微专题3---球的组合体问题-教师用卷

（新课标）2013高考数学 三轮必考热点集中营 热点15组合体问题（教师版）【三年真题重温】1.【2011⋅新课标全国理，15】已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，BC =O ABCD -的体积为 ．2.【2011 新课标全国文，16】已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的 圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的163 ，则这两个圆锥中，体 积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．3.【2010⋅新课标全国理，10】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2a π (B) 273a π (C) 2113a π (D) 25a π4.【2010⋅新课标全国文，7】设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 25.【2012⋅新课标全国理】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 6 ()B ()C 3 ()D 26.【2012 新课标全国文】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（A）6π（B）43π（C）46π（D）63π【命题意图猜想】1.2011年理科高考是四棱锥和球的组合体，文科是圆锥和球的组合体，2010年理科考查的是三棱柱与球的组合体，文科考查的是长方体与球的组合体.2012年理科考查了三棱锥与球的组合体，试题难度较去年增大，文科只是简单考查了单一的几何体球的计算问题.从整体上看，试题难度理科较文科大，均需要学生有较强的画图能力和空间想象能力.并且均与球的外接或内切紧密联系到一起，猜想2013年高考试题不会逃离两个几何体的组合，且与球的组合体仍然是一个热点，以一种新颖的几何体的形态出现,考查几何体的体积或表面积.2.从近几年的考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查较全面，考查线、面位置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力．预测2013年高考仍将以空间几何体的表面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力．【最新考纲解读】(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆)．【回归课本整合】3.球（1）球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.（2）球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α的垂线段，O '为垂足，且OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r =圆，截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆（3）球的表面积公式：24S R π=.4.棱柱、棱锥与球的体积（1）棱柱：体积＝底面积×高，或体积V ＝直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；三棱柱的体积12V Sd =（其中S 为三棱柱一个侧面的面积，d 为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）（2）棱锥：体积＝31×底面积×高. （3）球的体积公式：343V R π=. ①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面(轴截面)是全等的矩形．除了这两条重要特征外，还应掌握下面的一些重要属性．①所有的轴截面是以两底面直径和两条母线为边的全等矩形，若该矩形为正方形，则圆柱叫等边圆柱．②用平行于轴的平面去截圆柱，所得的截面是以底面圆的弦和两条母线为边的矩形．也就是说过圆柱任意两条母线的截面一定是一个矩形，在这所有的截面矩形中，以轴截面面积最大．(3)圆锥的结构特征①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形；③过圆锥两条母线的截面．当轴截面的顶角不大于90°时，轴截面面积最大；当轴截面顶角大于90°时，两母线垂直时截面面积最大．(4)圆台的结构特征①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面是全等的等腰梯形．2.正方体与球（1）正方体的内切球：截面图为正方形EFGH 的内切圆，如图所示.设正方体的棱长为a ，则2a OJ r ==.1. 求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．2.求体积常见方法①直接法（公式法）；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.3.常见的特殊几何体的性质（1）平行六面体：①底面是平行四边形的四棱柱.②{平行六面体}⊃≠{直平行六面体}⊃≠{长方体}⊃≠{正四棱柱}⊃≠{正方体}；③平行六面体的任何一个面都可以作为底面；④平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；⑤平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和.（2）长方体：①长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和；②若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,αβγ，则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1；③若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2.【考场经验分享】1．注意特殊的四棱柱的区别：直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、平行六面体、直平行六面体．2．棱台的各侧棱延长线交于一点是判断棱台的主要依据，两底面平行且是相似多边形．3．注意还台为锥的解题方法的运用，将台体还原为锥体可利用锥体的性质．注意正棱锥中的四个直角三角形为：高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形；高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形；底面的边心距、外接圆半径及半边长组成一个直角三角形；侧棱、斜高及底边一半组成一个直角三角形．4．将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.5．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图. 6.关于组合体的考查一般放在压轴的选择或填空的位置，难度较大，需具有较强的画图能力和空间想象能力，尤其是与球相关的内切与外接问题，具有一定的规律和常用的结论，故总结常用的类型，形成解题的套路和模式.【新题预测演练】1.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】若棱长均为２的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为 （ ）33 32.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是A ．124B ．112C ．16D ．123.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截 球O 的截面面积为（ ）A ．