数理方程

数理方程习题答案数理方程习题答案数理方程是数学中一门重要的学科，它研究的是各种各样的方程。

在学习数理方程的过程中，习题是不可或缺的一部分。

通过解习题，我们可以加深对数理方程的理解，掌握解题的方法和技巧。

在这篇文章中，我将为大家提供一些数理方程习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 求解方程：2x + 5 = 17。

解：将方程化简，得到2x = 17 - 5，即2x = 12。

再将等式两边同时除以2，得到x = 6。

所以方程的解为x = 6。

2. 求解方程组：2x + y = 73x - 2y = 4解：可以使用消元法来求解这个方程组。

首先，将第一个方程乘以2，得到4x + 2y = 14。

然后将第二个方程与这个结果相加，得到7x = 18。

再将等式两边同时除以7，得到x = 18/7。

将x的值代入第一个方程，可以求得y的值为y = 7 - 2x = 7 - 2(18/7) = 7 - 36/7 = 7/7 - 36/7 = -29/7。

所以方程组的解为x = 18/7，y = -29/7。

3. 求解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

解：可以使用因式分解法来求解这个二次方程。

首先，将方程化简，得到(x - 2)(x - 3) = 0。

根据乘积为零的性质，可以得到x - 2 = 0或者x - 3 = 0。

解这两个方程，可以得到x = 2或者x = 3。

所以方程的解为x = 2或者x = 3。

4. 求解三次方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。

解：可以使用综合除法来求解这个三次方程。

首先，将方程按照降幂排列，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 = 0。

然后，尝试将方程的第一项x^3除以x的最高次数x^3，得到商为1。

将这个商乘以方程的所有项，得到x^3 - 3x^2 + 2x - 4 - (x^3 - 3x^2 + 2x - 4) = 0。

化简这个等式，可以得到0 = 0。

第四章 调和方程§1.调和方程的定解问题 1.方程的几个例子例1. 稳定的温度分布温度分布满足),(2t x f u a u t =∆-稳定热源:),,,)((321x x x x x f f ==与t 无关 边界绝热(即边界条件也与t 无关)则长时间后,温度分布必然趋于稳定状态(与t 无关),即)(x u u =此时有)(1x f u =∆, (21a ff -=)称为Poission 方程 当01=f 时,0=∆u ,称为Laplace 方程或调和方程.例2.弹性膜的平衡状态:u 为膜在垂直方向的位移,外力),(21x x f f =,则有f x ux u =∂∂+∂∂222212例3.静电场的电势uMaxwell 方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂-=∂∂+=ρdivD divB t B rotE t D J rotH 0E :电场强度, H :磁场强度, D :电感应强度, B :磁感应强度 J :传导电流的面密度, ρ:电荷的体密度物质方程⎪⎩⎪⎨⎧===E J H B E D σμε:μ导磁率, σ:导电率, ε: 介质的介电常数 divE divD ερ==∵静电场是有势场:u grad E -=ερ-=⇒u grad div , 即ερ-=u ∆若静电场是无源的,即0=ρ,则0=∆u 例4.解析函数)(),,(),()(iy x z y x iv y x u z f +=+=则v u ,满足Cauchy-Riemann 条件:y x y x u v v u -==, 例5.布朗运动(见图) 设质点运动到边界上即终止，⎪⎩⎪⎨⎧===∆0,10`),,(),,(211C C u u u C z y x z y x u 概率，则上的为起点，终止在：以易知,0,0=∆=∆v u2.定解问题(1)内问题:nR ⊂Ω,有界,Γ=Ω∂,u 在Ω内满足f u =∆ 边界条件:第一类(Dirichlet):g u =Γ|第二类(Neumann):g n u=∂∂Γ| 第三类(Robin):)0(|)(>=+∂∂Γσσg u nun 为Γ的单位外法线方向.(2) 外问题:u 在Ω外部满足f u =∆同样有三类边界条件(此时n 为Ω的内法线方向).但解在无穷远处是否可以不加限制?要加何种限制? 先看两个例子:例1.2=n ⎪⎩⎪⎨⎧=>+=∆=+0|)1(,012222y x u y x u221ln 1ln ,0yx r u u +===均为解, 例 2. 3=n ⎪⎩⎪⎨⎧=++=>==1),1(01222r u zy x r r u ∆ru u 1,1==均为解.因此,解在无穷远点一定要加限制,以确定解的唯一性. 通常,:2=n 解在无穷远处有界:),(lim y x u r ∞→有界:3≥n 解在无穷远处趋于0:0),,(lim =∞→z y x u r(3) 无界区域的边值问题:与外问题类似 (4) 等值面边值问题:0=∆u边界条件:⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=⎰ΓΓ)()(|已知待定A dS n uC u 这个问题可约化为 Dirichlet 问题:设⎩⎨⎧==∆Γ1|0U U 的解为)(x U U =,选取常数C ,s.t.:A dS n UC=∂∂⎰Γ 则CU u =§2.分离变量法1. 圆的Dirichlet 内问题与外问题内问题⎪⎩⎪⎨⎧=<+=∆=+)(|)(0222222θf u a y x u a y x引入极坐标θθsin ,cos r y r x ==222222221)(111θθ∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂≡urr u r r r ur r u r ru u ∆ 则原问题化为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤<=++=)20()(|)20,(0112πθθπθθθf u a r u r u r u a r r rr 将)()(θΘr R 代入方程并分离变量得⇒-='+''-=''λ21r R R r RΘΘ0,02=-'+''=+''R R r R r λλΘΘ求解特征值问题:⎩⎨⎧==+'')2()0(0πλΘΘΘΘθλθλθλθθλθλθλθλsin cos )(:0)(:0)(:0212121C C C C e C e C +=Θ>+=Θ=+=Θ<---∴0<λ时不是解. 1)(:0C =Θ=θλ.