2014-2015学年山东省临沂市郯城县美澳学校高二(上)12月月考数学试卷(理科)

2014-2015学年山东省临沂市郯城县美澳学校高二（上）12月月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.准线为y=-2的抛物线的标准方程为（）A.x2=4yB.x2=-4yC.x2=8yD.x2=-8y【答案】C【解析】解：由题意，可知抛物线的焦点在y轴的正半轴．设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0），∵准线方程为y=-2，∴，∴p=4，∴抛物线标准方程为x2=8y．故选C．由题意，可知抛物线的焦点在y轴的正半轴．设抛物线标准方程，根据准线为y=-2，求出p，即可得出抛物线的标准方程．本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，考查待定系数法的运用，属基础题．2.已知{a n）是等比数列，a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=144，则a3+a5等于（）A.6B.12C.18D.24【答案】B【解析】解：∵等比数列{a n}中，a n＞0，又∵a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=144，∴a3+a5=12，故选：B．由等比数列的性质，我们可将已知中a2a4+2a3a5+a4a6=144化为a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2=144，结合a n＞0，即可得到答案．本题考查的知识点是等比数列的性质，其中根据等比数列的性质将已知中a2a4+2a3a5+a4a6=36化为a32+2a3a5+a52=（a3+a5）2是解答本题的关键．3.在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B=（）A.30°B.45°C.120°D.135°【答案】B【解析】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理得：，即，解得sin B=．∵a＞b，∴A＞B．即B＜60°，∴B=45°，故选：B．根据正弦定理，直接代入即可求得结果．本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理的公式．4.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a的值是（）A.1B.-1C.±1D.2【答案】A【解析】解：由题意可知椭圆的半焦距c的平方为：c2=4-a2双曲线的半焦距c的平方为：c2=a+2；∴4-a2=a+2，解得：a=1．（负值舍去）故选A．求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到m，b的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出b的值，得到椭圆及双曲线的方程．此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，会求椭圆的标准方程，是一道综合题．本题还考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．5.若A（x，5+x，2x-1），B（1，x+2，x），当|AB|取最小值时，x的值为（）A.6B.3C.2D.1【答案】D【解析】解：A（x，5+x，2x-1），B（1，x+2，x），|AB|===≥3．所以函数的最小值为：3．当且仅当x=1时函数取得最小值．故选：D．直接利用空间零点的距离公式求出|AB|的表达式，通过二次函数求出最小值．本题考查空间两点的距离公式的应用，二次函数的最值的求法，考查计算能力．6.设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】解：根据题意，===故选A先利用等比数列的通项公式分别表示出a2，a3，a4，代入原式化简整理，进而利用公比求得答案．本题主要考查了等比数列通项公式的应用．考查了学生对等比数列基础知识的掌握和灵活利用．7.设A是△ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是（）A.a≥3B.a＞-1C.-1＜a≤3D.a＞0【答案】A【解析】解：∵A是△ABC中的最小角，∴由三角形的内角和定理得0°＜A≤60°，∴≤cos A＜1，即≤＜1，该不等式可化为，＜由 得，-≥0，即≥0；解得a＜-1，或a≥3；由 得，-1＜0，即＜0，解得a＞-1；∴不等式组的解集为{a|a≥3}．故选：A．根据题意得0°＜A≤60°，即≤cos A＜1，求出a的取值范围．本题考查了余弦函数的单调性和值域的问题，是基础题．8.已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：方程ax2+by2=ab化成：，ax+by+c=0化成：y=-x-，对于A：由双曲线图可知：b＞0，a＜0，∴-＞0，即直线的斜率大于0，故错；对于C：由椭圆图可知：b＞0，a＞0，∴-＜0，即直线的斜率小于0，故错；对于D：由椭圆图可知：b＞0，a＞0，∴-＜0，即直线的斜率小于0，故错；故选B．根据题意，可以整理方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0变形为标准形式和斜截式，可以判断其形状，进而分析直线所在的位置可得答案．本题考查由椭圆、双曲线、直线的方程判断图象的方法，注意先判断曲线的形状，再分析大致等位置．9.正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，故选D．正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．10.如图，已知直线l ：y =k （x +1）（k ＞0）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|=2|BN|，则k 的值是（ ） A.B.C.D.2【答案】 C【解析】解：设抛物线C ：y 2=4x 的准线为l ：x =-1直线y =k （x +1）（k ＞0）恒过定点P （-1，0）如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ， 由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|， 点B 为AP 的中点、连接OB ， 则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B 的横坐标为， ∴点B 的坐标为B （， ），把B （， ）代入直线l ：y =k （x +1）（k ＞0）， 解得k = ． 