6π B ．3πC D4.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==2AC =，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为 （ ） A ．1256π3 B ．8πC ．254πD ．2516π【答案】C5.【河北省唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试】在三棱锥P －ABC 中，PA ＝侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为 （A ）π (B)3π (C)4π （D) 43π6.【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A.63 D. 27.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】如图，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E 、F 分别是11B C 、11C D 的中点，则点A 到平面EFDB 的距离为A ．13 B ．23 C ．2D ．18.【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】四面体BCD A -中，,5,4======BD AD AC BC CD AB 则四面体外接球的表面积为（ ）A ． π33B ． π43C ． π36D ． π189.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，AB=6，BC O-ABCD的体积为O的表面积为10.【2012-2013学年度河北省普通高中11月高三教学质量监测】已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3时，其高的值为（）A．．．11.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知矩形ABCD 的顶点都在半径为R 的球O 的球面上，AB=6，BC =O-ABCD 的体积为O 的表面积为 A ．16π B ．32π C ．48π D ．64π12.【2012-2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积最大值时，其高的值为（ ）A ．．．棱柱的体积最大。

球的组合体（难）1.（2011·辽宁卷·文科）已知球的直径4SC =，A ,B 是该球球面上的两点，2AB =，45ASC ∠=o ，则棱锥S ABC -的体积为ABCD2.（2011·辽宁卷·理科）已知球的直径4SC =，A ,B是该球球面上的两点，AB =ASC BSC ∠=∠30=o ，则棱锥S ABC -的体积为A．．32 C ．3 D ．13.如图所示，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，点P 早平面ABC 内的射影D 恰好落在AB 上，且1AD =，2PD =，则P ABC -外接球的表面积为A ．9πB ．8πC ．12πD ．14π （提示：构造直三棱柱）4.（2011·全国课标卷·理科）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，BC =O ABCD -的体积为 .5.如图所示，已知四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，2SA =，3BC =，BCD DAB ∠+∠π=，二面角S BC A --的大小为3π，若四面体S ACD -的四个顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为 CA． B ．4π C ．8π D ．16πA PB C D AB CD S6.在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是等边三角形，90BAC ∠=o ，2AB AC ==，PC =，则该三棱锥外接球的表面积为 . 283π.7.（2012·全国课标卷·理科）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为 AA.63D.28.（2002·全国课标卷·理科）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.π3B.π4C.π33D.π69.在三棱锥P ABC -中，1AB AC ==，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABC ，且直线PA与平面PBC 所成角的正切值为12，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 A A.43π B.23π C.3π D. 4π 10.如图所示，在正三棱锥S ABC -中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥ AM，SA =，则正三棱锥的外接球的表面积为 CA.12πB.32πC.36πD.48πA BC P ABCS M N。

东北育才学校高中数学微课堂(微信公众信号：neycmath)球的组合体习题一．选择题（共8小题）1．半径为R的球的内部装有4个相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值为（）A ．RB．RC．R D．R2．（2011•徐水县一模）正方体的棱长为4，在正方体内放八个半径为1的球，再在这八个球中间放一个小球，则小球的半径为（）A ．1 B．2 C．D．3．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为（）A ．3 B．6 C．36 D．94．半径为1的球内切于一圆锥，则圆锥体积的最小值为（）A ．2πB．C．3πD．5．在底面半径为3，高为4+2的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为（）A ．4 B．5 C．6 D．76．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球的半径为1，则该三棱柱的体积是（）A ．4B．6C．12D．37．（2014•海口二模）设球O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球O的半径为（）A ．B．3 C．D．8．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为（）A ．B．﹣1 C．D．﹣1二．填空题（共19小题）9．如图，把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，在这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则这个小球的半径是_________．10．如图，球O是棱长为2的正方体的内切球（与正方体的各个面均相切），现在要在正方体内放置一个小球O′，使球O′与正方体的三个面及球O均相切，则球O′的半径为_________．11．把半径为r的四个小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为_________．12．（2014•浙江模拟）已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的半径为_________．13．已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则该长方体的外接球的半径为_________．14．（2012•许昌一模）已知四面体A﹣BCD中三组对棱分别相等，且长分别为2，，，则四面体A﹣BCD的外接球的半径为_________．15．