球的组合体问题教师版

M
F
E
D
17
【详解】
∵ ME DE ， ME EF ，∴ ME 平面 DEF ，将四面体 M DEF 补成以 DEF 为 底面 ME 为侧棱的直三棱柱，该三棱柱的外接球就是四面体 M DEF 的外接球，由题知，
球心到平面 DEF 的距离为 2， DEF
外接圆的半径为 r
BC 2sin BAC
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
3
3
M F
E
D
结论：无论底面是什么形状，只要有一条侧 棱与底面垂直的三棱锥就一定可以补形成直三棱柱.
图8-3-11 特别地，当底面是直角三角形时就可以进一步补形成长方体.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
4
OP＝ 1 a，OA＝R，所以R2＝
2
1、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）及直棱柱的外接球球心位于上下两底面圆心
A
B
25
【详解】
根据三视图可知，几何体是底面为矩形，高为 3 的四棱锥，
且侧面 PAB 垂直底面 ABCD，如图所示：还原长方体的长
是 2，宽为 1，高为 3 。设四棱锥的外接球的球心为 O，
则过 O 作 OM 垂直平面 PAB，M 为三角形 PAB 的外心， 作 ON 垂直平面 ABCD，则 N 为矩形 ABCD 的对角线交点，
【详解】
解：Q ABC 所在截面圆的圆心 O 在 AB 上， SO 平面 ABC, AC 3, BC 1 ，三棱锥的
体积是 3 ，则三角形 ABC 为直角三角形，且 ACB 90 ， ABC 的外接圆的半径为
3
1 AB 1 12
2
2
2

【课题】9.5 柱、锥、球及其简单组合体(一)
【教学目标】
知识目标：
（1）了解棱柱、棱锥的结构特征；
（2）掌握棱柱、棱锥面积和体积计算.
能力目标：
培养学生的观察能力，数值计算能力及计算工具使用技能.
【教学重点】
正棱柱、正棱锥的结构特征及相关的计算．
【教学难点】
正棱柱、正棱锥的相关计算．
【教学设计】
教材首先介绍了多面体、旋转体的概念．然后通过观察模型，说明棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的结构特征及其面积、体积的计算公式．正棱柱的侧面积、全面积、体积的计算公式经常使用，不要把侧面积、全面积计算公式记混了．
侧面都是全等的矩形的直四棱柱不一定是正四棱柱．底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱．四棱锥P-ABCD中，如果棱锥的侧棱长相等，那么它一定是正四棱锥．如果棱锥的底面是正方形，那么它不一定是正四棱锥．
例1是求正三棱柱的侧面积和体积的题目，例2是求正三棱锥的侧面积和体积的题目，
要记住边长为a
的正三角形的面积为2
S ．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟) 【教学过程】
（3）（4）9−55
图9−57
观察正棱柱的表面展开图（图9−57），可以得到正棱柱的侧面积、全面积计算公式分别为
（
=
S ch
正棱柱侧
=+（
2
S ch S
图9−58
图9−61
观察正棱锥的表面展开图（图9−61），可以得到正棱锥的侧面积、全面积（表面积）计算公式分别为
h c '=21
（9.4）
S h c +'=
1
图9−62
P-ABC（图9−62）中，高POD中，
【教师教学后记】。

球的组合体（难）1.（2011·辽宁卷·文科）已知球的直径4SC =，A ,B 是该球球面上的两点，2AB =，45ASC ∠=o ，则棱锥S ABC -的体积为ABCD2.（2011·辽宁卷·理科）已知球的直径4SC =，A ,B是该球球面上的两点，AB =ASC BSC ∠=∠30=o ，则棱锥S ABC -的体积为A．．32 C ．3 D ．13.如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，点P 早平面ABC 内的射影D 恰好落在AB 上，且1AD =，2PD =，则P ABC -外接球的表面积为A ．9πB ．8πC ．12πD ．14π （提示：构造直三棱柱）4.（2011·全国课标卷·理科）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，BC =O ABCD -的体积为 .5.如图所示，已知四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，2SA =，3BC =，BCD DAB ∠+∠π=，二面角S BC A --的大小为3π，若四面体S ACD -的四个顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为 CA． B ．4π C ．8π D ．16πA PB C D AB CD S6.在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是等边三角形，90BAC ∠=o ，2AB AC ==，PC =，则该三棱锥外接球的表面积为 . 283π.7.（2012·全国课标卷·理科）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为 AA.63D.28.（2002·全国课标卷·理科）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.π3B.π4C.π33D.π69.在三棱锥P ABC -中，1AB AC ==，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABC ，且直线PA与平面PBC 所成角的正切值为12，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 A A.43π B.23π C.3π D. 4π 10.如图所示，在正三棱锥S ABC -中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥ AM，SA =，则正三棱锥的外接球的表面积为 CA.12πB.32πC.36πD.48πA BC P ABCS M N。

