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28．2．2解直角三角形（第6课时）班级： 登分号： 姓名：【学习目标】：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步提高分析问题、解决实际问题的能力．【学习重点】结合方位角和坡度的知识，根据直角三角形边角间的关系解直角三角形【学习难点】结合方位角和坡度的知识，根据直角三角形边角间的关系解直角三角形请先阅读课本75-76页内容，在完成导学案以下内容一、旧知回顾1、计算 (1)o 45cos 230sin 2-︒ (2)tan30°－sin60°·sin30°2．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．二、例题学习例1 （课本76例题）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处.这时，B 处距离灯塔P 有多远(结果取整数)?坡度和坡角（如图）（1） 破面的铅直高度AC 和水平宽度BC 的比叫做斜面坡度；斜面坡度一般用i 来表示，即AC i BC=； （2） 坡面与水平面的夹角叫坡角； （3） 斜面坡度与坡角B ∠的关系：AC i BC ==tan B 例2：利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC 为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．变式训练：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤．大堤高5m ，坝顶宽4m ，迎水坡和背水坡（CD ）都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m ，背水坡（GF ）坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?三、课后练习：1．[2014·德州]如图28－2－27是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12 m，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为()A．4 3 m B．6 5 m C．12 5 m D．24 m图28－2－27图28－2－282．[2014·南宁]如图28－2－28，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C 到航线AB的距离CD等于________海里．3．[2014·珠海]如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间(结果精确到0.1小时)．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)3 4．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500m 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求(1)A、C两地之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向?5、如图，已知MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区。
初三数学第六章解直角三角形师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 第六章解直角三角形正弦和余弦，正切和余切学习目标：1. 掌握正弦、余弦，正切和余切的定义。
2. 能对图形和式子进行灵活变化。
3. 掌握特殊角的正弦、余弦、正切和余切值。
4. 注意数形结合思想，转化思想和方程思想的提炼和运用。
重点：1. 正、余弦函数定义，正、余切函数定义。
2. 灵活将图形和式子进行变化。
难点：对正、余弦，正、余切概念的理解和认识。
一. 基础知识分析1. 正弦——Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作：sinA即：的对边斜边sin A A =∠2. 余弦——Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA即：∠的邻边斜边cosA A =如图：A b Ｃsin cos A a cA b c==3. 正、余弦的定义：（）范围为锐角时，为锐角时，10101αααα<<<<⎧⎨⎩sin cos（）一般角互余两角函数关系：（）同角正、余弦关系：290122sin cos sin cos αααα=-+=⎧⎨⎪⎩⎪ （）特殊角：、、、、各角正、余弦值。
3030456090（）增减性为锐角时，随增而增为锐角时，随增而减4ααααααsin cos ⎧⎨⎩4. A A tanA 正切——∠的对边与邻边的比叫做∠的正切，记作，即的对边的邻边tan A A A =∠∠5. 余切——把∠A 的邻边与对边的比（即tanA 的倒数）叫做∠A 的余切，记作：cotA即的邻边的对边cot tan A A A A =∠∠=1tan cot cot tan A A A A =-=-（）（）90906. 正、余切的定义（）一般角互余两角关系：（）同角正、余切：同角三角函数关系：（）范围时，时，190120450114590011tan cot tan cot tan sin cos tan cot cot tan ααααααααααααα=-⋅==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪<≤<≤≥<≤≤<>⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪（3）特殊角30°、45°、60°各角正、余切值（）增减性为锐角时，随增而增为锐角时，随增而减4ααααααtan cot ⎧⎨⎩二. 典型例题分析例如果为锐角，那么的值是（）1. αααsin cos +A. 小于1B. 等于1C. 大于1D. 无法确定 分析：由锐角三角形函数的定义。
《解直角三角形》讲义一、直角三角形的基本概念直角三角形是指其中一个角为 90 度的三角形。
在直角三角形中，90 度角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
二、解直角三角形的定义解直角三角形就是已知直角三角形中的除直角外的两个元素（至少有一个是边），求出其余的未知元素。
三、解直角三角形的依据1、三边关系（勾股定理）：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即 a²＋ b²＝ c²，其中 a、b 为直角边，c 为斜边。
