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一道真题引出的高考数学中计算的小技巧 中山市第二中学 欧建华07全国(文、理)这里只对第二问进行分析，下面是全国卷的标准答案：(拟对红色部分进行分析)（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． (a) 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+ 2222122212243(1)1(1)()432k BD k x x k x x x x k +⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+g g ； (b) 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-， 所以，2222143143(1)12332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g ≥． (c) 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． (d)[析]这道题目从总体上来看，中等难度，题型经典，对大多数学生来讲想到怎么做是不难的，但是要真正做对（包括结果正确，分类完整）是很有难度的，这点从多次课堂试验可以看得出来。
在此对以上这道真题中所涉及的几个小小计算技巧做一个简单的分析，总共有四个点： (a) 整理化简技巧做数学大题，必定会遇到整理化简的时候，许多学生在化简的时候经常出现这样那样的失误，原因很简单，计算量一大，一个方程就占了两三行，这样最容易出错。
(a)式中，要把直线方程(1)y k x =+代入椭圆方程22132x y +=中，容代入后易得到 22223(1)60x k x ++-=到了这一步许同学会开始打草稿，其实不必要，打草稿太费时间。
多解高中数学一题多解之不等式专项
纵观高中数学，每一道所谓的难题都有至少两种以上的方法去解决它。
高考客观压轴题也是如此。
一种是常规解题思路的方法。
学生容易思考，但是运算量大，耗时比较久。
一种是非常经典的方法，可以秒杀，但是学生如果不经过长期的训练很难想到此种方法。
一题多解旨在开发学生的思维，激发学生潜能，举一反三，灵活应用，达到完全驾驭数学的目的。
不等式专项
例题一
方法1
方法2
点评
求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．
例题二
例题三
方法1:方程思想(换元)
方法2:待定系数法
方法3:数形结合(线性规划)
点评
利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.
例题四
总结升华
例题五
不等式选讲部分内容专项1
方法1
方法2
方法3
2
方法1
方法2
3
方法1：放缩法
方法2：数学归纳法
4
5
方法1：放缩法
方法2：反证法
文章来源：高论数学，作者：高卫；如存在文章/图片/音视频使用不当的情况，或来源标注有异议等，请联系编辑微信：ABC-shuxue第一时间处理。
在初中数学一题多解中培养学生数学思维的探讨在初中数学教学中，碰到多解的数学问题是很常见的。
多解问题能够培养学生的数学思维，激发他们的兴趣，提高他们的解决问题的能力。
多解问题能够激发学生的求知欲。
解决一个数学问题可能有多种方法，不仅能够增加学生的求知欲，还能够培养他们的探究精神。
学生们在解决多解问题的过程中，可能会提出不同的思路，互相交流讨论，从而开拓思维，激发学习的兴趣。
多解问题能够培养学生的逻辑思维。
解决多解问题需要学生具备良好的逻辑思维能力，只有通过分析、比较不同的解决方法，才能选择最合适的方法。
学生们在解决多解问题的过程中，需要思考逻辑关系，找出不同解决方法之间的联系和差异，培养他们的逻辑思维能力。
在教学中，教师可以通过多种方式来引导学生进行多解问题的学习：教师可以提供多个不同的解决方法。
教师可以将自己的解决方法告诉学生，并鼓励学生自己尝试找出其他解决方法。
