2.4 解直角三角形（2）
舜王初中备课组
学习目标：
1.能够构造直角三角形，利用直角三角形的角与角、边与边、角与边之间的关系解直角三角形.
2.通过解直角三角形提高学生的分析问题和解决问题的能力。感受数形结合在解题中的作用.
重点：解直角三角形.
难点：构造直角三角形
教学过程：
【温故知新】
1.什么叫做解直角三角形？
2.在Rt △ABC 中，如图，∠C=90°,∠A,∠B ，∠C 的对边分别是a,b,c.
（1）角之间的关系：
（2）边之间的关系： 。
（3）角与边之间的关系：
【创设情境】
1、利用以上关系，已知直角三角形的两个元素（至少一个是 ），就可以解直角三角形了。
2、利用备好的三角形纸片摆一摆，拼一拼。大家试一试看谁摆的多？
【探索新知】
活动一：探究例3
如图，在△ABC 中，已知∠A=60°，∠B=45°，AC=20cm,求AB 的长。
合作交流：（△ABC 不是直角三角形，怎么办？你是怎样构造直角三角形的?你构造的直角三角形能解决这个问题吗？试试看）
展示提升：
精讲点拨：
【巩固提升】
A
如图，在△ABC 中，已知∠B=45°，∠C=75°，AC=2cm,求BC 的长。
展示提升：
点评：
活动二：探究例4
已知一个等腰三角形ABC 的两边长分别为4和6，求底角的正切值. 合作交流：(要求底角的正切值，需在直角三角形中才能解答，怎么办呢？)
精讲点拨： 【巩固提升】
若等边三角形的边长为a,求它的面积
【课堂小结】(合作交流)
请你谈谈本节课的收获
（1） 知识上的收获
（2） 数学思想方法的领悟
【达标检测】
当堂检测：
1、在△ABC 中，已知 ∠A=60 °∠B ＝45°，AC ＝20cm ，求AB 的
长 2、如图，在△ABC 中，若∠B=60°，AB=6cm,，BC=8cm,
求（1）AC 的长
（2）△ABC 的面积
【我的反思】
B
C B
A
第1章 解直角三角形 专项练习 一、锐角三角函数： 1、各三角函数之间的关系： ⑴sin ＝cos ; ⑵sin 2＋cos 2＝ ; ⑶tan ＝ . 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 2 2 cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 2、（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900 ，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 （3）在ABC Rt ?中，C ∠＝90，c = 8 , sinA = 4 1 ，则b = . 3、选择：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，3 1 tan = A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 （2）Rt ABC ?中，C ∠＝90，43AC BC ==，,cos B 的值为 （ ） 15A 、 35B、 43C、 34 D、 （3）ABC ?中，C ∠＝90，tan 1A =，则sin B 的值是 （ ） 3A 、 2B、1C、 2 D、4、计算： （1)sin 30o+cos 45o; (2) s in260o+cos260o-tan 45o. （3）???-??+?60tan 60sin 45cos 230sin (42453(sin 602cos30)tan30?-?+? 二、解直角三角形 1、如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是30o和60o 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?
28．2．1 解直角三角形 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数． 在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、 ∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cosB ＝363 2 ＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝ 33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝122. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题
九年级下册第一章 解直角三角形 1.1从梯子的倾斜程度谈起 2课时 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 1课时 1.3三角函数的有关计算1课时 1.4测量物体的高度2课时 1.5船有触礁的危险吗1课时 第一教时 【教学内容】从梯子的倾斜程度谈起（一） 【教学目标】1.经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联 系. 2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 【教学重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 【教学难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 【教学用具】三角板 【教学方法】引导—探索法. 【教学过程】 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△A B 2C 2有什么关系? ⑵ 2 22111B AC C B A C C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值. 四、随堂练习： 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 修改与批注
安溪县2019年初中学业质量检查 20．（8分）如图，已知△ABC ，∠C=90°． （1）请用尺规作图，在BC 边上找一点D ，使DB DA =；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若BC=4，cosB=4 5，求tan ∠CAD 的值． 晋江市 2019 年初中学业质量检查数学试题 13.机器人沿着坡度为 1:7 的斜坡向上走了25米，则机器人在竖直方向上升的高度为 ________米. 21.(8 分)在四边形 ABCD 中，CD ∥AB ，AC ⊥BD 于点 O ，AC=CB ，21 =AB CD , 求 sin ∠DBC 的 值.
