球类组合体的求解方法

多面体与球的组合体问题的求解策略如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用． 策略一：公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为_________． 【解析】设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,936,84x x h =⎧⎪⎨=⨯⎪⎩∴1,23x h ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离32d =．∴外接球的半径221R r d =+=，43V π∴=球 【小结】本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式策略二：多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =． ∴222222426,6R R =++=∴= ．∴这个球的表面积是2424R ππ=．选C ．【小结】本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的． 策略三：补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_________．【解析】据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球．设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R =++=．∴294R =． 故其外接球的表面积249S R ππ==．【小结】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++．策略四：寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为_________．CDA B SO 1图3【解析】设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示．∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面．又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上．∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径．在ASC ∆中，由22SA SC AC ===，，得222SA SC AC +=．∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt ．∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径．故43V π=球． 【小结】根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径．本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．这种等价转化的数学思想方法值得我们学习．CA O DB 图4策略五：确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π 【解析】设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===．∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示，∴外接球的半径52R OA ==．故3412536V R ππ==球，故选C ．。

培优14 与球有关的组合体一、侧面与地面垂直的几何体的外接球问题例1：已知在三棱锥C ABD -中，ABD △是等边三角形，BC CD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球表面积为4π，则AC =（ ）A ．3 B ．6 C ．3D ．32【答案】C【解析】根据题意，画出图形，设且外接球球心为O ，半径为R ， 根据题意，有24π4πR =，解得1R =，根据题意，有球心O 为正三角形ABD △的中心， 因为1OD =，所以1AO =，12OF =，所以正三角形ABD △3， BC CD ⊥，所以1322CF BD ==， 因为平面ABD ⊥平面BCD ，所以π2AFC ∠=， 所以2239344AC CF AF =+=+= 二、通过投影找外接球球心例2：已知球O 内接正四面体P ABC -，E 为棱PA 的中点，F 是棱PB 上的一点， 且2FC EF =，则球O 与四面体P EFC -的体积比为（ ） A ．3πB ．3πC ．183πD ．3π【答案】D【解析】如图，正四面体P ABC -中，顶点P 在底面的射影为1O ，球心O 在1PO 上． 设正四面体的棱长为2a ， 则正四面体高222211232()62()3PO PC O C a a a =-=-=．设外接球半径为R ，在直角三角形1OO C 中，22211OC OO O C =+，即2222623()()R a R a =-+，解得6R a =． 令PF λ=，在PEF △中，由余弦定理得222222cos60EF PE PF PE PF a a λλ=+-⋅⋅︒=+-①，同理，在PFC △中，由余弦定理得222222cos6042FC PC PF PC PF a a λλ=+-⋅⋅︒=+-②，由题设2FC EF =，解得23a λ=． 由于P 到平面ABC 的距离与C 到平面PAB 的距离相等，都等于1||PO ，213||||sin 6026PEF S PE PF a =︒=△， 故231113262||33639P EFC PEF V S PO a a a -=⋅=⨯⨯=△，33446ππ()6π33OV R a a ===球，所以336π93π2O P EFC V a V a -==球．三、内切球相关问题例3：阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家．据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”．他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．64π3【答案】C【解析】设球的半径为R ，根据题意圆柱的表面积为22π2π254πS R R R =+⨯=，解得3R =， 所以该球的体积为3344ππ336π33V R ==⨯⨯=．增分训练一、选择题1．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．90︒【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线， 依题意可知OA l ⊥，AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线， 依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知//m CD ， 根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC ∠=︒，//m CD ，所以40OAG AOC ∠=∠=︒， 由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒． 2．如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为R 的大球放置在底面半径和高均为R 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球．A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图，设球的半径为R，实心小球的半径为r，由题意可得22r r R R++=，解得(322)R r=+，因为小球球心在以E为圆心，EF为半径的圆上，2R rEF+=，周长为2πEF，所以22πrn EF≤，即2π2π2π()2π[(322)]2(222)π15.16 2222R rEF R r r rnr r r r++++≤====+≈，故该工艺品最多可放入15个小球．3．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为（）A83π27B43π27C163π27D323π27【答案】D【解析】由题意，设球的半径为r，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为r的圆内切与一个边长为4的等边三角形，此时正三角形的高线为23h=根据中心（重心）的性质可得，球的半径为2433r h==，所以球的体积为334443323ππ()π33327V r ==⨯=，即溢出溶液的体积为323π27，故选D ．4．