这能够激发学生的学习兴趣，培养他们的探究精神。
教师可以组织学生之间的小组讨论。
学生可以互相交流各自的解决思路，并比较不同的方法。
在讨论中，学生们可以学习到其他同学的优秀思路，拓宽自己的思维。
教师还可以鼓励学生进行问题拓展。
学生可以尝试修改问题的条件或者扩大问题的范围，寻找更多的解决方法。
这能够培养学生的创新能力和问题解决能力。
多解问题在初中数学教学中具有很重要的作用。
通过解决多解问题，学生们可以增加求知欲，培养探究精神；培养逻辑思维，提高批判性思维；培养创新能力，提高问题解决能力。
教师应该在教学中注重多解问题的引入和培养学生的数学思维。
高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <40≤≤∴m变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 5==n m∴ 当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 一题多变（二）已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式q q a a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01=xx -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。
08年广东高考理科数学压轴题点评中山大学 欧建华21、设p ，q 为实数，α、β是方程02=+-q px x 的两个实根，数列}{n x 满足p x =1，q p x -=22，21---=n n n qx px x (=n 3,4,…)。
（1）证明：p =+βα，q =αβ； （2）求数列}{n x 的通项公式； （3）若1=p ，41=q ，求}{n x 的前n 项和n S ；【分析】本题数列的通项比较特殊，数列的每一项均由前两项通过21---=n n n qx px x 确定，对于未触过此类数列，或不熟悉此类数列的考生有较大的难度，因此解决本题的关键在于式子21---=n n n qx px x 的处理之上。
仔细分析本题，有考生会问，本题第二问是求数列}{n x 的通项公式，而题干中所提到的方程02=+-q px x 似乎没什么关系。
事实上，如果本题改为：“设p ，q 为实数，数列}{n x 满足p x =1，q p x -=22，21---=n n n qx px x (=n 3,4,…)。
（1）求数列}{n x 的通项公式； （2）若1=p ，41=q ，求}{n x 的前n 项和n S ；”显然是也可以的，但这样明显大大提高了解题难度。
正因如此本题的方程“02=+-q px x ”及第一问“证明：p =+βα，q =αβ；”其实只是一种辅助作用：一是暗示考生本题的解决与方程“02=+-q px x ”的两个根α、β是有关的；二是提示解决本题的一个方法，即数列特征方程的方法。
【解答】 （1）证明：由于α、β是方程02=+-q px x 的两个实根，故该方程也可表示为0)(=--βαx x ）（可就是 0)(2=++-αββαx x 对比系数可得⎩⎨⎧==+qpαββα （2）解：由已知，有21---=n n n qx px x ① 又由（1）,可知⎩⎨⎧=+=αββαq p ② 把②代入①得 21)(---+=n n n x x x αββα整理后，有 )(211----=-n n n n x x x x αβα ③ 在式③中，令 1--=n n n x x y α ④ 于是 1-=n n y y β （=n 3,4,…） ⑤ 根据⑤式，把数列n y 看成公比为β的等比数列，于是就有)(12222x x y y n n n αββ-==-- ⑥由已知条件 ⎩⎨⎧-==qp x px 221 ⑦ 在式②与式⑦中，消去参数p 、q ，整理得nn n y ββαααββαβ=+--+=-)]()[(22⑧把④式代入⑧式，有 nn n x x βα=--1 ⑨根据⑨式，有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-⋯⋯=-=-=--------2122321211βαβαβαβαx x x x x x x x n n n n n n n n n ⑩联立⑩中各式，得数列}{n x 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧+--==++=-∑nn n ni in i n n x λβαβαβα)1(110时当时当λβαβα==≠ （3）解：由于1=p ，41=q ，代入②式，得21==βα根据（2）里分析，数列}{n x 的通项公式可写成 nn n x 21+=现令 ∑=-+++⋯+++==ni nn n n n n x S 1132212242322上式两边同时乘21，有143221224232221++++⋯+++=n nn n n S两式相减得143221)21212121(2221++-+⋯++++=n nn n S上式两同时乘2，整理得数列}{n x 的前n 项和为n nn n S 2323--⋅=【点评】这是一道考查考生对数列掌握程度的好题，高考数列题，特别是大题，单独考查等差、等比数列几乎是不可能的。
一题多解第2讲多姿多彩恒成立，精彩各异策略多典型例题【例1】(I) x a x y 对任意的,0x y 恒成立,求a 的取值范围;对任意的,0x y 恒成立,求k 的取值范围.【例2】已知函数 2242cos 1sin 1(0)x f x x x x x,若 f x M 恒成立,则M 的取值范围是。
【例3(1)a x ay 对任意,(0,)x y 恒成立,则实数a 的取值范围是。
【例4】设,a b c n N ,且11na b b c a c恒成立,n 的最大值是。
【例5】若关于x 的不等式e (1)0xa xb 在R 上恒成立,求(1)a b 的最大值.【例6】已知函数1()1(0)f x x x,若存在实数,()a b a b ,使()y f x 的定义域为(,)a b 时,值域为(,)ma mb ,则实数m 的取值范围是（）A.14mB.104mC.14m且0m D.14m【例7】设函数222()()ln 2f x x a x a,其中0,x a R ,存在0x R ,使得045f x 成立,则实数a 的值是（）A.15B.25C.12D.1【例8】设()f x 为定义在R 上的奇函数,且0x 时,2()f x x .若对任意的[,2],()x t t f x t 2()f x 恒成立,则实数t 的取值范围为。
【例9】已知函数2()1,f x x ax a a R ,若对于任意的(0,4)a ,存在0[0,2]x ,使得t0f x 成立,则实数t 的取值范围为。
强化训练1.已知函数321()1(,)3f x x ax bx a bR 在区间[1,3] 上是减函数,求a b 的最小值.2.设a R ,若0x 时,均有2[(1)1]10a x x ax 成立,求a 的值.3.已知函数()ln f x a x x ,对任意的1,e ,()0ex f x恒成立,则a 的范围为。
4.已知(1)1ln 0a x x 对于任意的1,22x恒成立,则a 的最大值为。
一题多解 培养学生的思维能力解题教学是整个数学教学中的一个重要环节。
.在解题教学过程中，不仅要向学生传授数学的基础知识和解题的基本技能，更需要通过解题教学来培养学生的逻辑思维能力，进一步使数学思想的传授由简单的抽象的理性的说教转化成具体的感性的具有可操作性的客观存在。
通过数学学习,发展学生的智力，培养学生的能力，提高学习的兴趣，使他们养成良好的学习习惯，为进一步学习创造良好的条件。
一题多解是促进学生思维能力发展的有效途径之一，可以培养学生的思维准确性,提高学生的思维灵活性，增强学生思维的深刻性。
下面通过一道习题来谈谈如何培养学生的思维能力。
【例】已知0,0>>y x ，且32=+y x ，求yx 11+的最值。
法一：（柯西不等式）分析：由于新课程标准中不等式选讲的加入，使柯西不等式重新回到人们的眼中，这个重要而好用的结论更应是老师和学生的首选。