故选：C ．直线y =k （x +1）（k ＞0）恒过定点P （-1，0），由此推导出|OB|=|AF|，由此能求出点B 的坐标，从而能求出k 的值．本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.不等式ax 2+bx +2＞0的解集是（-，），则a +b 的值是 ______ ． 【答案】 -14【解析】解：∵不等式ax 2+bx +2＞0的解集是（-，）， ∴ ＜，解得：a =-12，b =-2； 故答案为：-14．由不等式ax 2+bx +2＞0的解集是（- ，），可得a ＜0且方程ax 2+bx +2=0的解为- ，；从而求解．本题考查了二次不等式与二次方程及二次函数的关系，属于基础题．12.若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为______ ．【答案】【解析】解：双曲线的离心率为，所以，又c2=a2+b2，所以，所以，的两条渐近线的方程为．故答案为：．通过离心率，推出a，b的关系，即可求出两条渐近线的方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意双曲线的形式，考查计算能力．13.等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4-a2=8，a3+a5=26．记T n=，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，T n≤M都成立，则M的最小值是______ ．【答案】2【解析】解：∵{a n}为等差数列，由a4-a2=8，a3+a5=26，可解得S n=2n2-n，∴T n=2-，若T n≤M对一切正整数n恒成立，则只需T n的最大值≤M即可．又T n=2-＜2，∴只需2≤M，故M的最小值是2．故答案为2先根据a4-a2=8，a3+a5=26，求得数列的首项和公差，进而数列的前n项和可得．进而代入T n根据T n的范围确定M的范围．本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式．属基础题．14.椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2（c为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是______ ．【答案】＜＜【解析】解：由圆x2+y2=（+c）2是以原点为圆心，以为半径的圆，∴要使椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2有四个不同交点，则＜＜，由＜，得b＜2c，即a2-c2＜4c2，即＞；联立＜，解得＜或e＞1（舍）．∴椭圆离心率的取值范围是＜＜．故答案为：＜＜．由圆的方程求得圆的半径，要使椭圆与圆有四个不同交点，则圆的半径大于椭圆短半轴小于椭圆长半轴长，由此得到不等式求得椭圆离心率的范围．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆与圆的位置关系，是基础题．15.下列命题中，真命题的有______ ．（只填写真命题的序号）若a，b，c∈R则“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件；若椭圆的两个焦点为F1，F2，且弦AB过点F1，则△ABF2的周长为16；③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0．【答案】③④【解析】解： ∵a，b，c∈R，∴“ac2＞bc2”⇒“a＞b”，反之，由不成立．若a，b，c∈R则“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件故成立的充分不必要条件．故 正确；若椭圆的两个焦点为F1，F2，且弦AB过点F1，则△ABF2的周长为4a=20，故 不正确；③若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则p是假命题，所以命题q一定是真命题，故③正确；④若命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故④正确．故答案为： ③④．利用不等式的基本性质，能判断 的正误；利用椭圆的性质，能判断 的正误；由复合命题的真假命题判断，能判断③和④的正误．本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要注意不等式、椭圆、复合命题的性质的灵活运用．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B=，b=2，（1）当A=30°时，求a的值；（2）当△ABC的面积为3时，求a，c的值．【答案】解：（1）∵△ABC中，cos B=，∴sin B==，由正弦定理知=，∴a=•sin A=×=．（2）由S△ABC=acsin B=ac=3，∴ac=10∵cos B====∴（a+c）2=40，∴a+c=2由 得：a=，c=．【解析】（1）根据cos B求得sin B，进而利用正弦定理求得a．（2）利用三角形面积公式求得ac的值，进而利用余弦定理求得a+c的值，最后联立方程求得a和c．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角函数常用的方法，应熟练掌握．17.已知命题p：方程的图象是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根；又p∨q为真，￢q为真，求实数m的取值范围．【答案】解：∵方程是焦点在y轴上的双曲线，∴＜＞，即m＞2．故命题p：m＞2；…（3分）∵方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根，∴△=[4（m-2）]2-4×4×1＜0，即m2-4m+3＜0，∴1＜m＜3．故命题q：1＜m＜3．…（6分）∵又p∨q为真，¬q为真，∴p真q假．…（8分）即＞或，此时m≥3；…（11分）综上所述：{m|m≥3}．…（12分）【解析】分别求出命题p，q为真时的m的范围，然后结合复合命题p∨q为真，￢q为真判断出命题p，q的真假即可求解m的范围本题以复合命题的真假关系判断为载体，主要考查了双曲线的简单性质及方程的根的分布问题的应用18.小王在年初用50万元购买一辆大货车．车辆运营，第一年需支出各种费用6万元，从第二年起，以后每年的费用都比上一年的费用增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第n年的年底出售，其销售价格为25-n万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年利润最大？