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（ ）A ．2B ．4C ．26D ．46【答案】B【解析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即23， 根据截面圆的周长可得4π2πr =，得2r =，故由题意，知222(23)R r =+，即2222(23)16R =+=，所以4R =．5．（多选题）已知A ，B ，C 三点均在球O 的表面上，2AB BC CA ===，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是（ ） A ．球O 的半径为32B ．球O 的表面积为6πC ．球O 6D ．球O 6【答案】BD【解析】设球O 的半径为r ，ABC △的外接圆圆心为O '，半径为R ， 可得23R =， 因为球心O 到平面ABC 的距离等于球O 半径的13，所以221493r r -=，得232r =，所以A 不正确； 所以球O 的表面积234π4π6π2S r ==⨯=，选项B 正确； 球O 的内接正方体的棱长a 2r =，显然选项C 不正确； 球O 的外切正方体的棱长b 满足2b r =，显然选项D 正确．6．（多选题）已知ABC △的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =．则下列说法正确的是（ ）A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以AB 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为48π5C ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为25πD ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 【答案】ABD【解析】以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为π3515π⨯⨯=，故A 正确；以AB 所在直线为旋转轴，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体， 其半径为345⨯， 故所得旋转体的体积211248ππ()5355V =⨯⨯=，故B 正确； 以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥， 侧面积为π4520π⨯⨯=，体积为21π4316π3⨯⨯⨯=，故C 错误，D 正确． 7．（多选题）下列说法中不正确的是（ ） A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C ．所有几何体的表面都能展开成平面图形D ．棱柱的各条棱都相等【答案】ACD【解析】棱柱的侧面都是四边形，A 不正确； 正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B 正确；不是所有几何体的表面都能展开成平面图形，球不能展开成平面图形，C 不正确； 棱柱的各条棱并不是都相等，应该为棱柱的侧棱都相等，所以D 不正确．8．（多选题）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（ ）A ．沙漏中的细沙体积为31024πcm 81B ．沙漏的体积是3128πcmC ．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD ．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（π 3.14≈） 【答案】ACD【解析】根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径284cm 33r =⨯=， 所以体积2312164π161024ππcm 3339381h V r =⋅⋅=⋅⋅=； 沙漏的体积223112562π()2π48πcm 3233h V h =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=； 设细沙流入下部后的高度为1h ，根据细沙体积不变可知211024π1(π())8132h h =⨯⨯， 所以11024π16π813h =，所以1 2.4cm h ≈； 因为细沙的体积为31024π8cm 1，沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙， 所以一个沙时为1024π1024 3.14815019850.0281⨯=⨯≈秒．二、填空题9．已知等边三角形ABC 的边长为M ，N 分别为AB ，AC 的中点，将AMN △沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -．点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，四棱锥A MNCB -外接球的半径为______，点P 到平面MNCB 距离的最大值为______．【答案】2，12+【解析】如图所示，设MN 的中点为Q ，1O ，2O 分别为等边三角形AMN 和梯形MNCB 的外接圆圆心．在ABC △中，N 为AC 的中点，所以BN CN ⊥， 则BC 为梯形MNCB 外接圆的直径．连接1O Q ，2O Q ．由题意，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，平面AMN ⊥平面MNCB ， 过1O 作平面AMN 的垂线，过2O 作平面MNCB 的垂线，两条垂线交于点O ， 则点O 即为四棱锥A MNCB -外接球的球心． 四边形12OO QO 为矩形，则21OO O Q =．在等边三角形AMN 中，MN =，则32AQ =，112O Q =， 即212OO =．又2O B ，所以四棱锥A MNCB -外接球的半径2R OB ====，所以点P 到平面MNCB 距离的最大值2212O P R OO =+=．10．三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，则三棱锥A BCD -体积的最大值为________；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为________．【答案】223，4π3【解析】依题意可知，BD 是球的直径，所以当OC BD ⊥，OA BD ⊥， 即2OC OA ==时，三棱锥A BCD -体积取得最大值为1112222223323BCD S OA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，此时2BC AC AB ===， 即三角形ABC 是等边三角形， 设其外接圆半径为r ，由正弦定理得22π3sin 3r r =⇒=， 所以等边三角形ABC 的外接圆的面积，也即平面ABC 截球所得的截面圆的面积为224π4π4π()33r =⨯=．11．已知正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点，2PA =2AB =，则正三棱锥P ABC-的外接球的半径为________；过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为________．【答案】6，[π3,π2] 【解析】因为正三棱锥P ABC -，2PB PC PA ===，2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，因此正三棱锥P ABC -可看作正方体的一角，如图， 记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心， 所以点O 也是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，则162222R =++=， 因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最大为2max 3ππ2S R ==； 又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得1222OQ PA ==， 由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为221r R OQ =-=，所以2min ππS r ==，因此，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为[π3,π2]．12．某地球仪上北纬30︒纬线的长度为12π(cm)，该地球仪的半径是________cm ，表面积是________2cm ． 【答案】3192π【解析】设北纬30︒所在圆面的关系为r ，由题可得2π12πr =，解得6r =，设地球仪的半径为6cos30R ==︒24π192πR =．。