θθθλλk C k C k s i n c o s )(,:0212+==>Θ∴,....)2,1,0(2==k k k λ,...)2,1(sin cos )(,)(00=+==k k B k A A k k k θθθθΘΘ求解)(022方程Euler R k R r R r =-'+'':一般Euler 方程的求解：()()t B t A t t y i t B t A t y BtAt t y a a a t y a t y t a t y t a ln sin ln cos )(ln )()(0)1(0)()()(212121212102120121βββαμμμμμμμμμμμαμμμ+=±∙+=∙+=∙=++-=+'+''：为一对共轭虚数，为相等的实数：，为不相等的实数：，，其解为特征值相应的特征方程为00)1(222=-⇒=-+-k k μμμμk ±=⇒μ,...)2,1()(=+=⇒-k r D r C r R k k k k kr D C r R ln )(000+=),2,1,0(0)0( ==⇒k D R k k 有界 ,...)2,1()(==⇒k r C r R k k k 00)(C r R = ∑∞=++=∴10)sin cos (2),(k kk k r k k r u θβθααθ∑∞=++==1)sin cos (2)(:k kk k a k k f a r θβθααθ⇒⎰⎰====πππβπα2020,...2,1,sin )(1,...2,1,0,cos )(1k ktdt t f a k ktdt t f a k k k k代入级数表达式得，注：将k k βα, ()()()()⎰⎰⎰∑∑⎰∑⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--------∞=--∞=-∞=∞=πθθπθθθπθθπππππθπθθπθ202)()(220)()()(201)(0)(20120111)(21111)(21)(21)(cos 21)(21sin sin cos cos 21)(21),(dt a r e e a r a r t f dt e a r e a r e a r t f dt e a r e a r t f dtt k a r t f dt kt kt a r t f r u t i t i t i t i t i k t ik k k t ik k k k k k()a r dt rt ar a r a t f r u <+---=⇒⎰πθπθ202222)cos(2)(21),( (Poisson 公式)外问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>=∞→=有界u f u a r u r a r lim )()(0θ∆∑∞=-++=1)sin cos (2),(k k k k r k k r u θβθααθ∑∞=-++==1)sin cos (2)(:k k k k a k k f a r θβθααθ⇒⎰⎰====πππβπα2020,...2,1,sin )(,...2,1,0,cos )(k ktdt t f ak ktdt t f a kk kk同样有Poisson 公式)()cos(2)(21),(202222a r dt rt ar a a r t f r u >+---=⎰πθπθ 2.扇形域()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<<<=++==θαθαθθθf u u a r u r u r u a r r rr 0),0(011,02 分离变量得:()()⎩⎨⎧===+''000αλΘΘΘΘ 与()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<=-'+''002R R R r R r λ 2⎪⎭⎫⎝⎛=⇒απλk k(),.......2,1sin ==Θk k B k k θαπθ()απαπk k k k k rD rC r R -+=()00=⇒+∞<k D R ()∑∞==∴1sin,k k k k r a r u θαπθαπ()∑∞===1sin:k k k k a a f a r θαπθαπ()θθαπθαααπd k f aa k k sin2⎰=∴3.环形域()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<<===θθ212121,0f u f u rr r u r r r r ∆ ()......2,1,0,sin cos ......2,1,0,2=+=Θ==k k B k A k k k k k k θθθλ()⎩⎨⎧≠+=+=-0,0,ln 00k r D r C k r D C R kk k k k θ ()()∑∞=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=∴100sin cos sin cos ln ),(k kk k k k k r k d k c r k b k a r b a r u θθθθθ ()()())2,1(sin cos sin cos ln :100=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++==∑∞=-i r k d k c r k b k a r b a f r r k ki k k k i k k i i i θθθθθ ()θθππd f r b a i i ⎰=+⇒200021ln ()θθθππd k f r c r a i ki k k i k ⎰=+-20cos 1()θθθππd k f r d r b i k i k k i k ⎰=+-20sin 1.....2,1,2,1==k i解联立方程即得().....2,1,0,,,,0,0=k d c b a b a k k k k例如()()θθθθθ2cos 212122cos 1cos ,0221+=+===f f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=+=+=+--2,212,0,0,0ln 2211100k k r c r a r c r a r b a kk k k k k kk k r d r b r d r b r b a k k k k k k k k ∀=+=+=+--,0,0,21ln 2211200()()()())2(0),(02,2ln ln 21,ln ln 2ln 42412224241224121201210≠==∀==--=-=-=--=⇒k c a k d b rr r c rr r r a r r b r r r a k k k k4.矩形域()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+====x u x u y u y u u u b y y a x x yy xx 100100,,0ψψϕϕw v u +=分解()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+====x v x v v v v v y x v b y y a x x yy xx 1000,0,00:),(ψψ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=====+====0,0,0:),(0100b y y a x x yy xx w w y w y w w w y x w ϕϕ:),(y x v 求解分离变量得特征值问题()()⎩⎨⎧=X =X =X +X ''000a λ0=-''Y Y λ及(),......2,1,sin ,2==⎪⎭⎫⎝⎛=⇒k a x k B x a k k k k ππλX()ak D y a k C y k k k ππsinh cosh +=Y()x a k y a k b y a k a y x v k k k πππsin