A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
2
2
【分析】精确拟定截面圆在原图中的位置. 【解析】由题意得知：截面过正四周体的两个顶点，
故 EC= 3 . EF为△BEC边BC上的高，
从而 EF EC2 FC2 2 . 于是 S 1 BC EF = 2，
2 故选 C.
10
例２ 如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠A1AB=∠A1AC， AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角 为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点.
于是 ∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角. 由于 ∠A1AB=∠A1AC，因此AG为∠BAC的平分线.
又AB=AC，则AG⊥BC，且G为BC的中点.
由三垂线定理得A1A⊥BC.
由于A1A∥B1B，且EG∥B1B, 因此EG⊥BC.
于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角，
即 ∠AGE=120°.
A1
C1
B1
P
G
13
(3) 连结A1C. 在△A1AC和△A1AB中， 由于 AC=AB,∠A1AC=∠A1AB,A1A=A1A， 则△A1AC≌△A1AB， 故A1C=A1B.
由已知得 A1A=A1B=A1C=a. 又由于A1H⊥平面ABC，因此H为△ABC的外心.
设所求球的球心为O，O∈A1H，
➢(2)经线、纬线是 解决与地理有关的 球的问题的基本概 念，要理解这些知 识，并能合理利用 经度与纬度来解题. 在解决球面距离问 题时，熟练掌握求 经过两点的"大圆上 的劣弧长"的方法；
➢( 3 ) 求 球 的 表 面 积 、 体积，求两点的球 面距离，组合体等 问题时，常常把球 中的问题转化为相 应的轴截面来处理， 有时还利用圆的有 关性质、正弦定理 和余弦定理来解决 球的问题.

高中数学球体组合问题教案
课时安排：1课时
教学目标：
1. 熟练掌握球体组合问题的解题方法；
2. 能够灵活运用组合数学知识解决现实生活中的问题；
3. 培养学生分析和解决问题的能力。

教学内容：
球体组合问题的解题方法
教学步骤：
1. 引入新知识（5分钟）
通过展示一道球体组合问题，引导学生思考如何解决这个问题。

2. 理解概念（15分钟）
解释组合数学中的球体组合问题是指在一组球体中选择出若干个球体的组合方式。

讲解组合数学的基本概念和公式。

3. 练习与讨论（20分钟）
让学生通过练习题目，掌握球体组合问题的解题方法，并引导他们讨论解题思路。

4. 实践运用（15分钟）
给学生提供一些现实生活中的球体组合问题，让他们运用所学知识解决问题。

5. 总结与拓展（5分钟）
总结本节课所学的知识，并拓展到其他类型的组合问题。

教学工具：
投影仪、黑板、练习题目
作业布置：
布置相关练习题目作为课后作业，加深对球体组合问题的理解。

教学反思：
在教学中要注重引导学生思考问题的方法和逻辑，培养他们的解决问题的能力，并且要和现实生活结合起来，让学生感受到数学知识的实际应用。

正方体与球的组合体
D A
D A11
C B
O C1
B1
正方体得外接 球得球心就是 体对角线得交 点,半径就是体 对角线得一半
设正方体的棱长为 a，则 正方体的体对角线长为 3a
正方体得内 切球得球心 就是体对角 线得交点, 半径就是棱 长得一半
与正方体得 棱都相切得 球得球心就 是体对角线 得交点,半 径就是面对 角线长得一 半Leabharlann 可以互相讨论下，但要小声点
正四面体得三个球
一个正四面体有一个外接球, 一个内切球。那么这三个球 得球心及半径与正四面体有 何关系呢？为了研究这些关 系,我们利用正四面体得外接 正方体较为方便。
正四面体得外接球即为正 方体得外接球,与正四面体 各棱都相切得球即就是正 方体得内切球,此两球得球 心都在正方体得中心,在正 四面体得高得一个靠近面 得四等分点上,
有三个球,一球切于正方体得各面, 一球切于正方体得各棱,一球过正 方体得各顶点,求这三个球得体积 之比__1_: 2__2_:_3__3、
长方体得外接球得球心就是体对角线 得交点,半径就是体对角线得一半
• 设长方体得长、宽、高分别为a、b、 c 则对角线长为
√a2+b2+c2
大家有疑问的，可以询问和交流

