多维随机变量及其分布,随机变量相互独立性,条件概率

第三章多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为S={w}，若随机变量X1(w),X2(w),…,X n(w)定义在S上，则称（X1(w),X2(w),…,X n(w)）为n维随机变量（向量）。

简记为（X1,X2,…,X n）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题：1．（X,Y）视为平面上的随机点。

研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；marginal3．X与Y的相互关系；4．（X,Y）函数的分布。

§二维随机变量的分布一．离散型随机变量1．联合分布律定义若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,y j), i，j=1,2…,取这些值的概率为p ij=P{(X,Y)=(x i,y i)}=p{X=x i,Y=y i}i ,j=1,2,…——称式为(X,Y)的联合分布律。

(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：性质：(1) p ij 3 0，i, j=1,2,… (2) ji ij p ,=12．边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为p ij = P{X=x i ,Y=y i } i, j=1,2,…分量X 和Y 的分布律分别为 p i.=P{X=x i } i=1,2,… 满足①p i.30②S p i.=1= p{Y=y i }j=1,2, (30)S =1我们称p i.和分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。

二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系： p i.=P{X=x i }=P{X=x i , S}=P{X=x i ,j∑(Y=y j )}=j∑P{X=x i ,Y=y j }=j∑p ij 同理可得=i∑p ij例1:一整数X 随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随机地在1到X中取一值。