sinh cosh ,1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴()x a k a x y k k πψsin :010∑∞===()xdx a k x a a a k πψsin 200⎰=∴()x a k b a k b b a k a x k k k πππψsin sinh cosh 11∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()xd ak x a b a k b b a k a a k k πψππsin 2sinh cosh 01⎰=+⇒()()xdx a k a b k x x ab k a b a k ππψψπsin cosh sinh2001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴ 类似地，()y b k x b k d x b k c y x w k k k πππsin sinh cosh ,1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()ydy bk x b c b k πϕsin 200⎰=()()ydy b k b a k y y ba kb d b k ππϕϕπsin cosh sinh2001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= 5.非齐次问题 例()⎪⎩⎪⎨⎧=<-+==cu R r y x b a u R r )(222∆方法一:方程齐次化 令21w w u v --=()()()212211111144,2)1(:1:r ar w a A a r A r A Ar r w aw rw w r w w =∴==⇒=+-==+"=∆=-- 令 设21212),(ρρy A x A y x w +=)()1()1(:)(222222*********y x b y A x A y x b w -=-+--=∆--ρρρρρρ 12/,42121b A A =-===⇒ρρθ2cos 12)(12),(4442r by x b y x w =-=∴⎪⎩⎪⎨⎧--=<=--=∴=θθ2cos 124)(02cos 12442242R b R a c v R r v r b r a u v Rr ∆满足 ∑∞=++=1)sin cos (2),(n n n n r n n r v θβθααθ∑∞=++=--=142)sin cos (22cos 124:n nn n R n n R bR a c R r θβθααθ222012,42)(0),2,0(0R bR a c n n n n -=-=∀=≠=⇒ααβα θθ2cos 124),(222R r bR a c r v --=∴θθ2cos )(12)(4),(22222R r r bR r a c r u -+-+=∴方法二.特征函数法:⎪⎩⎪⎨⎧=<+=++=cuR r br a u r u r u R r r rr )(2cos 1122θθθ 令()∑∞=+=0sin )(cos )(),(n nnn r B n r A r v θθθ代入方程:θθθ2cos sin )()(1)(cos )()(1)(202222br a n r B r n r B r r B n r A r n r A r r A n n n n n n n +=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+"+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+''∑∞= )2,0(0)()(1)(22≠=-'+''⇒n r A r n r A r r A n n n, )(0)()(1)(22n r B r n r B r r B n n n ∀=-'+" (**))(4)(1)((*),)(1)(2222200br r A rr A r r A a r A rr A =-'+''='+'')0(,)0(==⇒+∞<+∞<n n n n d b B A)()(),2,0(,)(n r c r B n r a r A nn n n n n ∀=≠=∴边界条件()⇒+=∑∞=0sin )(cos )(n n n n R B n R A c θθ()0)(,)(;00)(,0)(00==≠==R B c R A n R B R A n n)(0)(),2,0(0)(n r B n r A n n ∀=≠=∴易求得（*）的一个特解为24r a,（**）的一个特解为412r b20004ln )(r a r b a r A ++= , 42222212)(r br b r a r A ++=-)0(,)0(2020==⇒+∞<+∞<b b A A)(4)(4)(220200R r ac r A R a c a c R A -+=⇒-=⇒=,)(12)(120)(2222222R r r br A R ba R A -=⇒-=⇒=θθ2cos )(12)(4),(22222R r r bR r a c r u -+-+=∴ §3调和函数的基本性质 3.1 Green 公式设nR ⊂Ω为有界区域, ΓΩ=∂分块光滑, ΓΩΩ =.Green 第一公式 设)()(),()(0112ΩΩ∈ΩΩ∈C C v C Cu ,则⎰⎰⎰∇⋅∇-∂∂=ΩΓΩ∆udx v dS n uv udx v 证明:⎰∑⎰=∂∂=ΩΩ∆ni idx x uv udx v 122⎰∑⎰∑==∂∂∂∂-∂∂∂∂=ΩΩni ii ni i i dx x ux v dx x u v x 11)(⎰⎰∇⋅∇-∂∂=ΩΓudx v dS n uv 同样地, 若)()(),()(0112ΩΩ∈ΩΩ∈C C u C Cv ,则 ⎰⎰⎰∇⋅∇-∂∂=ΩΓΩ∆vdx u dS n vu vdx u 因此有,Green 第二公式 设),()(,12ΩΩC Cv u ∈则 ⎰⎰∂∂-∂∂=-ΓΩ∆∆dS n uv n v u dx u v v u )()(Green 公式特例⎰⎰∂∂=ΓΩ∆dS n uudx 0,=∇⋅∇=∂∂⎰⎰v vdx u dS n vu∆ΩΓ 0,0)(===∂∂-∂∂⎰v u dS n u v n v u ∆∆Γ3.2 调和函数的基本性质1. Neumann 问题解的自由度及可解性条件 (1)解的自由度考虑问题 (PN) ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=g nu f u Γ∆若它有两个解21,u u , 则21u u u -=满足问题(N) ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=00Γ∆nu u⎰⎰⎰∇-∂∂==ΩΓΩ∆dxu dS n u u udxu 2⎰∇-=Ωdx u 2),,2,1(0n i u i x ==⇒.const u ≡⇒结论: 问题(PN)在相差一个常数的意义下有唯一解. (2)可解性条件 对问题(PN),⎰⎰∂∂=ΓΩ∆dS n uudx ⎰⎰=⇒ΓΩdS g dx f结论: 问题(PN)有解的必要条件为⎰⎰=ΓΩdS g dx f .2. 基本积分公式先考察3=n 的情形.