培优14 与球有关的组合体一、侧面与地面垂直的几何体的外接球问题例1：已知在三棱锥C ABD -中，ABD △是等边三角形，BC CD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球表面积为4π，则AC =（ ）A ．3 B ．6 C ．3D ．32【答案】C【解析】根据题意，画出图形，设且外接球球心为O ，半径为R ， 根据题意，有24π4πR =，解得1R =，根据题意，有球心O 为正三角形ABD △的中心， 因为1OD =，所以1AO =，12OF =，所以正三角形ABD △3， BC CD ⊥，所以1322CF BD ==， 因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以π2AFC ∠=， 所以2239344AC CF AF =+=+= 二、通过投影找外接球球心例2：已知球O 内接正四面体P ABC -，E 为棱PA 的中点，F 是棱PB 上的一点， 且2FC EF =，则球O 与四面体P EFC -的体积比为（ ） A ．3πB ．3πC ．183πD ．3π【答案】D【解析】如图，正四面体P ABC -中，顶点P 在底面的射影为1O ，球心O 在1PO 上． 设正四面体的棱长为2a ， 则正四面体高222211232()62()3PO PC O C a a a =-=-=．设外接球半径为R ，在直角三角形1OO C 中，22211OC OO O C =+，即2222623()()R a R a =-+，解得6R a =． 令PF λ=，在PEF △中，由余弦定理得222222cos60EF PE PF PE PF a a λλ=+-⋅⋅︒=+-①，同理，在PFC △中，由余弦定理得222222cos6042FC PC PF PC PF a a λλ=+-⋅⋅︒=+-②，由题设2FC EF =，解得23a λ=． 由于P 到平面ABC 的距离与C 到平面PAB 的距离相等，都等于1||PO ，213||||sin 6026PEF S PE PF a =︒=△， 故231113262||33639P EFC PEF V S PO a a a -=⋅=⨯⨯=△，33446ππ()6π33OV R a a ===球，所以336π93π2O P EFC V a V a -==球．三、内切球相关问题例3：阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．64π3【答案】C【解析】设球的半径为R ，根据题意圆柱的表面积为22π2π254πS R R R =+⨯=，解得3R =， 所以该球的体积为3344ππ336π33V R ==⨯⨯=．增分训练一、选择题1．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线， 依题意可知OA l ⊥，AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线， 依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD ， 根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC ∠=︒，//m CD ，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒． 2．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R 的大球放置在底面半径和高均为R 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球．A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，设球的半径为R，实心小球的半径为r，由题意可得22r r R R++=，解得(322)R r=+，因为小球球心在以E为圆心，EF为半径的圆上，2R rEF+=，周长为2πEF，所以22πrn EF≤，即2π2π2π()2π[(322)]2(222)π15.16 2222R rEF R r r rnr r r r++++≤====+≈，故该工艺品最多可放入15个小球．3．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为（）A83π27B43π27C163π27D323π27【答案】D【解析】由题意，设球的半径为r，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为r的圆内切与一个边长为4的等边三角形，此时正三角形的高线为23h=根据中心（重心）的性质可得，球的半径为2433r h==，所以球的体积为334443323ππ()π33327V r ==⨯=，即溢出溶液的体积为323π27，故选D ．4．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（ ）A ．2B ．4C ．26D ．46【答案】B【解析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即23， 根据截面圆的周长可得4π2πr =，得2r =，故由题意，知222(23)R r =+，即2222(23)16R =+=，所以4R =．5．（多选题）已知A ，B ，C 三点均在球O 的表面上，2AB BC CA ===，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是（ ） A ．球O 的半径为32B ．球O 的表面积为6πC ．球O 6D ．球O 6【答案】BD【解析】设球O 的半径为r ，ABC △的外接圆圆心为O '，半径为R ， 可得23R =， 因为球心O 到平面ABC 的距离等于球O 半径的13，所以221493r r -=，得232r =，所以A 不正确； 所以球O 的表面积234π4π6π2S r ==⨯=，选项B 正确； 球O 的内接正方体的棱长a 2r =，显然选项C 不正确； 球O 的外切正方体的棱长b 满足2b r =，显然选项D 正确．6．（多选题）已知ABC △的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =．则下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以AB 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为48π5C ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为25πD ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 【答案】ABD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为π3515π⨯⨯=，故A 正确；以AB 所在直线为旋转轴，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体， 其半径为345⨯， 故所得旋转体的体积211248ππ()5355V =⨯⨯=，故B 正确； 以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥， 侧面积为π4520π⨯⨯=，体积为21π4316π3⨯⨯⨯=，故C 错误，D 正确． 7．（多选题）下列说法中不正确的是（ ） A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C ．所有几何体的表面都能展开成平面图形D ．棱柱的各条棱都相等【答案】ACD【解析】棱柱的侧面都是四边形，A 不正确； 正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B 正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C 不正确； 棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，所以D 不正确．8．（多选题）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（ ）A ．沙漏中的细沙体积为31024πcm 81B ．沙漏的体积是3128πcmC ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD ．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π 3.14≈） 【答案】ACD【解析】根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径284cm 33r =⨯=， 所以体积2312164π161024ππcm 3339381h V r =⋅⋅=⋅⋅=； 沙漏的体积223112562π()2π48πcm 3233h V h =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=； 设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知211024π1(π())8132h h =⨯⨯， 所以11024π16π813h =，所以1 2.4cm h ≈； 因为细沙的体积为31024π8cm 1，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙， 所以一个沙时为1024π1024 3.14815019850.0281⨯=⨯≈秒．二、填空题9．已知等边三角形ABC 的边长为M ，N 分别为AB ，AC 的中点，将AMN △沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -．点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，四棱锥A MNCB -外接球的半径为______，点P 到平面MNCB 距离的最大值为______．【答案】2，12+【解析】如图所示，设MN 的中点为Q ，1O ，2O 分别为等边三角形AMN 和梯形MNCB 的外接圆圆心．在ABC △中，N 为AC 的中点，所以BN CN ⊥， 则BC 为梯形MNCB 外接圆的直径．连接1O Q ，2O Q ．由题意，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，平面AMN ⊥平面MNCB ， 过1O 作平面AMN 的垂线，过2O 作平面MNCB 的垂线，两条垂线交于点O ， 则点O 即为四棱锥A MNCB -外接球的球心． 四边形12OO QO 为矩形，则21OO O Q =．在等边三角形AMN 中，MN =，则32AQ =，112O Q =， 即212OO =．又2O B ，所以四棱锥A MNCB -外接球的半径2R OB ====，所以点P 到平面MNCB 距离的最大值2212O P R OO =+=．10．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为________．【答案】223，4π3【解析】依题意可知，BD 是球的直径，所以当OC BD ⊥，OA BD ⊥， 即2OC OA ==时，三棱锥A BCD -体积取得最大值为1112222223323BCD S OA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，此时2BC AC AB ===， 即三角形ABC 是等边三角形， 设其外接圆半径为r ，由正弦定理得22π3sin 3r r =⇒=， 所以等边三角形ABC 的外接圆的面积，也即平面ABC 截球所得的截面圆的面积为224π4π4π()33r =⨯=．11．已知正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点，2PA =2AB =，则正三棱锥P ABC-的外接球的半径为________；过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为________．【答案】6，[π3,π2] 【解析】因为正三棱锥P ABC -，2PB PC PA ===，2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，因此正三棱锥P ABC -可看作正方体的一角，如图， 记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心， 所以点O 也是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，则162222R =++=， 因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最大为2max 3ππ2S R ==； 又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得1222OQ PA ==， 由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为221r R OQ =-=，所以2min ππS r ==，因此，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为[π3,π2]．12．某地球仪上北纬30︒纬线的长度为12π(cm)，该地球仪的半径是________cm ，表面积是________2cm ． 【答案】3192π【解析】设北纬30︒所在圆面的关系为r ，由题可得2π12πr =，解得6r =，设地球仪的半径为6cos30R ==︒24π192πR =．。