【柯西不等式：设n n b b b a a a ,,,,,,,2121 是实数，则))((2222122221n n b b b a a a ++++++ ≥22211)(n n b a b a b a ++ 】解：因为0,0>>y x ，所以构造两组数 y x 2 ；y x 11，有柯西不等式知：])2()[(22y x +])1()1[(22y x +≥2)121(y yx x + 即)2(y x +)11(y x +≥2)21(+ 所以322311+≥+y x 。
应用此法考察了学生的基础知识以及知识的灵活应用。
法二：（“1”的代换）分析：初见这道题容易让我们想到平均值定理，这也是这道题最常见的解法。
这种方法需要学生掌握代换的基本方法，对1的灵活应用。
【均值定理：若+∈R b a ,，则ab b a ≥+2，当时b a =等号成立】 解：因为32=+y x ，所以稍加变形1323=+y x ，这样y x 11+中的1就可以用1323=+y x 代换。
一题多解 激活解题思维数学解题不在多,关键在精，精解一题，醒悟全局是每个学子梦寐以求的事。
怎样才能实现这一目标，实践告诉我们，必须从平时的思维习惯做起，只要在平时的解题时做到勤思、巧变、对比、联想，常此以往自然能激活自己的思维，实现抓一纲而带全局的梦想必然能够实现.下面以一道等差数列的求值为例，探讨如何如何落实“勤思、巧变、对比、联想”的思维要点。
例题：在等差数列｛n a }中，若,m n a n a m ==，则m n a +为（ )A ．m —nB ．0C ．2mD ．2n说明：这是一道十分常见的数列求值题，阅读完题设，自然会联想、对比,根据题设，选择公式，通过拓展,建立与知识间的联系，实现解题与发展能力的双丰收。
思考1：直接利用等差数列的通项公式，求出首项1a 和公差d,然后求m n a +。
解1:设等差数列的首项为1a ，公差为d,根据等差数列的通项公式得:11(1)(1)a m d n a n d m +-=⎧⎨+-=⎩ 解之得111a m n d =+-⎧⎨=-⎩∴1(1)m n a a m n d +=++-=m+n —1-（m+n —1)=0。
故选B 。
点评:这是一种直接的思维方式,思维形式简单、方便，但是解题过程不并一定简单.思考2：根据等差数列的通项公式知,当n>m 时，11(1)[(1)]()()n m a a n d a m d n m d a n m d =+-=+-+-=+-。
即用数列中的特定项来表示数列中的项.在此基础上进一步变形可得：()n m a a n m d -=-，n m a a d n m-=-。
解2：设等差数列的首项为1a 和公差d 。
∵,m n a n a m == ∴1n m a a m n d n m n m --===---。
∴(1)0m n n a a md m m +=+=+⨯-=.故选B.点评：该解法体现了巧变的思维特征，这种思维不受公式自身的限制，而是在理解公式概念的基础上,将所学的知识进一步升华,体现了思维的灵活性和创造性,这是一种能力的体现，也是高考的能力要求。
高中数学一题多解经典题型汇编解法一：运算法A.()()A C B C B C A C A C U U U B U ⊆⇒= ，A 错误B.U A A C U = 或U B B C U = ，B 错误C.A B A B A =⇒⊆ ，又φφ=⇒=A B C B B C U U ，C 正确D.A B A B A =⇒⊆ φ≠⇒B A C U ，D 错误解法二：特殊值法由题意，不妨设}1{},2,1{},3,2,1{===A B U ，则A.()()A C B C B C A C U U U U ⊆⇒⊆⇒⎩⎨⎧==}3,2{}3{}3{}3,2{，A 错误B.()()U A C B C B C A C U U UU =≠=⇒⎩⎨⎧==}3,2,1{}3,2{}3{}3,2{ ，B 错误 C.φ=⇒==A B C A B C U U }1{},3{，C 正确D.φ≠=⇒==}2{}2,1{},3,2{B A C B A C U U ，D 错误解法三：韦恩图法如右图所示，通过韦恩图直接判断选项的正误.◆◇方法解读◇◆解法一：应用这种解法一定要熟悉掌握和理解集合的基本运算法则，比较抽象也有难度。