2019年石狮市初中学业质量检查 8.如图，过∠MAN 的边AM 上的一点B （不与点A 重合）作BC ⊥AN 于点C ，过点C 作CD ⊥AM 于点D ，则下列线段的比等于tan A 的是（ ） A. C. D. 2019 年龙岩市九年级学业质量检查 2019 年福建省泉州市初中学业质量检查 21．(8 分)如图，在□ A BCD 中， AC 与 BD 相交于点O ， AC ⊥ BC ，垂足为C . 将?ABC 沿 AC 翻折得到?AEC ，连接 D E . 若 AC = 4 ， BC = 3 ，求sin ∠ABD 的值． 2019年三明市初中毕业班教学质量检测 6．如图，点A ，B ，C 在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为 A ．33 B ．3 C ．21 D ．1 2019年厦门市初中毕业班教学质量检测 2.如图1，在△ACB 中，∠C ＝90°，则BC AB 等于 A .sin A B . sin B C .tan A D . tan B （第6题） 图1 C B A
s§28.2 《解直角三角形2》师生共用讲学稿 班级：_____ 学号： ________ 姓名：___________ 年级：九年级 学科：数学 主备人： 杨璇 主审人： 内容：解直角三角形 第二课时 课型： 新授课 时间： 年 月 日 学习目标 ： 解直角三角形与仰角、俯角等知识相结合，解决实际问题。 自学重点：构建数学模型 自学难点：将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。 一.课前训练: 1.如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC 的长以及拉线下端点A 与杆底D 的距离AD(精确到0.01米 )． 分析：请审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD 是直角三角形．其中CD=5m ，∠CAD=60°，求AD 、AC 的长． 2.燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 是55°，外口宽AD 是180mm ，燕尾槽的深度是70mm ，求它的里口宽BC(精确到1mm)． Sina55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43,cot55°≈0.70. 分析：将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD 中，上底AD=180mm ，高AE=70mm ，∠B=55°，求下底BC ． 二．请大家自学教材第92页的例4 1.用解直角三角形的的知识解决实际问题时，要善于将某些实际问题中的数量关 系归结为直角三角形中的边角关系（即构建数学模型：直角三角形） 2．仰角和俯角：如图，在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫______;从上向下看,视线与水平线的夹角叫____________. 俯角仰角视线水平线 视线 注意：仰角和俯角是相对的，关键是看视线和水平线的位置。 3.解直角三角形的应用的一般步骤:
第1章解直角三角形专项练习 一、锐角三角函数： 1、 各三角函数之间的关系： ⑴ sin = cos _____ ; ⑵ sin 2 + cos 2 = ; ⑶ tan = ________ . ____ 2、 在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, AC = 12, BC = 15。 (1 )求 AB 的长； (2 )求 si nA 、cosA 的值; 2 2 (3)求 sin A cos A 的值； (4)比较 sinA 、cosB 的大小。 2、 (1 )在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, a =,；5 , b =2，贝U si nA =_____________ 。 (2) 在 Rt △ ABC 中，/ A = 900,如果 BC = 10, sinB = 0.6，那么 AC = _________ 1 (3) 在 RUABC 中，一 C = 90, c = 8 , sinA = ，则 b = . 4 1 3、 选择：(1 )在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, tanA , AC = 6，则 BC 的长为( 3 (3) sin 30 ..2 *cos45 —sin 60 *tan60 4 2sin4 5 - 3(sin60 -2cos30 ) tan30 二、解直角三角形 1、如图，身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是 30o 和60o 的三角尺测量一棵树的高度 .已知她与树之间的 距离为5m,那么这棵树大约有多高 ？ (2) Rt ABC 中， C = 90, AC =4, BC =3, cosB 的值为 1 r 3 4 r 3 A 、- B — C - D - 5 5 3 4 A 、6 B 、5 C ( (3) ABC 中， C = 90, tan A =1，则sin B 的值是 A > . 3 B .2 c 、1 D 鱼 2 4、计算: ( (1)sin 30o+cos45o; ⑵s in260o+cos250o-tan 45o.