问题一：多面体与球的组合体问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则13A O R '==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A. B.4π C. D.【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+. 例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【牛刀小试】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,3SE a CE ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r a ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．C．3πD．2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125例8三棱锥A BCD -中，AB CD ====AC AD BD BC ==A BCD -的外接球的半径是.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）A.(－1)RB.(－2)RC.RD.R四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A．l03cm B．10cmC．102cm D．30cm五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A .5πB .12πC .20πD .8π 【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.【针对训练】1.【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒则此球的表面积等于（）A ．952πB ．π20C ．π8D ．352π 2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC,23AC =,若四面体P －ABC 的体积为32,则该球的体积为（） A ．3πB ．433C ．83πD ．8333．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（）A ．2B ．22C ．2D ．1 5.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为()(A )π(B )2π(C )3π(D )4π6.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A. B. C. D.7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为．11．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体CD AB 中，AB ⊥平面CD B ，CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =，则四面体CD AB 外接球的表面积为．12.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.13.已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若P A,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是?,则这个三棱柱的体积为.15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为．。

解排列组合题的两种方法一、基本计数原理与排列组合公式法基本计数原理是解排列组合题最基本的方法之一，通过分步骤求解问题中的每个小步骤，然后将结果相乘来得到最终的答案。

排列组合公式法是另一种常见的解题方法，通过应用排列组合计算公式来解决问题。

在排列组合问题中，我们经常会遇到排列数、组合数、多重集合的排列与组合等问题。

下面通过几个具体的例子来说明这两种方法的应用。

例1：有5个不同的球，将其放入3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球。

问有多少种放法？基本计数原理方法：1.第一个球有3种放置方法，放入三个盒子中的任一个；2.第二个球有3种放置方法，放入三个盒子中的任一个；3.第三个球有3种放置方法，放入三个盒子中的任一个；4.第四个球有3种放置方法，放入三个盒子中的任一个；5.第五个球有3种放置方法，放入三个盒子中的任一个。