问题一：多面体与球的组合体问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则13A O R '==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A. B.4π C. D.【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+. 例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【牛刀小试】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,3SE a CE ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r a ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．C．3πD．2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125例8三棱锥A BCD -中，AB CD ====AC AD BD BC ==A BCD -的外接球的半径是.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）A.(－1)RB.(－2)RC.RD.R四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A．l03cm B．10cmC．102cm D．30cm五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A .5πB .12πC .20πD .8π 【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.【针对训练】1.【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒则此球的表面积等于（）A ．952πB ．π20C ．π8D ．352π 2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC,23AC =,若四面体P －ABC 的体积为32,则该球的体积为（） A ．3πB ．433C ．83πD ．8333．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（）A ．2B ．22C ．2D ．1 5.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为()(A )π(B )2π(C )3π(D )4π6.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A. B. C. D.7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为．11．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体CD AB 中，AB ⊥平面CD B ，CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =，则四面体CD AB 外接球的表面积为．12.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.13.已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若P A,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是?,则这个三棱柱的体积为.15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为．。

问题一：多面体与球的组合体问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则13A O R '==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A. B.4π C. D.【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+. 例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【牛刀小试】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,3SE a CE ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r a ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．C．3πD．2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125例8三棱锥A BCD -中，AB CD ====AC AD BD BC ==A BCD -的外接球的半径是.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）A.(－1)RB.(－2)RC.RD.R四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A．l03cm B．10cmC．102cm D．30cm五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A .5πB .12πC .20πD .8π 【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.【针对训练】1.【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒则此球的表面积等于（）A ．952πB ．π20C ．π8D ．352π 2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC,23AC =,若四面体P －ABC 的体积为32,则该球的体积为（） A ．3πB ．433C ．83πD ．8333．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（）A ．2B ．22C ．2D ．1 5.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为()(A )π(B )2π(C )3π(D )4π6.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A. B. C. D.7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为．11．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体CD AB 中，AB ⊥平面CD B ，CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =，则四面体CD AB 外接球的表面积为．12.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.13.已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若P A,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是?,则这个三棱柱的体积为.15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为．。

球的组合体1．平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===,BD =BD CD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-,使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ）AB ．3π CD ．2π 2．三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==,456AB BC CA ===，，，若ABC ∆的外接圆恰好是三棱锥P ABC -外接球O 的一个大圆，则三棱锥P ABC -的体积为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．403,则该球的表面积等于（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．9π4．三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的体积是（ ）A.B.6C.3D.50π 5．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC，,1,AC BC AC BC PA ⊥===则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π6．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC，,1,AC BC AC BC PA ⊥===则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π7．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形， SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ） A ．BD8．已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的外接球的半径是( )．A ．23 B ．3 C ．2 D ．32 9．点A 、B 、C 、D 在同一球面上，D A ⊥平面C AB ，D C 5A =A =，3AB =，C 4B =，则该球的表面积为（ ） A ．252π B．50π D ．503π 10．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为43π的球与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（ ） A．．．．11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的体积为（ ）ABπ C ．2π D12．已知090=∠ABC ，⊥PA 平面ABC ，若1===BC AB PA ，则四面体PABC 的外接球（顶点都在球面上）的表面积为（ ） A ．π BC ．2πD ．3π13．半径为１的球面上有四个点A ，B ，C ，D ，球心为点Ｏ，AB 过点Ｏ，CA CB =,DA DB =,1DC =, 则三棱锥A BCD -的体积为（ ）A．6 B．3 C14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 36πB. 94πC. 9πD. 92π 15．的外接球的表面积是（ ）（A（B ）6π （C） （D ）8π16．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则这个球的表面积为（ ） A ．4π B ．16π C ．48π D ．64π 17．边长是2的正方体的外接球的表面积为（ ） A 、π12 B 、π34 C 、π6 D 、π418．已知球O 的直径4=PQ ,C B A ,,是球O 球面上的三点，ABC ∆是正三角形，且 30=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ ,则三棱锥ABC P -的体积为 （ ） A ．433 B ．439 C ．233 D ．432719．点A B C D 、、、在同一个球的球面上，3===AC BC AB ，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）A ．16289πB ．8πC ．π16169 D ．2516π 20．正方体的外接球与其内切球的体积之比为 （ ） A.1:3 B. 3:1 C.1:33 D. 9:121．各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A ．32πB ．24πC ．20πD ．16π22．已知各顶点都在一个球面上的正方体的体积为8，则这个球的表面积是（ ）A.π8B.π12C.π16D.π2023．设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且3=AB ， 4=AC ，11=AD ，则球的表面积为A.π36B.π64C.π100D.π14424．设A 、B 、C 、D 是球面上的四点，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且5AB =， 4=AC，AD =( )A.π36B.π64C. π100D. π14425．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π参考答案1．A 2．A 3．D 4．C 5．A 6．A 7．A 8．B 9．C 10．C 11．A 12．D 13．A 14．C 15．B 16．B 17．A 18．B 19．A 20．C 21．B 22．B 23．A 24．B 25．B。