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为_________．16．已知四棱锥P﹣ABCD底面是边长a的正方形，所有侧棱长相等且等于2a，若其外接球的半径为R，则等于_________．17．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为_________．18．（2014•安徽模拟）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则其外接球的表面积是_________．19．正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球表面积为_________．20．四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于_________．21．四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的内切球半径为_________．22．正三棱柱内有一内切球，半径为R，则这个正三棱柱的体积是：_________．23．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设BD=1，求三棱柱D﹣ABC的表面积、体积、内切球半径、外接球半径．24．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q 及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则该几何体的内切球的半径为_________．25．已知球O是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，现以A为球心，为半径做球A，则两球面交线的长度为_________．26．（2007•武汉模拟）正四棱锥S﹣ABCD内接于一个半径为R的球，那么这个正四棱锥体积的最大值为_________．27．（2013•浙江模拟）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为_________．三．解答题（共3小题）28．一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积．29．已知四个半径为R的大球，上层一个，下层三个且两两相切叠放在一起，若在他们围成的空隙中，有一个小球与这四个大球都外切，另有一个更大的球与这四个球都内切，求小球的半径r1和更大球的半径r2．30．已知一个四面体的一条边长为，其余边长均为2，求此四面体的外接球的半径．2014年11月23日46417278的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．半径为R的球的内部装有4个相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值为（）A ．RB．RC．R D．R考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．解答：解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大的高为=设正四面体的外接球半径为x，则x2=（﹣x）2+（）2∴x=r∴R=r+r，∴r=R．故选：B．点评：本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键．2．（2011•徐水县一模）正方体的棱长为4，在正方体内放八个半径为1的球，再在这八个球中间放一个小球，则小球的半径为（）A ．1 B．2 C．D．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题．分析：连接棱长是4的正方体的对角线，则在对角线上有8个小球中的两个还有最次相切，最后放入到小球的直径等于新形成的棱长为2的小正方体的对角线减去两个球的半径，相减得到结果．解答：解：∵在正方体内放八个半径为1的球，∴这8个球的球心组成一个新的正方体，连接棱长是4的正方体的对角线，则在对角线上有8个小球中的两个还有最后放入到小球三个球依次相切，∴最后放入到小球的直径等于新形成的棱长为2的小正方体的对角线减去两个球的半径∴小球的直径是∴小球的半径是故选D．点评：本题考查棱柱的结构特征，考查正方体和内接球东北育才学校高中数学微课堂(微信公众信号：neycmath) 7相切的球心之间的距离与半径之间的关系，本题是一个综合题目．3．已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球的半径为（）A ．3 B．6 C．36 D．9考点：球内接多面体；棱锥的结构特征；球的体积和表面积．专题：计算题．分析：三棱锥扩展为四棱柱（长方体），两个几何体的外接球是同一个球，求出四棱锥的对角线的长度就是外接球的直径，即可求解半径．解答：解：三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球，就是三棱锥扩展为长方体的外接球，所以长方体的对角线的长度为：=6，所以该三棱锥的外接球的半径为：3．故选A．点评：本题考查球内接多面体，棱锥的结构特征，球的半径的求法，考查空间想象能力、计算能力．4．半径为1的球内切于一圆锥，则圆锥体积的最小值为（）A ．2πB．C．3πD．考点：在实际问题中建立三角函数模型；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h用α表示R，h，求出圆锥的体积V的表达式，利用基本不等式求出V最小．解答：解：设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h 则：R=r•cotα=cotα，h=R•tan2α=cotα•tan2α=，圆锥的体积V===，而2α＜90°，α＜45°，所以：tanα＜1，1﹣tan2α＞0 又因为：tan2α+（1﹣tan2α）=1=定值所以：当tan2α=1﹣tan2α，即tanα=时，V最小==．故选B．点评：本题考查球与圆锥的位置关系，几何体的体积的求法，基本不等式的应用，考查空间想象能力计算能力．5．在底面半径为3，高为4+2的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入小球的个数最多为（）A ．4 B．5 C．6 D．7考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；球．分析：画出图形，求出小球的半径，小球球心所在圆的半径，然后判断放入小球的个数．解答：解：画出圆锥与大球以及小球相切的轴截面图形（如图左图），设小球的半径为r则依题意（r+3）2=（r﹣3）2+（4+2 ﹣3﹣r）2．解得r=1，则小球的球心在半径为2的圆上，并且小球的直径为2，小球球心所在截面（如图右图）两个小球的球心距离是2，边长为2的正六边形恰好在半径为2上．故能放6个．故选：C．点评：本题考查球与圆柱相切，几何体的截面图形、空间图形的判断，考查空间想象能力以及判断能力，难度比较大．6．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球的半径为1，则该三棱柱的体积是（）A ．4B．6C．12D．3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球的半径为1，求出正三棱柱的高、底面边长、底面高，即可求出正三棱柱的体积．解答：解：由题意，正三棱柱的高是直径为2，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是1，所以正三角的体积为V=×2×3×2=6，故选：B．点评：本题是基础题，考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．7．（2014•海口二模）设球O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球O的半径为（）A ．B．3 C．D．