设.,,),,(30000ΓΩΩΓΩΩ ==∂⊂∈R z y x M考虑函数,41),(00MM r M M v π=其中,),,(Ω∈z y x M202020)()()(0z z y y x x r MM -+-+-=.易知,),(0M M v 除0M M=外关于M 处处满足调和方程,称之为调和方程的基本解.取ε充分小,使得Ω⊂)(0M B ε. 记,\,εεεεB B ΩΩΓ==∂,,εεεεεΩΩΩΓΓΩ∂==∂ (见图)则)()(12εεΩΩC C v ∈,且在εΩ内处处满足调和方程.设)()(12ΩΩC Cu ∈,对u 与v 应用Green 第二公式, ⎰⎰⎰Ω∆-επdx M u r MM )(41⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εππΓΓ dS n M u r r n M u MM MM )(41)41()(00⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-επΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100 ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π ⎰⎰⎰⎰∂∂++εεπεπεΓΓdS r M u dS M u )(41)(412 ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂=ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100πε)()(21M ruM u ∂∂++其中εΓ∈21,M M令,0→ε则,,,021ΩΩ→→εM M M 从而,⎰⎰⎰-=Ω∆dx r M u M u MM 0)(41)(0π ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π成为基本积分公式.调和函数的基本积分公式为:⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=ΓdS n M u r r n M u M u MM MM )(1)1()(41)(000π注1. 基本解:1ln21:2MM r n π= ,1:32-≥n MM n r n ω其中n ω为n 维空间中单位球面的面积. 2=n 时的基本积分公式为:⎰⎰-=Ω∆dx M u r M u MM )(1ln 21)(00π⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1ln )1(ln )(2100π注2. 对调和函数u ,成立⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-ΓdS n M u r r n M u MM MM )(1)1()(4100π ⎪⎩⎪⎨⎧=.),(4,),(2,,000000内在上在外在ΩΓΩM M u M M u M ππ 3. 平均值定理记以0M 为球心、R 为半径的球为)(0M B R ,球面为).(0M S R).()()(000M S M B M B R R R = 设))((00M B C u R ∈, 且在)(0M B R 内调和,则⎰⎰=)(20041)(M S R dS u R M u π证明: 先假设)),(())((0102M B C M B Cu R R ∈由中的基本积分公式,⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=)(0000)(1)1()(41)(M S MM MM R dS n M u r r n M u M u π⎰⎰=)(20)(41M S R dS M u R π⎰⎰∂∂+)(0)(41M S R dS n M u R π⎰⎰=)(20)(41M S R dS M u R π若))((00M B Cu R ∈,则取R R <,在)(0M B R 上有⎰⎰=)(20041)(M S RdS u R M u π 取极限R R →即可.注1. 上调和(0≤u ∆): ⎰⎰≥)(20041)(M S R dS u R M u π下调和(0≥u ∆): ⎰⎰≤)(20041)(M S R dS u R M u π注2.平()θϕθϕθϕθθπϕθρππcos ,sin sin ,cos sin sin ),,(41),,(000200000R z z R y y R x x d d z y x u u +=+=+==⎰⎰注3.()()⎰⎰++===πθθθππ200000)(0sin ,cos 21)(21)(20d R y R xu M M S uds RM u n R M S R 为圆心的圆周：以时的平均值公式：4. 极值原理,min min ,max max ,,,,u u u u u ΓΩΓΩ==ΩΩΓΩ=ΩΓ=Ω∂Ω则上连续内调和且在在若为有界区域设.,,,,,)(1.v u v u v u v u ≡≤Ω≤ΩΩΓΓ且等号成立当且仅当内恒成立则在且上连续在内调和在设顺序原理注.,:.2与最低点温度在边界取到最高点时稳定温度场内部无热源物理意义注uu f u u u f u C C u ΓΓΩ=⇒≤=∆=⇒≥=∆ΩΩ∈min min 0max max 0),()(3.12则设注例题()()球上的最大值与最小值球心处的值和在试求为球坐标题设有单位球内的定解问u r u r u r .,,sin cos sin cos 1013ϕθϕϕθθ⎪⎩⎪⎨⎧+++=<=∆= ()4sin 41sin sin cos sin cos 41)0,0,0(2002200πϕθθπϕθθϕϕθθπππππ==+++=⎰⎰⎰⎰d d d d u ()()21sin cos sin cos min min 22sin cos sin cos max max 11--=+++==+++=≤≤ϕϕθθϕϕθθu u r r5. Dirichlet 内问题解的唯一性与稳定性内问题⎩⎨⎧=∈=gu x f u ΓΩ∆)(唯一性: 考虑相应的齐次问题⎩⎨⎧=∈=0)(0ΓΩ∆u x u .0min min ,0max max ====u u u u ΓΓΩ⎭⎬⎫⇒ .0≡u稳定性: 连续依赖于边界条件.考虑⎩⎨⎧=∈=g u x u ΓΩ∆)(0,⇒⎪⎭⎪⎬⎫====g u u g u u ΓΓΓΓΩmin min min ,max max max .m a x m a x g u ΓΩ=§4 Green 函数及其应用4.1 Green 函数 1. G reen 函数的定义设3R ⊂Ω为有界区域,ΓΩ=∂.设函数),()(,12ΩΩC Cg u ∈若g 在Ω中调和,则⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-∂∂+=ΓΩ∆dS n ug n g u udx g )(0设Ω∈0M ,已知基本积分公式⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂-∂∂-∆-=dSn M u r r n M u dxr uM u MM MM MM ])(41)41()([4)(0000πππ相加得⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂---∂∂--∆-=dS nM u g r g r n M u dxg r u M u MM MM MM ])()41()41()([)41()(0000πππ因此选),(0M M g g =满足⎪⎩⎪⎨⎧==ΓΓ∆0410MM r g g π 称函数),(41),(000M M g r M M G MM -=π为Green 函数.