赤峰市高三上学期12月双百金科大联考数学(理)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}2|980U x N x x =∈-+<，集合{}3,4,5,6A =，U A =ð（）A.{}2,7 B.{}1,2,7 C.{}2,7,8 D.{}1,2,7,82.若()22z i i -=-（i 是虚数单位），则复数z 的模为A.12B.13C.14D.153.函数()3e 1x x f x =+的部分图象大致为（）A. B.C. D.4.已知数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S +=（*n ∈N ），则8S 的值为（）A.8413- B.84 C.74 D.8413+5.若执行如图所示的程序框图，则输出k 的值是A.8B.10C.12D.146.我国数学家陈景润在对哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40337=+.在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于20的概率是（）A.114 B.115 C.116 D.1177.若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-= ，且2a b a b +=- ，则a 与b 夹角的余弦值为（）A.35B.35±C.12D.12±8.在二项式71212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的指数为整数的项的个数为（）A.1B.2C.3D.49.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x=+（a ，b 为常数）过点()2,5P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则（）A.1a =-，2b =B.1a =，2b = C.1a =-，2b =- D.1a =，2b =-10.已知π3π,22⎛⎫∈⎪⎝⎭α，22cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()tan π2α-=（）A.7 B.7-C.427±D.225-11.已知(),0F c 为双曲线2221yx b -=的右焦点，过点F 的直线m 交双曲线的右支于A ，B 两点，交l ：1x c=于点M .若FM BF = ，8AB = ，则双曲线的离心率e 为（）A.4B.3C.2D.1212.设函数()f x 的定义域为D ，若满足：()f x 在D 内是单调函数，且存在[],a b D ⊆（a b <），使得()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，那么就称()y f x =是定义域为D 的“成功函数”.若函数()()2log xm g x m t=+（0m >，1m ≠）是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围为（）A.1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,14⎛⎫-⎪⎝⎭D.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若点(3,27)在函数y x α=的图像上，则log 81a =__________．14.设函数()321f x ax a =-+，a 为常数.若存在()00,1x ∈，使得()00f x =，则实数a 的取值范围是______.15.过点()5,3P 作直线交抛物线22y x =于A ，B 两点，且点P 恰为线段AB 中点，则AB =______.16.()f x 是R 上可导的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数已知0x >时()()'f x f x <，()1f e =，则不等式(()(ln 0ln x f x e<+≤的解集为______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且2a c bcosC -=．（1）求B ∠的值；（2）若4a =，72cos 10=C ，求ABC ∆的面积．18.如图，在三棱锥-P ABC 中，90ACB ∠=︒，PA ⊥底面ABC（1）证明：平面PBC ⊥平面PAC（2）若AC BC PA ==，M 是PB 中点，求AM 与平面PBC 所成角的正切值19.已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有A ，B ，C 三位毕业生应聘该单位，假设A ，B ，C 三位毕业生笔试合格的概率分别是13，12，14；面试合格的概率分别是12，13，23.（1）求A ，B 两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率；（2）记随机变量X 为A ，B ，C 三位毕业生中通过招聘的人数，求X 的分布列与数学期望.20.已知动点P到定点)F和到直线x =2.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若()21A ，，()30B ，，过点B 的直线与曲线C 相交于D ，E 两点，则AD AE k k +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.21.已知函数()ln ax f x x =的极值为1e.（1）求a 的值；（2）若()0,m ∈+∞，判断方程()()32m x x f x =-是否恒有解.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,0P ，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，设()1PB PA λλ=>，求实数λ.23.已知()2321f x x x =++-（1）求不等式()10f x <的解集（2）若对任意x ∈R ，()1f x a - 恒成立，求实数a 的取值范围赤峰市高三上学期12月双百金科大联考数学(理)试题答案1.A【分析】解一元二次不等式求得全集U ，由此求得U A ð.【详解】由()()298180x x x x -+=--<，解得18x <<，所以{}2,3,4,5,6,7U =，所以U A =ð{}2,7.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.2.D【分析】利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数z 的模.