第四章 拉氏方程的格林函数法● 前面几章，介绍了几种求解PDE 定解问题的方法：分离变量法、行波法、积分变换法。
● 本章介绍令一种求解拉氏方程的格林函数法。
首先来看一下我们要研究的定解问题是怎么提出的。
§4 .1 拉氏方程边值问题的提法在第一章中，我们知道，对于无源的稳恒热传导问题满足拉氏方程，它的边值问题一般有三种提法。
研究最多的就是前面两种。
1）第一边值问题 边界条件为:f u =Γ,要求的解)()(02ΩΩ∈C C u ，既u 在区域Ω上连续，在Ω上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上与f 吻合。
Γ+Ω=Ω，Γ为边界；称第一边值问题为狄利克莱(Dirichlet)问题，简称狄氏问题。
通常称拉氏方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并满足拉氏方程的连续函数为调和函数。
2）第二边值问题 边界条件为:f n u =∂∂Γ,要求的解)()(12ΩΩ∈C C u ，既u 在区域Ω上有一阶连续导数，在Ω上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上满足上边界条件。
称第二边值问题为牛曼（Neumann ）问题，简称牛氏问题。
前面两种边值问题都是在Ω内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。
另外，有这样一类问题，如已知某区域边界上的温度，要求该区域之外的温度分布情况，这就归结为在区域Ω外求解拉氏问题，称这样的问题为外问题。
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
1,1,01222=++=>=∆=r u z r x r r u易知r u u /1,1==都是上定解问题的解，这就出现了解的不唯一性，为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件，三维问题时0lim =∞→u r二维问题通常假定解有界。
3）狄氏外问题 （略） 4）牛氏外问题 （略）§4.2 格林公式及其应用一、格林公式的推导为建立拉氏方程解的积分公式，我们先推导格林函数，它由曲面积分的Guass 公式直接导出。
