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关于数理方程

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叠加原理在波动方程中的应用

在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。

典型例子：

 力和加速度的关系，万有引力场的可叠加性

 复杂的声音——各种单音的叠加

 电磁场中的叠加原理

例如：若u1(x, t)是方程

的解，而u2(x, t)是方程

的解，则对于任意的常数C1、C2，函数

是方程

的解。因此，弦振动方程满足叠加原理。实际上，线性方程都满足叠加原理。下面，我们来探讨叠加思想在解波动方程具体问题中的应用。

1. 弦振动方程的达朗贝尔解法

考察边界的影响忽略不计的情况：

物体（弦线）长度很长，所关注的又只是在较短时间内且距离边界较远的一段范围中的运动情况

这样的情况下，定解问题归结为如下形式：

称为初值问题(也称柯西（Cauchy）问题）。

方程1.1中的自由项f(x,t)是由于外力作用产生的，因此方程1.1中f(x,t)恒为零的情况对应于自由振动；f(x,t)不为零的情况对应于强迫振动。

下面，我们求解上述初值问题。首先注意到微分方程及定解条件都是线性的。对于这种定解问题，同样存在叠加原理，即若u1(x, t)和u2(x, t)分别是下述初值问题 ),(122222txfxuatu),(222222txfxuatu),(),(),(2211txuCtxuCtxu),(),(221122222txfCtxfCxuatu1.1)(),(),(:0),0(),,(),(),(22222xxtuxutxttxfxtxuattxu

和

的解，那么u=u1(x, t)+u2(x, t)就一定是原初值问题1.1、1.2的解。

板书证明

这样求解初值问题1.1、1.2就转化为分别求解齐次方程带非齐次边界条件的初值问题(I)和非齐次方程带齐次初始条件的初值问题(II)

首先，我们考察代表自由振动情况的初值问题(I)，它可以通过自变量变换的方法求解。引入新自变量：ξ=x-at， η=x+at。利用复合函数求导的法则，有

从而，方程(1.1)就化为 ，这个方程可以直接求解。把它关于η积分一次，再关于ξ积分一次，就可以得到它的通解为u(ξ,η)=F(ξ)+G(η)，其中，F和G是任意两个可微分的单变量函数。代回原来的自变量，方程(1.1)的通解表示为u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)。

利用这个通解表达式，就可以利用初始条件(1.3)来决定函数F和G，进而求出初值问题(I)的解。把上述通解表达式代入初始条件(1.3)，得到：

(1.7)式是一个简单的常微分方程，求解它得到

由(1.6)和(1.8)式联立求解可以得出函数F和G

02u3.1),(),(:02.1,0),(),()Ι(22222xtuxutxtxuattxu单独初始振动状态对

振动过程的影响

5.1,0,0:04.1),,(),(),()II(22222tuuttxfxtxuattxu单独考虑外力因素对

振动过程的影响

uuxuxuxu22222222)()(uuuxxuxxuxu7.1)())()((6.1)()()(00xxGxFatuxxGxFutt8.1)())()((0CdxGxFaxxxxxxaCdaxxGaCdaxxF00.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(

把它们代入方程(1.7)的通解表达式就得到了初值问题(I)的解

这便是达朗贝尔公式。从另一个角度看，1.9式中右边的两个相加项分别表示只有初始位移和只有初始速度时传播波的特征。达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故又称为行波法。

2.初边值问题的分离变量法

下面考虑加上边界条件的情况。先讨论齐次边界条件的波动方程:

0:0:0),(),(:0),,(22222ulxuxxtuxuttxfxuatu

由于方程等式右端为函数),(txf，且具有非齐次初始条件，直接求解十分困难。而

利用叠加原理，上述初边值问题可以分解为下面两个较简单的初边值问题：

其中)Ι(可用分离变量法设

来求解，而)ΙΙ(可由齐次化原理归结为 )Ι( 来求解，由于并非本文讨论的重点，在此不作赘述。

更进一步探讨非齐次边界条件的情形，即：

仍可利用叠加原理，将此问题分解为初边值问题(I)、(II)和下面的 9.1)(212)()(),(daatxatxtxuatxatx.0:,0:0),(),(:0,0)Ι(11112122212ulxuxxtuxutxuatu.0:,0:0,0,0:0),,()ΙΙ(22222222222ulxuxtuuttxfxuatu )()(),(tTxXtxu)(:)(:0),(),(:0),,(2122222tulxtuxxtuxuttxfxuatu假设连续性条件和边界取值条件满足

初边值问题(III)也可以归结为初边值问题(I)和(II)求解，方法是通过未知函数的适当变换把边界条件齐次化。首先找到一个满足非齐次边界条件的已知函数

在作变换V=u3-U，对于新未知函数V，很容易推知它是以下定解问题的解

而初边值问题(III) 的解即为

3.解的级数形式

除了以上讨论的求解过程中的应用外，叠加原理还用于处理定解问题解的形式。

对于2中的初值问题 （Ⅰ）

可得到一个特解

方程1.3和边界条件3.3及4.3皆为齐次，故可用叠加原理得到级数形式的解

叠加原理在热传导问题、解调和方程中的有着广泛的应用，泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解