高一数学教学案材料编号:391.1.3.2球，组合体班级: 姓名：学号：设计人：李荣审查人:郭栋使用时间：12.5一．学习目标：1、掌握球的概念的形成过程及它的结构特征。

2、掌握球面距离的应用。

3、熟悉组合体的分解与合成。

二. 学习重点与难点：重点：球的结构特征。

难点：球面距离的概念及应用，组合体的分解与合成。

三．课前自学：（一）复习检测：已知下列三个命题：（1）在圆柱上，下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上，下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线。

其中正确的命题个数为（）A．0 B.1 C.2 D.3（二）自学导学：1、思考：球具有哪些性质？哪些性质可以作为球集合的特征性质？2、知识点梳理：学点1、球的定义及性质:(1)定义:以半圆的所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做简称.其中半圆的圆心叫做球的,如图中的.半圆的半径叫做.如图中的.半圆的直径叫做.如图中的.(2)球的记法：用表示球心的字母表示,如球O.(3)球的截面性质：①r=其中r为截面圆半径,,R为球的半径,d为球心O到截面圆的距离,即O到截面圆圆心'O的距离,如图所示.②球的大圆和小圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做.被不经过球心的平面截得的圆叫做注：把地球看作一个球时,经线是球面上从北极到南极的半个大圆,赤道是一个大圆,其余的纬线都是小圆.学点2、球面性质：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

我们把这个弧长叫做两点的球面距离。

例如，飞机，轮船都尽可能地以大圆的圆弧（劣弧）为航线航行。

学点3、组合体:1.若干个简单的几何体经过适当的组合，可以得到一些比较复杂的几何体，这样的几何体叫做组合体。

常见的螺钉和螺母，螺钉可以看做是正六棱柱和圆柱的组合体。

螺母可以看做是正六棱柱中挖掉一个圆柱体。

球与多面体的内切、外接
一、 球体的体积与表面积
4 3 ① V球 R 3 二、球与多面体的接、切
②
S球面 4 R
2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球 的球面上，则称这个多面体是这个球的内接 多面体，这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的 球面相切，则称这个多面体是这个球的外切 多面体，这个球是这个多面体的内切球 。
例3求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表 面积
A B O D
C
求正多面体外接球的半径
求正方体外接球的半径
4.求棱长为 a 的正四棱锥的外接球的体积。 5.三棱锥A – BCD的两条棱 AB = CD = 6， 其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积。 6.半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在 半球的底面圆内，若正方体的一边长为 1，求半 球的表面积和体积。A
O
C1
A1
A1
B1
正方形的对角线等于球的直径。 球的外切正方体的棱长等于球直径。 球的内接正方体的对角线等于球直径。
例2.正三棱锥的高为 1，底面边长为 的全面积和它的内切球的表面积。
,求棱锥
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 。求棱锥的 全面积和它的内切球的表面积。
解法2： 设球的半径为 r，则 VA- BCD =
2πR2＝2πR2.
法二：设圆柱底面半径为 r，则其高为 2 R2－r2.
2 4π r ∴S 圆柱侧＝2πr· 2 R2－r2，S′圆柱侧＝4π R2－r2－ 2 2. R －r
2 令 S′圆柱侧＝0，得 r＝ 2 R. 2 2 当 0<r< 2 R 时，S′>0；当 2 R<r<R 时，S′<0. 2 ∴当 r＝ 2 R 时，S 圆柱侧取得最大值 2πR2. 此时 S 球表－S 圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.