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：易知BD'过球心O，且BD'⊥平面ACD'，不妨设垂足为M，正方体棱长为a，平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，建立方程，求出正方体的棱长，即可求出球O的半径．解答：解：如图，易知BD'过球心O，且BD'⊥平面ACD'，不妨设垂足，易知，∴，∴截面圆半径，所以截面圆面积S=πr2=6π，得，a=6，∴球O的半径为．答案C．点评：本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想．8．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为（）A ．B．﹣1 C．D．﹣1考点：球的体积和表面积；棱锥专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．由此能求出棱锥的全面积和体积．设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此能求出球的半径．解答：解：如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．∵AB=2，∴S△ABC=3，DE=1，PE=．S全+3，∵PD=1，∴V=设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r==﹣1故选：D．点评：本题考查棱锥的全面积和体积的求法，考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二．填空题（共19小题）9．如图，把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，在这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则这个小球的半径是．考点：球的体积和表面积．个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，我们易将这四个球的球心连接成一个正四面体，并根据四球外切，得到四面体的棱长为2，接球半径为，由于这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则小球的球心与四面体的球体重合，进而再由小球与其它四球外切，球心距（即正四面体外接球半径）等于大球半径与小球半径之和，得到答案．解答：解：由已知中四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，连接四个球半径为若这四个球之间有一个小球和这四个球都外切，则这个小球的半径为﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，球的结构特征，其中根据已知条件求出四个半径为1的球球心连接后所形成的正四面体的棱长及外接球半径的长是解答本题的关键．10．如图，球O是棱长为2的正方体的内切球（与正方体的各个面均相切），现在要在正方体内放置一个小球O′，使球O′与正方体的三个面及球O均相切，则球O′的半径为．考点：球的体积和表面积．专题：球．可求球的半径．解答：解：∵正方体的棱长为2，∴正方体的内切球的半径R=1，正方体的体对角线为，设小球球O′的半径为r，作出对应的轴截面图如图：则OE∥C'C，且O'A=，O'O=r+1∴O'A+O'O=OA=，即，（）r=，r=．故答案为：．点评：本题主要考查空间正方体与球的内切问题，根据条件建立球半径之间的11．把半径为r的四个小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为（1+）r．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：当四个小球彼此相外切，与大球内切时，大球半径的最小，此时四个小球的球心为边长为2r的正四面体的四个顶点，大球半径的最小值为正四面体外接球半径加小球半径．解答：解：当四个小球彼此相外切，与大球内切时，大球半径的最小，如图所示：四个小球，三个在下，一个在上，四个球心连线成正四面体，该正四面体的边长为2r，则正四面体的高为r，则正四面体的外接球半径为r，∴大球半径最小为：（1+）r，（1+）r点评：本题考查的知识点是球的体积与表面积，其中分析出当四个小球彼此相外切，与大球内切时，大球半径的最小，是解答的关键．12．（2014•浙江模拟）已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的半径为1．考点：球内接多面体；由三视图还原实物图．专题：空间位置关系与距离．分析：画出几何体的图形，判断三棱锥的形状，求出外接球的半径即可．解答：解：由题意考查几何体的图形如图，该几何体是一个底面为直角三角形，棱锥，三棱锥的数据如图，此几何体的外接球半径为1．故答案为：1．点评：本题考查球的半径的求法，考查空间想象能力以及计算能力．13．已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则该长方体的外接球的半径为．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的表面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度即为长方体的外接球的直径，从而解决问题．解答：解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，减去②可得a2+b2+c2=50，∴这个长方体的一条对角线长为：5，由于对角线的长度即为长方体的外接球的直径，则该长方体的外接球的半径为．故答案为：．点评：本题考查长方体的结构特征，面积和棱长的关系，考查长方体的外接球的半径的求法，是基础题．14．（2012•许昌一模）已知四面体A﹣BCD中三组对棱分别相等，且长分别为2，，，则四面体A﹣BCD的外接球的半径为．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中四面体A﹣BCD中，三组对棱棱长分别相等，且其长分别为2，，，故可将其补充为一个长方体，根据外接球的直径等径．解答：解：∵四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等，故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为2，，，的长方体，则其外接球的直径2R==2，则R=故答案为：点评：本题考查的知识点是球的体积，其中利用割补法，补充四面体成正方体，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键．15．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为．考点：球内接多面体．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD，从而可求DM，MN，进而可求四边形DMON的外接圆的直径，即可求得球O的半径．解答：解：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD与平面ABD所成角为θ，∴．在△DMN中，得，故．∴四边形DMON的外接圆的直径．故球O的半径．故答案为：点评：本题考查四面体ABCD的外接球，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的外接球球心位置是关键．16．已知四棱锥P﹣ABCD底面是边长a的正方形，所有侧棱长相等且等于2a，若其外接球的半径为R，则等于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，求出外接球的半径即可求圆的半径是，即AO=．则PO===，如图设四棱锥的外接球的球心为E，半径为R，则R2=（）2+（）2，解得R=，∴==．故答案为：．点评：本题考查几何体的外接球的体积的力．17．正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为100π．