2、锐角关系：直角三角形的两个锐角互余，即∠A ＋∠B ＝90°。
3、边角关系：正弦（sin）：对边与斜边的比，即 sinA ＝ a/c，sinB ＝ b/c。
余弦（cos）：邻边与斜边的比，即 cosA ＝ b/c，cosB ＝ a/c。
正切（tan）：对边与邻边的比，即 tanA ＝ a/b，tanB ＝ b/a。
四、解直角三角形的基本类型1、已知两条直角边 a、b，求斜边 c 及两个锐角。
先利用勾股定理求出斜边 c ＝√（a²＋ b²)，然后根据三角函数求出锐角。
例如：已知直角三角形的两条直角边分别为3 和4，求斜边和锐角。
斜边 c ＝√（3²＋ 4²) ＝ 5sinA ＝ 3/5，则∠A ≈ 3687°sinB ＝ 4/5，则∠B ≈ 5313°2、已知一条直角边 a 和斜边 c，求另一条直角边 b 及两个锐角。
利用勾股定理求出 b ＝√（c² a²)，再通过三角函数求出锐角。
比如：直角边为 6，斜边为 10，求另一直角边和锐角。
b ＝√（10² 6²) ＝ 8sinA ＝ 6/10 ＝ 06，∠A ≈ 3687°sinB ＝ 8/10 ＝ 08，∠B ≈ 5313°3、已知一条直角边 a 和一个锐角 A，求其他元素。
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解直角三角形在中考试卷中,对于锐角三角形的概念，直角三角形中的边角关系，简单的解直角三角形等知识点的考查多以填空题和和选择题的形式出现,而运用解直角三角的知识解决实际问题，则成为近年来中考的热点。
解直角三角形问题，关键是正确运用直角三角形中的边角关系,同时要注意运用勾股定理、代数式的变形及方程思想。
解非直角三角形时，一定要通过作辅助线构造出直角三角形，将非直角三角形问题转换为直角三角形问题。
本知识点复习备考时应注意以下几点：1、熟练掌握锐角三角函数的概念，灵活应用特殊三角函数值来解决相关计算、求直角三角形的边和角等问题，能根据实际情况构造、构造出直角三角形解决问题.2、解答有关斜角问题时，能灵活地将其转换为易解答的直角三角形问题求解。
知识点总结一、锐角三角函数（一）、基础知识1．锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，∠C=900,设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：（1）正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦,记作sinA，即a,sin A =c（2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即b,cos A =c（3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即a，tan A =b这种对锐角三角函数的定义方法,有两个前提条件：（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；（2)在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示. 否则，不存在上述关系2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。
岳阳市鹰山中学电子教案科目：数学九年级主备教师：李晓素执教教师：课题：正切时间：知识与技能目标：使学生进一步理解正切的概念，能够正确地用tanA、表示直角三角形(其中一个锐角为∠A)中两边的比，了解tanA与它的余角的正切值成倒数关系，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切值与它的余角正切值之间的关系．过程与方法目标：逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力情感态度价值观目标：培养学生独立思考、勇于创新的精神课型：讲授教学重点：理解熟记特殊角的正切值教学难点：理解正切的概念，求值计算教学用具与教学方法：课件计算器修改意见教学过程：一、回顾知识：1．什么是锐角∠A的正弦、余弦？(结合图6-8回答)．2．填表3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？5．我们已经掌握一个锐角的正弦(余弦)是指直角三角形中该锐角的对边(邻边)与斜边的比值．那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其它一些三角函数，本节课我们进一步学习正切二、复习正切的概念①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切．”②给出正切概念如图6-10，在Rt△ABC中，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA ．即tanA=的邻边的对边A A ∠∠2．tanA 与tan （90°-a ）的关系请学生观察tanA 与tan （90°-a ）的表达式，得结论tana.tan （90°-a ） 这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解三、引入新知：锐角三角函数由上图，把锐角A 的正弦、余弦、正切、都叫做∠A 的锐角三角函数． 锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目． 问：锐角三角函数能否为负数？学生回答这个问题很容易．4．特殊角的三角函数．三角函数/0°/30°/45°/60°/90°请同学推算30°、45°、60°角的正切值．(如图6-11)5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与与它余角的正切值的关系．结论：任意锐角的正切值等任意锐角的余角的正切值．练习：1)请学生回答tan45°的值是多少？tan60°与tan 30°？tan30°与cot60°呢？学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题：tan60°与tan30°有何关系？为什么？2)把下列正切改写成余角的正切：(1)tan52°； (2)tan36°20′； (3)tan75°17′； ．6．例题例1 求下列各式的值：(1)2sin30°+3tan30°+tan 45°； 2)cos245°+tan60°·cos30°．讲解例1练习：求下列各式的值：(1)sin30°-3tan30°+2cos30°；(2)2cos30°+tan60°；(3)5tan30°-2cos60°+2sin60°+tan0°；(4);45sin 45cos 22︒+︒学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力．四、总结扩展。