教学内容“学程导航”课时教学计划 施教日期2009年12月21日 28.2解直角三角形 课 型 1. 锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 2. 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养 学生分析问题、解决问题的能力. 3. 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯. 教重点：直角三角形的解法 学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用 重 难 占 八、、教 学 资 源1. 学生学习过勾股定理、三角函数、并能够灵活运用。 2. 多媒体 1 . 直角三角形ABC中，/ C=90° a、b、c、/ A、/ B这五个兀素间有哪些等量关系呢？ 2. 三边之间关系：a2 +b2 =c2（勾股定理） 3. 锐角之间关系：/ A+ / B=90 ° . 如果用表示直角三角形的一个锐角，那边与角的关系为： ￡点对边Z甜0邻边卍曲对边 预 习设计4?阅读书本P85—87页，用红笔注明不解之处完成预习作业
五、课堂测试 1.在Rt △ ABC中，已知下列条件，不能解此直角三角形的是（） A.a、b B.a 、/ A C.c 、/ B D. / B 2.在Rt △ ABC中, / C的对边分别为成立的是（ A.a=c sinB B. / C=90 ° , / A、/ B、 b、c,下列等式一定 a ------- C.b=c tanB cosB D.b=a sinB 3. 在Rt △ ABC 中, 3 冲 -,AB=5，贝U AC=__ 5 — 4. 如图设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中 心线的夹角为/ A,过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C （如图），在Rt △ ABC中, / C= 90°, BC= 5.2m, AB= 54.5m根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角. / C= 90 sin A= 1. 课堂作业 《学程导航》P90—1-6题 2. 家庭作业 《自主检测》P106 作 业 设 计
第1章 解直角三角形 专项练习 一、 细心选一选 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=5 3 ，那么tanB=( ) A. 53 B. 54 C. 34 D. 4 3 2. 在△ABC 中， tan A ＝1，cos B ＝2 1 ，则∠C 的度数是（ ） A. 75° B.60° C. 45° D.105° 3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =1，BC =3，则sinA ，cosA 的值分别为( ) A. 21，33 B. 23，21 C. 2 1，3 D. 23，33 4．在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( ) A. 都扩大1倍 B.都缩小为原来的一半 C.都没有变化 D. 不能确定 5．已知α是锐角，且sin α+cos α= 3 3 2,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 6 1 D. 1 6．化简：140tan 240tan 2 +-? ? 的结果为( ) A.1+tan40° B. 1－tan40° C. tan40°－1 D. tan 2 40°+1 7.已知β为锐角，cos β≤ 2 1 ，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 8.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是( ) A. cos43°＞cos16°＞sin30° B. cos16°＞sin30°＞cos43° C. cos16°＞cos43°＞ sin30° D. cos43°＞sin30°＞cos16° 9．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α, 且cos α= 5 3 ，AB=4，则AD 的长为( ) A.3 B. 516 C. 320 D. 3 16 10．在平行四边形ABCD 中，已知AB=3cm ，BC=4cm ，∠B=60°，则S ABCD 等于( ) A. 63 cm 2 B. 123 cm 2 C.6 cm 2 . D.12 cm 2 二、精心填一填（共6小题；每小题5分，共30分） 11.若2sin （α+5°）=1，则α= °。 12.边长为8，一个内角为120°的菱形的面积为 。 13. 一等腰三角形的腰长为3，底长为2，则其底角的余弦值为 。 14.在△ABC 中，∠BAC=120°, AB=AC, BC=4,建立如下图的平面直角坐标系，则A 、B 、C 个点的坐标分别是;A( ， )、B( ， )、C( ， )。 15.如右下图，把矩形纸片OA BC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结O B 将 A B