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：计算题．分析：由于正六棱柱的外接球直径是正六棱柱体对角线的长，求出体对角线的长即得它的外接球的直径，从而求得表面积．解答：解：如图，；正六棱柱的外接球的直径是正六棱柱体对角线FH的长，∵侧棱垂直于底面，∴FG⊥GH；在△FGH中，由勾股定理得：FH2=FG2+GH2=62+（2×4）2=100，∴（2R）2=100，即4πR2=100π；点评：本题考查了多面体的外接球的表面积计算公式，解题的关键是求出球的直径，属于基础题．18．（2014•安徽模拟）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则其外接球的表面积是32π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为正三棱柱，根据几何体的特征得外接球的球心为三棱锥上、下底面中心连线的中点，求出底面三角形外接圆的半径，利用勾股定理求得球的半径，代入公式计算．解答：解：由三视图知几何体为根据底面等边三角形边长为2，∴底面三角形的中心到顶点的距离为=2，∴球的半径R==2，∴外接球的表面积S=4π×8=32π．故答案是32π．点评：本题考查了由三视图求接体的表面积，解题的关键是根据几何体的特征求得外接球的半径．19．正三棱柱的底面边长为2，高为2，则它的外接球表面积为．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入到棱柱的外接球的表面积．解答：解：由正三棱柱的底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=，又由正三棱柱的高为2，则球心到圆O的球心距d=1，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2=r2+d2=，∴外接球的表面积S=4πR2=．故答案为：．点评：本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．20．四面体ABCD中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：把四面体分割成四个小三棱锥，根据体积相等，即可得解解答：解：取CD的中点E连接AE、BE，取AB的中点F，连接EF由题意知AE⊥CD，BE⊥CD又∵AE∩BE=E∴CD⊥面ABE又AB=CD=6，其余的棱长均为5∴AD=5，DE=3∴AE=4，同理BE=4∴等腰△ABE底边AB上的高为EF=∴△ABE的面积S=∴三棱锥ABCD的体积V==又设内切球的半径为R，则球心O到每个表面的距离为R，且球心O到每个表面的距离为R∴三棱锥ABCD的体积V==∴故答案为：点评：本题考查求几何体的体积，利用等体积法求半径，本题采取了割补法的技巧．属中档题21．四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的内切球半径为．考点：球内接多面体；由三视图还原实物图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，四棱锥底面是一个边长是4的正方形，高为2，则斜高为．根据体积法，得到该几何体的内切球半径．解答：解：由题意，四棱锥底面是一个边长是4的正方形，高为2，则斜高为．设该几何体的内切球半径为r，则（16+4××）×r=∴r=．故答案为：．点评：本题考查多面体的内切球的运算，这是一个综合题目，解题时东北育才学校高中数学微课堂(微信公众信号：neycmath) 34注意体积法的应用．22．正三棱柱内有一内切球，半径为R，则这个正三棱柱的体积是：6R2．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意求出正三棱柱的高、底面边长、底面高，即可求出正三棱柱的体积．解答：解：由题意，正三棱柱的高是直径为2R，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是R，所以正三角形的边长是2R，高是3R正三棱柱的体积V=2R•3R•2R=6R2．故答案为：6R2点评：本题是基础题，考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．23．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设BD=1，求三棱柱D﹣ABC的表面积、体积、内切球半径、外接球半径．考点：平面与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）注意折叠前后的量的关系，用面面垂直的判定可得：（Ⅱ）由题意可得三棱锥的棱长，可求得表面积和体积，由等体积的方法可求内切球的半径，把三棱柱D﹣ABC的外接球转化为正方体的外接球可得答案．解答：解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ABD，∴平面ADB⊥平面BDC（Ⅱ）由题意可知：=1，AB=BC=AC=故三棱柱D﹣ABC的表面积S=+=三棱柱D﹣ABC的体积V==设内切球的半径为r，外接球的半径为R，由等体积的方法可得V=4×S×r，解得r=三棱柱D﹣ABC的外接球的直径为以BA，DB，DC为棱的正方体的体对角线，故2R=，解得R=点评：本题为折叠问题，注意前后的量的关系是解决问题的关键，转化会使问题东北育才学校高中数学微课堂(微信公众信号：neycmath) 37中档题．24．如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q 及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则该几何体的内切球的半径为6﹣．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题；作图题．分析：由展开图还原回原图形，得到原几何体是有一条侧棱垂直于底面，其余两侧面是直角三角形的四棱锥，且四棱锥底面是边长为6的正方形，利用等积法可求四棱锥的内切球的半径．解答：解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6又在折叠前后∠QAB与∠RCB的大小不变，所以四棱锥中∠PAB与∠PCB仍为直角．在直角三角形PDA和直角三角形PDC中，由PD=DA=DC= 6，得PA=PC=，所以，，S ABCD=6×6=3 6．利用等积法，设四棱锥内切球的半径为r，则．即．解得：r=6﹣．故答案为．点评：本题考查了棱锥的结构特征，考查了利用等积法求几何体内切球的半径，解答此题的关键是把展开图还原回原几何体，需要注意的是平面图形折叠前后的变量与不变量，是基础题．25．已知球O是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，现以A为球心，为半径做球A，则两球面交线的长度为π．考点：球面距离及相关计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两球面交线，与正方体的交点为两个面的中心，球O的交线所对的圆心角为90°，球A的交线所对的圆心角为60°，即可得出结论．解答：解：由题意，两球面交线，与正方体的交点为两个面的中心，球A的交线所对的圆心角为60°．∵球O的球心为正方体的中心，∴球O的交。