第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为X\Y12311/61/91/1821/3a1/9求a.分析：dsfsd1f6d54654646解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1,可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P{0<Y≤b};解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P{12<X<32,0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值：(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512,请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1,故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0},{X=0,Y=13,{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：Y01/31pk7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0),其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它, (1)确定常数k;(2)求P{X<1,Y<3};(3)求P{X<1.5};(4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：(1)常数c;(2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度. 解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16,由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为从而(X,Y)的联合概率分布为P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a},故由上式有P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到：P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx]=1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,所以P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答：由于U≥V,可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是，随机变量U和V的联合概率分布为=∫01dy∫y2y12dx=14,P{U=1,V=1}=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2,即U\V01011/401/41/2习题4设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答：FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.当z<0时，FZ(z)=P(∅)=0;当z≥0时，FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.故Z的分布函数为FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0.Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0即{x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它,fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy=∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0,故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b.∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)F Y(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y,其概率密度分别为ϕ1(x)={αe-αx,x>00,x≤0,ϕ2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,试求系统L的寿命Z的概率密度.解答：设Z=min{X,Y},则F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z}=1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]由于F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,故F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,从而ϕ(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答：设min{X,Y}=Z,则P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-[P{X>z}]2,代入得P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-(1-[P{X>a}]2)=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.证毕.复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536; P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,P{X=0,Y=1}=10×212×12=536, P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566, P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,习题2假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量Xk={0,若Y≤k1,若Y>k(k=1,2),求(X1,X2)的联合分布率与边缘分布率.解答：因为Y服从参数为1的指数分布，X1={0,若Y≤11,若Y>1, 所以有P{X1=1}=P{Y>1}=∫1+∞e-ydy=e-1,P{X1=0}=1-e-1,同理P{X2=1}=P{Y>2}=∫2+∞e-ydy=e-2,P{X2=0}=1-e-2,因为P{X1=1,X2=1}=P{Y>2}=e-2，P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2,P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1,P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0,故(X1,X2)联合分布率与边缘分布率如下表所示：习题3在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香蕉. 今从袋中随机抽出4只，以X记橘子数，Y记苹果数，求(X,Y)的联合分布.解答：X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2.P{X=0,Y=0}=P{∅}=0,P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70,P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70,P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70,P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70,P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70,P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70,P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70,P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70,P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70,P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70,P{X=3,Y=2}=P{∅}=0,所以，(X,Y)的联合分布如下：习题4设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y解答：由题设X与Y相互独立，即有pij=pi⋅p⋅j(i=1,2;j=1,2,3), p⋅1-p21=p11=16-18=124,又由独立性，有p11=p1⋅p⋅1=p1⋅16故p1⋅=14.从而p13=14-124-18, 又由p12=p1⋅p⋅2, 即18=14⋅p⋅2.从而p⋅2=12. 类似的有p⋅3=13,p13=14,p2⋅=34.将上述数值填入表中有习题5设随机变量(X,Y)的联合分布如下表：求：(1)a值；(2)(X,Y)的联合分布函数F(x,y)；(3)(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数FX(x)与FY(y).解答：(1)\because由分布律的性质可知∑i⋅jPij=1, 故14+14+16+a=1,∴a=13.(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}①当x<1或y<-1时，F(x,y)=0;②当1≤x<2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}=1/4;③当x≥2,-1≤y<0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12;④当1≤x<2,y>0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;⑤当x≥2,y≥0时，F(x,y)=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}+P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=1;综上所述，得(X,Y)联合分布函数为F(x,y)={0,x<1或y<-11/4,1≤x<2,-1≤y<05/12,x≥2,-1≤y<01/2,1≤x<2,y≥01,x≥2,y≥0.(3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为：FX(x)={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2≥R,求：(1)常数c; (2)P{X2+Y2≤r2}(r<R).解答：(1)因为1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx=∫∫x2+y2<Rc(R-x2+y)dxdy=∫02π∫0Rc(R-ρ)ρdρdθ=cπR33,所以有c=3πR3.(2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23πR3[R-x2+y2]dxdy=∫02π∫0r3πR3(R-ρ)ρdρdθ=3r2R2(1-2r3R).习题7设f(x,y)={1,0≤x≤2,max(0,x-1)≤y≤min(1,x)0,其它,求fX(x)和fY(y).解答：max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1, min(1,x)={x,x<11,x≥1,所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为{0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},即f(x,y)={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它所以fX(x)={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它,fY(y)={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它.习题8若(X,Y)的分布律为则α,β应满足的条件是¯, 若X与Y独立，则α=¯,β=¯.解答：应填α+β=13;29;19.由分布律的性质可知∑i⋅jpij=1, 故16+19+118+13+α+β=1,即α+β=13.又因X与Y相互独立，故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}, 从而α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},=(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29,β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=(118+β)(13+α+β)=(118+β)(13+13)，∴β=19.习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求P{Y≤X};(5)求条件概率密度函数fX∣Y(x∣y); (6)求P{X<2∣Y<1}.解答：(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1求常数c.∫0+∞∫0+∞ce-(2x+y)dxdy=c⋅(-12e-2x)\vline0+∞⋅(-e-y)∣0+∞=c2=1,所以c=2.(2)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0.(3)F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dvdu={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它.(4)P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)当y>0时，fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0.(6)P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1}=F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立.解答：因为X的分布函数为F(x)={0,当x<0时1,当x≥0时, 设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则当x<0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{∅∩(Y≤y)}=P{∅}=0=FX(x)FY(y);当x≥0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{S∩(Y≤y)}=P{Y≤y}=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立.习题11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，试证P{X≤Y}=1/2. 解答：因为X,Y独立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y).P{X≤Y}=∫∫x≤yf(x,y)dxdy=∫∫x≤yfX(x)fY(y)dxdy=∫-∞+∞[fY(y)∫-∞yfX(x)dx]dy=∫-∞+∞[fY(y)FY(y)]dy=∫-∞+∞FY(y)dFY(y)=F2(y)2∣-∞+∞=12,也可以利用对称性来证，因为X,Y独立同分布，所以有P{X≤Y}=P{Y≤X},而P{X≤Y}+P{X≥Y}=1, 故P{X≤Y}=1/12.习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值.解答：关于X的边缘分布为由于X与Y独立，则有p22=p2⋅p⋅2 得b=(b+19)(b+49) ①p12=p1⋅p⋅2 得19=(a+19)(b+49) ②由式①得b=29, 代入式②得a=118. 由分布律的性质，有a+b+c+19+19+13=1,代入a=118,b=29, 得c=16.易验证，所求a,b,c的值，对任意的i和j均满足pij=pi⋅×p⋅j.因此，所求a,b,c的值为a=118,b=29,c=16.习题13已知随机变量X1和X2的概率分布为且P{X1X2=0}=1.(1)求X1和X2的联合分布律；(2)问X1和X2是否独立？解答：(1)本题是已知了X1与X2的边缘分布律，再根据条件P{X1X2=0}=1, 求出联合分布. 列表如下：P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0.再由p⋅1=p-11+p11+p01, 得p01=12, p-10=p-1⋅=p-11=14,p10=p1⋅-p11=14,从而得p00=0.(2)由于p-10=14≠p-1⋅⋅p⋅0=14⋅12=18, 所以知X1与X2不独立.习题14设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)={1πR2,x2+y2≤R20,其它,(1)求X与Y的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问X与Y是否独立？解答：(1)当x<-R或x>R时，fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=∫-∞+∞0dy=0;当-R≤x≤R时，fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=1πR2∫-R2-x2R2-x2dy=2πR2R2-x2.于是fX(x)={2R2-x2πR2,-R≤x≤R0,其它.由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是：fY(y)={2R2-y2πR2,-R≤y≤R0,其它.(2)fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)注意在y处x值位于∣x∣≤R2-y2这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有fX∣Y(x∣y)=1πR22πR2⋅R2-y2=12R2-y2,即Y=y时X的条件概率密度为fX∣Y(x∣y)={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它.同法可得X=x时Y的条件概率密度为fY∣X(y∣x)={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它.由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立.习题15设(X,Y)的分布律如下表所示X\Y -112-12 1/102/103/102/101/101/10求：(1)Z=X+Y; (2)Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似，本质上是利用事件及其概率的运算法则. 注意，Z的相同值的概率要合并.概率(X,Y)X+YXYX/Ymax{X,Y}1/102/103/102/101/101/10(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222于是(1)习题16设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={1,0<x<1,0<y<2(1-x)0,其他，求Z=X+Y的概率密度.解答：先求Z的分布函数Fz(z)，再求概率密度fz(z)=dFz(z)dz.如右图所示.当z<0时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=0;当0≤z<1时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0z-x1dy=∫0z(z-x)dx=z2-12x2∣0z=12z2；当1≤z<2时，Fz(z)=∫02-zdx∫0z-xdy+∫2-z1dx∫02(1-x)dy=z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2；当z≥2时，∫∫Df(x,y)dxdy=∫01dx∫02(1-x)dy=1.综上所述Fz(z)={0,z<012z2,0≤z<1z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2,1≤z<21,z≥2，故fz(z)={z,0≤z<12-z,1≤z<20,其它.习题17设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={2e-(x+2y),x>0,y>00,其它,求随机变量Z=X+2Y的分布函数.解答：按定义FZ(Z)=P{x+2y≤z},当z≤0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫∫x+2y≤z0dxdy=0.当z>0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0(z-x)/22e-(x+2y)dy=∫0ze-x⋅(1-ex-z)dx=∫0z(e-x-e-z)dx=[-e-x]∣0z-ze-z=1-e-z-ze-z,故分布函数为FZ(Z)={0,z≤01-e-z-ze-z,z>0.习题18设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为fX(x)={1,0≤x≤10,其它, fY(y)={Ae-y,y>00,y≤0,求：(1)常数A; (2)随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.解答：(1)1=∫-∞+∞fY(y)dy=∫0+∞A⋅e-ydy=A.(2)因X与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={e-y,0≤x≤1,y>00,其它.于是当z<0时，有F(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}=0;当0≤z≤2时，有F(z)=P{2X+Y≤z}=∫0z/2dx∫0z-2xe-ydy=∫0z/2(1-e2x-z)dx;当z>2时，有F(z)=P{2X+Y≤2}=∫01dx∫0z-2xe-ydy=∫01(1-e2x-z)dx.利用分布函数法求得Z=2X+Y的概率密度函数为fZ(z)={0,z<0(1-e-z)/2,0≤z<2(e2-1)e-z/2,z≥2.习题19设随机变量X,Y相互独立，若X与Y分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求U=max{X,Y}与V=min{X,Y}的概率密度.解答：由题设知，X与Y的概率密度分别为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={1/2,0<y<20,其它,于是，①X与Y的分布函数分别为FX(x)={0,x≤0x,0≤x<11,x≥1, FY(y)={0,y<0y/2,0≤y<21,y≥2,从而U=max{X,Y}的分布函数为FU(u)=FX(u)FY(u)={0,u<0u2/2,0≤u<1u/2,1≤u<21,u≥2,故U=max{X,Y}的概率密度为fU(u)={u,0<u<11/2,1≤u<20,其它.②同理，由FV(v)=1-[1-FX(v)][1-FY)]=FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v),得V=min{X,Y}的分布函数为FV(v)={0,v<0v2(3-v),0≤v<11,v≥1,故V=min{X,Y}的概率密度为fV(v)={32-v,0<v<10,其它.注：(1)用卷积公式，主要的困难在于X与Y的概率密度为分段函数，故卷积需要分段计算；(2)先分别求出X,Y的分布函数FX(x)与FY(y), 然后求出FU(u)，再求导得fU(u); 同理先求出FV(v), 求导即得fV(v).。