2017-2018学年九年级数学下册第1章解直角三角形测试卷 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23 ，则BC 的长为( ) A ．4 B ．2 5 C.181313 D.121313 ,第1题图) ,第2题图) ,第3 题图) ,第4题图) 2．如图①是一张Rt △ABC 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图②，那么在Rt △ABC 中，sin B 的值是( ) A.12 B.32 C ．1 D.32 3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝30°，则sin ∠AOB 的值是( ) A.12 B.22 C.32 D.33 4．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6 m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是( ) A ．3 m B ．3 5 m C ．12 m D ．6 m 5．下列式子：①sin60°>cos30°；②0 A ．3 B.13 C.83 D ．3或13 7．如图，在?ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，则?ABCD 的面积是( ) A.12ab sin α B ．ab sin α C ．ab cos α D.12 ab cos α ,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) 8．如图，AC ⊥BC ，AD ＝a ，BD ＝b ，∠A ＝α，∠B ＝β，则AC 等于( ) A ．a sin α＋b cos β B ．a cos α＋b sin β C ．a sin α＋b sin β D ．a cos α＋b cos β 9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC ＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD ＝( ) A.53 B.23 C.255 D.52 10．如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°.将纸片折叠，点A ，D 分别 落在点A ′，D ′处，且A ′D ′经过点B ，EF 为折痕．当D ′F ⊥CD 时，CF FD 的值为 ( ) A.3－12 B.36 C.23－16 D.3＋18 九年级下解直角三角形训练1 九年级下第一章解直角三角形教材分析 锐角三角函数刻画了直角三角形中边角之间的关系，它的直接应用是解直角三角形，而解直角三角形在现实生活中有着广泛的应用.锐角三角函数又是高中阶段学习任意角三角函数的基础，也是整个三角学的基础.因此，本章内容也是初中阶段数学学习的重点内容之一. 一、教学内容 本章的主要内容有锐角三角函数和解直角三角形的概念、有关锐角三角函数的计算，以及锐角三角函数在解决与直角三角形有关的问题中的应用. 研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想.因此本章还包含了数形结合的思想. 现实生活中与边角有关的实际问题 锐角三角函数 锐角三角函数的计算 锐角三角函数的运用 解直角三角形 解决与直角三角形有关的实际问题 本章内容之间的相互关系可用如下的结构框图表示： 框图说明： (1)现实生活中的边角之间存在着确定的数量关系，例如当斜面的倾斜角确定时，斜面的高度与斜面在水平方向的距离之比随之确定，说明斜面的倾斜角和斜面的高度与斜面在水平方向的距离的比值之间存在着某种函数关系. (2)锐角三角函数是指本学段所学的三角函数限定在锐角，本章所指的锐角三角函数包括正弦(sinA)、余弦(cosA)和正切(tanA)三种. (3)三角函数的计算包括已知锐角求三角函数值和已知三角函数值求锐角两个方面，当已知角或所求的角不是30、45和60这三个特殊角时，需要使用计算器进行计算. (4)锐角三角函数的运用主要包含解直角三角形与现实生活中的实际问题两个方面，而能用锐角三角函数解决的实际问题，都可归结为解直角三角形的数学问题，因此，锐角三角函数的运用核心是解直角三角形. 28.2 解直角三角形（二） 一、课前预习 (5分钟训练) 1.在△ABC 中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC 为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图28－2－2－1，在△ABC 中,∠C=90°,点D 在BC 上，CD=3，AD=BC,且cos ∠ADC= 5 3 ，则BD 的长是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 图28－2－2－1 图28－2－2－２ 3.如图28－2－2－２，在离地面高度5 m 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则AC=______，AD=__________.（用根号表示） 二、课中强化(10分钟训练) 1.等腰三角形的两条边长分别是4 cm 、9 cm ，则等腰三角形的底角的余弦值是( ) A. 94 B.45.4 C.92 D.9 3 2.如果由点A 测得点B 在北偏东15°方向，那么点B 测得点A 的方向为___________. 3.如图28－2－2－3，已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，∠ABC ＝45°，求BC 长及tanC. 图28－2－2－3 4.如图28－2－2－４，初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上C点用测角仪测得旗杆顶A点的仰角为∠AFE=60°，再沿着直线BC后退8米到D，在D点又测得旗杆顶A的仰角∠AGE=45°.已知测角仪的高度为1.6米，求旗杆AB的高度.（3的近似值取1.7，结果保留1位小数） 图28－2－2－４ 5.如图28－2－2－５，在比水面高2 m的A地，观测河对岸有一直立树BC的顶部B的仰角为30°，它在水中的倒影B′C顶部B′的俯角是45°，求树高BC.（结果保留根号） 图28－2－2－５ 三、课后巩固(30分钟训练) 1.