解法二：通过取特殊值后，使各式的运算结果一目了然，更便于判断，因此该方法比较简单。
解法三：韦恩图更加地形象直观，能够快速、准确的作出判断，此法它利用了数形结合的思想。
【典例2】已知i z i 23)1(+=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对于的点位于第 象限. 解法一：复数的四则运算法 i i i i i i i i z i z i 2232232)23()23()1)(1()1)(23(12323)1(++-=++-=+-++=-+=⇒+=- i z 223223+--=∴⇒第四象限. 解法二：利用相等复数法（待定系数法）设复数bi a z +=，则bi a z -=i i b a b a i bi a i i z i 23)()(23))(1(23)1(+=+--⇒+=--⇒+=-∴⇒+--=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⇒i bi a z b a b a b a 2232232232232)(3第四象限. ◆◇方法解读◇◆解法一：先通过解方程得出复数z 的共轭复数，再根据复数与共轭复数的关系判断出复数在复平面内对应点所在的象限，该方法比较直接。
试题研究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀巧思维切入,妙方法破解以一道高考题为例◉江苏省张家港市乐余高级中学㊀刘晨玉㊀㊀双变元代数式的最值(最大值或最小值)或取值范围问题,是天津高考试卷中一副不变的熟悉 面孔 ,创新新颖,常考常新．破解此类问题,结合双变元代数式的基本特征,借助基本不等式思维㊁函数或方程思维㊁导数思维或其他重要不等式思维等加以切入与破解,合理融合基本不等式㊁函数与方程㊁导数等相关数学知识与数学思想方法,巧妙处理,正确破解．１真题呈现高考真题㊀(２０２１年高考数学天津卷第１３题)已知a＞０,b＞０,则１a＋a b２＋b的最小值为．２真题剖析此题以两个正参数所对应的代数式为问题背景,进而确定对应代数式的最值问题．题目代数关系式中两参数之间没有明显的线性联系,又不具有明显的对称性,剖析两参数之间的次数㊁加减与乘积等方面的关系,为进一步破解问题提供条件．结合所求解的代数关系式的特征,合理配凑,巧妙拆分,整体设参,正确构建等,借助基本不等式思维㊁其他重要不等式思维㊁函数或方程思维㊁导数思维等,合理转化,巧妙变换,进而得以确定相应的代数式的最值问题．３真题破解思维视角一:不等式思维．方法１:两步基本不等式法１．解析:由于a＞０,b＞０,利用基本不等式,可得１a＋ab２＋bȡ２１aˑab２＋b＝２b＋bȡ２２bˑb＝２２,当且仅当１a＝a b２,且２b＝b,即a＝b＝２时,等号成立．所以１a＋a b２＋b的最小值为２２．故填答案:２２．点评:根据所求代数式的基本特征,利用基本不等式,分两步来处理,第一步先消去参数a,结合代数式的变形与转化再进行第二步消参数b,进而得以确定代数式的最值．抓住代数式的基本特征,合理分步,巧妙借助基本不等式两步走,合理消参,确定最值．方法２:两步基本不等式法２．解析:由于a＞０,b＞０,利用基本不等式,可得１a＋ab２＋b＝１a＋b２＋ab２＋b２ȡ２１aˑb２＋２a b２ˑb２＝２b２a＋２a２b＝２b a＋２a bȡ２２b aˑ２a b＝２２,当且仅当１a＝b２,a b２＝b２,且２ba＝２ab,即a＝b＝２时,等号成立．所以１a＋a b２＋b的最小值为２２．故填答案:２２．点评:根据所求代数式的基本特征,巧妙配凑,合理分拆,借助合理的分配与组合,分别利用基本不等式,变形转化后再次利用基本不等式来处理,进而得以确定代数式的最值．抓住代数式的基本特征,合理分拆与分步,巧妙借助基本不等式,保留参数,巧妙两步走,确定最值．方法３:均值不等式法．