微专题3---球的组合体问题一、选择题1.在四面体PABC中，PC⊥PA，PC⊥PB，AP=BP=AB=2PC=2，则四面体PABC外接球的表面积是()A. 17π12B. 19π12C. 19π3D. 17π32.如图所示，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PDC为等腰直角三角形且垂直于底面ABCD，若PD=PC=√2，AD=1，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为()A. 5π3B. 4πC. 5πD. 20π3.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，过B点作AC的垂线，垂足为D，以BD为折痕将△ABD折起使点A到达点P处，满足平面PBD⊥平面BDC，则三棱锥P−BDC的外接球的表面积为()A. 25πB. 16πC. 48πD. 48125π4.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=√3，则该三棱锥外接球的表面积为()A. 5πB. √2πC. 20πD. 4π5.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=2√2，PC=√5，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为()A. 6πB. 10πC. 12πD. 16π6.已知三棱锥P−ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P−ABC的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为()A. 16π3B. 40π3C. 64π3D. 80π3二、填空题7.已知△ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2，P是平面ABC外的一点，且满足PA=PB=PC，∠APB=120°，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为______．8.已知平行四边形ABCD中，AB=√2，AD=1，∠A=45°，沿BD将△ABD折起到△BDA′位置，使A′C=√3，则空间四边形A′BCD的外接球表面积为__________．第1页，共1页。

球的组合体1.球的表面积与体积： 24S R π=, 343V R π=. 2.正方体、长方体与球：(1)设正方体的棱长为a ，则内切球半径为2aR =，外接球半径2R a =，与棱相切的球半径2R a =.(2)长方体的外接球直径2R =3.直棱柱与球的组合问题直棱柱的外接球，其球心一定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.4.正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，则该正四面体的：(1)全面积2S ；(2)体积312V a =；(3)对棱中点连线段的长2d =；(4)内切球半径12r a =；(5)外接球半径4R a =；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 可以用分割的方法求出内切球半径，也可以也可以运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之.在Rt BEO ∆中，222B O B E E O =+，即222)R r =+，得R =，得3R r =.5.一般棱锥与球:利用222R d r=+求解. 三、高考真题演练1.【2012新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =,则此棱锥的体积为A ABC D2.【2013新理6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A333350086613722048.. . .3333A cmB cmC cmD cm ππππ3.【2015新理科一理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620π+，则r =B .1 .2 .4 .8A B C D4.【2015新课标2理9】已知,A B 是球O 的球面上两点，o90AOB ∠=,C 为该球面上的动点，若三棱锥O A B C -体积的最大值为36，则球O 的表面积为.36 .64 .144 .256A B C D ππππ C5.【2016全国三理10】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是B 932.4 ..6 .23A B C D ππππ 6.【2016理科6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是A .17 .18 .20 .28A B C D ππππ四、经典例题解析【例1】【2006全国一】已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为C .16 .20 .24 .32A B C D ππππ【变式练习】1.【2010新课标理】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为B 2222711.. ..533A aB aC aD a ππππ 2.【2008新课标理】一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为_________.34π=V 3.【2009全国一理15题】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，o 120BAC ∠=，则此球的表面积等于 .π20=S .4.已知底面边长为a 正三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与表面积之比.解：如图，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，则a R 632=，正三棱柱的高为a R h 3322==，由O D A Rt 11∆中，得222222125()()()33612R R a a a =+=+=，16R a =. 1:5::222121==∴R R S S ，1:55:21=V V .汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）【例2】一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 _________. 14π.【变式练习】1.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .27π2.球面上有四个点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且PA PB =PC a ==，则这个球的表面积为__________.2243S R a ππ==球. 【例3】若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_________.π9【变式练习】1.在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .π362.在正三棱锥S ABC -中，侧棱SC ⊥侧面SAB ，侧棱2SC =，则此正三棱锥的外接球的表面积为____. 12π3.已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为___________.3)2(2222=++=c b a R ，23=R ,πππ2383334343=⋅==R V.墙角模型（三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图2图3【例4】一个四面体所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_______.3π【变式练习】1.已知三棱锥S ABC -中，SA BC SB AC SC AB ====C.64 .16 .14 .4A B C D ππππ2.在三棱锥A BCD -中，AB ，其余棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为_______.203π对棱相等模型（补形为长方体）【例5】已知三棱锥-P ABC 中，⊥PA 平面ABC ，∆ABC 是边长为3的等边三角形，2=PA ，则该三棱锥的外接球的体积为________.2416S R ππ==.【变式练习】1.