高数曲率

高数公式集萃一、极限重要公式（1）0sin lim 1x xx→= （2）()10lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >=（4）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→−∞=−（7） （8）lim arc cot 0x x →∞=lim arc cot x x π→−∞= （9）lim 0xx e →−∞=（10） （11）lim x x e →+∞=∞0lim 1xx x +→= 二、常用等价无穷小关系（0x →）（1）sin x x （2）tan x x （3）arcsin x x （4）arctan x x （5）211cos 2x x − （6）()ln 1x x + （7） （8） （9）1x e − x a 1ln x a x − ()11x x ∂+−∂三、导数的四则运算法则（1） （2）()u v u v ′′±=±′()uv u v uv ′′′=+ （3）2u u v u v v ′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠v 四、基本导数公式⑴() ⑵0c ′=1x xμμμ−= ⑶()sin cos x x ′=⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2tan sec x x ′= ⑹()2cot csc x x ′=− x ⑼()xxe ′⑺()sec sec tan x x ′=⋅x ⑻()csc csc cot x x ′=−⋅e=⑽() ⑾()ln xxaa′=a 1ln x x ′= ⑿()1log ln x a x a′=⒀()arcsin x ′=⒁()arccos x ′= ⒂()21arctan 1x x ′=+ ⒃()21arc cot 1x x′=−+（17）′=五、微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()d u v du dv ±=±()d cu cdu =()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠六、微分公式与微分运算法则⑴ ⑵ ⑶()0d c =()1d xxdx μμμ−=()sin cos d x xd =x x x⑷ ⑸ ⑹()cos sin d x xd =−()2tan sec d x xd =()2cot csc d x xd =−x x x ⑺ ⑻ ⑼()sec sec tan d x x xd =⋅()csc csc cot d x x xd =−⋅()xxd e e dx =⑽ ⑾()ln x x d a a adx =()1ln d x dx x =⑿()1log ln x a d dx x a=⒀()arcsin d x =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =−+ 七、下列常用凑微分公式八、中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

第一章函數、極限、連續第1 节函數a)反函數和原函數關於y=x 對稱。

b)只有定義域關於原點對稱の函數才能討論奇偶性。

c)多個奇函數之和為奇函數；多個偶函數之和為偶函數。

d)2k 個奇函數の乘積是偶函數；2k+1 個奇函數の乘積是偶函數；任意個偶函數の乘積還是偶函數。

(k=0,1,2 ..... )。

e)如果f(x)是周期函數，周期為T，則f(ax+b)也是周期函數，周期為|T/a|。

f)基本初等函數包括：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。

初等函數即上述五大類函數，以及它們有限次の四則運算與複合而成の函數。

g)一切初等函數在其定義域內都是連續の。

第2 节極限a)左右極限存在且相等極限存在。

b)如果函數在X0極限為A，則可以將函數改寫為f(X)=A+ɑ(x)，其中lim ɑ(x) = 0 。

x x 0（等價無窮小）c)極限存在極限唯一。

（極限唯一性）d)lim f (x) A ，且A>0，則在x の鄰域內，f(x)>0。

（保號性）x x 0e)函數f(x)在點x=x0存在極限，則存在該點の一個去心鄰域U，在U 內f(x)有界。

（有界性）f)當limf(x)=A，limg(x)=B，那麼lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+Blim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-Blim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*Blim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等於0lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A nlim(f(x)^g(x))=A b（極限の四則運算）g)有限個無窮小之和仍然是無窮小。

有限個無窮小之積仍然是無窮小。

無窮小和有界量乘積仍然是無窮小。

h)lim f ( x ) =lg ( x )i. l=0，f(x)=o(g(x)).ii. l=∞，f(x) 是 g(x) 低階 .iii.0<l<∞或-∞<l<0，l≠1，同階.iv. l=1，等價無窮小，記作f(x) g(x).f (x)特別の，如果lim =l(l≠0)，則稱f(x)是g(x)のk 階無窮小。