解析:由于a＞０,b＞０,由均值不等式可得１a＋ab２＋b＝１a＋ab２＋b２＋b２ȡ４４１aˑab２ˑb２ˑb２＝２２,６６２０２４年１月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀当且仅当１a ＝a b ２＝b２,即a ＝b ＝２时,等号成立．所以１a ＋a b２＋b 的最小值为２２．故填答案:２２．点评:根据所求代数式的基本特征,巧妙配凑,合理分拆,利用代数式进行巧妙平均拆分处理,结合拆分后所对应的代数关系式,巧妙利用四次均值不等式,进而得以确定对应代数式的最值问题．抓住代数式的基本特征,巧妙配凑,合理分拆,巧妙借助均值不等式,直接确定最值．思维视角二:方程思维．方法４:待定系数法．解析:由于a ＞０,b ＞０,令１a ＋ab２＋b ＝t ＞０,变形整理,可得a ２＋(b ３－t b ２)a ＋b ２＝０．要使得关于参数a 的二次方程有正数解,则需满足b ３－t b ２＜０且Δ＝(b ３－t b ２)２－４b ２ȡ０．整理,可得b ３－t b ２＜０且(b ３－t b ２)２ȡ４b ２．又b ＞０,则b ３－t b ２ɤ－２b ,即t ȡb ＋２b．利用基本不等式,可得t ȡb ＋２b ȡ２b ˑ２b＝２２,当且仅当b ＝２b,即a ＝b ＝２时,等号成立．所以１a ＋a b ２＋b 的最小值为２２．故填答案:２２．点评:根据所求代数式进行待定系数法处理,将问题方程化,结合关于参数a 的二次方程有正数解,建立对应的不等式,分离参数,利用基本不等式来确定参数t 的最小值,进而得以求解代数式的最值问题．引入参数进行待定系数法处理,结合方程思维,利用不等式的求解以及基本不等式的应用来巧妙破解．思维视角三:导数思维．方法５:导数法．解析:由于a ＞０,b ＞０,构造函数f (a )＝１a ＋ab ２＋b ．求导,可得f ᶄ(a )＝－１a ２＋１b ２＝a ２－b２a ２b２＝(a ＋b )(a －b )a ２b２．当a ＞b 时,f ᶄ(a )＞０,f (a )单调递增;当a ＜b 时,f ᶄ(a )＜０,f (a )单调递增．故f (a )在(０,b )上单调递减,在(b ,＋ɕ)上单调递增．令f ᶄ(a )＝０,可得a ＝b ,此时f (a )ȡ１b ＋bb２＋b ＝２b ＋b ȡ２２b ˑb ＝２２,当且仅当２b＝b ,即a ＝b ＝２时,等号成立．所以１a ＋ab２＋b 的最小值为２２．故填答案:２２．点评:通过构造函数,结合相应函数的求导运算,利用导函数的零点确定函数的最值,进而确定此时对应的最值关系式,利用基本不等式确定相应的最值问题．导数法处理代数式的最值问题,是破解此类最值问题常见的思维方式,导数思维是解决函数最值问题的基本思维方法之一．４教学启示破解双变量或多变量代数式的最值问题,结合代数式的特征,合理借助不等式思维㊁函数与方程或导数思维等,合理配凑,巧妙拆分,整体设参,正确构建,利用不同的思维方式加以分析与破解．(１)首选不等式思维破解双变量或多变量关系条件下的代数式最值问题,关键是借助已知条件中的关系式,合理恒等变形,巧妙运算转化,结合不等式思维,特别是基本不等式以及不等式性质等加以合理转化与处理,进而直接确定对应代数式的最值问题．(２)函数与方程或导数思维函数与方程思维或导数思维,也是破解双变量或多变量关系条件下代数式最值问题的基本思维方式．通过函数与方程思维加以转化,或利用函数思维,结合函数的图象与性质进行求解;或利用方程思维,结合判别式的应用加以处理;或利用导数思维,通过求导来确定单调性㊁极值与最值等来分析与处理．(３)拓展思维,形成能力对于此类问题,要合理挖掘其丰富内涵,不断探究反思,举一反三,灵活变通,学会变式拓展,探究提升,真正达到融会贯通．从数学知识㊁数学思想方法与数学能力等层面融合,形成数学知识体系,转变为数学能力,有效应用于相应的数学解题中,真正形成良好的数学品质,有效提高数学能力,培养数学核心素养．Z７６。