球的组合体研究（球中的截面问题 及 球与其它几何体的切接问题）王宪良[学习目标]1.学习球与其它几何体切接的直观图的画法。

2.掌握球的截面的性质；3.理解掌握球的切接题目的类型和解法；4.培养空间想象能力，能根据题意正确画出组合体的直观图。

一、基础知识与概念： 1.有关定义（1）球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，（2）外接球：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 如图（3）内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.如图（4）大圆：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等（它是截面圆中最大的圆）； （5）小圆：不过球心的截面所截得的圆叫小圆． 2．外接球的有关知识与方法 （1）性质：性质1：球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 性质2：经过小圆的直径与且小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：球心和截面圆心的连线垂直于截面（类比：圆的垂径定理）；性质4：在同一球中，过两不平行截面圆的圆心且垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）；性质5：球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． （2）结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体截得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；ca b初图2初图1NOO 1PEFOO 1D 1C 1B 1DCA 1O 2ABM结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连线段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱与该棱柱的外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球.（3）终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 3．内切球的有关知识与方法（1）若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.（2）内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等(类比：与多边形的内切圆、外接圆) （3）正多面体的内切球和外接球的球心重合.（4）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 4．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 二、理清位置，学会画图 先画一个大圆与一个或两个小圆。

1.3.2 球的体积和表面积教学分析本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点. 三维目标掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法. 重点难点教学重点：球的表面积和体积公式的应用. 教学难点：关于球的组合体的计算. 课时安排 约1课时教学过程导入新课思路1.位于香港栈桥回澜阁西部、西陵峡路东端海滨，有一座新异奇秀的半球形建筑.由香港好世界饮食服务（中国）有限公司等三方合资兴建，1996年9月正式开业，既是岛城饮食服务业的“特一级”店，又是新增加的一处景点.酒店的总建筑面积11380平方米，现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？思路2.球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积. 推进新课 新知探究球的半径为R ，它的体积和表面积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R ，那么S=4πR 2,V=334R . 注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明. 应用示例思路1例1 如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的32； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形. 变式训练1.如图 (1)所示，表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.2有一种空心钢球，质量为142 g,测得外径（直径）等于5 cm ，求它的内径（钢的密度为7.9 g/cm 3，精确到0.1 cm ）.例2 如图所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1）?活动：学生思考和讨论如何计算鲜花的朵数.鲜花的朵数等于此几何体的表面积（不含下底面）与每朵鲜花占用的面积.几何体的表面积等于圆柱的侧面积再加上半球的表面积.变式训练有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R 的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？思路2例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 活动：学生思考长方体和球的结构特征.教师可以借助于信息技术画出图形. 变式训练1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A.16π B.20π C.24π D.32π2.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________.3.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为___________.例2 如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的一个圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？变式训练1.一个空心钢球，外直径为12 cm ，壁厚0.2 cm ，问它在水中能浮起来吗？（钢的密度为7.9 g/cm 3）和它一样尺寸的空心铅球呢？（铅的密度为11.4 g/cm 3）2.底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水___________cm 3.知能训练1.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A.1倍 B.2倍 C.59倍 D.47倍 2.表面积为32的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A.32π B.3π C.32πD.322π 3.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积是9π，则球的表面积是____________. 4.某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm 3）,每个钢球重145 kg,并且外径等于50 cm,试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的，请你计算出它的内径（π取3.14,结果精确到1 cm ）.5.已知三棱锥S—ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=r 2,则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）A.πB.2πC.3πD.4π 拓展提升问题：如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—BEFD 与三棱锥A—EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A.S 1＜S 2B.S 1＞S 2C.S 1=S 2D.S 1,S 2的大小关系不能确定 课堂小结 本节课学习了： 1.球的表面积和体积.2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积.3.空间几何体的表面积与体积的规律总结：（1）表面积是各个面的面积之和，求多面体表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积.