易知),(0M M G 除0M M=外关于变量M 处处满足调和方程,且0),(0=∈ΓM M M G .注1. 对Dirichlet 问题⎩⎨⎧==ϕΓ∆u fu ,⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂--=dSn M M G M dxM f M M G M u ),()()(),()(000ϕ注2. 对二维情形,Green 函数为),(1ln 21),(000M M g r M M G MM -=π 其中g 满足⎪⎩⎪⎨⎧==ΓΓ∆01ln 210MM rg g π2. Green 函数的意义1) G reen 函数仅依赖于区域,而与边界条件无关. 2) 特殊区域上的Green 函数可用初等的方法求出. 3) 利用Green 函数求解的积分公式可以讨论解的性质. 4) 有明显的物理意义:在接地的导电闭曲面Γ内的点0M 处放一 单位正电荷,则Γ内任一点M 处的电位为),(0M M G ,它由两部分组成:即0M 处电位正电荷产生的电位41MM r π与Γ内表面上感 应负电荷产生的感应电位),(0M M g -.而且导体表面的电位恒为零. 3. Green 函数的性质 1))1(),(00MM r O M M G =事实上,),(411),(0000M M g r r M M G MM MM -=π而+∞<≤041max ),(0MM r M M g πΓ)(0),(000M M M M g r MM →→⇒ 2) 1),(0-=∂∂⎰⎰ΓdS n M M G (只需取1≡u 即可.)3) 041),(00MM r M M G π<<.事实上, 由极值原理, 041min min ),(00>=>MM r g M M g πΓΓ, 即 041),(0MM r M M G π<.0,0),(,,00=>Γ∃≠∀ΓΓG G M M M 而使得充分小球面为半径的以为球心以εεεε.0min ),(G 0=>⇒G M M G εεΓΓΓΓ 所围的区域内调和与在由4) .),(),(),(211221中不重合的两点为ΩM M M M G M M G =事实上,.),(),(),(),(,,,,2121212121内调和在与则所围区域与、由使得充分小为半径的球面以为球心、分别作以εεεεεεεεΩΓΓΓΩ∈ΓΓ≠∀M M G M M G M M M M M M ⎰⎰⎰-=εΩ∆∆dx M M G M M G M M G M M G )),(),(),(),((01221⎰⎰∂∂-∂∂=21)),(),(),(),((1221εεΓΓΓ dSn M M G M M G n M M G M M G ⎰⎰∂∂-∂∂=ΓdS n M M G M M G n M M G M M G )),(),(),(),((1221⎰⎰∂∂-∂∂+1)),(),(),(),((1221εΓdSn M M G M M G n M M G M M G⎰⎰∂∂-∂∂+2)),(),(),(),((1221εΓdS nM M G M M G n M M G M M GIII II I ++=).,(lim ),,(lim 0,120210M M G M M G -===→→III II I εε易知4.2 静电源像法当区域具有某种对称性时,感应负电荷产生的电位 可以用在相应的对称点放置的假想负电荷产生的电位 来取代------这种求Green 函数的方法称为静电源像法. 1. 上半空间的Green 函数{};41,0z z)y,(x,00MM r M M π点产生的电位为它对单位正电荷处放中的点在上半空间>),,,(0),,,(00011000000z y x M M z M z y x M M -===的对称点关于平面则设141,1MM r M M π-产生的电位为则它对放单位负电荷在104141),(0MM MM r r M M G ππ-=⇒ ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+---+-+-=202020202020)()()(1)()()(141z z y y x x z z y y x x π⎩⎨⎧=>==),()0(0Dirichlet 0y x f u z u z ∆　问题考虑, dxdy z G y x f z y x u z 0000),(),,(=∞+∞-∞+∞-⎰⎰∂∂= []⎰⎰∞+∞-∞+∞-+-+-=232020200)()(),(2z y y x x dxdy y x f z π. ),(),,(],1ln 1[ln 21),(Green .00110000010y x M M y x M M r r M M G MM MM -==-=其中函数为上半平面的注π⎰∞+∞-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧=>=∆2200000)()(),()()0(0Dirichlet y x x dxx f y y x u x f u y y π的解为问题2. 球的Green 函数 ,),0( ,),0(10M R B R B M 反演点为的它关于球面内的一点为球设∂=Γ 210R r r O M O M =⋅.441,,1010MM MM r qr M q M M ππ与产生的电位分别为它们对单位负电荷放在放单位正电荷在.,441100Γ∈=⇒P r qr PM PM 其中消这两个电位在球面上抵ππ 00100,OM PM PM r R r r q ===⇒ρρ其中)1(41),(1000MM MM r Rr M M G ρπ-=⇒⎩⎨⎧=<==fu R r u R r )(0Dirichlet ∆问题考虑2101221022001cos 2,cos 2,cos ),cos(,,101R G nGr r OM OM r r RMM MM OM OM =∂∂=∂∂-+=-+=====Γρρργρρρργρρρργρρρ及并注意到则记⎰⎰-+-=⇒ΓdS f R R R R M u 2302022020)cos 2(41)(γρρρπ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<≤≤≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===R z y x ρπϕπθθρϕθρϕθρ0200cos sin sin cos sin 利用球坐标变换 )Poisson (sin ),,()cos 2(4),,(2023020222000公式⎰⎰-+-=ππϕθθϕθγρρρπϕθρd d R f R R R R u)cos ,sin sin ,cos (sin )cos ,sin sin ,cos (sin 1.000000ϕϕθϕθθϕθϕθ的方向余弦为的方向余弦为注OM OM)cos(sin sin cos cos cos 000ϕϕθθθθγ-+=⇒ ]ln 1[ln 21),( Green 2.1000MM MM r Rr M M G ρπ-=函数为园的注 )P o i s s o n ()()c o s (221),(D i r i c h l e t 20002022200公式问题的解为相应的⎰--+-=πθθθθρρρπθρd f R R R u。