（利润=累计收入+销售收入-总支出）【答案】解：（1）设大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则（0＜n≤10，n∈N），即y=-n2+20n-50（0＜n≤10，n∈N），由-n2+20n-50＞0，解得＜＜，而2＜10-＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．（2）∵利润=累计收入+销售收入-总支出，∴销售二手货车后，小王的年平均利润为w==19-（n+）．而=9．当且仅当n=5时取等号．即小王应在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大．【解析】（1）由n总收入减去总支出得到大货车到第n年年底的运输累计收入与总支出的差，然后求解一元二次不等式得答案；（2）由利润=累计收入+销售收入-总支出得到第n年年底将大货车出售时小王获得的年利润，然后利用基本不等式求最值．本题考查了函数模型的选择及运用，考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，关键是对题意的理解，是中档题．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠，PA⊥底面ABCD，PA=2，M为PA的中点，N为BC的中点．AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．（Ⅰ）求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD；（Ⅱ）求二面角P-CD-A的余弦值．【答案】（Ⅰ）证：∵底面ABCD是边长为1的菱形，∠，PA⊥底面ABCD，PA=2，M为PA的中点，N为BC的中点．AF⊥CD于F，∴由题设知：在R t△AFD中，，∴A（0，0，0），B（1，0，0），F（0，，0），D（，，0），P（0，0，2），M（0，0，1），N（1-，，0），…（4分）∴，，，…（5分），，，，，…（6分）设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z）则，∴，令z=，得=（0，4，），∴平面PCD的一个法向量=（0，4，）…（8分）∵=0+=0，∴MN∥平面PCD．…（10分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得平面PCD的法向量（0，4，），平面ADC的一个法向量为，，…（12分）设二面角P-CD-A的平面角为α，则∴二面角P-CD-A的余弦值为．…（14分）【解析】（Ⅰ）由题设推导出，求出平面PCD的一个法向量为，由=0，能推导出MN∥平面PCD．（Ⅱ）分别求出平面PCD的法向量和平面ADC的一个法向量，利用向量法能求出二面角P-CD-A的余弦值．本题考查平面的法向量的求法，考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．20.设数列{a n}前n项和为S n，且S n+a n=2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=a1，b n=，n≥2求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）设c n=，求数列{c n}的前n和T n．【答案】解：（Ⅰ）由S n+a n=2，得S n+1+a n+1=2，两式相减，得2a n+1=a n，∴=（常数），∴{a n}是等比数列，又n=1时，S1+a1=2，∴a1=1，∴a n=，（Ⅱ）由b1=a1=1，且n≥2时，b n=，得b n b n-1+3b n=3b n-1，∴=，∴{}是以1为首项，为公差的等差数列，∴=1+=，故b n=．（Ⅲ）设c n==•，∴T n=[3×+4×+5×+…+（n+2）•]∴T n=[3×+4×+…+（n+2）•]以上两式相减得，∴T n=[3+++…+-（n+2）•]=[3+-（n+2）•]=（4+），∴T n=-【解析】（Ⅰ）由S n+a n=2，得S n+1+a n+1=2，两式相减得到2a n+1=a n，故{a n}是等比数列，继而求出通项；（Ⅱ）b n=，转化为=，{}是以1为首项，为公差的等差数列，继而求出通项；（Ⅲ）利用错位相减法即可求出数列{c n}的前n和T n．本题考查了递推数列的通项公式的求法和错位相减法求数列的前n项和，培养了学生的转化能力，运算能力，属于中档题21.已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录如下：A1（3，-2）、A2（-2，0）、A3（4，-4）、A4（，）．（Ⅰ）经判断点A1，A3在抛物线C2上，试求出C1、C2的标准方程；（Ⅱ）求抛物线C2的焦点F的坐标并求出椭圆C1的离心率；（Ⅲ）过C2的焦点F直线l与椭圆C1交不同两点M，N，且满足，试求出直线l的方程．【答案】解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有（x≠0），∵A1（3，-2）、A3（4，-4）在抛物线上，…（2分）将A3坐标代入曲线方程，得C2：y2=4x．…（3分）设C1：，（a＞b＞0），由题设知A2（-2，0）、A4（，）在C1上，把点A2（-2，0），A4（，）代入得：，解得，∴C1方程为．…（6分）（Ⅱ）∵C2：y2=4x，∴p=2，∴抛物线焦点坐标为F（1，0）；由（Ⅰ）知，C1：，∴a=2，，∴椭圆的离心率为．…（8分）（III）直线l过抛物线焦点F（1，0），设直线l的方程为x-1=my，两交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去x，得（m2+4）y2+2my-3=0，…（10分）∴y1+y2=，y1y2=，=1+m•+m2•=， …（12分）由，即，得x1x2+y1y2=0，（*）将 代入（*）式，得，解得m=，…（14分）∴l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．…（15分）【解析】（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），设C1：，（a＞b＞0），利用待定系数法能求出C1、C2的标准方程．（Ⅱ）由C1、C2的标准方程，能求出抛物线焦点坐标和椭圆的离心率．（III）设直线l的方程为x-1=my，两交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（m2+4）y2+2my-3=0，由此利用韦达定理和向量知识能求了l的方程．本题考查抛物线、椭圆、直线方程的求法，考查抛物线的焦点坐标和椭圆的离心率的求法，解题时要注意待定系数法的合理运用．。