考研概率论考试范围
概率论是考研数学的重要内容之一，考试范围主要包括以下几个方面：
1. 随机事件与概率：包括样本空间、随机事件、事件的概率、基本事件、对立事件等基本概念。

2. 条件概率和独立性：涉及概率的加法定理、乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式等概念和运算规则。

3. 随机变量及其分布：包括随机变量的定义、离散型随机变量和连续型随机变量的概率质量函数和概率密度函数、分布函数、数学期望、方差等。

4. 多维随机变量及其分布：包括多维随机变量的联合分布函数、边缘分布函数、条件分布函数、独立性、数学期望、方差等。

5. 数理统计基础：包括样本、抽样分布、参数估计、假设检验和区间估计等基本概念和理论。

6. 大数定律和中心极限定理：包括大数定律、切比雪夫不等式、中心极限定理等概念和定理。

以上仅为概率论考试的基本范围，具体考试内容还需结合各个院校的教学大纲和考试要求来确定。

数学三概率论考试范围数学三概率论是考研数学的一部分，主要考察学生对概率论和数理统计的理解和应用能力。

概率论研究的是随机现象，与确定性现象的高数相比，它的研究对象是不确定的，这可能会让一些学生感到困扰。

然而，概率论的题型相对固定，解题思路也比较单一，计算技巧要求较低，因此，只要掌握了解题方法，学生在考试中取得好成绩的概率较大。

一、考试范围数学三概率论考试范围主要包括以下几个方面：1. 随机事件与概率：本章需要掌握概率统计的基本概念和公式，包括概率的基本运算、条件概率、全概率公式和贝叶斯公式等。

2. 随机变量及其分布：考察随机变量的概念、性质和运算，包括离散型随机变量和连续型随机变量的分布、期望、方差等。

3. 多维随机变量及其分布：主要考察二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布，以及随机变量的独立性。

4. 随机变量的数字特征：考察随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等数字特征的计算和应用。

5. 大数定律和中心极限定理：了解大数定律和中心极限定理的概念及意义。

6. 数理统计：掌握数理统计的基本概念和方法，包括抽样分布、参数估计、假设检验等。

二、考试重点在复习数学三概率论时，需要注意以下考试重点：1. 概率论的基本概念和公式：加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式等。

2. 随机变量的分布和数字特征：掌握各种随机变量的分布和期望、方差、协方差等数字特征的计算方法。

3. 高数与概率论相结合：在求解随机变量的分布和数字特征时，会运用到高数的理论与方法，如微积分、级数等。

4. 解题方法：熟练掌握概率论题型的解题方法，包括分布函数法、概率密度法、随机变量变换法等。

5. 数理统计的应用：了解数理统计的基本方法，能够运用数理统计的知识解决实际问题。

三、复习建议1. 打牢基础：加强对概率论基本概念、公式和方法的理解和记忆。

2. 多做习题：通过大量练习，熟练掌握各种题型的解题方法，提高计算能力。

3. 联系实际：运用概率论和数理统计的知识解决实际问题，提高应用能力。

第三章多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量分布函数分布律概率密度边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度条件分布函数条件分布律条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度Z=Y/X及Z=XY的概率密度M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的概率密度例：研究某一地区学龄儿童的发育情况。

仅研究身高H 的分布或仅研究体重W 的分布是不够的。

需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间（即某地区全部学龄前儿童）的两个随机变量。

问题的提出实际中，某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量描述例：研究某种型号炮弹的弹着点分布。

每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。

一、二维随机变量的定义设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。

S ey()()(),X e Y ex(X,Y)的性质不仅与X及Y有关，还依赖于X,Y间的相互关系，需将(X,Y)作为整体研究二、二维随机变量的分布函数设(X ,Y )是二维随机变量，对于任意实数x , y ，二元函数称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。

