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球的组合体问题1(球的组合体问题最全分类和解法研究)

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球的组合体研究（球中的截面问题 及 球与其它几何体的切接问题）王宪良[学习目标]1.学习球与其它几何体切接的直观图的画法。

2.掌握球的截面的性质；3.理解掌握球的切接题目的类型和解法；4.培养空间想象能力，能根据题意正确画出组合体的直观图。

一、基础知识与概念： 1.有关定义（1）球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，（2）外接球：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 如图（3）内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.如图（4）大圆：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等（它是截面圆中最大的圆）； （5）小圆：不过球心的截面所截得的圆叫小圆． 2．外接球的有关知识与方法 （1）性质：性质1：球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 性质2：经过小圆的直径与且小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：球心和截面圆心的连线垂直于截面（类比：圆的垂径定理）；性质4：在同一球中，过两不平行截面圆的圆心且垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）；性质5：球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． （2）结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体截得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；ca b初图2初图1NOO 1PEFOO 1D 1C 1B 1DCA 1O 2ABM结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连线段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱与该棱柱的外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球.（3）终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 3．内切球的有关知识与方法（1）若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.（2）内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等(类比：与多边形的内切圆、外接圆) （3）正多面体的内切球和外接球的球心重合.（4）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 4．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 二、理清位置，学会画图 先画一个大圆与一个或两个小圆。

1．多面体的外接球（球包体）模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）球包 直柱注：凡是有一条侧棱垂直于底面的柱或锥，都能补成同球内接圆柱，则都可用以下公式求其外接球的半径球包正方体速算a R 23=球包长方体2222c b a R ++=球包四棱柱速算:球径公式(右)球包三棱柱 速算:球径公式(右)球包直锥 三棱锥速算：球径公式(右)球径公式：222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（r 为底面外接圆半径）关键：构建Rt △四棱锥速算：球径公式(右)r速算模型2：“顶点连心”锥:锥体的顶点与球心及其在底面的投影(都是底面多边形外接圆的圆心)两心一顶连成线,构建Rt △ 实例：正棱锥图5-6DPOO ABC球径计算方程：()222h R r R -+=2222202h r h hR r R h+⇒-+=⇒=，（h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径）特别地，（1）边长为a 正四面体的外接球半径：R =________．a 46 （2）底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径：R =____．h h a 6322+（3）底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径：R =____．hh a 4222+2．正多面体的内切球（体中球）棱锥的内切球：(由等体积法)R =____．锥表锥S 3V 圆锥的内切球：(若圆锥高为h ，底面半径r )R =22r h r hr ++边长为a 的正方体： 2aR =等边圆柱（母线a ）： R =2a ． 边长a 的正八面体：R =a 66 ①对于正三角形、等腰直角三角形、一般直角三角形：②对于一般三角形：r CcB b A a 2sin sin sin ===注：不用记忆结果，应画好直观图，做好轴截面图，会用平面几何知识求半径。

3．正多面体的“l 棱切球”（与所有的棱都相切的球）正四面体边长为a ，球半径(是对棱距离的一半)R =_______.a 42 正方体边长为a ，球半径R =a 22 正四面体边长为a ，球半径R =2a三、球的问题的六种题型和解法球心可以确定球的位置，半径可以确定球的大小。

球心和半径是确定球的两个重要的量。

“求球的表面积、体积、半径或已知球的半径而求切接几何体的棱长”等是常见题目，它们的求解都离不开“求球的半径R”，据此可把球的切接问题分成六种类型。

（见思维导图）（一）简单的 ——（1）能直接用222R d r =+求解的；（2）正方体与球的切、接；（3）长方体内接于球（球包长方体）；对于（1）如图对于（2）（3），球心在体对角线的交点处，请先观看视频如图：①正方体的内切球 ②球与正方体的棱相切 ③正方体的外接球分别作直观图如下说明：①正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。

设正方体的棱长为a ，球半径为R 。

如图，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2aR =； ②与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。

③正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图，以对角面1AC 为截面作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==（作为记住）。

④球包长方体2222c b a R ++= 下面分别就（1）（2）（3）种情况举例分析例1．（1） (2012·课标全国，8，中)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π解：(直接用222R d r =+求解)如图，设平面α截球O 所得圆的圆心为O 1，则|OO 1|＝2，|O 1A |＝1，∴球的半径R ＝|OA |＝2＋1＝ 3. ∴球的体积V ＝43πR 3＝43π.故选B.例1．（2）【2012高考新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 26 ()B 36 ()C 23 ()D 22 【解析】(用222R d r =+求解)ABC ∆的外接圆的半径33r =，点O 到面ABC 的距离2263d R r =-=,SC 为球O的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2623d =， 此棱锥的体积为113262233436ABC V S d ∆=⨯=⨯⨯=另解（估算法）：13236ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A.例1.（3）求棱长为4的正方体的外接球和内切球的体积。