【详解】因为()22z i i -=-，所以()()()()2234434434343425252i i ii i z i i i i i i i -+---=====--+--+-，所以15z ==，故选D.【点睛】本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.3.B【分析】由函数的奇偶性与函数值符号判断．【详解】∵函数()3e 1x x f x =+为非奇非偶函数，∴其图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故选项C 错误；当0x <时，()30e 1x x f x =<+，故A，D 错误，4.C【分析】由n S 和n a 的递推关系可得表达式，发现从第二项起，后面的数都与前面的数之比为定值，故可用分组求和、等比数列求和公式法即可得解.【详解】由13n n a S +=（1n ≥），得13n n a S -=（2n ≥），两式作差得：13n n n a a a +-=（2n ≥），即14n n a a +=（2n ≥）.∵11a =，13n n a S +=（1n ≥），∴211333a S a ===，∴21,1,34,2,n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩，∴()7783141414S ⨯-=+=-.5.B【分析】根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案.【详解】0,2,s k ==4,6,s k ==16,8,s k ==32,10,s k ==52s =，退出循环，输出10k =.【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查简单阅读程序框图能力，属于基础题.6.A【分析】根据组合数的计算，即可由古典概型的概率公式求解.【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，随机选取两个不同的数，共有28C 28=种取法，随机选取两个不同的数，其和等于20的有2种取法：()3,17，()7,13，故随机选取两个不同的数，其和等于20的概率212814P ==.7.A【分析】设平面向量a 与b的夹角为θ，由已知条件得出a b =r r ，在等式2a b a b +=- 两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，即为所求.【详解】设平面向量a 与b的夹角为θ，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-= ，可得a b =r r ，在等式2a b a b +=- 两边平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得3cos 5θ=.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.8.D【分析】由题意将二项展开式的通项写出来，然后结合已知即可求解.【详解】二项式展开为7732217711C C 22rrr rr r r T xx x --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4,5,6,7r =.当1,3,5,7r =时，x 的指数为整数，共有四项.9.C【分析】由题意将点()2,5P -代入2by ax x=+得452b a +=-，求导得22b y ax x =-'，由题意将点()2,5P -代入得7442b a -=-，联立即可得解.【详解】∵函数2b y ax x=+的导数为22b y ax x =-'，∴曲线在点()2,5P -处的切线斜率为44bk a =-，由两直线平行可得7442b a -=-①.又∵点()2,5P -在曲线2b y ax x=+上，∴452ba +=-②，由①②解得1a =-，2b =-.10.A【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系进行求解.【详解】∵22cos sin 23παα⎛⎫+=-=⎪⎝⎭，∴22sin 3α=-.又∵π3π,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，故cos 0α<，∴1cos 3α==-，sin tan cos ααα==∴()22tan 42t 1πan 2tan 2tan 7αααα-=-=-=-.11.C【分析】利用双曲线第二定义和三角形相似，求出2c =即可求得离心率e 的值.【详解】由题意得，l 即双曲线的右准线.如图，过A ，B 作右准线l 的垂线，垂足为A '，B '，x 轴与右准线l 的交点为C .因为FM BF =，所以F 是BM 的中点，AM FM FA BF FA =-=-,由双曲线第二定义可得AF BF e AA BB ''==，可得AA AF BB BF =''，又由相似三角形可得2AA AM BF AF BB BM BF-==''，所以2AF BF AF BFBF-=，所以3AF BF =，因为8AB =，所以2AF =，6MF BF ==，4AM BF AF =-=，又由相似三角形可得'AA AM CFMF=，因为2AFa AA c =='，2a CF c c =-，21a =，所以综上可化为242163c c c ==-，解得2c =，所以2ce a==.12.B【分析】求导，结合导函数特点得到()g x '恒大于零，此时0t >，问题可化为2x x m t m +=在R 上至少有两个解，换元后得到20n n t -+=在()0,∞+上有两个不同的解，利用二次函数的开口方向，对称轴，得到140t ∆=->，求出答案.【详解】∵()222221x x xm g x t m t m ==++'，当且仅当0t >时有()g x '恒大于零，()g x '不会恒小于零，∴0t >，()g x 在R 上单调递增.由题意得，要使()g x 为“成功函数”，则()g x x =在R 上至少有两个解.∵log xm x m =，故()2log log xx m m mt m +=，∴问题可化为2x x m t m +=在R 上至少有两个解.设0x n m =>，得20n n t -+=在()0,∞+上有两个不同的解，令()2h n n n t =-+，其图象开口向上，对称轴为12n =，过点()0,t ，且0t >，∴140t ∆=->即可，解得14t <，∴104t <<.13.【分析】将点()3,27代入函数可得α，利用对数定义求解即可.