求旋转体的表面积时，可从回忆旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长关系，注意球面不可展开.（2）在体积公式中出现了几何体的高，其含义是：柱体的高：从柱体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为柱体的高；锥体的高：从锥体的顶点向底面作垂线，这点和垂足间的距离称为锥体的高；台体的高：从台体的一个底面上任一点向另一个底面作垂线，这点和垂足间的距离称为台体的高.注意球没有高的结构特征.（3）利用侧面展开图或截面把空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题的常用手段.（4）柱体、锥体、台体和球是以后学习第二章点、直线、平面位置关系的载体，高考试题中，通常是用本模块第一章的图，考查第二章的知识.（5）与球有关的接、切问题是近几年高考的热点之一，常以选择题或填空题的形式出现，属于低档题.设计感想本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.参考答案应用示例思路1例1 证明：（1）设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R. 则有V 球=334R π，V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，所以V 球=圆柱V 32. （2）因为S 球=4πR 2，S 圆柱侧=2πR·2R=4πR 2，所以S 球=S 圆柱侧.点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征. 变式训练1.【解析】：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a ,则轴截面如图（2），所以AA′=14,AC=a 2,又∵4πR 2=324π,∴R=9.∴AC=28''22=-CC AC .∴a =8.∴S 表=64×2+32×14=576,即这个正四棱柱的表面积为576. 2.解：设空心球内径（直径）为2x cm,则钢球质量为7.9·［3334)25(34x ππ-•］=142, ∴x 3=14.349.73142)25(3⨯⨯⨯-≈11.3,∴x ≈2.24,∴直径2x ≈4.5.答：空心钢球的内径约为4.5 cm.例2 【解析】：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3=9.3(m 2), 半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(21)2≈1.6(m 2), 所以S 1+S 2≈9.3+1.6=10.9(m 2).10.9×150≈1 635(朵). 答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花.点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力. 变式训练【分析】转化为求水的体积.画出轴截面，充分利用轴截面中的直角三角形来解决. 【解析】作出圆锥和球的轴截面图如图所示，圆锥底面半径r =R R330tan =︒,圆锥母线l =2r =R 32，圆锥高为h =r 3=3R ，∴V 水=334332πππ=-R h r ·3R 2·3R 333534R R ππ=-， 球取出后，水形成一个圆台，下底面半径r =R 3,设上底面半径为r ′， 则高h ′=(r -r ′)tan60°=)'3(3r R -, ∴'3353h R ππ=(r 2+r ′2+rr ′),∴5R 3=)3'3')('3(322R Rr r r R ++-, ∴5R 3=)'33(333r R -，解得r′=6331634R R =, ∴h ′=(3123-)R.答：容器中水的高度为(3123-)R.思路2例1【分析】：画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以球的半径R=233，则该球的表面积为S=4πR 2=27π. 【答案】27π点评：本题主要考查简单的组合体和球的表面积.球的表面积和体积都是半径R 的函数.对于和球有关的问题，通常可以在轴截面中建立关系.画出轴截面是正确解题的关键. 变式训练1.【分析】由V=Sh ，得S=4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以，球的半径为R=642221222=++，所以球的表面积为S=4πR 2=24π. 【答案】C2.【分析】把正四面体补成正方体的内接正四面体，此时正方体的棱长为a 22，于是球的半径为a 42，V=3242a π. 【答案】3242a π3.【分析】长方体的对角线为14321222=++，则球的半径为214,则球的表面积为4π(214)2=14π. 【答案】14π例2 【解析】因为圆锥形铅锤的体积为2)26(31⨯⨯π×20=60π（cm 3）， 设水面下降的高度为x ，则小圆柱的体积为x 2)220(π=100πx （ cm 3）. 所以有60π=100πx ，解此方程得x =0.6（cm ）. 答：杯里的水下降了0.6 cm.点评：本题主要考查几何体的体积问题，以及应用体积解决实际问题的能力.明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问题的关键.解实际应用题的关键是建立数学模型.本题的数学模型是下降的水的体积等于取出的圆锥形铅锤的体积.明确其体积公式中的相关量是列出方程的关键. 变式训练1.【分析】本题的关键在于如何判断球浮起和沉没，因此很自然要先算出空心钢球的体积，而空心钢球的体积相当于是里、外球的体积之差，根据球的体积公式很容易得到空心钢球的体积，从而算出空心钢球的质量，然后把它与水的质量相比较即可得出结论，同理可以判断铅球会沉没.解：空心钢球的体积为V 钢=348.53463433πππ=⨯-⨯×20.888≈87.45(cm 3)， ∴钢的质量为m 钢=87.45×7.9=690.86(g). ∵水的体积为V 水=34π×63=904.32(cm 3)， ∴水的质量为m 水=904.32×1=904.32(g)＞m 钢.∴钢球能浮起来，而铅球的质量为m 铅=87.45×11.4=996.93(g)＞m 水. ∴同样大小的铅球会沉没.答：钢球能浮起来，同样大小的铅球会沉没.2.【分析】设四个实心铁球的球心为O 1、O 2、O 3、O 4，其中O 1、O 2为下层两球的球心，A 、B 、C 、D 分别为四个球心在底面的射影，则ABCD 是一个边长为22cm 的正方形，所以注水高为(1+22) cm.故应注水π(1+22)-4×)2231()21(343+=ππ cm 3. 【答案】（31+22）π 知能训练1. 【分析】根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2，5916436222=+r r r πππ（倍）.【答案】C2. 【分析】此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8×32432=a 知，a =1，则此球的直径为2. 【答案】A3.【分析】画出球的轴截面，则球心与截面圆心的连线、截面的半径、球的半径构成直角三角形，又由题意得截面圆的半径是3，则球的半径为2234+=5，所以球的表面积是4π×52=100π. 【答案】100π4.【解析】由于外径为50 cm 的钢球的质量为7.9×3)250(34⨯π≈516 792(g), 街心花园中钢球的质量为145 000 g,而145 000＜516 792, 所以钢球是空心的.设球的内径是2x cm ，那么球的质量为7.9·［3334)250(34x ππ-•］=145 000, 解得x 3≈11 240.98,x ≈22.4,2x ≈45(cm). 答：钢球是空心的，其内径约为45cm.5.【分析】由题意得SO=r 为三棱锥的高，△ABC 是等腰直角三角形，所以其面积是21×2r ×r =r 2,所以三棱锥体积是33132r r r =⨯⨯，又球的体积为343r π，则球的体积与三棱锥体积之比是4π. 【答案】D点评：面积和体积往往涉及空间距离，而新课标对空间距离不作要求，因此在高考试题中其难度很低，属于容易题，2007年新课标高考试题就体现了这一点.高考试题中通常考查球、三棱锥、四棱锥、长方体、正方体等这些简单几何体或它们的组合体的面积或体积的计算.我们应高度重视这方面的应用.拓展提升【解析】如下图，连OA、OB、OC、OD，则V A-BEFD=V O-ABD＋V O-ABE＋V O-BEFD+V O-ADF，V A-EFC=V O-AFC＋V O-AEC＋V O-EFC，又V A-BEFD=V A-EFC，而每个小三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S△ABD＋S△ABE＋S BEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故选C.答案：C。