如图28－2－2－6，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C 点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( ) A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα) 图28－2－2－6 图28－2－2－7 23.2 解直角三角形及其应用2 教学目标 【知识与技能】在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上,会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步 培养学生分析问题、解决问题的能力. 【情感、态度与价值观】 在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用,并提高学生将数学知识应用于实际的意识,从而体验“从实践中来,到实践中去”的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦,产生后继学习激情,增强学好数学的信心. 重点难点 【重点】直角三角形的解法. 【难点】灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 、教学过程 一、复习回顾师:你还记得勾股定理的内容吗? 生:记得. 学生叙述勾股定理的内容. 师:直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢? 生:两锐角互余. 师:直角三角形中,30 °的角所对的直角边与斜边有什么关系? 生:30 °的角所对的直角边等于斜边的一半. 师:很好! 二、共同探究,获取新知 1. 概念. 师:由sinA=, 你能得到哪些公式? 生甲：a=csinA. 生乙:c=. 师：我们还学习了余弦函数和正切函数,也能得到这些式子的变形.这些公式有一个共同 的特点,就是式子的右端至少有一条边,为什么会是这样的呢? 学生思考. 生：因为左边的也是边,根据右边边与角的关系计算出来的应是长度. 师：对!解三角形就是由已知的一些边或角求另一些边和角,我们现在看看解直角三角形 的概念. 教师板书： 在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形 2?练习 教师多媒体课件出示： ⑴如图⑴和(2)，根据图中的数据解直角三角形； 第一章解直角三角形达标测试卷 一、选择题(每题3分，共30分) 1.cos 30°的值为() A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 3 3 2．如图，已知Rt△BAC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝1 2，则BC的长是() A.2 B.8 C.2 5 D.4 5 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，已知AC＝5，BC ＝2，那么sin ∠ACD等于() A. 5 3 B. 2 3 C. 25 3 D. 5 2 4．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是() A.20° B.30° C.40° D.50° 5．已知cos θ＝0.253 4，则锐角θ约等于() A.14.7° B.14°7′ C.75.3° D.75°3′ 6．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列求旗杆CD长的式子中正确的是() A.CD＝b sin 33°＋a B.CD＝b cos 33°＋a C.CD＝b tan 33°＋a D.CD＝ b tan 33°＋a 7．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是() A.2 B.25 5 C. 5 5 D. 1 2 8．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AB＝2(1＋3)，则BC等于() A.2 B. 6 C.2 2 D.1＋ 3 9．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60 m到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为() A.82 m B.163 m C.52 m D.30 m 10．如图，钓鱼竿AC长6 m，露在水面上的鱼线BC长3 2 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长为3 3 m，则鱼竿转过的角度是() A.60° B.45° C.15° D.90° 二、填空题(每题3分，共30分) 11．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则tan α＝________． 12．若反比例函数y＝k x的图象经过点(tan 30°，cos 60°)，则k＝________． 13．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝2 3，则AB＝________. 14．某梯子与地面所成的角α满足45°≤α≤60°时，人可以安全地爬上斜靠在墙面上的梯子的顶端，现有一个长6 m的梯子，则使用这个梯子最高可以安全爬上__________高的墙． 15．某游客在山脚处看见一个标注海拔40 m的牌子，当他沿山坡前进50 m时， 第一章 解直角三角形测试卷 班级 __________ 学号 姓名 得分____ 1、 填空：（16分） （1） 三角函数的定义：sinA ＝ ， cosA= ，tanA = 。 （2）在△ABC 中，∠C ＝90°，13 5 sin = B ，则cosB ＝___________. （3）Rt △AB C 中，∠C ＝90°，220,20==c a ，则∠B ＝_________度． （4）△ABC 中，∠C ＝90°，10,5 4 sin == AB A ，则AC ＝_________. （5）已知△ABC 中，AB ＝24，∠B ＝450，∠C ＝600，AH ⊥BC 于H ，则AH ＝ ； CH ＝ ． 2、选择：（18分） （1）在Rt △ABC 中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ） A 、都缩小 5 1 B 、都不变 C 、都扩大5倍 D 、无法确定 （2）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于（ ） A 、6 B 、32 3 C 、10 D 、12 （3）已知∠A 是锐角，且A 等于（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、75° （4）在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知α和A ，则下列关系式中正确的是( ) A 、c=a ·sinA B 、c= A a sin C 、c=a ·cosA D 、c=A a cos （5）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:11=i ，坝外斜坡的坡度1:12=i ， 则两个坡角的和为 （ ） A 、090 B 、060 C 、075 D 、0105 （6）在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有 B A cos sin =，则这个三角形是 （ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 解直角三角形应用练习题 1 .如图，从山顶A望地面上C D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°, 已知CD=10（米，点C位于BD上，则山高AB等于 第3题 4. （莆田市? 2000）有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底为6m下 底长为10m高为 2 3m ，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为 （） A. 100米 C . 50 2 米 D. 50( .3 1)米 第1题 2. 一块四边形土地如图所示，其中/ ABD=120，AB丄AC，BD丄CD测得AB = 30 . 3m, CD = 50 3m 则这块土地的面积是 A. 2400 m2 B. ( ) 4800 .. 3m2 C. 2400 \ 3m22350：3m2 3.（黄冈市? 且它们的交角为 1 A. sin : 2000）如图，两条宽度都为1的纸条， a，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 （ 交叉重叠放在一起, 第2题 ) B . sin a 5. （宁夏回族自治区?2000）某人沿着倾角为a 斜坡前进cm,那么他上升 的高度是 （ ） A. c ? sin a m B. c ? tan a m C. c ? cos a m D . a ? co t a m 6. （吉林省? 1999）如图，为测一河两岸相对两电线杆 A 、B 间的距离，在 距A 点15米的C 处（ACL AB ）测得/ ACB=50，贝U A B 间的距离应为 （ ） A. 15sin50。米 B . 15cos50° 米 C . 15tan50。米 D. 15cot50 米。 第6题 7. 如图，一渔船上的 渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船 以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东 15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是 （ ） A. 7.2海里 B. 14 2海里 C . 7海里 D. 14海里 8. 已知有长为100米的斜坡AB,它的坡角是45°,现把它改成坡角是30° 的斜坡AD 贝U DB 的长是 __________ 。 9 .如图，线段AB CD 分别表示甲、乙两楼，AB 丄BD, CD L BD ，从甲楼顶部 A 处测得乙楼顶部C 的仰角为a =30。，测得乙楼底部D 的俯角 B =60。，已知甲 楼高AB=24米，则乙楼高CD= _________ 米。 — ,60° A. 3 C . 73,30° D. 3 北 北M \B 2.4 解直角三角形（2） 舜王初中备课组 学习目标： 1.能够构造直角三角形，利用直角三角形的角与角、边与边、角与边之间的关系解直角三角形. 2.通过解直角三角形提高学生的分析问题和解决问题的能力。感受数形结合在解题中的作用. 重点：解直角三角形. 难点：构造直角三角形 教学过程： 【温故知新】 1.什么叫做解直角三角形？ 2.在Rt △ABC 中，如图，∠C=90°,∠A,∠B ，∠C 的对边分别是a,b,c. （1）角之间的关系： （2）边之间的关系： 。 （3）角与边之间的关系： 【创设情境】 1、利用以上关系，已知直角三角形的两个元素（至少一个是 ），就可以解直角三角形了。 2、利用备好的三角形纸片摆一摆，拼一拼。大家试一试看谁摆的多？ 【探索新知】 活动一：探究例3 如图，在△ABC 中，已知∠A=60°，∠B=45°，AC=20cm,求AB 的长。 合作交流：（△ABC 不是直角三角形，怎么办？你是怎样构造直角三角形的?你构造的直角三角形能解决这个问题吗？