【详解】将点()3,27代入函数y x α=，得327α=，得3α=.所以3log 81log 814a ==.故答案为4.【点睛】本题主要考查了幂函数解析式的求解及对数的运算，属于基础题.14.【分析】根据零点与对应方程根的关系以及函数零点存在性定理即可得答案.【详解】因为存在()00,1x ∈，使得()00f x =，所以函数()f x 在()0,1上有零点.当0a =时，()1f x =不存在零点，当0a ≠时，()321f x ax a =-+为一次函数形式，具有单调性，由函数零点存在性定理知()()010f f ⋅<，即()()1210a a -+<，解得1a <-或12a >.故答案为：()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭.15.【分析】利用点差法求出直线AB 的斜率，从而求出直线AB 的方程，与抛物线联立方程，根据弦长公式，即可求得AB .【详解】设,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2112222,2,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减可得()()()1212122+-=-y y y y x x ，∵点()5,3P 恰为线段AB 中点，∴12126,10y y x x +=+=，∴()()121262y y x x -=-，∴121213y y x x -=-，∴直线AB 的斜率为13，∴直线AB 的方程为()1353y x -=-，即340x y -+=，联立抛物线与直线的方程：22,340,y x x y ⎧=⎨-+=⎩消去x ，得y y -+=2680，∴126y y +=，128y y =，26480∆=-⨯>，∴AB==.故答案为：.16.【分析】构造函数()g x ，判定单调性，建立关于x 的不等式，计算结果，即可．【详解】构造新函数()()xf xg x e=，则()()()''xf x f xg x e-=，结合当0x >时，()()'f x f x <可知，()g x 在0x >时递增的.则()()()()00100,11f f g g ee====.由(()(ln 0ln x f x e<≤，得ln 01f x+<≤，令(ln t x =，即()()()01g g t g <≤所以01t <≤，得到1e x <≤，解得210,2e x e ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦【点睛】考查了利用导函数判定原函数单调性，考查了构造函数的思想，难度偏难．17.【分析】（1）结合余弦定理进行化简，即可求出结果.（2）由题意求出sin C 的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算，即可得出结果．【详解】（1）由余弦定理得222222a b c ab ab+--=⋅化简得222b a c =+，∴2222cos 22c a b B ac +-==.∵()0,B π∈，∴4B π=.（2）由72cos 10=C，得sin 10C ==，在ABC ∆中，∵()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C=+=+42102105=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin b a B A =，得4252sin 4sin 225a b B A =⋅=⨯=，11522sin 4122210ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.18.【分析】（1）由90ACB ∠=︒，得到AC CB ⊥，再根据PA ⊥底面ABC ，得到PA CB ⊥，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）作AO PC ⊥，连接OM ，由平面PBC ⊥平面PAC ，得到AO ⊥平面PBC ，则AMO ∠即为AM 与平面PBC 所成的角求解.【小问1详解】证明：因为90ACB ∠=︒，所以AC CB ⊥，又PA ⊥底面ABC ，所以PA CB ⊥，又AC PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ；【小问2详解】如图所示：作AO PC ⊥，连接OM ，因为平面PBC ⊥平面PAC ，平面PBC ⋂平面PAC=PC ，所以AO ⊥平面PBC ，则AMO ∠即为AM 与平面PBC 所成的角，设AC BC PA t ===，则,AB PB ==，所以2AM =，又2AO =，所以12OM t ==，所以AM 与平面PBC 所成角的正切值为tan AO AMO OM ∠==.19.【分析】（1）由独立事件乘法公式，对立、互斥事件概率的关系即可得解.（2）由题意可得13,6X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由二项分布的概率计算公式、期望公式即可得解.【小问1详解】记“A ，B 两位毕业生中有且只有一位通过招聘”为事件M .A 通过招聘的概率为111326⨯=，B 通过招聘的概率为111236⨯=，∴()155********P M =⨯+⨯=.即A ，B 两位毕业生有且只有一位通过招聘的概率为518.【小问2详解】随机变量X 可能的取值为0，1，2，3.C 通过招聘的概率为121436⨯=，由（1）得A ，B 两位毕业生通过招聘的概率均为16.∴A ，B ，C 三位毕业生通过招聘的人数13,6X B ⎛⎫⎪⎝⎭.则()30351250C 6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()211351751C 66216P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()122351152C 66216P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333113C 6216P X ⎛⎫ ⎪⎝=⎭==，随机变量X 的分布列为：X0123P 12521675216152161216数学期望()11362E X =⨯=.20.【分析】（1）设(),P x y ，根据题意直接列出,x y 所满足的方程，化简即可得出答案.（2）设出直线DE 的方程，与椭圆C 的方程联立，消元，写韦达；根据韦达定理求出12121122AD AE y y k k x x --+=+--的值即可.