{}(,)()()(,)F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤==≤≤ 记成1、定义：若将(X ,Y )看成平面上随机点的坐标，则F (x ,y )在(x ,y )处的函数值即为随机点落在(x ,y )左下方无穷域内的概率2、几何意义：(X ,Y )落在矩形区域[x 1<x ≤x 2, y 1<y ≤y 2]上的概率为x 1x 2yy 1y 20xy(x,y )1212(,)P x x x y y y <≤<≤()()()()22211211,,,,F x y F x y F x y F x y --+=3、性质：1212,(,)(,)y x x F x y F x y <⇒≤任意固定当x 1x 2(x 1,y )(x 2,y )yy 2xy 1(x ,y 1)(x ,y 2)1212,(,)(,)x y y F x y F x y <⇒≤任意固定0(,)1F x y ≤≤ (,)0 (,)0(,)0,(,)1y F y x F x F F -∞=-∞=-∞-∞=+∞+∞=对任意固定，对任意固定，(1) 不减性:F (x , y )关于x , y 单调不减，即(2) 有界性:且(3) 右连续性0(,)(,)lim F x y F x y εε+→+=0(,)(,)lim F x y F x y εε+→+=(),,F x y x y 关于右连续，即：()222112111212(,)(,)(,)(,),0F x y F x y F x y F x y P x X x y Y y --+=<≤<≤≥ 1x 2x 1y 2y 01212,,x x y y <<若则22211211(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥(4)三、二维离散型随机变量及其分布律1、定义：,,,,21m x x x X 的可能值为设,,,,21n y y y Y 的可能值为中心问题：(X ,Y )取这些可能值的概率分别为多少？若二维随机变量（X ,Y ）所有可能的取值是有限对或可列无限对，则称（X ,Y ）是二维离散型随机变量。