试试看） 展示提升： 精讲点拨： 【巩固提升】 A 如图，在△ABC 中，已知∠B=45°，∠C=75°，AC=2cm,求BC 的长。 展示提升： 点评： 活动二：探究例4 已知一个等腰三角形ABC 的两边长分别为4和6，求底角的正切值. 合作交流：(要求底角的正切值，需在直角三角形中才能解答，怎么办呢？) 精讲点拨： 【巩固提升】 若等边三角形的边长为a,求它的面积 【课堂小结】(合作交流) 请你谈谈本节课的收获 （1） 知识上的收获 （2） 数学思想方法的领悟 【达标检测】 当堂检测： 1、在△ABC 中，已知 ∠A=60 °∠B ＝45°，AC ＝20cm ，求AB 的 长 2、如图，在△ABC 中，若∠B=60°，AB=6cm,，BC=8cm, 求（1）AC 的长 （2）△ABC 的面积 【我的反思】 B C B A 北师大版9年级下 第一章 解直角三角形全章测试（B ）卷 一、填空: 1.如图1,在Rt ΔABC 中,∠C=900,b=2,c=3,则sinA 的值为______. 2.如图2,在Rt ΔABC 中,∠C=900,tanA=4 7,b=2,则a=____. 3.若α为锐角,且sin(α－200)= 2 3 ,则α的度数为_______. 4.如图3,ΔABC 中,∠450,∠C=600,高AD=3,则BC=____. 5.如图4,ΔABC 中,AB=3,AC=6,∠A=450,则S ΔABC =_____. 6.等腰ΔABC 中,AB=AC=9,cosB=3 1,则BC=____. 7．△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC= 2 2则 BC= 8．P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（3，4），则sin α= ，cos α= 9．（2007南充）一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西50o的方向行驶40海里到达B 地，再由 B 地向北偏西10o的方向行驶40海里到达 C 地，则A 、C 两地相距为 海里。 ， 10．如图，一台起重机它的机身高AB 为20m 吊杆AC 的长为36m ，吊杆对水平线的倾角可以 从30°转到80°，则这台起重机工作的吊杆端点C 离机身的最远水平距离是 。 11．在△ABC 中，三之比为a:b:c=1：3：2，则sinA+tan 2B= . 12. ,在Rt ΔABC 中,∠C=900,BC:AC=3:4,则cosA= 。 13．反比例函数x k y 的图像经过点（tan45°,cos60°）,则k= 。 14．小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们 的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道____m ． （结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97） 二、选择题: 1.在Rt ΔABC 中,∠C=900,下列等式,一定成立的是( ) (A)sinA=cosA. (B)sinA=sinB. (C)sinA=cosB. (D)sin(A+B)=cosC. 2.在Rt ΔABC 中,∠C=900,下列等式,错误的是( ) (A)b=ccosA. (B)a=btanB. (C)a=csinA. (D)b=a/tanA. 3.ΔABC 中,∠C=900,cosB=4∶5,则AB ∶BC ∶CA=( ) (A)3∶4∶5 (B)3∶5∶4 (C)5∶4∶3 (D)4∶3∶5. 4.在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是a ，测得斜坡的倾角是α，则斜坡上相邻两树间是坡面距离是（ ）A 、a ?sin α B 、a ?cos α C 、a a sin D 、a a cos 5.已知α为锐角,则sin α+cos α的值一定( ) (A)大于1. (B)小于1. (C)等于1. (D)无法确定. 6.如图,ΔABC 中,∠C=900,CD ⊥AB,BD=8,AD=2,则tanA=( ) (A)4. (B)2. (C)2 1 (D)4 1 7.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠C=900,∠D=α,AD=b,DC=a,则AB=( ) (A)a －bcos α. (B)a+bcos α. (C)a+bsin α. (D)a －bsin α. 8．已知：α,β都是锐角，且α＞β，则下面式子中，错误的是( ) （A ）cos α＜cos β（B ）tan α＞tan β（C ）sin α＞sin β（D ） αtan 1＞β tan 1 9．已知：α,β都是锐角,且α,β满足关系式丨sin α-0.5丨+丨tan β-1丨=0,则下列式子中,正确的是( )（A ）α+β=75°（B ）α+β=60°（C ）α+β=105° （D ）α+β=90° 10．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为 ( ) A 、 a sin 1 B 、a cos 1 C 、sina D .1 第一章 解直角三角形 【本检测题满分:120分，时间:120分钟】 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.计算： A. B. 232+ C.23 D.2 3 1+ 2.在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB =5∶12∶13，则cos B （ ） A ． 125 B ．512 C ．135 D ．13 12 3.（2015·浙江丽水中考）如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ， CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ） A . B. C . D. 