解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径2R ，正方体的棱长即为其内切球的直径2r ，因为正方体的棱长为4，故2R=34，2r=4，所以32=R ，（或直接用公式得3242323=⨯==a R ）. 2=r ，从而πππ3323234R 3433===）（外接球V ；332234r 3433πππ===内切球V . 例1.（4）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．22B ．1C ．212+D ．2解：(利用截面图)由题意可知，球为正方体的外接球，平面D D AA 11截球所得的圆面的半径2221==AD R ，因为D D AA 11面⊂EF ，且EF 过截面圆圆心，所以直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22=R . 选D例1.(5) （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。

长方体体对角线长为=++=2223212R 14，所以214=R ，故球的表面积为==24R S π14π. 巩固训练：1．能直接用222R d r =+求解的（1）(2013·课标Ⅰ，15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________． 解：平面α截球O 所得截面为圆面，圆心为H ，设球O 的半径为R ，则32231RR AH =⨯=，R R R AH R OH 3132=-=-=，所以OH ＝13R . 由圆H 的面积为π，得圆H 的半径为1，所以⎝⎛⎭⎫R 32＋12＝R 2，得R 2＝98，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π·98＝9π2. 填 9π2 （2）已知三棱锥S-ABC 各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若AB=AC=2，∠BAC=32π，三棱锥S-ABC 的体积为4，则球O 的表面积为（ ）A ．120πB ．64πC ．32πD ．16π解：如图，在△ABC 中，由余弦定理，得32=BC ，又由正弦定理32sin2πBCr =，得底面△ABC 的外接圆半径r=A O '=2，又因为332sin 21=⋅=∆πAC AB S ABC ，且三棱锥S-ABC 的体积为4，得4331=⨯=h V ，所以34=h ，所以322=='hO O ，在A O O Rt '∆中，由勾股定理得球半径422='+'==O O A O OA R ，则球O 的表面积ππ6442==R S .选B. （3）(2013·课标Ⅱ，15)已知正四棱锥O -ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．【解析】 设底面中心为E ，由球的截面性质知ABCD OE 底面⊥，则|AE |＝12·|AC |＝62，∵体积V ＝13|AB |2·|OE |＝|OE |＝322，由球的截面的性质知△OEA 为Rt △，∴|OA |2＝|AE |2＋|OE |2＝6. 从而以O 为球心，OA 为半径的球的表面积S ＝4π·|OA |2＝24π. 填24π（4）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。

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球的综合应用PPT教学课件

球的综合应用PPT教学课件


在线讨论：
（4）ClO2为高效低毒的消毒剂，其消毒的效率（以
单位质量得到电子数表示）是Cl2的
倍。
（5）我国广泛采用将经干燥空气稀释的氯气通入填
有固体亚氯酸钠（NaClO2）的柱内制得ClO2，表示 这一反应的化学方程式
是
，和欧洲的方法相比，
我国这一方法的主要优点是
6、实验室可用氯气与金属铁反应制备无水三氯化铁， 该化合物是棕红色、易潮解，100℃左右时升华。下 图是两个学生设计的实验装置、左边的反应装置相同， 而右边的产品收集装置则不同，分别如（Ⅰ）和（Ⅱ） 所示。试回答：
π
离为 2 ，经过AB的平面中与球心的最大距离为： 2、圆锥的底面半径为3cm，母线间的最大夹角为60°， 则这个圆锥的内切球的表面积为 3、已知AB是球O的直径，D在以BC为直径的小圆周上， AB与平面BCD所成的角为θ ，过OD垂直于平面BCD的 截面交BC于E (1)求证：E为小圆BCD的圆心
HCl+HClO
NaOH Ca(OH)2 KI淀粉
FeBr2
NaCl+NaClO CaCl2+Ca(ClO)2
I2 FeCl3+Br2
知识体系：
一、物理性质 二、化学性质 1、金属 2、非金属 3、化合物 （1）水 （2）碱 （3）还原剂 （4）有机物 三、氯气的用途：见书
四、氯气的制法 工业制法 实验室制法 （1）原理 （2）装置 ①发生装置 ②除杂（HCl 、H2O） ③收集 ④验满 ⑤尾气处理
检查预习：
4、氯气的实验室制法： (1)反应原理： (2)制气类型： (3)发生装置： (4)收集方法： (5)除杂装置： (6)尾气吸收：
知知识网网络络：
HCl
第讲简单多面体球与组合体