高频考点
题型 1：球的截面问题
球的组合体问题
说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式 r R2 d 2 解题，我们可以通过两个量求第三个量，
也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．
1.平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面α的距离为 2，则此球的体积为
（A） 6π （B）4 3π
又球心到截面的距离为 d 1 R ，∴ R2 (1 R)2 152 ，得 R 10 3 ．
2
2
∴球的表面积为 S 4R2 4 (10 3)2 1200 ．
4．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当 球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
1
高频考点
球的组合体问题
（）
A． 500 cm3 3
【答案】A
B． 866 cm3 3
C． 1372 cm3 3
D． 2048 cm3 3
题型 2：球与几何体的切、接问题
①． 正方体棱长为 a ，则其内切球半径 r内切 = ；棱切球半径 r外接 = ；外接球半径 r外接 =
②．长方体长宽高分别为 a, b, c ，则其外接球半径 r外接 =_________ ③．正四面体棱长为 a ，则其内切球半径 r内切 =_________；外接球半径 r外接 =_________
6．（2013 年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 ,底面边长为 ,则以 O 为球心,OA 为半 径的球的表面积为________.
【答案】 24 7.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB 6, BC 2 3 ,则棱锥

球与多面体的组合体问题(总16页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除问题一：多面体与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则13A O R '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）A ．22B ．1C ．212+D ．2【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( )A.10π3 B.4πC.8π3D.7π3【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为 .1.3球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,2h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+.例3 正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .【牛刀小试】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,33SE a CE a ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.412R a r a ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )A.326+ B. 2+26 C. 4+26 D. 4326+2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5，三棱锥111A AB D -的外接球的球心和正方体1111ABCD A B C D -的外接球的球心重合.设1AA a =，则32R a =.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.2222244a b c l R ++==(l 为长方体的体对角线长).例5 在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是 .【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．43πC ．3πD ．123π2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝3,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．π B.3π C. 4π D.43π【牛刀小试】已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.2.4 球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.如图8，三棱锥S ABC -,满足,,SA ABC AB BC ⊥⊥面取SC 的中点为O ,由直角三角形的性质可得：,OA OS OB OC ===所以O 点为三棱锥S ABC -的外接球的球心,则2SCR =. 例7 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125例8 三棱锥A BCD -中，AB CD == ==AC AD BD BC ==A BCD-的外接球的半径是 .三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9 在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)RC.14R D. 13R四、 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位 置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：4r a '=.例10 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）A．l03cm B．10 cmC．102cm D．30cm五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11 【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A.5πB.12πC.20πD.8π【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A.163 π B.193 π C.1912 π D.43π综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.【针对训练】1. 【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒则此球的表面积等于（ ）A ．952πB ．π20C ．π8D ．352π2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC,23AC =, 若四面体P －ABC 的体积为32,则该球的体积为（ ） A ．3π B 43 C ．3π D 833．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）侧视图俯视图正视图22113A．4π B．283πC．443πD．20π4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABC A B C-的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC=，侧面11BCC B是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A的面积为（）A．2 B．22C．2 D．15.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为( )(A)π (B)2π(C)3π (D)4π6.【河北省“五个一名校联盟” 2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为 （ ）A. B. C. D.7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为 ．8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为 ．11．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体CD AB 中，AB ⊥平面CD B ，CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =，则四面体CD AB 外接球的表面积为 ．12.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 .13.已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 的球面上,若PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是323π,则这个三棱柱的体积为 .15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 ．。

常见几何体的外接球
(一)柱体的外接球 1.正方体 2.长方体 3.直棱柱（或圆柱）
1、正方体的内切球、外接球
2r a
2R
3a
2、长方体（或正四、六棱柱） 的外接球
体对角线=球直径
长方体中， a2 b2 c2 2R
3.直棱柱（或圆柱）的外接球
上下底面外接圆圆心连线的中点，即为球心
( A)
2 6
(B)
3 6
(C )
2 3
( D)
2 2
2． 【2012 辽宁理 16】已知正三棱锥 P ABC，点 P，A，B，C 都在半 径为 3 的求面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截 面 ABC 的距离为________。 3.（11 新课标理 15）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的 球 面 上 ， 且 AB=6 ， BC=
点都在一个球面上，则该球的表面积为 (A) a
2
7 2 (B) 3 a
(C)
11 2 a 3
2 (D) 5 a
3. 直 三 棱 柱
A B C A1 B 1 C 1 的 各 个 顶 点 在 同 一 球 面 上 ， 若
AB AC AA1 2, BAC 120 ，则球的表面积为_______.
反思总结：
1.解决球的组合体问题的基本思路：找球心，求半径
正方体、长方体、直棱柱 2.锥体的外接球问题，可把锥体补成： 3.关于球的组合体的常见规律和结论，你能总结几个？
巩固强化：
1． 【2012 新课标 11】 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上， ABC 是边长为1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC 2 ；则此棱锥的 体积为（ ）