第3题图 第4题图 第5题图 4.（2015?湖北荆门中考）如图，在△ABC 中，∠BAC =90゜,AB =AC ,点D 为边 AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ,则tan ∠DBC 的值为（ ） A. B. -1 C.2- D. 5.(2015·山西中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ,B ,C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( ) A.2 B. C. D. 6.已知在Rt ABC △中，3 90sin 5C A ∠==°， ，则tan B 的值为（ ） A.43 B.45 C. 54 D.3 4 7.如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10 m ，此时小球距 离地面的高度为( ) A.5 m B.25 m C.45 m D. 3 10 m 8.如图，在菱形中， ，3 cos 5 A =， ，则tan ∠的值是（ ） A ． 12 B ．2 C ．52 D ．5 5 9.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 10.（2015·哈尔滨中考）如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC ＝1 200 m,从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝30°，则飞机A 与指挥台B 的距离为（ ） A.1 200 m B.1 200 m C. 1 200 m D.2 400 m 第10题图 解直角三角形专项练习(含答案) 一、 填空题： 1. （广东03/6）若∠A 是锐角，cosA ＝ 2 3 ，则∠A ＝ 。 2. （陕西03/12）在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝21 ，则sinA ＝ ； 3. 求值：1sin 60cos 4522 ?? ?+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。 4. （宁夏03/19）在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米， 那么，相邻两棵树间的斜坡距离为 米。 5. （上海闵行区03/14）已知等腰三角形的周长为20，某一内角 的余弦值为 3 2，那么该等腰三角形的腰长等于 。 6. （黑龙江03/10）如图：某同学用一个有60°角的直角三角板 估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、B 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。（精确到1米，3取1.732） 7. （四川03/3）如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且 BE ＝2AE ，已知AD ＝33，tan ∠BCE ＝ 3 3，那么CE ＝ 。 8. （上海03/13）正方形ABCD 的边长为1。如果将线段BD 绕着点 B 旋转后，点D 落在B C 延长线上的点 D '处，那么tan ∠BA D '＝ 。 二、选择题 1. （四川03/8）在△ABC 中，已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ） A 、SinA ＝ 45 B 、cosA ＝53 C 、tanA ＝43 D 、cotA ＝5 4 2. （黄冈03/9）在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cosB 等于 （ ） （A ）3 （B ）2 （C ）33 （D ） 32 3. （扬州03/11）为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得 楼顶B 的仰角为α,则楼房BC 的高为（ ） E D C B A 四川03/3 D A B C α 的邻边 的对边A A ∠∠课题：28．2解直角三角形（2） 【学习目标】 ⑴: 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 【学习重点】 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 【学习难点】 实际问题转化成数学模型 【导学过程】 一、自学提纲： 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系： tanA= 二、合作交流： 仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 三、教师点拨： 例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果精确到0. 1 km) 斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠= sin 例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)? 四、学生展示： 一、课本93页练习第1 、2题 五、课堂小结： 六、作业设置： 课本第96页习题28．2复习巩固第3、4题 七、自我反思： 本节课我的收获: 。九年级下第一章 解直角三角形教材分析
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