概率论与数理统计(二维随机变量函数的分布)

类似地，可得 N min( X ,Y )的分布函数为
Fmin (z) P{N z} 1 P{N z} 1 P{ X z,Y z} 1 P{ X z}P{Y z} 1 [1 P{ X z}][1 P{Y z}] 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
(2
2 z)2
,
z
0
.
0,
z0
二维随机变量的函数的分布
四、常见的二维随机变量的函数的分布
4、 Z XY 的分布
类似推导可得
fZ (z)
+
f
( x,
z) x
1 x
dx
当 X 与Y 独立时，
fZ (z)
+
fX (x)
fY
(
z) x
1 x
dx
二维随机变量的函数的分布
四、常见的二维随机变量的函数的分布
一、 二维随机变量的函数的分布引言
设( X ,Y )为一个二维随机变量，z g( x, y)为一个已知的二
元连续函数，则 Z g( x, y)是随机变量 X ,Y 的函数，它也是一
个随机变量.
边缘
分布
条件 分布
联合 分布
函数 分布
独立 性
二维随机变量的函数的分布
二、二维离散型随机变量的函数的分布
二维随机变量的函数的分布
推广到n个相互独立的随机变量，设 X1, X2 ,L , Xn是n个相互独立的随机变量
Fmax (z) FX1 (z)FX2 (z)L FXn (z) Fmin (z) 1 [1 FX1 (z)][1 FX2 (z)]L [1 FXn (z)]
当 X1, X 2 , , X n相互独立且具有相同分布函数F ( x)时，有

(4)
fX Y (x
y)
f (x, y) fY ( y)
= ex
fY X ( y
x)
f (x, y) fX (x)
= ey
(5)
f (x, y) exy fX (x) fY ( y)
因此X ,Y相互独立。
二、二维连续型随机变量函数的分布
1.Z=X+Y的分布 设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)，则由分布函数的定义知， Z=X+Y的分布函数为：
3. F (x , y) 为连续函数，且在f(x,y)的连续点处，
2F(x, y) f (x, y) xy
一、二维连续型随机变量概念
定义8 称
f X (x)
f (x, y)dy
( x )
为X的边缘密度函数。
称
fY ( y)
f (x , y)dx
( y )
为Y的边缘密度函数。一、二维连ຫໍສະໝຸດ 型随机变量概念定义9称
fX Y (x
y)
f (x, y) fY ( y)
为在Y=y条件下X的条件概率密
度,称
f (x, y) fY X ( y x) fX (x)
为在X=x条件下Y的条件概率密度.
定理2 设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y相互独 立等价于 f (x, y) fX (x) fY ( y)
y)
一、二维随机变量的概念
联合分布函数F(x,y)有如下的性质：
1. 0 F(x , y) 1
2. F(x , y) 关于x、关于y单调不减；
3. F(x , y) 关于x、关于y右连续
4.
lim F(x , y) 0 , lim F(x , y) 1

二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式二维随机变量的概率分布函数（probability distribution function，简称PDF）是用来描述随机变量取值与其对应的概率之间的关系。

在概率论与数理统计中，我们经常需要对二维随机变量的分布进行建模和分析，因此掌握二维随机变量分布的公式是非常重要的。

一、离散型二维随机变量分布公式对于离散型二维随机变量，其取值只能是有限个或者可列个。

假设随机变量(X,Y)的可能取值为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，其对应的概率为{P(X=x1,Y=y1),P(X=x2,Y=y2),...,P(X=xn,Y=yn)}。

离散型二维随机变量的分布可以用概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来描述，其计算公式为：P(X=x,Y=y) = P(X=xk,Y=yk) for (x,y) = (xk,yk)其中，xk和yk分别为二维随机变量(X,Y)的取值。

二、连续型二维随机变量分布公式对于连续型二维随机变量，其取值可以是任意实数。

假设随机变量(X,Y)的概率密度函数（probability density function，简称PDF）为f(x,y)，则对于任意给定的区域A，有：P((X,Y)∈A) = ∬Af(x,y)dxdy其中，(X,Y)∈A表示(X,Y)在区域A内取值，∬表示对区域A进行二重积分。

从而，我们可以通过计算二重积分来求得连续型二维随机变量的概率。

三、二维随机变量的边缘分布边缘分布是指在二维随机变量(X,Y)的分布中，将其中一个随机变量的取值固定下来，对另一个随机变量的分布进行描述。

对于离散型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过将概率加和。

对于连续型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过对概率密度函数进行积分。

1. X的边缘分布：P(X=x) = ∑P(X=x,Y=y) for all y（离散型）, f_x(x) = ∫f(x,y)dy（连续型）2. Y的边缘分布：P(Y=y) = ∑P(X=x,Y=y) for all x（离散型）, f_y(y) = ∫f(x,y)dx（连续型）四、二维随机变量的条件分布条件分布是指在给定另一个随机变量的取值的条件下，对该随机变量的分布进行描述。

若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,… 则(X,Y)的分布函数为
其中和式是对一切满足xi≤x , yj≤y求和。
例 若(X,Y)的分布律如下表，求(X,Y)的分布函数。 Y 0 1 X 0 1/2 0 y 1 解 0 1/2
1
1 x
四、 二维连续型随机变量
1.定义：设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在一非负 函数f(x,y),使得对于任意的实分布
二维随机变量及其分布 第二节 边缘分布 第三节 随机变量的独立性 第四节 二维随机变量函数的分布
第一节 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量的定义
1．定义： 随机试验E的样本空间Ω={e}，设X1(e), X2(e)为定 义Ω上的随机变量,由它们构成的一个向量(X1,X2)叫做 二维随机变量或二维随机向量。 对于二维随机变量, 需要考虑 ①二维随机变量作为一个整体的概率分布或称联合分布； ②还要研究每个分量的概率分布或称边缘分布； ③并且还要考察各分量之间的联系，比如是否独立等。
利用极坐标计算可得
从而有 Aπ=1,即可得A=1/π。
(2)依题意需求概率
下面我们介绍两个常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落 在 G内任一小区域 B的概率与小区域的面积成正比， 而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G 上服从均匀分布.
0≤F(x,y)≤1。
因为{X≤x1,Y≤y}{X≤x2,Y≤y}. (2). 对于任意固定的y, F(-∞,y)=0；
对于任意固定的x, F(x,-∞)=0；