第三讲：多维随机变量及其分布多维随机变量的概念及分类我们把n个随机变量X1，X2，…，X n作为一个整体来考察称为一个n维随机变量或n维随机向量，记为ξ＝(X1，X2，…，X n)，其中X i称为ξ的第i个分量．对于二维随机向量，用ξ＝(X，Y)表示，一般情况下我们只讨论离散型和连续型两大类．1．二维离散型随机向量联合概率分布及边缘分布如果二维随机向量(X，Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x，y)时，则称ξ为离散型随机向量．设ξ＝(X，Y)的所有可能取值为(x i，y i)(i，j＝1，2，…)，且事件{ξ＝(x i，y j)}的概率为p ij，称为ξ＝(X，Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律．联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Yy1y2... y i.... p i* Xx1p11p12... p1j (1)x2p21p22... p2j (2)... ... ... ...x i p i1p i2... p ij... p i*... ... .... ...p.j p.1p.2... p.j (1)这里p ij具有下面两个性质：(1)p ij≣0(i，j＝1，2，…)．(2)对于随机向量(X，Y)，称其分量X(或Y)的分布为(X，Y)的关于X(或Y)的边缘分布．上表中的最后一列(或行)给出了X(或Y)的边缘分布．一般来说，当(X，Y)为离散型，并且其联合分布律为P{(X，Y)＝(x i，y j)}＝p ij (i，j＝1，2，…)，则X的边缘分布为Y的边缘分布为例1设二维随机向量(X，Y)共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X，Y)取得它们的概率相同，则(X，Y)的联合分布及边缘分布为2．二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量ξ＝(X，Y)，如果存在非负函数p(x，y)(－∞＜x＜＋∞，－∞＜y ＜＋∞)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D＝{(x，y)|a＜x＜b，c ＜y＜d}有则称ξ为连续型随机向量；并称p(x，y)为ξ＝(X，Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度．分布密度p(x，y)具有下面两个性质：(1)p(x，y)≣0．(2)一般来说，当(X，Y)为连续型随机向量，并且其联合分布密度为p(x，y)，则X和Y的边缘分布密度为例2设(X，Y)的联合分布密度为试求：(1)常数C. (2)P{0＜X＜1，0＜Y＜2}． (3)X与Y的边缘分布密度p1(x)，p2(y)．解(1)由p(x，y)的性质，有即C＝12．(2)令D＝{(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜2}，有(3)先求X的边缘分布：①当x＜0时，p(x，y)＝0，于是②当x≣0时，只有y≣0时，p(x，y)＝12e－(3x＋4y)，于是因此同理两种常见的连续型随机向量的分布．(1)均匀分布设随机向量(X，Y)的分布密度函数为其中S D为区域D的面积，则称(X，Y)服从D上的均匀分布，记为(X，Y)～U(D)．在以后的讨论中，我们经常遇到的区域D有下面8种情况(图3－1～图3－8)：图3－1图3－2 图3－3图3－4 图3－5 图3－6图3－7 图3－8问题试求出上面8种情况下二维均匀分布的边缘分布．以D1为例，其步骤如下．(Ⅰ)先用联立不等式表示区域D1：(Ⅱ)写出联合分布密度函数：由均匀分布的定义，考虑到，因此(Ⅲ)分别求出X与Y的边缘分布，这里分两种情况来讨论X的边缘分布：①当x＜0或x＞1时，p(x，y)≡0，于是②当0≢x≢1时，只有0≢y≢x时，p(x，y)＝2，于是所以同理，可求出Y的边缘分布例3设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，其中D＝{(x，y):|x＋y|≢1，|x－y|≢1}，求X的边缘密度p X(x)．解区域D实际上是以(－1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，－1)为顶点的正方形区域(见图3－9)，其边长为，面积S D＝2，因此(X，Y)的联合密度是图3－9即(2)正态分布设随机向量(X，Y)的分布密度函数为其中μ1，μ2，σ1＞0，σ2＞0，|ρ |＜1是5个参数，则称(X，Y)服从二维正态分布，记为(X，Y)～N(μ1，μ2，，，ρ )．由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)．3．二维随机向量联合分布函数及其性质设(X，Y)为二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数F(x，y)＝P{X≢x，Y≢y}称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数．分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{(ω1，ω2)|－∞＜X(ω1)≢x，－∞＜Y(ω2)≢y}的概率为函数值的一个实值函数．分布函数F(x，y)具有以下的基本性质：(1)0≢F(x，y)≢1．(2)F(x，y)分别对x和y是非减的，即当x2＞x1时，有F(x2，y)≣F(x1，y)；当y2＞y1时，有F(x，y2)≣F(x，y1)．(3)F(x，y)分别对x和y是右连续的，即F(x，y)＝F(x＋0，y)，F(x，y)＝F(x，y＋0)．(4)F(－∞，－∞)＝F(－∞，y)＝F(x，－∞)＝0，F(＋∞，＋∞)＝1．例4设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为求(1)常数C；(2)分布密度p(x，y)．解(1)由性质F(＋∞，＋∞)＝1，得到C＝1．(2)由公式：有故例5设D2是x＝0，y＝0，y＝2x＋1围成的区域，ξ＝(X，Y)在D2上均匀分布，求F(x，y)．答案是：其中区域D1，D2，D3，D4，D5如图3－10所示．图3－10问题 (1)在区域D3内任找一点(x，y)，F(x，y)＝P(X≢x，Y≢y)P((X，Y)∈D)，请将区域D在图3－10中表示出来．(2)如何计算(x，y)∈D i(i＝1，2，3，4，5)的F(x，y)的值？(3)可否使用几何概型计算F(x，y)？4．条件分布当(X，Y)为离散型，并且其联合分布律为P{(X，Y)＝(x i，y j)}＝p ij (i，j＝1，2，…)，则在已知Y＝y j的条件下，X取值的条件分布为在已知X＝x i的条件下，Y取值的条件分布为其中p i，p j分别为X，Y的边缘分布．