C B一题多解 开拓思路题目：如图，△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证：BC 2=2AC ·CD ．B一道题由不同的思路，可以得出多种解法．等积式的证明，基本思路是化为比例式，解此题的关键之一，是如何处理系数的问题．思路一：将BC 2=2AC ·CD 化为比例式2AC/BC=BC/CD,或AC/BC=BC/2CD ，设法取一条线段，使它等于2AC 或2CD ，构造相似三角形进行证明． 证法一：延长CA 至E ，使AE=AC ，连结BE ，则CE=2AC ． ∵AB=AE=AC ，∴∠EBC=90°=∠BDC ． ∵∠C=∠C ，∴△ECB ∽△BCD ．∴EC/BC=BC/CD ． ∴2AC/BC=BC/CD ．即BC 2=2AC ·CD ．证法二：在DA 上截取DE=CD ，连结ＢＥ，则CE=2CD ． ∵BD ⊥AD ， ∴BE=BC ．∴∠BEC=∠C ．∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ． ∴∠ABC=∠BEC ． ∵∠C=∠C ，∴△ABC ∽△BEC ． ∴AC/BC=BC/CE ． ∴AC/BC=BC/2CD ． 即BC 2=2AC ·CD ．BE思路二：将BC 2=2AC ·CD 化为21BC 2=AC ·CD ，即AC/21BC=BC/CD 或 AC/BC=21BC /CD ，仿上，可得证法三、证法四． 证法三：取B C 中点E ，连结DE ，则CE=21BC ．在Rt △BCD 中，DE=21BC=CE ，∴∠EDC=∠C ． ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C ． ∴∠ABC=∠EDC ． ∵∠C=∠C ， ∴△ABC ∽△EDC ． ∴AC/EC=BC/CD ． ∴AC/21BC=BC/CD ． ∴21BC 2=AC ·CD ． 即BC 2=2AC ·CD ．证法四：取BC 中点E ，连结AE ，则CE=21BC ． ∵AB=AC ，∴∠AEC=90°=∠BCD ． ∵∠C=∠C ，∴△ACE ∽△BCD ． ∴AC/BC=CE/CD ． ∴AC/BC=21BC/CD ． ∴21BC 2=AC ·CD ． 即BC 2=2AC ·CD ．思路三：BC2=2AC ·CD 还可化为（21BC ）2 =21AC ·CD 或（21BC ）2=AC ·21CD ，这时只需取BC 的一半，再取AC 的一半或CD 的一半即可得证法五、证法六．证法五：取BC 的中点E ，AC 的中点F ，连结DE 、EF 及AE ．BECB ∵AB=AC ， ∴AE ⊥BC ． ∴FE=FC ． ∴∠FEC=∠C ． 同理∠EDC=∠C ． ∴∠FEC=∠EDC ． 又∠C=∠C ，∴△FEC ∽△EDC ． ∴FC/EC=EC/CD ． ∴CE 2=FC ·CD ． 即（21BC ）2 =21AC ·CD ． ∴BC 2=2AC ·CD ．证法六：取BC 的中点E ，CD 的中点F ，连结AE 、EF ． 则AE ⊥BC ，EF ∥BD ．又∵BD ⊥AC ， ∴EF ⊥AC ．故EC 2=CF ·CA ．即（21BC ）2 =21CD ·AC ． ∴BC 2=2AC ·CD ．思路四：由BD ⊥AC ，BC2=2AC ·CD 想到射影定理，只需要BC 成为以BD 为斜边上的高的直角三角形的一直角边即可，这不难做到．证法七：过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，垂足为B ． ∵ BD ⊥CE ， ∴BC 2=CD ·CE ． ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C ． ∵∠ABC+∠EBA=90°，∠C+∠E=90°． ∴∠EBA=∠E ．∴AE=AB=AC 即CE=2AC ．即BC 2=2AC ·CD ．思路五：由直角三角形及左边平方式，联想到应用勾股定理．证法八：在Rt △BDC 中，BC 2=BD 2+CD 2在Rt △ABD 中，BD 2=AB 2-AD 2BC2=AB2-AD2+CD2=AC2-AD2+CD2=（AD+CD）2 - AD2+CD2 =2AD·CD+2CD2=2CD（AD+CD）=2AC·CD．。
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