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，1AC =，且o 120BAC ∠=，则该球的表面积为A 4050.. .12 .1533A B C D ππππ 垂面模型（一条直线垂直于一个平面）题设：如图，⊥PA 平面ABC .【例6】三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，PAC ∆和ABC ∆均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . R =【变式练习】【2017八市联考】已知三棱锥-A BCD 的一条棱长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥-A BCD 的体积最大时，其外接球的表面积为________.可以看成两个等边三角形绕着公共边旋转，当体积最大时，两个面垂直. 53==R S π 切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1图9-2图9-3图9-4【例7】在菱形ABCD 中，o 60,A AB ==将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，若二面角P BD C --的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的体积为C 4.. .3262A B C D π 【变式练习】如图，ABCD 为边长为2的正方形，点,E F 分别是边,AB BC 的中点，将,AED EBF ∆∆，FCD ∆分别沿,,DE EF FD 折起，使三点,,A B C 重合于点'A ，若四面体'A EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为B 222B C D 【折叠模型】题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠图11【例8】在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为C 125.12A π 125.9B π 125.6C π 125.3D π 【变式练习】1.在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为___________．BD 的中点是球心O ，132==BD R ，ππ1342==R S两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图13【例9】【2014全国】正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A 8127..16 .9 .44A B C D ππππ 【变式练习】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为________. ππ4942==R S 锥体的内切球问题图14图15【例10】正三棱锥S ABC -，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少?设正三棱锥S ABC -的高为h ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，则222()(3)3R h R =-+，2222(3)13h =-=,2R =.由2211131333)332r ⨯=+⨯⨯得r =.【变式练习】正三棱锥的高为3，底面边长为正三棱锥内有一个球与其四个面相切．则球的表面积与体积分别为___________. 43R =,64256;981ππ。

2019届高中数学（必修二）同步“教材变式+对接考点”题组训练第一章 空间几何体题组训练六 与球相关的组合体问题特训【教材变式题组训练】 一、选择题1. （根据人教A 版必修二P27例4改编）一个半径为R 的球内切与一个圆柱，则球的体积与圆柱的体积之比以及球的表面积与圆柱的侧面积之比分别为（ ）A ．4∶9 ,2:1 B．9∶4,1:2 C．2∶3,1:1 D．27∶4,1:12. （根据人教A 版必修二P28练习T2改编）三棱锥P －ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为、、，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 10π3.（根据人教A 版必修二P28练习T2改编）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的外接球体积为（ ）A. B. C. D.4. （根据人教A 版必修二P28练习T2改编）有一个球与棱长为a 的正方体的12条棱都相切,则这个球的体积应为( ) A .a 3B .a 3C .a 3D .a 35. （根据人教A 版必修二P27例4改编）已知一圆锥的母线长为，底面半径为，若该圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，则球的表面积为（ ） A. B. C.D.二、填空题6. （根据人教A 版必修二P28练习T2改编）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为_____________.7. （根据人教A 版必修二P28练习T2改编）体积为43π的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为__________． 三、解答题8. （根据人教A 版必修二P28练习T2改编）已知正四面体的棱长为a ，求它外接球的体积及内切球的半径．【对接考点题组训练】 一、选择题1. 【2016-2017贵州遵义四中月考第9题，考点2】已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在同一个球面上，BCD ∆是边长为2的正三角形， AC 为球O 的直径，，则该球O 的表面积（ ） A. 64π B. 48π C. 32π D. 16π2. 【2016高考新课标3第10题，考点1】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π3. 【2018年河南省信阳高级中学全国统一考试模拟（二）第10题，考点2】已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为，，，且，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 【2017届河北唐山高三模拟第10题，考点1】把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都相切，则皮球的半径为 ( )【解题思路提示】“棱切球”问题，结合相似三角形的性质、勾股定理列方程求解。

专题多面体与球的组合体问题综述11.球与柱体的组合体21.1 球与正方体21.2球与长方体21.3球与正棱柱22球与锥体的组合体32.1 球与正四面体32.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥32.4 球与其他棱锥43三视图相结合的组合体问题44.球的截面问题5专项训练题球与几何体的组合体问题5综述在各类考试中，与球有关的问题往往是：（1）外接球一个几何体的所有顶点在球上，此球即为外接球，确定其半径的方法主要是：A．将几何体补为长方体或正方体，化为这两种特殊几何体的外接球问题；B．利用外接球的球心的特点〔到几何体所有顶点的距离相等，先确定球心的轨迹，再列等式，解得半径〕解此类题的关键是：球心到多面体的顶点的距离都相等，都等于球的半径，这是确定球心位置的根本依据要知道以下知识：〔1〕正方体，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处；〔2〕直棱柱的外接球的球心在高的中点；〔3〕对于底面是三角形的棱锥，需要知道：在空间，到三角形三个顶点距离相等的点，在经过该三角形外心且与该三角形平面垂直的直线上；〔4〕对某些特殊的三棱锥，可以将其补成为正〔长〕方体，三棱锥的外接球就是正〔长〕方体的外接球（2）切球也即球在几何体部，与其所有侧面均相切，这种球的半径往往用体积公式来确定，类似于求三角形接圆的半径问题。

