球的组合体问题教师版

【课题】9.5 柱、锥、球及其简单组合体(一)
【教学目标】
知识目标：
（1）了解棱柱、棱锥的结构特征；
（2）掌握棱柱、棱锥面积和体积计算.
能力目标：
培养学生的观察能力，数值计算能力及计算工具使用技能.
【教学重点】
正棱柱、正棱锥的结构特征及相关的计算．
【教学难点】
正棱柱、正棱锥的相关计算．
【教学设计】
教材首先介绍了多面体、旋转体的概念．然后通过观察模型，说明棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的结构特征及其面积、体积的计算公式．正棱柱的侧面积、全面积、体积的计算公式经常使用，不要把侧面积、全面积计算公式记混了．
侧面都是全等的矩形的直四棱柱不一定是正四棱柱．底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱．四棱锥P-ABCD中，如果棱锥的侧棱长相等，那么它一定是正四棱锥．如果棱锥的底面是正方形，那么它不一定是正四棱锥．
例1是求正三棱柱的侧面积和体积的题目，例2是求正三棱锥的侧面积和体积的题目，
要记住边长为a
的正三角形的面积为2
S ．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟) 【教学过程】
（3）（4）9−55
图9−57
观察正棱柱的表面展开图（图9−57），可以得到正棱柱的侧面积、全面积计算公式分别为
（
=
S ch
正棱柱侧
=+（
2
S ch S
图9−58
图9−61
观察正棱锥的表面展开图（图9−61），可以得到正棱锥的侧面积、全面积（表面积）计算公式分别为
h c '=21
（9.4）
S h c +'=
1
图9−62
P-ABC（图9−62）中，高POD中，
【教师教学后记】。

球的组合体（难）1.（2011·辽宁卷·文科）已知球的直径4SC =，A ,B 是该球球面上的两点，2AB =，45ASC ∠=o ，则棱锥S ABC -的体积为ABCD2.（2011·辽宁卷·理科）已知球的直径4SC =，A ,B是该球球面上的两点，AB =ASC BSC ∠=∠30=o ，则棱锥S ABC -的体积为A．．32 C ．3 D ．13.如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，点P 早平面ABC 内的射影D 恰好落在AB 上，且1AD =，2PD =，则P ABC -外接球的表面积为A ．9πB ．8πC ．12πD ．14π （提示：构造直三棱柱）4.（2011·全国课标卷·理科）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，BC =O ABCD -的体积为 .5.如图所示，已知四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，2SA =，3BC =，BCD DAB ∠+∠π=，二面角S BC A --的大小为3π，若四面体S ACD -的四个顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为 CA． B ．4π C ．8π D ．16πA PB C D AB CD S6.在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是等边三角形，90BAC ∠=o ，2AB AC ==，PC =，则该三棱锥外接球的表面积为 . 283π.7.（2012·全国课标卷·理科）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为 AA.63D.28.（2002·全国课标卷·理科）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.π3B.π4C.π33D.π69.在三棱锥P ABC -中，1AB AC ==，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABC ，且直线PA与平面PBC 所成角的正切值为12，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 A A.43π B.23π C.3π D. 4π 10.如图所示，在正三棱锥S ABC -中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥ AM，SA =，则正三棱锥的外接球的表面积为 CA.12πB.32πC.36πD.48πA BC P ABCS M N。

高中数学球体组合问题教案
课时安排：1课时
教学目标：
1. 熟练掌握球体组合问题的解题方法；
2. 能够灵活运用组合数学知识解决现实生活中的问题；
3. 培养学生分析和解决问题的能力。