数理方程课件数理方程是数学中的重要分支，它研究方程的解和性质。

随着计算机技术的不断发展，数理方程的研究变得越来越重要，其在科学、工程和金融等领域都有着广泛的应用。

本文将介绍数理方程的基本概念、解的求解方法和一些经典方程的应用案例。

一、数理方程的基本概念数理方程是指含有未知数和已知数之间关系的等式。

它通常由代数方程、微分方程和积分方程组成。

在数理方程的研究中，我们需要关注方程的次数、阶数和特殊形式，并通过分析方程的性质来解决相关问题。

在解数理方程时，我们常用的方法包括代数方法、几何方法和数值方法。

其中，代数方法主要通过变换和化简方程，将其转化为更简单的形式进行求解；几何方法通过图形和几何关系来推导方程的解；数值方法则借助计算机的力量，利用数值逼近的方法求解方程。

二、数理方程的解的求解方法1. 代数方程的解的求解方法代数方程是最常见的数理方程形式，其解的求解方法众多。

常见的方法包括因式分解、配方法、二次公式、根号法等。

例如，对于一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$，我们可以使用二次公式来求解：$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$2. 微分方程的解的求解方法微分方程描述了函数与其导数之间的关系，其解的求解方法也有多种。

常见的方法有分离变量法、常数变易法、齐次线性微分方程的解法等。

例如，对于一阶线性微分方程$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$，我们可以使用常数变易法进行求解。

3. 积分方程的解的求解方法积分方程是利用积分关系表达的方程，其解的求解方法也有多种。

常见的方法有分离变量法、常数变易法、特殊积分方程的解法等。

例如，对于柯西问题（Cauchy problem）中的积分方程$u(x)=f(x)+\int_{a}^{x} K(x, t) u(t) d t$，我们可以使用定积分的性质进行求解。

三、常见数理方程的应用案例1. 常微分方程的应用常微分方程在物理学、化学、生物学等领域有着重要的应用。

数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。

数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。

一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。

求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。

具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。

（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。

算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。

1、什么是泛定方程？以及解的稳定性物理规律，用数学的语言“翻译”出来，不过是物理量u在空间和时间中的变化规律，换句话说，它是物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。

正是这种联系使我们有可能从边界条件和初始条件去推算u在任意地点（x，y，z）和任意时刻 t 的值u（x，y，z，t）。

而物理的联系总是取的值之间的关系式。

这种邻近地点、邻近时刻之间的关系式往往是偏微分方程。

物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程。

数学物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟具体条件无关。

在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程2、什么是定解条件？答：给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程。

如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或者在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件。

表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到的约束的条件称为边界条件。

3、什么是定解问题？答：给定了泛定方程（在区域D内）和相应的定解条件的数学物理问题为定解问题。

根据不同定解条件，定解问题分为三类：1）初值问题只有初始条件和没有边界条件的定解问题为初值问题或者柯西问题；2）边界问题只有边值条件而没有初值条件的定解问题称为边值问题。

3）混合问题既有边界条件也有初值条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）4、什么是定解问题的解？答：设函数u在区域D内满足泛定方程，当点从区域D内趋于给定初值的超平面或者趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中要求的u及它的倒数的极限处处存在而且满足相应定解条件，就称u为定解问题的解。

5、什么是解的稳定性？答：如果定解条件的微小变化只引起定解问题解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在这连续依赖关系，那么称定解问题的解是稳定的。

6、什么是定解问题的适应性？如果定解问题的解存在与唯一并且关于定解条件的稳定的，就说定解问题的提法是稳定的。

《数理方程》课程介绍
一、本课程的性质与任务：
《数理方程》是理科很多专业的必修课以及相关专业的选修课。

数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。

它是一门发展相当迅速的学科，不仅有广泛的应用，同时又与数学的其它各个分支有密切的联系，是数学理论与实际问题之间的一个桥梁。

本课程重点讲授一些经典的知识，同时兼顾新近发展的有着广泛应用的有关知识。

使学生了解到数学物理方程的某些应用背景，扩大学生的数学知识面，初步具备了解决数理方程定解问题的能力。

对培养学生的逻辑推理能力起着很大的作用。

本课程主要讲述经典的弦振动、热传导、Laplace方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的D`Alembert解法、分离变量法，积分变换法及极坐标系下的分离变量法等。

二、课程内容、学时与教学方式：
内容： 1) 绪论；
2) 分离变量法；
3)行波法与积分变换法；
4) 变分法初步与Green函数。

学时：40
教学方式：课堂讲授
三、教材：
数理物理方程与特殊函数》（第二版），南京工学院数学教研组著，北京：高等教育出版社，1997年。

四、开课范围：
力学、物理、数学等理科专业本科生。

五、预备知识：
高等数学、常微分方程。

数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。

在学习数学时，数理方程是必修课程之一。

但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。

下面我们一起来总结复习及练习中的要点。

一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。

数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。

二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。

这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。

三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。

例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。

2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。

3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。

四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。

例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。

2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。

3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。

五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。

2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。

3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。

总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。

只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。

数理方程教学大纲数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种类型的方程及其解法。

无论是在理论研究还是实际应用中，数理方程都扮演着重要的角色。

因此，为了更好地培养学生的数学思维和解题能力，数理方程的教学大纲应该具备一定的深度和广度。

首先，数理方程的教学大纲应该包括基本的方程类型和解法。

学生首先需要学习一元一次方程、一元二次方程以及简单的高次方程的解法。

这些方程是数理方程的基础，掌握了这些基本的方程类型和解法，学生才能够更好地理解和应用更复杂的方程。

其次，数理方程的教学大纲还应该包括方程的应用。

数理方程在实际生活中有着广泛的应用。

例如，一元一次方程可以用来解决物品购买、时间计算等实际问题；一元二次方程可以用来解决抛物线轨迹、最值问题等。

通过引入这些实际应用，可以增加学生对数理方程的兴趣，提高他们的解题能力。

此外，数理方程的教学大纲还应该注重培养学生的数学思维和解题能力。

数理方程的解题过程需要学生进行分析、推理和演绎，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。

因此，在教学中应该注重培养学生的思维能力，引导他们从不同角度思考问题，探索解题的多种可能性。

另外，数理方程的教学大纲还应该注重数学模型的建立和解决。

数学模型是数理方程应用的重要手段，通过建立数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，再通过解方程求解。