当(X，Y)为连续型随机向量，并且其联合分布密度为p(x，y)，则在已知Y＝y的条件下，X的条件分布密度为在已知X＝x的条件下，Y的条件分布密度为其中p1(x)＞0，p2(y)＞0分别为X，Y的边缘分布密度．例6设二维随机向量(，)的联合分布为求 (1)X与Y的边缘分布．(2)X关于Y取值y1＝0.4的条件分布．(3)Y关于X取值x2＝5的条件分布．解(1)由公式x i258p i·0.200.420.38y j0.40.8p.j0.800.20(2)计算下面各条件概率：因此，X关于Y取值y1＝0.4的条件分布为x i258p(x i|y1)(3)同样方法求出Y关于X取值x2＝5的条件分布为y i0.40.8p(y j|x2)例7设二维随机向量(X，Y)的联合分布密度为求(1)X与Y的边缘分布密度； (2)条件分布密度．解(1)由公式这里应用了同理，可求得Y的边缘分布密度为(2)在给定Y＝y的条件下，X的条件分布密度为而在给定X＝x的条件下，Y的条件分布密度为随机变量的独立性设X，Y是两个随机变量．若对于任意的a＜b，c＜d，事件{a＜X＜b}与{c＜Y＜d}相互独立，则称随机变量X与Y是相互独立的；否则，称X与Y是相依的．(1)对于离散型随机向量，可以证明：当X，Y的分布律分别为p i．＝P(X＝x i)，i＝1，2，…；p．j＝P(Y＝y j)，j＝1，2，…时，则X与Y相互独立的充要条件是：对一切i，j有P(X＝x i，Y＝y j)＝P(X＝x i)P(Y＝y j)，即p ij＝p i··p·j·(2)对于连续型随机向量，可以证明：当X，Y的分布密度分别是p1(x)，p2(y)时，则X 与Y相互独立的充要条件是：二元函数p1(x)p2(y)为随机向量(X，Y)的联合分布密度p(x，y)，即p(x，y)＝p1(x)p2(y)．(3)对于一般类型随机向量，可以证明：当X，Y的分布函数分别是F1(x)，F2(y)时，则X与Y相互独立的充要条件是：二元函数F1(x)F2(y)为随机向量(X，Y)的联合分布函数F(x，y)，即F(x，y)＝F1(x)F2(y)．例8利用上面的结论(1)，不难验证3．3．1节例1中的X与Y不独立．问题如何根据联合分布p ij特点，直接看出X与Y不独立？例9设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X，Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处．Yy1y2y3P{X＝x i}＝p i.Xx1x2P{Y＝y j}＝p·j1分析应注意到X与Y相互独立．解由于P(X＝x1，Y＝y1)＝P(Y＝y1)－P(X＝x2，Y＝y1)考虑到X与Y相互独立，有P(X＝x1)P(Y＝y1)＝P(X＝x1，Y＝y1)，所以同理，可以导出其他数值．故XY的联合分布律为Yy1y2y3P{X＝x i}＝p i·Xx1x2P{Y＝y j}＝p·j1例10由3．3．2节结论(2)，不难验证3．3．1节例2中的X与Y是相互独立的．问题判断3．3．1节中给出的8种均匀分布中的X与Y的独立性，由此可以得到什么结论？例11设随机变量X以概率1取值0，而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立．证X的分布函数为设Y的分布函数为F2(y)，(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则当x＜0时，对任意的y有F(x，y)＝P{X≢x，Y≢y}＝P({X≢x}∩{Y≢y})＝P(∩{Y≢y})＝P()＝0＝F1(x)F2(y)．当x≣0时，对任意的y有F(x，y)＝P({X≢x}∩{Y≢y})＝P{Y≢y}＝F2(y)＝F1(x)F2(y)．因此，对任意的x，y均有F(x，y)＝F1(x)F2(y)，即X与Y相互独立．问题这里的X是离散型，还是连续型随机变量？若是离散型，它有几个正概率点？随机变量独立性的几个重要结论．(1)设(X，Y)的分布密度函数为p(x，y)，证明X与Y相互独立的充分必要条件是p(x，y)可分离变量，即p(x，y)＝g(x)·h(y)．证“”必要性．若X与Y相互独立，记它们的分布分别为p1(x)，p2(y)，由独立性，可知p(x，y)＝p1(x)·p2(y)，则取g(x)＝p1(x)，h(y)＝p2(y)即可．“”充分性．若p(x，y)可分离变量，即p(x，y)＝g(x)·h(y)，由于p(x，y)≣0，可知g(x)与h(y)同号，不妨假设它们恒为正．记，由联合分布密度性质：有令则p1(x)≣0，p2(y)≣0，且所以p1(x)，p2(y)分别为X，Y的边缘分布密度，且p(x，y)＝p1(x)p2(y)，因此，X与Y是相互独立的．利用上述方法，不难验证下面的结论：(2)若(X，Y)服从二元正态分布，即(X，Y)～N(μ1，μ2，，，ρ )，则X与Y相互独立的充要条件是：ρ ＝0．(3)若随机变量X与Y相互独立，而f(x)，g(x)为两个连续或分段连续函数时，令ξ＝f(X)，η＝g(Y)，则ξ与η相互独立．例12设(X，Y)的联合分布密度为试证明：(1)X与Y是相依的． (2)X2与Y2是相互独立的．证 (1)先求X的边缘分布密度．当|x|＜1时，有当|x|≣1时，p1(x)＝0，因此同理可见，当|x|＜1，|y|＜1时p(x，y)≠p1(x)·p2(y)，所以X与Y不独立，即是相依的．(2)令ξ＝X2，η＝Y2，其分布函数分别为F1(x)和F2(y)，于是当0≢x＜1时，有因此同理可求得Y2的分布函数如图3－11所示，将O x y平面分成5块区域来讨论，并将(ξ，η)的分布函数记为F3(x，y)，则图3－11①当x＜0或y＜0时，F3(x，y)＝0．②当0≢x＜1，y≣1时，③当0≢y＜1，x≣1时，同理④当0≢x＜1，0≢y＜1时，F3(x，y)＝P(X2≢x，Y2≢y)⑤当x≣1，y≣1时，综合起来得到不难验证，对于所有x，y都有F3(x，y)＝F1(x)·F2(y)，所以ξ与 相互独立，即X2与Y2相互独立．函数的分布1.设ξ＝(X，Y)的联合分布为F(x，y)，由Z＝f(X，Y)确定Z的分布(1)当ξ为离散型时，确定Z的分布设(X，Y)的联合分布律为p ij＝P(X＝x i，Y＝y i) (i，j＝1，2，…)，当(X，Y)取某一可能值(x i，y i)时，Z＝f(X，Y)取值为f(x i，y i)．设Z的一切可能取值为z k(k ＝1，2，…)，令C k＝{(x i，y j)|f(x i，y i)＝z k}，则有例13设(X，Y)的联合分布为Y0 1 2X1求(Ⅰ)Z1＝X＋Y； (Ⅱ)Z2＝X－Y； (Ⅲ)Z3＝XY的分布列．解(Ⅰ)Z1＝X＋Y的正概率点为0，1，2，3．因为{Z1＝0}＝{X＝0，Y＝0}，所以又因为{Z1＝1}＝{X＝0，Y＝1}＋{X＝1，Y＝0}，所以同理故Z1的分布列为z k0 1 2 3p k(Ⅱ)略．(Ⅲ)略．(2)当ξ为连续型时，确定Z的分布设(X，Y)的联合分布密度为p(x，y)，利用一维连续型随机变量函数分布的定义法，分两步完成：(Ⅰ)其中D＝{( x，y)|f(x，y)≢z}．