高数词汇定理der Theorem 公理das Axiom 定义die Definition 法则das Gesetz 定律die Regel 公式die formel 原理das Prinzip 性质die Beschaffenheit 加plus 减minus 乘mal 除durch 和die Summe 差der Rest 积das Produkt 商der Quotient 比例das Verhaeltnis 符号das Zeichen 整数die ganze Zahl 分数der Bruch 级数die Reihe 实数die reelle Zahl 虚数die imaginaere Zahl 系数der Koeffizient 常数die Konstante 函数die Funktion 方程die Gleichung 方程组das System von Gleichungen 未知数die Unbekannte 解die Aufloesung 多项式das Polynom 行列式der Determinate 方根die Wurzel 导数die Ableitung 偏导数die partielle Ableitung 微分das Differential 积分das Integral 定积分das bestimmtes Integral 微积分die Infinitesimalrechnung 坐标Koordinaten 直角坐标系das rechtwinklige Koordinateensysten 坐标轴die Koordinaternachse 点der Punkt 线die Linie 面die Flaesche 体（空间）der Raum 维数die Dimension 曲线die Kurve 圆der Kreis 椭圆die Ellipse 双曲线die Hyperbel 抛物线die Parabel 三角形das Dreieck 正方形das Quadrat 矩形das Rechteck 平行四边形das Parallelogramm菱形die Rhombus 长die Laenge 宽die Breite 高die Hoehe 垂直senkerecht 切线die Tangente 区间das Intervall 变量die Variable 周期die Periode 极限das Limit 数列die Sequenz 集合die Menge 阶乘die Fakultaet 连续kontinuierlich 向量der Vektor 线性组合die lineare Kombination 齐次homogen 内积das inneres Produkt 外积das Kreuzprodukt 映射die Abbildung 变换Transformation 矩阵die Matrix 图象das Abbild 群die Gruppe环der Ring 域das Feld 参数der ParameterArithemetik 算术die Zahl 数字die römischen Ziffern (Zahlyeichen n.) 罗马数字die arabischen Ziffern f 阿拉伯数字die reine (unbenannte) Zahl,eine bierstellige Zahl不名(抽象)数,一个四位数die benannte Zahl 名数die Grundzahl (dardinalzahl) 基数die Ordnungszahl ( Ordinalzahl) 序数die positibe Zahl (mit dem positiven V orzeichen n) 正数（带正号）die negative Zahl ( mit dem negativen V orzeichen n)负数（带负号）allgemeine Zahlen f 代数符号die gemischte Zahl 带分数die ganze Zahl 整数die Bruchzahl , gebrochene Zahl, ein Zahlenbruch m 分数gerade Zahlen 偶数ungerade Zahlen 奇数Primzahlen 质数die komplexe Zahl 复数gemeine Brüche m 普通分数der echte Bruch 真分数der Zähler 分子der Bruchstrich 分数线der Nenner 分母der unechte Bruch 假分数der doppelbruch 繁分数der uneigentliche Bruch 可约分数ungleichnamige Brüche m 不同分母的分数Hauptnenner ( gemeinsame Nenner)公分母Der endliche Dezimalbruch 有限小数(Zehnerbruch ) mit Komma n und Dezimalstellen f 带有小数点和小数位的有限小数die Zehntel n十分位die Hundertstel 百分位die Tausendstel 千分位der unendliche periodische Dezimalbruch 循环小数die Periode 循环节Grundrechnungsarten 基本算术运算Das Zusammenzählen (Addieren, die Addition) 加法Summanden m 相加的项+ das pluszeichen 加号= das Gleichheitzeichen 等号die Summe (das Ergebnis, Resultat) 和das Abziehen (Subtrahieren,die Subtraktion 差der Minuend 被减数-das Minuszeichen 减号der Subtrahend 减数der Rest( die Differenz) 余数差das Vervielfachen (Malnehmen, Multiplizieren,die Multiplikation) 乘法der Multiplikand 被乘数das Malzeichen 乘号der Multiplikator 乘数Faktoren m 因数das Produkt 积das Teilen (Dividieren,die Division) 除法der Dividend 被除数das Divisionszeichen 除号der Teiler (Divisor) 除数der Quatient (Teilwert) 商die Potenzrechnung (das Potenzieren) 乘方die Potenz 乘方die Basis 底数der Potenzwert 乘方值die Wurzelrechnung (das Radizieren,das Wurzelziehen) 开方die Kubikwurzel 立方根der Radikand ( die Grundzahl) 被开方数der Wurzelexponent (Wurzelgrad) 根指数dasWurzelzeichen 根号der Wurzelwert 根值die Quadratwurzel (Wurzel) 平方根die Buchstabenrechnung (Algebra) 代数die Bestimmungsgleichung 简单方程die Koeffizienten 系数die Unbekannte 未知数die identische Gleichung 恒等式die Logarithmenrechnung (das Logarithmieren) 对数计算das Zeichen fuer den Logarithmus 对数符号das Zeichen Numerus 真数die Grundzahl 底die Kennziffer 首数die Mantisse 尾数die Logarithmus 对数（值）反函数:a inverse function. 幂函数:a power function.指数函数:a exponential function. 对数函数:a logarithmic function.三角函数:a trigonometric function.反三角函数:a anti-trigonometric function.复合函数:a compound function. 初等函数:a elementary function.双曲函数:a hyperbolic function. 反双曲函数:a anti-hyperbolic function.无穷小:infinitesimal. 无穷大:infinity. 连续性:continuity.间断点:discontinuous point. 介值定理:intermediate value theorem.导数:derivative. 微分:differential.函数的单调性:monotonicity of function.曲线:curve. 曲线的凹凸性:concavity of curve.曲线的拐点: keen point of curve. 曲率:curvature.不定积分: indefinite integral(indeterminate integral).定积分: definite integral.广义积分:improper integral.空间解析几何:space analytic geometry.向量代数:vector algebra.空间直角坐标系:space rectangular coordinate system.数量积:scalar product.向量积:vector product.混合积:triple product.曲面:surface.二次曲面:second-degree surface.反函数 Inverse function.幂函数。