【小问1详解】设(),P x y 22=x =-，所以2226x y +=，即22163x y +=，∴点P 的轨迹C 的方程为22163x y +=；【小问2详解】易知直线DE 的斜率存在，所以设()11D x y ，，()22E x y ，，过点B 的直线DE 的方程为()3y k x =-，由()223163y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得：()222221121860k x k x k +-+-=，其中Δ0>，21221221k x x k +=+，212218621k x x k -⋅=+，所以()()()()()1212121212121212313125112411222224AD AE kx k kx k kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -+-+-++++--+=+=+=-----++()22222222221861225112444212121861222242121k k k k k k k k k k k k k -⋅-+⋅++-+++===----⋅+++，所以AD AE k k +是定值2-.21.【分析】（1）分0a >、a<0两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，结合函数()f x 的极值可求得实数a 的值；（2）令()()22ln g x x x =-，利用导数分析函数()g x 的单调性，数形结合可得出方程()()32m x x f x =-解的情况.【小问1详解】解：因为()ln axf x x =，则()21ln axf x x -'=，①当0a >时，函数()f x 的定义域为()0,∞+，由()e 00,f x x a ⎛⎫>⇒∈ ⎪⎝⎭'，由()e0,f x x a ⎛⎫<⇒∈+∞ ⎪⎝⎭'，所以，函数()f x 在e 0,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在e ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，()f x 存在极大值e 1e e af a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得1a =；②当a<0时，函数()f x 的定义域为(),0∞-，由()e0,0f x x a ⎛⎫>⇒∈ ⎪⎝⎭'，由()e 0,f x x a ⎛⎫<⇒∈-∞ ⎪⎝⎭'，此时，函数()f x 的增区间为e ,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为e,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，即()f x 存在极小值e 1e e af a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得1a =（舍去）.综上，1a =.【小问2详解】解：恒有解，证明如下：由（1）得()ln xf x x =（0x >），则()()()3222ln m x x f x x x =-=-，令()()22ln g x x x =-，则()2222ln 2ln 1g x x x x x x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭'，令()222ln 1h x x x =-+，则()3240h x x x'=+>，所以，函数()h x 在()0,∞+上单调递增，因为()110h =-<，ln 20h =>，所以，存在(0x ∈，使得()00h x =，即()00g x '=，当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，因为()10g g ==，所以，()()()0min 10g x g x g =<=，当x →+∞时，()()22ln g x x x =-→+∞，作出函数()g x 的图象如下图所示：由图可知，当()0,m ∈+∞时，方程()()32m x x f x =-恒有解.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.22.【分析】（1）消去参数t ，求得直线的普通方程，由4cos ρθ=求圆的普通方程.（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部.21t t λ=-.然后将直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程联立，再用韦达定理求解.【详解】（1）由1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，0y -=.由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，即224x y x +=.故圆C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .依题意，点()1,0P 在直线l 上且在圆C 的内部.21t t λ∴=-.将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程并整理得230t t --=，121t t ∴+=，123t t =-.()2121213t t t t +∴=-，211273t t t t ∴+=-，得217136t t -=，217136t t λ±∴=-=.1λ> ，7136λ∴=.【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的转化和直线与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.23.【分析】（1）通过零点讨论法去绝对值即可，最终将所有范围取并集（2）利用绝对值三角不等式先求出()f x 的最小值4，再解14a -的绝对值即可【详解】（1）()()32232110x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--<⎩，解得332x -<<-；()()3122232110x x x ⎧-⎪⎨⎪+--<⎩，解得3122x - ；()()12232110x x x ⎧>⎪⎨⎪++-<⎩，解得122x <<.综上，不等式()10f x <的解集是()3,2-.（2）因为()()()232123214f x x x x x =++-+--= 所以14a -，解得35a - .【点睛】本题考查双绝对值不等式的解法，一般是通过零点讨论法去绝对值；对于第二问中的含参绝对值的解法，一般是通过三角不等式求出函数的最值，再采用去绝对值的一般方法进行求解即可。