根据基本计数原理，将每个步骤的种类数相乘，即可得到最终的答案：3×3×3×3×3=3^5=243排列组合公式法：将问题转化为将5个球放进3个盒子中，每个盒子可以为空的情况下根据排列组合公式，可以得到答案：C(5+3-1,3-1)=C(7,2)=7!/(2!×5!)=7×6/(2×1)=21例2：由4个字母A、B、C、D组成2位或3位的字母排列。

基本计数原理方法：有两种情况：1.2位字母排列：第一位字母有4种选择，第二位字母有3种选择，共有4×3=12种排列；2.3位字母排列：第一位字母有4种选择，第二位字母有3种选择，第三位字母有2种选择，共有4×3×2=24种排列。

根据基本计数原理，将每个情况的种类数相加，即可得到最终的答案：12+24=36种排列。

排列组合公式法：将问题转化为选择2位字母排列和选择3位字母排列两种情况根据排列组合公式，可以得到答案：P(4,2)+P(4,3)=4!/2!+4!/1!=12+24=36种排列。

立体几何中的组合体问题专题(有答案)例1.正方体与球问题:正方体的棱长为1.求球的半径:⑴若正方体的八个顶点都在球面上,⑵若球内切于正方体;⑶12条棱组成一个正方体,一充气球在正方体内,求球的最大半径.例2.正四面体与球问题:正四面体的棱长为1.求球的半径:⑴若正四面体的四个顶点都在球面上,⑵若球内切于正四面体;⑶6条棱组成一个正四面体,一充气球在正四面体内,求球的最大半径.例3.四球问题:四个球的半径都为1.⑴桌面放两两相切的3个球,这3个球上面放一个球,求这个球的最高点离桌面的距离;⑵求与上述4个球都相切的小球的半径.例4.圆锥、圆柱与球⑴底面半径为1cm高为10cm的圆柱内,可以放几个半径为0.5cm的小球?⑵圆锥底面半径为3,高为4,一个球内切于圆锥,求球的半径;⑶圆锥底面半径为3,高为4,两个半径相同的球两两相切,放在圆锥底面上,且内切于圆锥,求这两个球的半径;⑷圆锥底面半径为3,高为4,三个半径相同的球两两相切,放在圆锥底面上,且内切于圆锥,求这两个球的半径;⑸圆锥底面半径为3,内接于一个半径为4的球,求圆锥的高.例5.圆锥与正四棱柱⑴圆锥底面半径为3,高为4,正四棱柱的高为3,且内接于圆锥,求正四棱柱的底面边长;⑵圆锥底面半径为3,高为4,正四棱柱的高为x,且内接于圆锥,求正四棱柱的体积.练习一、补（补成长方体或正方体）1. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A 、3πB 、4πC 、33πD 、6π2. 在正三棱锥ABC S -中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧棱32=SA ，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是（ ） A ．π12 B ．π32 C ．π36 D ．π483. 点P 在直径为6的球面上，过P 作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是 A ．6B ．435C ．2215D ．210554. 一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．π 5. 设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（ ）A ．π38B ．2πC ．4πD ．π346. 已知三棱锥S ABC -的三条侧棱两两垂直，且2,4SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的半径为 A ．3 B ．6 C ．36 D ．97. 已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为16，则该长方体的表面积的最大值为A ．32B ．36C ．48D ．648. 长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中1::2:1:3AB AD AA =，则四棱锥O ABCD -的体积为A .263 B . 63C .23D .3 9.【山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试数学文】四棱锥P ABCD 的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为A .12B .24C .36D .4810. (河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试四)已知四面体ABCD 中，AB =AD =6,AC =4,CD =213，AB 丄平面ACD ,则四面体 ABCD 外接球的表面积为A . π36B . π88C . π92D . π12811. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，一个球与正方体的棱长都相切，则这个球的半径是____________.12. 三棱锥A -BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ΔABC ，ΔACD , ΔADB 的面积分别为,222，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积为. ______13. 四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为361、、，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。