(Ⅱ)下面以和的分布为例给予说明，并导出相应的公式．设随机向量(X，Y)的联合分布密度为p(x，y)，随机变量Z＝X＋Y，求Z的分布密度．下面我们从Z的分布函数出发，导出p Z(z)来(见图3－12)．因为图3－12F Z(z)＝P(Z≢z)＝P(X＋Y≢z)(其中)所以特别，当X和Y相互独立时，有利用上述公式，可以证明：若X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，并且X与Y相互独立，则X＋Y～N(μ1＋μ2，＋)．例14设X和Y是两个相互独立的随机变量，且X～U(0，1)，Y～E(1)，求Z＝X＋Y 的分布密度函数p Z(z)．解由X～U(0，1)，Y～E(1)，有因为X与Y相互独立，所以(X，Y)的联合分布密度函数为要使p(x，y)＞0，即p1(x)＞0，p2(y)＞0，应满足0≢x≢1同时y＞0，考虑到z＝x＋y，于是(3－1) 方法1(分析法)下面分三种情况讨论：(Ⅰ)当z＞1时，式(3－1)合并为0≢x≢1，于是(Ⅱ)当0＜z≢1时，式(3－1)合并为0≢x＜z，于是(Ⅲ)当z≢0时，式(3－1)发生矛盾，因此，p(x，y)＝0，于是故Z的分布密度函数为方法2(图解法，见图3－13)图3－13综上可得z的分布密度函数为例15 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U＝X＋Y的概率密度g(u)．解设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U＝X＋Y的分布函数为G(u)＝P{X＋Y≢u}＝0.3P{X＋Y≢u|X＝1}＋0.7P{X＋Y≢u|X＝2}＝0.3P{Y≢u－1|X＝1}＋0.7P{Y≢u－2|X＝2}．由于X和Y独立，可见G(u)＝0.3P{Y≢u－1}＋0.7P{Y≢u－2}＝0.3F(u－1)＋0.7F(u－2)．由此，得U的概率密度g(u)＝G′(u)＝0.3F′(u－1)＋0.7F′(u－2)＝0.3f(u－1)＋0.7f(u－2)．2．设ξ＝(X，Y)的联合分布为F(x，y)，由Z1＝f1(X，Y)，Z2＝f2(X，Y)，确定二维随机变量η＝(Z1，Z2)例16设(X，Y)的联合分布密度函数为并且求η＝(Z1，Z2)的分布．解由于(X，Y)的联合分布密度p(x，y)可以拆成p1(x)，p2(y)，其中可见X与Y是相互独立的，并且X～E(1)，Y～E(1)．又由于Z1的取值为1，2；Z2的取值为3，4，因此η＝(Z1，Z2)的取值为(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，其概率分布为P(Z1＝1，Z2＝3)＝P(X≢1，Y≢2)＝P(X≢1)·P(Y≢2)＝F1(1)·F2(2)＝(1－e－1)(1－e－2)＝1－e－1－e－2＋e－3，P(Z1＝1，Z2＝4)＝P(X≢1，Y＞2)＝P(X≢1)P(Y＞2)＝F1(1)(1－F2(2))＝(1－e－1)e－2＝e－2－e－3，P(Z1＝2，Z2＝3)＝P(X＞1，Y≢2)＝P(X＞1)·P(Y≢2)＝(1－F2(1))F2(2)＝e－1(1－e2)＝e－1－e－3，P(Z1＝2，Z2＝4)＝P(X＞1，Y＞2)＝P(X＞1)·P(Y＞2)＝(1－F1(1))(1－F2(2))＝e－1·e－2＝e－3．故η＝(Z1，Z2)的分布列为Z2Z1341 21－e－1－e－2＋e－3e－2－e－3 e－1－e－3e－3几个重要结论研究多个独立随机变量函数的分布在数理统计中占有重要的地位，为了讨论有关内容，先引进下面的定义：定义称随机变量X1，X2，…，X n是相互独立的，如果对于任意的a i＜b i(i＝1，2，…，n)，事件{a1＜X1＜b1}，{a2＜X2＜b2}，…，{a n＜X n＜b n}相互独立．此时，若所有的X1，X2，…，X n都有共同的分布，则说X1，X2，…，X n是独立同分布的随机变量．(1)对于独立同N(μ，σ2)分布的随机变量X1，X2，…，X n，可以证明有下面三个重要结论：(Ⅰ)设，则S～N(nμ，nσ2)．(Ⅱ)设，则(Ⅲ)设则U～N(0，1)．(2)设n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的χ2分布，记为W～χ2(n)，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数．χ2分布满足可加性：设则(3)设X，Y是两个相互独立的随机变量，且，可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)．(4)设X～(n1)，Y～(n2)，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～F(n1，n2)．例17设X1，X2，…，X10相互独立同N(0，22)分布，求常数a，b，c，d使Y＝＋b(X2＋X3)2＋c(X4＋X5＋X6)2＋d(X7＋X8＋X9＋X10)2服从分布，并求自由度m．分析若X～N(0，1)，则X2～(1)．现故同理X2＋X3～N(0，2·22)，解由于X i独立同N(0，22)分布，有X1～N(0，4)，X2＋X3～N(0，8)，X4＋X5＋X6～N(0，12)，X7＋X8＋X9＋X10～N(0，16)．因此由分布可加性所以，当时，Y服从自由度为4的分布．例18设随机变量X与Y相互独立同服从N(0，32)分布，x1，x2，…，x9以及y1，y2，…，y9是分别来自总体X，Y的样本，求统计量的分布．解由于x i，y i～N(0，32)，有令则而于是即统计量K服从自由度为9的t分布．例19设随机变量X～t(n)(n＞1)，求的分布解由题设，可知若X1～N(0，1)，X2～(n)．则而这里的～(1)，而X2～(n)，因此练习题依题意，指出以下各题的主要考核内容：3－1设随机变量且P(X1X2＝0)＝1，求P(X1＝X2)．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3－2设某班车起点站上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0＜p＜1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的．用Y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率．(2)二维随机向量(X，Y)的概率分布．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－3设(X，Y)的联合分布密度为(1)求C．(2)求X，Y的边缘分布．(3)讨论X与Y的独立性．(4)计算P(X＋Y≢1)．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－4设求(1)A，B，C的值； (2)p(x，y)； (3)p1(x)，p2(y)．