医用高数精选习题含答案医学生需要学习数学，尤其是高数。

然而，高数知识对于许多医学生来说是非常困难的。

因此，许多医学生需要精选的高数练习题目来加强他们的高数技能。

这里，我们提供一些医用高数精选习题和答案，这些习题涵盖了各种高数问题：导数、极值、曲率、微积分和微分方程。

1. 给出函数f(x) = 3x^2 + 2x的导函数答案：f’(x) = 6x + 2解析：对f(x)求导即可得到f’(x)。

2. 给出函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 45的极值点答案：f(x)在x=-3和x=5处达到极小值和极大值解析：对f(x)求导，令f’(x)=0，解得x=-3和x=5，分别代入f(x)求得f(-3)和f(5)，即得到极值。

3. 给出函数f(x) = sin(x)，在x = 0处的曲率答案：f”(x) = -sin(x)，因此，f”(0) = 0，所以曲率为0。

解析：对f(x)求两次导即可得到曲率公式f”(x) = -sin(x)，将x=0代入公式即可得到曲率为0。

4. 求以下函数的不定积分：f(x) = 6x^2 - 8x + 9答案：∫f(x)dx = 2x^3 - 4x^2 + 9x + C（其中C为常数）解析：对f(x)进行积分，即可得到不定积分。

5. 给出微分方程dy/dx = 9x^2 - 12x，求其通解答案：y = 3x^3 - 6x^2 + C（其中C为常数）解析：对微分方程求解，得到y的一般解，再带入初始条件求得一个特定解。

练习以上高数习题能够帮助医学生们掌握高数知识并加强自己的技能。

如果你感到这些习题有些困难，可以不断的练习，直到完全理解并掌握。

只要你通过努力，这些数学技能就会变得相对容易了。

高等数学公式 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R C cB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgxarctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高数一知识点总结高数是大学数学中的一门重要课程，它的内容涵盖了微积分、极限、导数、积分等多个方面，是理工科学生必修的一门课程。