1.球与柱体的组合体1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的切球，截面图为正方形EFGH 和其切圆，那么2a OJ r ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，那么22GO R ==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACAC 和其外接圆，那么13AO R '==. 例将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，那么这个球的外表积为〔〕 A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2球与长方体长方体必有外接球，不一定存在切球〔只有为正方体时才有〕. 设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l ，那么22222(2)l R a b c ==++，外接球的半径2222l a b c R ++==1.3球与正棱柱下面以正三棱柱为例。

题型1：球的截面问题说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．1.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【答案】B2.在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积． 解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，21//BO AO ，且若1O 、2O 分别为两截面圆的圆心，则11AO OO ⊥，22BO OO ⊥．设球的半径为R ． ∵ππ4922=⋅B O ，∴)(72cm B O = 同理ππ40021=⋅A O ，∴)(201cm A O = 设xcm OO =1，则cm x OO )9(2+=．在A OO Rt 1∆中，22220+=x R ；在B OO Rt 2∆中，2227)9(++=x R ， ∴222)9(720++=+x x ，解得15=x ，∴22222520=+=x R ，∴25=R∴)(2500422cm R S ππ==球．∴球的表面积为22500cm π．3.球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222d R r -=求出球半径R ．解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ，∴222AC BC AB =+，ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ∆的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ， 又球心到截面的距离为R d 21=，∴22215)21(=-R R ，得310=R ． ∴球的表面积为πππ1200)310(4422===R S ．4．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（ ）A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π【答案】A题型2：球与几何体的切、接问题①． 正方体棱长为a ，则其内切球半径r 内切= ；棱切球半径r 外接= ；外接球半径r 外接=②．长方体长宽高分别为c b a ,,，则其外接球半径r 外接=_________③．正四面体棱长为a ，则其内切球半径r 内切=_________；外接球半径r 外接=_________④. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．解：如图，等边SAB ∆为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11CDD C ，截球面得球的大圆圆1O ．CBADSOE设球的半径R OO =1，则它的外切圆柱的高为R 2，底面半径为R ；R O O OB 330cot 1=︒⋅=， R R OB SO 33360tan =⋅=︒⋅=，∴334R V π=球，3222R R R V ππ=⋅=柱， 3233)3(31R R R V ππ=⋅⋅=锥， ∴964∶∶∶∶锥柱球=V V V ． 1.设长方体的长、宽、高分别为a a a ,,2,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）23aπ（B ）26aπ（C ）212aπ（D ） 224aπ【答案】B【解析】本题考查长方体的外接球问题.222,46.R R S R a ππ∴∴==练1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别 为1，2，3，则此球的表面积为 ．练2.，则其外接球的表面积是 .:练3．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A ．2 B ．C ．132D ．【答案】C2．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 ______.3.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面B C D 与球心的距离R a d -=36，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 33=，所以222)36()33(R a R a --=得R a 362=． 4. 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．解：如图，球O 是正三棱锥ABC P -的内切球，O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R ．PH 是正三棱锥的高，即1=PH ．E 是BC 边中点，H 在AE 上，ABC ∆的边长为62，∴26263=⨯=HE ． ∴3=PE可以得到2321=⋅===∆∆∆PE BC S S S PBC PAC PAB ． 36)62(432==∆ABC S 由等体积法，ABC O PBC O PAC O PAB O ABC P V V V V V -----+++= ∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯36313233113631得：2633232-=+=R ， ∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球． ∴33)26(3434-==ππR V 球． 说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．5.【2012高考新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 6 ()B ()C 3 ()D 2【答案】A【解析】ABC ∆的外接圆的半径3r =，点O 到面ABC 的距离3d ==,SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为23d =此棱锥的体积为112336ABC V S d ∆=⨯==另：123ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A. 6．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD 的体积为,底面边长为,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为________.【答案】24π7.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD-的体积为 。