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－5设x1，x2，x3，x4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，令X＝a(x1－2x2)2＋b(3x3－4x4)2，则当a＝＿＿，b＝＿＿时，统计量X服从分布，其自由度为＿＿．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－6设(1)确定常数A； (2)边缘分布密度； (3)讨论X，Y的独立性．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－7 设随机变量X～p1(x)，Y～p2(y)且设p(x，y)＝p1(x)·p2(y)＋h(x，y)，－∞＜x＜＋∞，－∞＜y＜＋∞为二维随机向量ξ＝(X，Y)的联合分布密度，试证：(1)h(x，y)≣－p1(x)p2(y)，－∞＜x＋∞，－∞＜y＜＋∞．(2)分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－8设平面区域D是由与直线y＝0，x＝1，x＝e2所围成，二维随机向量ξ＝(X，Y)在D上服从均匀分布，求(X，Y)关于X的边缘分布密度在x＝2处的值．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－9 设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N(0，1)和N(1，1)，求P(X＋Y≢1)．(或选择题为(A)(C)(B)(D)分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－10设随机变量X i(i＝1，2，3，4)相互独立同B(1，0．4)，求行列式的概率分布．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3．4 典型例题分析3－1设随机变量且P(X1X2＝0)＝1，求P(X1＝X2)．分析下面给出(X1，X2)的联合分布：X2－101p i·X1－10000100p·j1可见，P{X1＝X2}＝0，因此，答案是0．问题如何由边缘分布确定联合分布．3－2设某班车起点站上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0＜p＜1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的．用Y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率．(2)二维随机向量(X，Y)的概率分布．分析(1)设事件A＝{发车时有n个乘客上车}，B＝{中途有m个人下车}，则在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率是一个条件概率，即P(B|A)＝P{Y＝m|X＝n}．根据二项概型，有其中0≢m≢n，n＝0，1，2，…．(2)由乘法公式，我们有P{X＝n，Y＝m}＝P(AB)＝P(B|A)·P(A)．由于上车人数X～P(λ)，因此于是其中0≢m≢n，n＝0，1，2，…．说明 (1)这里的条件分布是在改变样本空间后，利用二项概型求出的．(2)由乘客在中途下车与否是相互独立的，能推出X与Y独立吗？为什么？3－3如图3－14，设(X，Y)的联合分布密度为图3－14(1)求C．(2)求X，Y的边缘分布．(3)讨论X与Y的独立性．(4)计算P(X＋Y≢1)．分析(1)由于即可导出C＝2．(2)当x＜0或x＞1时，p1(x)＝0；当0≢x≢1时，因此同理(3)由于p1(x)·p2(y)≠p(x，y)，故X与Y不独立．(4)问题本题可否使用几何概型计算P(X＋Y≢1)？3－4设求(1)A，B，C的值； (2)p(x，y)； (3)p1(x)，p2(y)．分析(1)由可导出(2)(3)由p(x，y)＝f1(x)·f2(y)，其中考虑到故3－5设x1，x2，x3，x4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，令X＝a(x1－2x2)2＋b(3x3－4x4)2，则当a＝＿＿，b＝＿＿时，统计量X服从x2分布，其自由度为＿＿．分析本题中，如果X服从x2分布，则自由度为2，并且要求与相互独立且均服从标准正态分布N(0，1)．由于x1，x2，x3，x4相互独立，因此与也相互独立．由于并且因此3－6 设试求解：(1)确定常数A； (2)边缘分布密度； (3)讨论X，Y的独立性．分析(1)由即(2)由，分情况讨论：当x＜0或x＞2时，当0≢x≢2时，所以同理，可求出(3)由于p1(x)·p2(y)＝p(x，y)，因此，X与Y相互独立．说明本题也可以使用其他方法讨论．由于p(x，y)可以拆成f1(x)·f2(y)，其中由故同理b＝3．因此这时p(x，y)＝p1(x)·p2(y)，其中可见，X与Y是相互独立的．3－7设随机变量X～p1(x)，Y～p2(y)且设p(x，y)＝p1(x)·p2(y)＋h(x，y)，－∞＜x＜＋∞，－∞＜y＜＋∞为二维随机向量ξ＝(X，Y)的联合分布密度，试证：(1)h(x，y)≣－p1(x)p2(y)，－∞＜x2＋∞，－∞＜y＜＋∞．(2)分析(1)由p(x，y)的性质：p(x，y)≣0，有p1(x)·p2(y)＋h(x，y)≣0，即h(x，y)≣－p1(x)·p2(y)，－∞＜x＜＋∞，－∞＜y＜＋∞．(2)由于，有于是有3－8设平面区域D是由与直线y＝0，x＝1，x＝e2所围成(如图3－15)，二维随机向量ξ＝(X，Y)在D上服从均匀分布，求(X，Y)关于X的边缘分布密度在x＝2处的值．图3－15分析区域D的面积为由题设可知，(X，Y)的概率密度为(X，Y)关于X的边缘密度为(1)当x＞e2或x＜1时，(2)当1≢x≢e2时，有于是故问题本题可否直接求出，即3－9设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N(0，1)和N(1，1)，求P(X＋Y≢1)．(或选择题为(A)(B)(C)(D)分析令Z＝X＋Y～N(1，2)，则3－10设随机变量X i(i＝1，2，3，4)相互独立同B(1，0.4)，求行列式的概率分布．分析记Y1＝X1X4，Y2＝X2X3，则X＝Y1－Y2，且Y1和Y2独立同分布：P(Y1＝1)＝P(Y2＝1)＝P(X2＝1，X3＝1)＝P(X2＝1)·P(X3＝1)＝0.16，P(Y1＝0)＝P(Y2＝0)＝1－0.16＝0.84，即Y i～B(1，0.16) (i＝1.2)．随机变量X＝Y1－Y2有三个可能值：－1，0，1．P(X＝－1)＝P(Y1＝0，Y2＝1)＝0.84×0.16＝0.1344，P(X＝1)＝P(Y1＝1，Y2＝0)＝0.16×0.84＝0.1344，P(X＝0)＝1－2×0.1344＝0.7312．于是，行列式X的概率分布为。