第讲简单多面体球与组合体

又 R A 在 t 中 H SS 2 ， H S2 A A2H
所 以SH2x2 （3x） 22x2
②
33
2
S
联 立 ① ②得
2 3xR
（3x） 29 3
解得 x2 6
h 4
即正四面体的高为4.
O
C
A
H
B
【回顾与反思】
球与多面体的切、接问题，要弄清位置 关系，选择最佳角度作出截面，以使空 间问题能转化为平面问题解决.
O4 O3
【回顾与反思】遇到一些比较陌生，正面不易求解的试题 时，考生应注意认真审题，尽量转化为自己比较熟悉的典 型习题，结合熟悉的背景，化繁为简、化陌生为熟悉.
谢谢！
令y=1,则z=－2, x=4, 故n=(4, 1, －2).
又由(1)知，A1C⊥平面BED
D1 z A1
故 n, A1C 等于二面角A1-DE-B的平面角，
则
cos
n,A1CnnA A11C C
14. 42
D
A
所以二面角A1-DE-B的大小为
arccos
14 42
x
C1
B1
E
C
y
B
典例精析
(1)求A1A与底面ABC所成的角； (2)证明A1E∥平面B1FC； (3)求经过A1、A、B、C四点的球的体积.
【分析】本题是一道立体几何的综合 题，以三棱柱为载体，考查了线面角、
A1
线面平行、外接球等内容.本题中求外
接球的体积关键是根据已知条件确定
外接球的球心，再求出半径.
C1 B1
解析 (1) 过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H. 连结AH， 并延长交BC于G，连结EG，
高一数学球、简单组合体的结构特征

高一数学球、简单组合体的结构特征

思考2:现实世界中几何体的形状各种各样， 除了柱体、锥体、台体和球体等简单几何体 外，还有大量的几何体是由这些简单几何体 组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.你 能说出周围物体所示的几何体是由哪些简单 几何体组合而成的吗？
思考3:试说明下列几何体分别是怎样组 成的？
思考4:一般地，简单组合体的构成有那 几种基本形式？ 拼接，截割 思考5:试说明如图所示的几何体的结构 特征.
第三课时 球、简单组合体的结构特征
问题提出
1.棱柱、棱锥、棱台是三个基本的多面 体，圆柱、圆锥、圆台是三个基本的旋 转体，其中棱柱和圆柱统称为柱体，棱 锥和圆锥统称为锥体，棱台和圆台统称 为台体.除此之Байду номын сангаас，在我们的生活中还有 一个最常见的空间几何体是什么？ 2.球是多面体还是旋转体？球有什么结 构特征？
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是因为我不曾结婚、所以你才肆无忌惮的一直都不曾出现，是因为你一直都不曾出现、所以我才无所畏惧的一直单着么——那个人到 底是谁！ 钟思第一次遇见陆尘的时候是在相亲的桌面上，她大学毕业有几年却从来没有计划关于结婚的事宜，父母却越发的开始为她瞎操起心 了来，居然要安排她去相亲，简直是惨绝人寰还要不止！ 她从小到大虽说算不上拔尖的漂亮，但好在也算温婉清秀，居然都要沦落到要去相亲的份上了，要怪只怪爸妈让她从小要好好学习、 不许动任何旁的心思，以至于她到大学都不曾动过那样的念想，也只想着好好完成学业，将来能做上一份体面的工作，这可不都是爸 妈所期望的一切么！怎么才开始觉得自己的生活过得小资些了的时候父母居然又出新招，居然凄凄惨惨的表示“思思呀，你也不小了， 这都二十五岁的人了，怎么也没见你带个男朋友什么的回家来过呢？” 钟思当时听到这样的话语时一口饭差点没呛死自己“啥，男朋友？” 钟妈妈点点头“是呀，你看看人荌苒大学的时候就带男朋友回家了，怎么你们天天一起的，你却总是一个人呢？” 钟思嘴角抽搐的张了张嘴居然觉得自己竟无言以对！ 是谁让她要以学业为重来着，这不才缓过神来将沉重的学业放下没多久，又熬过了艰难的见习期，工作才刚刚做得越发上手，居然又 被爹妈闹出这么一出幺蛾子，还能不能让人歇歇了！ 她那一刻居然开始羡慕起她的发小白荌苒来着，从小学习也不算好，总爱嬉闹没个正经，高中遇见庄逍遥之后居然铁了心要考进一流 大学，以她当时的成绩是如何能考取一流的大学呢？那妮子居然为了那样一位男生那般的费劲心思，为了快速提高自己的学习成绩， 放假之际居然不再胡作非为的瞎玩瞎闹还一天天的缠着她让她给她讲解学业上的疑难知识点。
球的组合体专题训练