高数一作为高等数学的第一部分，是建立在初等数学基础上的，在学习高数一的过程中，学生需要掌握一定的数学基础知识，扎实的数学功底是学好高数一的前提。

在这篇文章中，我将对高数一中的一些重要知识点进行总结和梳理，希望对学习高数一的同学有所帮助。

1.函数与极限函数是高数一中的基础概念，它是描述自变量和因变量之间关系的一种数学工具。

在学习高数一的过程中，我们需要了解常见的函数类型，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

另外，在函数的概念中，我们还需要掌握函数的图像、定义域、值域、奇偶性等概念。

函数的极限是高数一中一个重要的概念。

极限描述的是函数在某一点处的值趋近于某个数值的情况，它是描述函数局部性质的一种数学工具。

在学习极限的过程中，我们需要了解极限存在的充分条件，极限的性质，以及利用极限进行函数的求导等应用。

2.导数与微分导数是函数的变化率，它是描述函数在某一点处的切线斜率的数学工具。

在学习导数的过程中，我们需要了解导数的定义、常见函数的导数公式、导数的性质，以及导数的几何意义等知识。

另外，我们还需要掌握导数的运算法则，如导数的和、差、积、商规则，以及复合函数的导数、反函数的导数等知识。

微分是函数的局部线性逼近，它是描述函数在某一点处的局部性质的数学工具。

在学习微分的过程中，我们需要了解微分的定义、微分的公式、微分的性质，以及利用微分进行函数的近似计算等知识。

3.应用题在学习高数一的过程中，我们需要掌握一些常见的应用题，如最值问题、曲线的切线与法线、弧长与曲率等。

这些应用题是高数一中的一个重要部分，通过对这些题目的学习，我们能够更好地理解高数一中的知识点，并将数学知识应用到实际问题中去。

在学习应用题的过程中，我们需要掌握如何建立数学模型，如何进行问题分析，如何选择合适的数学工具进行求解等技能。

曾看到智能车制作论坛里很多人询问曲率的计算，今天在整理一个PPT 的时候，刚好又用到了曲率计算，我就解释下东北大学和上海大学摄像头组计算曲率的方法（请参看第二届东北大学技术报告和第三届上海大学技术报告）。

曲率问题可以归结为已知三角形的三点坐标11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，求解三角形外接圆曲率。

学过高数的都应该知道向量的叉乘，定义为：两个向量进行叉乘得到的是一个向量，方向垂直于这两个向量构成的平面（三个向量符合右手坐标系），大小等于这两个向量组成的平行四边形的面积。

设两个向量为(,,)a a a a x y z =G、(,,)b b b b x y z =G ，则a a a bbbi j k a b x y z x y z ×=G G G G G（1） 由叉乘的定义可知，求ABC Δ的面积，可以通过求解2AB AC×JJJ G JJJ G来获得，将上述叉乘公式应用于二维情况，即取0z =，可得21212131312131310(()()()())0i j kAB AC x x y y x x y y x x y y k x x y y ×=−−=−−−−−−−G G GJJJ G JJJ G G（2）所以21313121(()()()())22ABC AB ACx x y y x x y y S Δ×−−−−−==JJJ G JJJ G（3）上式中，如果ABC 三点是顺时针方向分布，则三角形面积为负值，逆时针分布为正值（如果不需要符号，取下绝对值即可）。

面积的符号对于智能车其实还是挺有用的。

如上图，如果曲线向右拐，算出的面积是负的，如果曲线向左拐，算出的面积是正的，上述面积的正负反映了曲线的方向。

相比于海伦公式，用上述公式计算面积既可以减轻计算量，又可以反映曲线的方向，一举两得。

有了上述公式，曲率可以表现为三角形外接圆半径的倒数，从而可得曲率计算公式：ABC4S K AB BC ACΔ=×× (4)上式中要求出三边长，会用到求根公式，在单片机中开根号，那是很要命的。

高数微积分基本公式大全1.导数的基本公式：-基本导数：(常数)' = 0, (x^n)' = nx^(n-1), (e^x)' = e^x, (a^x)' = a^xln(a), (ln(x))' = 1/x, (sin(x))' = cos(x),(cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x), (cot(x))' = -csc^2(x), (sec(x))' = sec(x)tan(x), (csc(x))' = -csc(x)cot(x).-乘法法则：(uv)' = u'v + uv'.-除法法则：(u/v)' = (u'v - uv') / v^2.-链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).2.不定积分的基本公式：-基本积分：∫(k) dx = kx + C, ∫(x^n) dx =(1/(n+1))x^(n+1) + C, ∫(e^x) dx = e^x + C, ∫(1/x) dx =ln(|x|) + C, ∫(sin(x)) dx = -cos(x) + C, ∫(cos(x)) dx =sin(x) + C.-分部积分：∫(uv') dx = uv - ∫(u'v) dx.-特殊积分：∫(1/(1+x^2)) dx = arctan(x) + C,∫(1/(sqrt(1-x^2))) dx = arcsin(x) + C.3.微分方程的基本公式：-一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x),解为y = e^(-∫P(x)dx) * (∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx + C).-齐次方程：dy/dx = f(y/x),令v = y/x，化为可分离变量的形式求解.-常系数线性齐次微分方程：ay'' + by' + cy = 0，其特征方程为ar^2 + br + c = 0，解为y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)。