因此，在教学中应该引导学生学会建立数学模型，并通过解方程求解实际问题。

此外，数理方程的教学大纲还应该注重培养学生的数学思维和解题能力。

数理方程的解题过程需要学生进行分析、推理和演绎，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。

因此，在教学中应该注重培养学生的思维能力，引导他们从不同角度思考问题，探索解题的多种可能性。

最后，数理方程的教学大纲还应该注重培养学生的团队合作和沟通能力。

数理方程的解题过程往往需要学生之间的合作和交流，通过合作解题，可以激发学生的思维活力，拓宽他们的解题思路。

因此，在教学中应该注重培养学生的团队合作和沟通能力，培养他们的团队合作精神和解决问题的能力。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝无限长弦的一般强迫振动定解问题200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u uu a x y z t t x y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(r=at)221()1()(,)44M M at atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u uu a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩2222222200001(cos ,sin )1(cos ,sin )(,,)22at at x r y r x r y r u x y t rdrd rdrd a t a a t r a t r ππϕθθψθθθθππ⎡⎤⎡⎤∂++++=+⎢⎥⎢⎥∂--⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换1()()2i xf x f e d λλλπ+∞-∞=⎰基本性质 线性性质[]1212[][]F ff F f F f αβαβ+=+1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* 微分性质[][]F f i F f λ'=()[]()[]k k F f i F f λ=[][]dF f F ixf d λ=- ()()i xf f x e dx λλ+∞--∞=⎰1[()]dixf F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--= 00[()]()i x F e f x f λλλ=- ..1[()][()]xF f d F f x i ξξλ-∞=⎰ .0.[)]1i x i xx F x x e dx e λλδδ∞--=-∞===⎰（（） ()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=- []12()F πδλ=22242ax aF ee λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1c o s ()21s i n ()2i a i ai a i aa e e a e e i --=+=-cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x e d x π+∞--∞=⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰[]Re Re ax c L ce p a p a=>- 21[]L x s =21[]()x L e x s ββ-⋅=+ []22sin k L kt s k =+ []22cos s L kt s k ==+ []22[]2ax ax e e aL shax L s a --==-Re Re s a >[]22[]2ax ax e e sL chax L s a -+==+Re Re s a >基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥ 0[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=-->1[()](),(0)sL f cx f c c c=> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----..01[()][()]xL f d L f x s ττ=⎰[][()]nn n d L f L x f ds=-..()[]pf x f s ds L x∞=⎰（） 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sxL x x e dx δδ+∞-==⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝三个格林公式 高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P ,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 第一格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式：设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 定理1：泊松方程洛平问题 (,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：拉氏方程洛平问题 0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为： 0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。

1. 基本概念偏微分方程： 含有未知多元函数及其偏导的方程，如2122121(,,,,;,,,;,)0n n u u u u F x x x u x x x x ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 其中：12(,,,)n u u x x x =为多元函数.方程的阶：未知函数导数的最高阶数； 方程的次数：最高阶偏导的幂次；线性方程：未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项：不含未知函数及其导数的项；齐次方程：没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非其次的； 方程的解：若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数； 特解:不含任意独立函数的方程的解. 例如：22()()sin cos u u x y x y∂∂+=∂∂为一阶非线性非齐次偏微分方程；u 为未知函数。

2222220u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂为二阶线性齐次方程； 二阶线性非其次偏微分方程22uy x x y∂=-∂∂的通解为221(,)()()2u x y xy x y F x G y =-++ 其中，(),()F x G y 为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数.2. 线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为[](,)L u G x y =其中，L 为二阶线性偏微分算符，满足11221122[][].[][][].L cu cL u L c u c u c L u c L u =+=+(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当u 为方程的解，则()c u c R ⋅∈也为方程的解；b.12,u u 为方程的解，则1122c u c u +也为方程的解. (2). 非齐次线性偏微分方程解的特征a. I u 为非齐次方程的特解，II u 为齐次方程的通解，则I II u u +为非其次的通解；b. 若1122[](,),[](,).L u H x y L u H x y ==则1212[][](,)(,).L u L u H x y H x y +=+ (3).线性偏微分方程的叠加原理若k u 是方程[](1,2,)k L u f k ==的解(其中L 为二阶线性偏微分算符),如果级数1()kk k k cu c R ∞=⋅∈∑收敛，且二阶偏导数存在，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是1[]k k k L u c f ∞==⋅∑的解；特别地，若k u 是方程[]0L u =的解，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是[]0L u =的解.4.1数理方程的建立考虑一根均匀柔软的细弦沿x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图1.1所示.设(,)u x t 是平衡时坐标为x 的点t 时刻沿y 方向的位移，现在求弦上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段(,)x x dx +与外界的相互作用以建立方程. 假设：(1)弦是完全柔软的，所以张力T 沿着弦振动波形的切线方向；(2)只讨论弦做横向振动，故忽略弦在水平方向的位移，弦的横向加速度为tt u ，单位长度的质量为ρ或线密度为ρ；(3)振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角12,αα也是很小的，则332sin ,3!tan ,3cos 1 1.2!iiii i i i i i i αααααααααα=--≈=++≈=--≈ 而2tan [1()].T i i u uk ds dx dx x xαα∂∂==≈⇒=+=∂∂ 根据牛顿第二运动定律，在(纵向)水平方向上有21()cos ()cos 0()().T x dx T x T x dx T x T αα+-=⇒+=≡∈R在横向上有21sin sin ()()[]()().tt tt x dx xT T g ds ds u u uT g ds ds u xx ααρρρρ+--⋅=⋅∂∂⇒--⋅=⋅∂∂ 根据()()'()f x dx f x f x dx +-=，上式可以化简为2222[]()().tt tt u uT dx g ds ds u T g u x xρρρρ∂∂⋅-⋅=⋅⇒⋅-⋅=⋅∂∂即弦的横振动方程为2222.(,)tt xx xx u Tu a u g u a x ρ∂=⋅-==∂此式即为弦做微小横振动的运动方程，简称弦的振动方程，其中a 就是弦上振动传播的速度.图1.1所示讨论：①若弦的重量远远小于弦的张力，则重力加速度可以忽略不计，其运动方程为2.tt xx u a u =(*)此式称为弦的自由振动方程，也称为一维波动方程.②如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)F x t 作用，则(*)式可以改为2(,).(**)tt xx u a u f x t =+则(**)式称为弦的受迫振动，其中(,)(,).F x t f x t ρ=③对于0t ≥，两端固定，则00,0x x l u u ====，弦在0t =时无纵向移动，0000,t t uu v t ==∂==∂。

