3.2条件分布与随机变量的独立性

§3.2 二维随机变量的独立性与条件分布1`二维随机变量的独立性定义3.2.1 设(,),(),()X Y F x y F x F y 依次为(,),,X Y X Y 的分布函数,若对任意实数,x y 都有(,)()()X Y F x y F x F y =则称两个随机变量X 与Y 相互独立.(1) 离散型随机变量的独立性定义3.2.2如果（X,Y ）是二维离散型随机变量，如果对于它们的任意一对取值i x 及j y ，对（X ，Y ）的任意一对取值(),i j x y ，都有{,} {} { } i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== i ，j =1，2，… (3.2.2) 则称离散型随机变量X 和Y 是独立的。

例3.2.1例3.1.1中两个随机变量X 与Y 是相互独立吗? 解 由例3.1可得2222210,,,915p p p ⋅⋅===显见22 2..2,p p p ≠⋅因此X 与Y 不独立.(2) 连续型随机变量的独立性定义3.2.3 如果（X,Y ）是二维连续型随机变量，其联合概率密度为p (x,y ),则X 与Y 也都是连续型随机变量，它们的概率密度分别为(),()X Y p x p y , 若对任意实数,x y 都有(,) (),()X Y p x y p x p y = 则称连续型随机变量X 和Y 是独立的。

例3.2.2本章第一节例3.2中随机变量X,Y 的边缘概率密度分别为p X (x )=⎰+∞∞-p (x,y )dy=2()2042, 0,0, x y x edy e x +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.p Y (y )＝⎰+∞∞-p (x,y )dx=2()2y 04x 2, y 0,0, x y ed e +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.显然有 p (x,y )＝p X (x )·p Y (y )， 所以X,Y 相互独立。

i 3
pj
3 5
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j C ） ） C3 ） ） （ （ （ （ 3 3 3 3
i 3
i, j 0,1, 2,3.
1 i 2 3-i Pi P(Ｘ i) C ） ） （ （ i 0， 2 3 1，，。 3 3 j 1 j 2 3-j Pj =P(Ｙ j) C3 ） ） （ （ j 0， 2 3。 1，， 3 3
FX ( x)
xi x

j1
i=1

P(X xi , Y y j )
xi x

j1
yj y

Pij
Pij
同理：Y ( y) F
yj y

P(X xi , Y y j )
i=1


2、已知(X,Y)的密度函数，求边际分布函数。
1 i 2 3-i j 1 j 2 3-j （ （ （ （ P(Ｘ i)P(Ｙ j) C ） ） C3 ） ） 3 3 3 3 i j 1 i j 2 6 i j i, j 0,1, 2,3. C3C3 ( ) ( )
i 3
由上面的4个例题可以看出：
1、求(X,Y)的联合分布列的方法，是按照乘法公式进行的， P(X=xi，Y=y j ) P(X=xi )P(Y=y j | X=xi )
-2y
同理
1-e FY(y)= 0
y0 y0
2e-2y y 0 PY ( y ) y0 0
4
P(（X+Y） 1 )
1 1 y
x +y）1

P( x, y )dxdy

i, j=1, 2, ...,
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
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第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
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主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)

的充要条件是: 0
证 由上节知
pX (x)
1
( x μ1 )2
e , 2σ12
2πσ1
x .
pY ( y)
1
e ,
(
y μ2
2
σHale Waihona Puke 2 2)2
2 σ2
y .
pX
(x)
pY
( y)
1 2πσ1
e ,
1 2
(
x
μ1 σ12
)2
(
y
μ2
σ
2 2
)2
2
x, y R
p(x, y)
1
e 1 2(1 ρ
2
)
(
x
μ1 σ12
)
2
2
ρ
(
x
μ1 )( y σ1 σ2
μ2
)
(
y
μ2
σ
2 2
)
2
2σ1σ2 1 ρ2
pX
(x) pY
( y)
1 2πσ1
e
1 2
(
x μ1 σ12
)2
(
y
μ2
σ
2 2
)2
2
0
0
显然有 p(x, y) pX (x) pY ( y) 故X与Y相互独立.
p( x, y)
p (x y)
.
XY
pY ( y)
称
x
pX Y (x y)d x
x p(x, y) d x 为在Y y 的 pY ( y)
条件下, X 的条件分布函数,记为
P{X x Y y} 或 FX Y ( x y),
即
x p(x, y) FX Y ( x y) P{X x Y y} pY ( y) d x.