教学内容：
球体组合问题的解题方法
教学步骤：
1. 引入新知识（5分钟）
通过展示一道球体组合问题，引导学生思考如何解决这个问题。

2. 理解概念（15分钟）
解释组合数学中的球体组合问题是指在一组球体中选择出若干个球体的组合方式。

讲解组合数学的基本概念和公式。

3. 练习与讨论（20分钟）
让学生通过练习题目，掌握球体组合问题的解题方法，并引导他们讨论解题思路。

4. 实践运用（15分钟）
给学生提供一些现实生活中的球体组合问题，让他们运用所学知识解决问题。

5. 总结与拓展（5分钟）
总结本节课所学的知识，并拓展到其他类型的组合问题。

教学工具：
投影仪、黑板、练习题目
作业布置：
布置相关练习题目作为课后作业，加深对球体组合问题的理解。

教学反思：
在教学中要注重引导学生思考问题的方法和逻辑，培养他们的解决问题的能力，并且要和现实生活结合起来，让学生感受到数学知识的实际应用。

培优14 与球有关的组合体一、侧面与地面垂直的几何体的外接球问题例1：已知在三棱锥C ABD -中，ABD △是等边三角形，BC CD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球表面积为4π，则AC =（ ）A ．3 B ．6 C ．3D ．32【答案】C【解析】根据题意，画出图形，设且外接球球心为O ，半径为R ， 根据题意，有24π4πR =，解得1R =，根据题意，有球心O 为正三角形ABD △的中心， 因为1OD =，所以1AO =，12OF =，所以正三角形ABD △3， BC CD ⊥，所以1322CF BD ==， 因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以π2AFC ∠=， 所以2239344AC CF AF =+=+= 二、通过投影找外接球球心例2：已知球O 内接正四面体P ABC -，E 为棱PA 的中点，F 是棱PB 上的一点， 且2FC EF =，则球O 与四面体P EFC -的体积比为（ ） A ．3πB ．3πC ．183πD ．3π【答案】D【解析】如图，正四面体P ABC -中，顶点P 在底面的射影为1O ，球心O 在1PO 上． 设正四面体的棱长为2a ， 则正四面体高222211232()62()3PO PC O C a a a =-=-=．设外接球半径为R ，在直角三角形1OO C 中，22211OC OO O C =+，即2222623()()R a R a =-+，解得6R a =． 令PF λ=，在PEF △中，由余弦定理得222222cos60EF PE PF PE PF a a λλ=+-⋅⋅︒=+-①，同理，在PFC △中，由余弦定理得222222cos6042FC PC PF PC PF a a λλ=+-⋅⋅︒=+-②，由题设2FC EF =，解得23a λ=． 由于P 到平面ABC 的距离与C 到平面PAB 的距离相等，都等于1||PO ，213||||sin 6026PEF S PE PF a =︒=△， 故231113262||33639P EFC PEF V S PO a a a -=⋅=⨯⨯=△，33446ππ()6π33OV R a a ===球，所以336π93π2O P EFC V a V a -==球．三、内切球相关问题例3：阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．64π3【答案】C【解析】设球的半径为R ，根据题意圆柱的表面积为22π2π254πS R R R =+⨯=，解得3R =， 所以该球的体积为3344ππ336π33V R ==⨯⨯=．增分训练一、选择题1．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线， 依题意可知OA l ⊥，AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线， 依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD ， 根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC ∠=︒，//m CD ，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒． 2．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R 的大球放置在底面半径和高均为R 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球．A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，设球的半径为R，实心小球的半径为r，由题意可得22r r R R++=，解得(322)R r=+，因为小球球心在以E为圆心，EF为半径的圆上，2R rEF+=，周长为2πEF，所以22πrn EF≤，即2π2π2π()2π[(322)]2(222)π15.16 2222R rEF R r r rnr r r r++++≤====+≈，故该工艺品最多可放入15个小球．3．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为（）A83π27B43π27C163π27D323π27【答案】D【解析】由题意，设球的半径为r，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为r的圆内切与一个边长为4的等边三角形，此时正三角形的高线为23h=根据中心（重心）的性质可得，球的半径为2433r h==，所以球的体积为334443323ππ()π33327V r ==⨯=，即溢出溶液的体积为323π27，故选D ．4．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（ ）A ．2B ．4C ．26D ．46【答案】B【解析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即23， 根据截面圆的周长可得4π2πr =，得2r =，故由题意，知222(23)R r =+，即2222(23)16R =+=，所以4R =．5．（多选题）已知A ，B ，C 三点均在球O 的表面上，2AB BC CA ===，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是（ ） A ．球O 的半径为32B ．球O 的表面积为6πC ．球O 6D ．球O 6【答案】BD【解析】设球O 的半径为r ，ABC △的外接圆圆心为O '，半径为R ， 可得23R =， 因为球心O 到平面ABC 的距离等于球O 半径的13，所以221493r r -=，得232r =，所以A 不正确； 所以球O 的表面积234π4π6π2S r ==⨯=，选项B 正确； 球O 的内接正方体的棱长a 2r =，显然选项C 不正确； 球O 的外切正方体的棱长b 满足2b r =，显然选项D 正确．6．（多选题）已知ABC △的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =．则下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以AB 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为48π5C ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为25πD ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 【答案】ABD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为π3515π⨯⨯=，故A 正确；以AB 所在直线为旋转轴，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体， 其半径为345⨯， 故所得旋转体的体积211248ππ()5355V =⨯⨯=，故B 正确； 以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥， 侧面积为π4520π⨯⨯=，体积为21π4316π3⨯⨯⨯=，故C 错误，D 正确． 7．（多选题）下列说法中不正确的是（ ） A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C ．所有几何体的表面都能展开成平面图形D ．棱柱的各条棱都相等【答案】ACD【解析】棱柱的侧面都是四边形，A 不正确； 正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B 正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C 不正确； 棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，所以D 不正确．8．（多选题）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（ ）A ．沙漏中的细沙体积为31024πcm 81B ．沙漏的体积是3128πcmC ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD ．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π 3.14≈） 【答案】ACD【解析】根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径284cm 33r =⨯=， 所以体积2312164π161024ππcm 3339381h V r =⋅⋅=⋅⋅=； 沙漏的体积223112562π()2π48πcm 3233h V h =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=； 设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知211024π1(π())8132h h =⨯⨯， 所以11024π16π813h =，所以1 2.4cm h ≈； 因为细沙的体积为31024π8cm 1，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙， 所以一个沙时为1024π1024 3.14815019850.0281⨯=⨯≈秒．二、填空题9．已知等边三角形ABC 的边长为M ，N 分别为AB ，AC 的中点，将AMN △沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -．点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，四棱锥A MNCB -外接球的半径为______，点P 到平面MNCB 距离的最大值为______．【答案】2，12+【解析】如图所示，设MN 的中点为Q ，1O ，2O 分别为等边三角形AMN 和梯形MNCB 的外接圆圆心．在ABC △中，N 为AC 的中点，所以BN CN ⊥， 则BC 为梯形MNCB 外接圆的直径．连接1O Q ，2O Q ．由题意，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，平面AMN ⊥平面MNCB ， 过1O 作平面AMN 的垂线，过2O 作平面MNCB 的垂线，两条垂线交于点O ， 则点O 即为四棱锥A MNCB -外接球的球心． 四边形12OO QO 为矩形，则21OO O Q =．在等边三角形AMN 中，MN =，则32AQ =，112O Q =， 即212OO =．又2O B ，所以四棱锥A MNCB -外接球的半径2R OB ====，所以点P 到平面MNCB 距离的最大值2212O P R OO =+=．10．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为________．【答案】223，4π3【解析】依题意可知，BD 是球的直径，所以当OC BD ⊥，OA BD ⊥， 即2OC OA ==时，三棱锥A BCD -体积取得最大值为1112222223323BCD S OA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，此时2BC AC AB ===， 即三角形ABC 是等边三角形， 设其外接圆半径为r ，由正弦定理得22π3sin 3r r =⇒=， 所以等边三角形ABC 的外接圆的面积，也即平面ABC 截球所得的截面圆的面积为224π4π4π()33r =⨯=．11．已知正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点，2PA =2AB =，则正三棱锥P ABC-的外接球的半径为________；过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为________．【答案】6，[π3,π2] 【解析】因为正三棱锥P ABC -，2PB PC PA ===，2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，因此正三棱锥P ABC -可看作正方体的一角，如图， 记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心， 所以点O 也是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，则162222R =++=， 因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最大为2max 3ππ2S R ==； 又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得1222OQ PA ==， 由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为221r R OQ =-=，所以2min ππS r ==，因此，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为[π3,π2]．12．某地球仪上北纬30︒纬线的长度为12π(cm)，该地球仪的半径是________cm ，表面积是________2cm ． 【答案】3192π【解析】设北纬30︒所在圆面的关系为r ，由题可得2π12πr =，解得6r =，设地球仪的半径为6cos30R ==︒24π192πR =．。

