1.3.3 函数的最大(小)值与导数 课件(人教A版选修2-2)

• 2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)在[－2,2]上有最大值 3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为 ( ) • A．－37 B．－29 • C．－5 D．－11 • [答案] A • [解析] f′(x)＝6x2－12x＝6(x2－2x)＝6x(x－2)． • 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2 • ∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m. • ∴f(0)>f(2)>f(－2) • ∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37，故应选A.
• (2)当a<0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下 表： x (－1,0) 0 (0,2) 0 f′(x) － ＋ f(x) b • 所以当x＝0时，f(x)取最小值，所以f(0)＝b＝－ 29. • 又f(2)＝－29－16a，f(－1)＝－29－7a， • f(2)>f(－1)，所以当x＝2时，f(x)取最大值， • 即－16a－29＝3，所以a＝－2. • 综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
3．函数 y＝x＋2cosx 为 A．0 π C. 3
π 在0，2上取最大值时，x
的值 )
( π B. 6 π D. 2
• [答案] B
[解析]
π y′＝1－2sinx，令 y′＝0，解得 x＝ . 6
π π 当 x＝0 时，y＝2，当 x＝ 时，y＝ ， 2 2 π π 当 x＝ 时，y＝ ＋ 3 6 6 π π π ∵ ＋ 3>2> ，∴当 x＝ 时取最大值，故应选 B. 6 2 6
• [例2] 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)． • (1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程； • (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值． • [分析] 由题目可获取以下主要信息： • ①函数f(x)＝x2(x－a)中含有参数a； • ②在a确定的情况下，求切线方程； • ③在a不确定的情况下求函数在区间[0,2]上的最 大值． • 解答本题可先对函数求导，然后根据a的不同取 值范围，讨论确定f(x)在[0,2]上的最大值．

(2)f′(x)＝1x－1，令 f′(x)＝0，得 x＝1. 当 x∈(0,1)时，f′(x)>0，当 x∈(1，e)时，f′(x)<0， ∴当 x＝1 时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为 f(1)＝－1，故选 B. 【答案】 (1)D (2)B
(3)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，
t
0
(0,1)
1
g′(t)
＋
0
(1,2)
2
－
g(t)
单调 －1－m 递增
极大值 单调递减 1－m
－3－ m
∴g(t)在[0,2]上有最小值 g(2)＝－3－m， 存在 t∈[0,2]，使 h(t)<－2t＋m 成立， 等价于 g(t)的最小值 g(2)<0. ∴－3－m<0，∴m>－3， 所以实数 m 的取值范围为(－3，＋∞)．
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
【解析】 f′(x)＝2＋sin x>0 恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
无极值，也无最值． 【答案】 A
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：__________________________

班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎 样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？
导数的应用-----求函数最值.
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其
中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
27
-5
76
比较以上各函数值， 可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76， 最小值为 f (1)=－5
练习:
求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:
(1) f (x) 2x3 6x2 18x 7 , x 2, 4
最大值 f (－1)=3，最小值 f (3)= －61
五、小结
一、复习与பைடு நூலகம்入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: ①如果在x0附近的左侧 f (x) 0 右侧 f (x) 0 ,那么,f(x0) 是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f (x) 0右侧 f (x) 0 ,那么,f(x0) 是极小值.

)
解析：因为 y＝x4－4x＋3，所以 y′＝4x3－4.令 y′＝0， 解得 x＝1.当 x＜1 时， y′＜0， 函数单调递减， 当 x＞1 时， y′＞0，函数单调递增，所以函数 y＝x4－4x＋3 在 x＝1 处取得极小值 0.而当 x＝－2 时，y＝27，当 x＝3 时，y＝ 72，所以当 x＝1 时，函数 y＝x4－4x＋3 取得最小值 0.. 答案：D
[类题通法] 由函数的最值确定参数的方法 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函 数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的 单调性及极值点， 探索最值点， 根据已知最值列方程(不等 式)解决问题．
[活学活用] 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最 小值为－29，求a数的最值：
(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－ 3，3]； 54 (2)f(x)＝x － x (x＜0)．
2
[解]
(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．
令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
6＋6a＋3b＝0， 即 24＋12a＋3b＝0， a＝－3， 解得 b＝4.
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0； 当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0； 当 x∈(2,3)时，f′(x)＞0. 所以，当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c， 又 f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 所以当 x∈[0,3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c. 因为对于任意的 x∈[0,3]，有 f(x)＜c2 恒成立， 所以 9＋8c＜c2，解得 c＜－1 或 c＞9. 因此 c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．