球的组合体专题训练

球组合体问题专项练习一、正方体、正四面体外接球与内切球问题1.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球(1)外接球:球心是正方体中心;半径a(a 为正方体的棱长). (2)内切球:球心是正方体中心;半径r=2a(a 为正方体的棱长).(3)与各条棱都相切的球:球心是正方体中心;半径a(a 为正方体的棱长).外接球 内切球 与各条棱都相切的球2. 正四面体的外接球与内切球方法（1）：将问题转换为等腰三角形ADF 线段关系问题，易证r:R:h=1:3:4(h 为正四面体的高AE). 方法（2）：将正四面体看成正方体切割而来，由正四面体棱长求出正方体棱长，再求出R ，根据比例可求r ，h.(1)外接球:球心是正四面体的中心;半径a(a 为正四面体的棱长).(2)内切球:球心是正四面体的中心;半径a(a 为正四面体的棱长).→方法（1） 方法（2）二、可补成长方体的几何体的外接球问题（所有顶点为所补长方体的顶点） 其本公式：2222121c b a l R ++== 1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .2．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为，则该“阳马”的体积为________.正视图 侧视图3．将边长为2的正 沿高 折成直二面角 ，则三棱锥 的外接球的表面积是________.4．在三棱锥 中，三侧面两两互相垂直，侧面 的面积分别为，则此三棱锥的外接球的表面积为________.5．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点， 平面ABC ， ， ， ，则球O 的体积等于________.6.已知四面体ABCD 中，AB=CD=2，BC=AD=3，BD=AC=7，则该四面体外接球的表面积为________.二、有一条侧棱垂直于底面的锥体或柱体（直棱柱）的外接球问题其本公式：222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=h r R ，h 为垂直于底面的侧棱长，r 为底面所在截面半径（若底面为三角形，则)3,60;2,90,sin 2a r A a r A A a r ===== 特别地.1.已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12,AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的半径为________.2.已知 ， ， ， 是同一球面上的四个点，其中 是正三角形， 平面 ， ，则该球的表面积为________.3．三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为________.4.三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ， Q 是BC 边上的一个动点，且直线PQ 与面ABC 所成角的最大值为 则该三棱锥外接球的表面积为________.5.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为________.三、已知两个面所成的二面角大小的四面体外接球问题 其本公式：22222121d r d r R +=+=，d 为球心到截面距离，r 为该截面半径.基本图形：有两个直角的四边形21MO OO （或两个相似直角三角形），21MO O ∠为二面角的平面角,多数题目所给条件中易求出O 1M ，O 2M ，r 1，r 2的值，此时，将四边形补成直角三角形，只需求出d 1或d 2的值，代入公式即可求R.1. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为________.2.已知空间四边形ABCD ，∠BAC ＝ ，AB ＝AC ＝2 ，BD ＝CD ＝6，且平面ABC ⊥平面BCD ，则空间四边形ABCD 的外接球的表面积为________.3.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK=23，且圆O 与圆K 所在的平面所成的角为60°，则球O 的表面积等于 .4.在四面体 BCD 中，AC=6，∠ADC=45°，∠ABC=60°，二面角B-AC-D 为60°，则该四面体外接球的表面积是________.5.已知等边△ABC 的边长为4，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，将△ABC 沿DE 折成x 度的二面角，根据以下条件，求四棱锥A-BCED 外接球的表面积.（1） 90=x ； （2） 120=x ； （3）60=x ；6．在四面体 中， ，若四面体 的外接球的体积 ，则 ____________．参考答案：一、1.29π；2.316；3.π5；4.π14；5.34π；6.π10. 二、1.213；2.π192；3.π34；4.π57；5.62. 三、1.318；2.π60；3.π16；4.()π316100-；5.（1）352π，（2）9244π，（3）9148π；6.22.。