数理方程-总结复习及练习要点(1)数理方程-总结复习及练习要点数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种用数学符号表示的方程簇，并探究其解法及相关性质。

在数学竞赛和高考中，数理方程是一个高频考查的内容，因此我们需要认真学习和掌握。

下面是数理方程的总结复习及练习要点。

一、知识点总结1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以用解方程法、代入法、图像法等方法解决；2. 一元二次方程：形如ax²+bx+c=0的方程，可以用公式法、配方法、因式分解法、图像法等方法解决；3. 一元n次方程：形如a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+aₙ=0的方程，可以用因式分解法、求根公式、数形结合法等方法解决；4. 二元一次方程组：形如{ax+by=c,dx+ey=f}的方程组，可以用代数法、图像法、消元法等方法解决；5. 二元二次方程组：形如{ax²+by²+cx+dy+e=0,fx²+gy²+hx+iy+j=0}的方程组，可以用消元法、配方法等方法解决；6. 不等式：大于、小于、大于等于、小于等于等不同种类的不等式，可以分别用解不等式、求解集合、证明等方法解决。

二、练习要点1. 要经常进行例题训练，熟练记忆每种方程的解法以及相关性质；2. 要学会用复杂的方程题目中的一些特殊性质，如配方法中平方项差为完全平方、二次项系数一样等等；3. 要结合实际问题练习，尤其是二元一次方程组和不等式中，实际问题更容易引入数学领域；4. 要多用图像法、数形结合法等思维方式，能够脑补形状易于掌握方程性质；5. 在大型比赛中，要将时间合理分配，不要轻易卡在一些细节上，要有策略性地解决问题。

三、总结数理方程是数学考试的重要考点之一，掌握好方程的基本思想和方法，能够在比赛中占据更好的优势，同时也有助于我们更好地解决实际问题。

因此，我们要时常进行练习，加强对数理方程的理解和应用，才能在数学竞赛中获得更好的成绩。

数理方程的三个经典方程1. 引言说到数理方程，很多人可能会觉得这是个高大上的概念，听起来像是在讲什么深奥的数学理论，但其实没那么复杂。

就像我平时喝咖啡时，想的就是怎么让这杯咖啡更好喝，数理方程也在帮助我们解决生活中遇到的问题。

今天，我们就来轻松聊聊三个经典的数理方程，看看它们在日常生活中的“身影”。

2. 一次方程2.1 概念与应用首先，我们得聊聊一次方程。

一次方程就像是我们生活中的小助手，简单明了。

想象一下，如果你在商场里买东西，标价是20元，结果你只带了10元，这时候你就得算算差多少钱才能买下它。

这种时候，你就可以用一次方程来解决了。

形式上，它看起来就像是 ( ax + b = 0 )，也就是用未知数 ( x ) 表示你缺少的钱。

通过简单的计算，问题就迎刃而解，轻松愉快，买到心仪的商品，真是太美好了！2.2 实际例子再比如，假设你想知道买了多少个苹果，总共花了多少钱。

每个苹果2元，你一共花了10元，哦，这里又是一个方程：( 2x = 10 )。

解出来就是 ( x = 5 )。

这样你就知道自己买了5个苹果，真是简单到爆炸！一次方程就像我们生活中的“明白人”，帮我们解决小问题。

3. 二次方程3.1 概念与应用接下来，咱们聊聊二次方程。

二次方程稍微复杂一点，但没关系，生活中的实际例子可多了！二次方程的标准形式是 ( ax^2 + bx + c = 0 )。

想象一下，你在公园里玩飞盘，飞盘飞得又高又远，这时候你就得考虑它的轨迹了。

二次方程可以帮你描绘出这个飞盘的抛物线轨迹，是不是很酷？3.2 实际例子举个例子，假设飞盘的高度与时间的关系可以用方程来表示。

当你投掷飞盘的时候，它的飞行路径呈现出优美的抛物线，最高点的高度是个关键。

这时候，求解这个二次方程，能让你找到飞盘的最佳飞行角度，简直就是运动场上的数学小达人！你还记得小时候在操场上追逐的那些快乐时光吗？这些公式背后，都是我们乐趣的源泉。

4. 指数方程4.1 概念与应用最后，咱们得提提指数方程。

数理方程课后习题答案数理方程课后习题答案数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种数学模型中的方程。

在学习数理方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径之一。

本文将为大家提供一些数理方程课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 解方程：2x + 5 = 13解答：将方程中的常数项5移到等号右边，得到2x = 13 - 5，即2x = 8。

然后将2移到等号右边，得到x = 8/2，即x = 4。

所以方程的解为x = 4。

2. 解方程组：{2x + y = 7，x - y = 1}解答：可以使用消元法来解决这个方程组。

首先将第二个方程的系数取负，得到{-x + y = -1}。

然后将第二个方程乘以2，得到{-2x + 2y = -2}。

将这两个方程相加，得到{0x + 3y = -3}，即3y = -3。

解得y = -1。

将y的值代入第一个方程，得到2x - 1 = 7，即2x = 8。

解得x = 4。

所以方程组的解为x = 4，y = -1。

3. 解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个二次方程。

将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。

根据乘积为零的性质，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。

解得x = 2或x = 3。

所以方程的解为x = 2或x = 3。

4. 解三次方程：x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个三次方程。

观察方程，可以发现x = 1是一个解。

通过除以x - 1，得到(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0。

将x^2 - 5x + 6进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0。

根据乘积为零的性质，得到x - 1 = 0或x - 2 = 0或x - 3 = 0。

解得x = 1或x = 2或x = 3。

所以方程的解为x = 1或x = 2或x = 3。