222332233313200:0,0,(ΙΙΙ)0:(),:().uuatxututxutxlut))()(()(),(121ttlxttxU0:;0:0))0()0(()0()0,()0,()(:0))0()0(()0()0,()0,(:0))()(()(1213121312122222VlxVxlxxUxutVtlxxUxuVtttlxtxVatVtt),(),(),(3txUtxVtxu

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数理方程习题综合

数理方程习题综合

例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程vxy =xy 的通解。

解 原方程可以写成

ð／ðx（ðv／ðy） =xy

两边对x 积分，得

vy =¢（y）+1/2 x2Y,

其中¢（y）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y积分，得方程得通解为

v（x,y）=∫vydy+f（x）=∫¢（y）dy+f（x）+1/4 x2y2

=f（x）+g（y）+1/4 x2y2

其中f（x）,g（y）是任意两个二阶可微函数。

例1.1.2

即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),

其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。

例1.2.1设有一根长为L的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。

取定弦的运动平面坐标系是OXU,弦的平衡位置为x轴，弦的长度为L，两端固定在O,L两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x点在时刻t的位移。由于弦做微小横振动，故ux≈0.因此α≈0，cosα≈1,sinα≈tanα=ux≈0,其中α表示在x处切线方向同x轴的夹角。下面用微元法建立u所满足的偏微分方程。

在弦上任取一段弧'MM,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有张力和外力。可以证明，张力T是一个常数，即T与位置x和时间t的变化无关。

事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM的弧长

dxuxxxx21s≈x。

这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke定律，张力T与时间t无关。

因为弦只作横振动，在x轴方向没有位移，故合力在x方向上的分量为零，即 T(x+x)cosα’-T(x)cosα=0.

由于co'sα’≈1，cosα≈1,所以T(X+x)=T(x),故张力T与x无关。于是，张力是一个与位置x和时间t无关的常数，仍记为T.

作用于小弧段'MM的张力沿u轴方向的分量为

Tsinα’-Tsinα≈T(ux(x+x,t)-ux(x,t)).

数理方程第二版 课后习题答案

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第一章 曲线论

§1 向量函数

1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

略

2. 求证常向量的微商等于零向量。

证：设，为常向量，因为

所以 。 证毕

3. 证明

证：

证毕

4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为

在区间上可导当且仅当数量函数 ，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有

其中，，介于与之间。从而

上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。

证毕

5. 证明具有固定方向的充要条件是。

证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。

充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而

为常向量，于是，，即具有固定方向。 证毕

6. 证明平行于固定平面的充要条件是。

证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得 和 ，从而，，和共面，因此

。

充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由 可知，，，和共面，于是 ，

其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。 证毕

§2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。

解：，点对应于参数，于是当时，，

数理方程第二版 课后习题答案讲解学习

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§1 向量函数

1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

略

2. 求证常向量的微商等于零向量。

证：设，为常向量，因为

所以 。 证毕

3. 证明

证：

证毕

4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 在区间上可导当且仅当数量函数 ，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有

其中，，介于与之间。从而

上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。 证毕

5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而

为常向量，于是，，即具有固定方向。 证毕 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得 和 ，从而，，和共面，因此

。

充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由 可知，，，和共面，于是 ， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。 证毕

数学物理方程学习指导书第7章数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程

数学物理方程学习指导书第7章数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程

第7章 数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程

在第5章中，我们用分离变量法求解了一些定解问题，从5.3可以看出，当我们采用极坐标系以后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程.在那里，由于我们只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程.如果我们不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程，本章我们将通过在柱坐标和球坐标系中对定解问题进行分离变量，引出贝塞尔方程与勒让德方程，由于这两个方程都属施特姆-刘维尔型的，所以在本章我们还要简要地介绍一下施特姆-刘维尔特征理论，这个理论是分离变量法的基础.

7．1 贝塞尔方程的引出

下面我们以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程，设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律.

这个问题可以归结为求解下述定解问题

22222220;(7.1)(,);(7.2)0.(7.3)txyRuuutxyuxyu

用分离变量法解这个问题，先令

(,,)(,)(),uxytVxyTt

代入方程(7.1)得

2222,VVVTTxy

或

2222(0).VVTxyTV

由此我们得到下面关于函数()Tt和(,)Vxy的方程

()()0,TtTt

(7.4)

22220.VVVxy (7.5)

从(7.4)得

().tTtAe

方程(7.5)称为亥姆霍兹（Helmhotz）方程，为了求出这个方程满足条件

2220xyRV （7.6）