．
推论 如图所示，点P在直线l上的充要条件是：OP→＝OA→＋ta，（*） 1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．