问题一：多面体与球的组合体问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则13A O R '==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A. B.4π C. D.【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+. 例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【牛刀小试】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,3SE a CE ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r a ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．C．3πD．2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125例8三棱锥A BCD -中，AB CD ====AC AD BD BC ==A BCD -的外接球的半径是.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）A.(－1)RB.(－2)RC.RD.R四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A．l03cm B．10cmC．102cm D．30cm五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A .5πB .12πC .20πD .8π 【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.【针对训练】1.【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒则此球的表面积等于（）A ．952πB ．π20C ．π8D ．352π 2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC,23AC =,若四面体P －ABC 的体积为32,则该球的体积为（） A ．3πB ．433C ．83πD ．8333．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（）A ．2B ．22C ．2D ．1 5.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为()(A )π(B )2π(C )3π(D )4π6.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A. B. C. D.7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为．11．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体CD AB 中，AB ⊥平面CD B ，CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =，则四面体CD AB 外接球的表面积为．12.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.13.已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若P A,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是?,则这个三棱柱的体积为.15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为．。

问题一：多面体与球的组合体问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则13A O R '==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A. B.4π C. D.【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+. 例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【牛刀小试】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,3SE a CE ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r a ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．C．3πD．2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125例8三棱锥A BCD -中，AB CD ====AC AD BD BC ==A BCD -的外接球的半径是.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）A.(－1)RB.(－2)RC.RD.R四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A．l03cm B．10cmC．102cm D．30cm五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A .5πB .12πC .20πD .8π 【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.【针对训练】1.【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒则此球的表面积等于（）A ．952πB ．π20C ．π8D ．352π 2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC,23AC =,若四面体P －ABC 的体积为32,则该球的体积为（） A ．3πB ．433C ．83πD ．8333．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（）A ．2B ．22C ．2D ．1 5.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为()(A )π(B )2π(C )3π(D )4π6.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A. B. C. D.7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为．11．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体CD AB 中，AB ⊥平面CD B ，CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =，则四面体CD AB 外接球的表面积为．12.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.13.已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若P A,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是?,则这个三棱柱的体积为.15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为．。

球的组合体1．平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===,BD =BD CD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-,使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ）AB ．3π CD ．2π 2．三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==,456AB BC CA ===，，，若ABC ∆的外接圆恰好是三棱锥P ABC -外接球O 的一个大圆，则三棱锥P ABC -的体积为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．403,则该球的表面积等于（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．9π4．三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的体积是（ ）A.B.6C.3D.50π 5．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC，,1,AC BC AC BC PA ⊥===则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π6．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC，,1,AC BC AC BC PA ⊥===则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π7．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形， SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ） A ．BD8．已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的外接球的半径是( )．A ．23 B ．3 C ．2 D ．32 9．点A 、B 、C 、D 在同一球面上，D A ⊥平面C AB ，D C 5A =A =，3AB =，C 4B =，则该球的表面积为（ ） A ．252π B．50π D ．503π 10．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43π的球与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ ） A．．．．11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为（ ）ABπ C ．2π D12．已知090=∠ABC ，⊥PA 平面ABC ，若1===BC AB PA ，则四面体PABC 的外接球（顶点都在球面上）的表面积为（ ） A ．π BC ．2πD ．3π13．半径为１的球面上有四个点A ，B ，C ，D ，球心为点Ｏ，AB 过点Ｏ，CA CB =,DA DB =,1DC =, 则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A．6 B．3 C14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 36πB. 94πC. 9πD. 92π 15．的外接球的表面积是（ ）（A（B ）6π （C） （D ）8π16．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为（ ） A ．4π B ．16π C ．48π D ．64π 17．边长是2的正方体的外接球的表面积为（ ） A 、π12 B 、π34 C 、π6 D 、π418．已知球O 的直径4=PQ ,C B A ,,是球O 球面上的三点，ABC ∆是正三角形，且 30=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ ,则三棱锥ABC P -的体积为 （ ） A ．433 B ．439 C ．233 D ．432719．点A B C D 、、、在同一个球的球面上，3===AC BC AB ，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）A ．16289πB ．8πC ．π16169 D ．2516π 20．正方体的外接球与其内切球的体积之比为 （ ） A.1:3 B. 3:1 C.1:33 D. 9:121．各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A ．32πB ．24πC ．20πD ．16π22．已知各顶点都在一个球面上的正方体的体积为8，则这个球的表面积是（ ）A.π8B.π12C.π16D.π2023．设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且3=AB ， 4=AC ，11=AD ，则球的表面积为A.π36B.π64C.π100D.π14424．设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且5AB =， 4=AC，AD =( )A.π36B.π64C. π100D. π14425．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π参考答案1．A 2．A 3．D 4．C 5．A 6．A 7．A 8．B 9．C 10．C 11．A 12．D 13．A 14．C 15．B 16．B 17．A 18．B 19．A 20．C 21．B 22．B 23．A 24．B 25．B。