球的组合体研究（球中的截面问题 及 球与其它几何体的切接问题）王宪良[学习目标]1.学习球与其它几何体切接的直观图的画法。

2.掌握球的截面的性质；3.理解掌握球的切接题目的类型和解法；4.培养空间想象能力，能根据题意正确画出组合体的直观图。

一、基础知识与概念： 1.有关定义（1）球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，（2）外接球：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 如图（3）内切球：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.如图（4）大圆：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等（它是截面圆中最大的圆）； （5）小圆：不过球心的截面所截得的圆叫小圆． 2．外接球的有关知识与方法 （1）性质：性质1：球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆． 性质2：经过小圆的直径与且小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：球心和截面圆心的连线垂直于截面（类比：圆的垂径定理）；性质4：在同一球中，过两不平行截面圆的圆心且垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）；性质5：球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． （2）结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体截得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；ca b初图2初图1NOO 1PEFOO 1D 1C 1B 1DCA 1O 2ABM结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连线段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱与该棱柱的外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球.（3）终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 3．内切球的有关知识与方法（1）若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.（2）内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等(类比：与多边形的内切圆、外接圆) （3）正多面体的内切球和外接球的球心重合.（4）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 4．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 二、理清位置，学会画图 先画一个大圆与一个或两个小圆。

球的组合体一、正方体+球例1、甲球内切于某正方体的各个面，乙球内切于该正方体的条棱,丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比是二、四面体+球例2、球的内接正四面体内有一内球，求这两球的表面积之比练习：过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB,AC,AD，且两两夹角都是60o,若球的半径为R，则∆BCD的面积是（）例题：1、已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱的体积是（）A、3π4B、π C、π2D、π42、（“墙角型”三棱锥外接球）：在球面上有四个点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ，如果ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。

解法一、找截面图，找球心解法二、补正方体3、（“鳖臑型”三棱锥外接球）《九章算术》中，将底面是长方形且一条侧棱于底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。

两类三棱锥具有典型性，需重视。

（1）已知四面体P-ABC的四个顶点都在球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC ,且AC=1，PB=AB=2,则球O的表面积为解法一、构造长方体解法二：RT∆PBC和RT∆PAC有公共的斜边PC ，其中点到四个顶点距离相等。

（2）若三棱锥A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB=BC=2，BD=4, 三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（）提示：外接球的球心是AD的中点4、已知三棱锥S—ABC，所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SBC，SA=AC,SB=BC, 三棱锥S—ABC的体积等于9，则球O的表面积为5、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为。

球与组合体的答题技巧一、知识要点1.区别几组概念：（1）球面与球体 ；（2）球大圆与球小圆；（3）球的内接多面体与外接多面体。

2.理解球的性质：（1）球心与截面圆心的连线垂直于截面，反之亦然； （2）222d r R +=。

3.熟记相关公式：（1）24R S π=球面; (2)334R V π=球体 ； (3)R S V ⋅=多面体表面球的外切多面体31 二、典型问题解析1.与球截面相关的问题：通常利用勾股定理解直角三角形。

【例题1】一个棱长为1的无上盖的正方体盒子，上面放着一个半径为2的钢球，则球心到盒底的距离为 （ ）215.A 1215.+B 213.C 1213.+D 2.点共球面时，球心的寻找：过不平行的两截面圆圆心且垂直于截面的直线的交点即为球心。

【例题2】等腰直角三角形中ABC ，1==BC AB ,D 为AC 的中点，沿BD 把它折成二面角，若折后A 与C 的距离为1，且四点D C B A ,,,在同一球面上，求此球的表面积。

3.球的内接多面体：利用球的截面性质或构造相关图形。

【例题4】已知D C B A ,,,为半径等于2的球面上的四点，且,0,0=⋅=⋅ 0=⋅AD AC ,求三棱锥BCD A -的侧面积的最大值。

【例题5】棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球O 的表面上，F E ,分别为棱1AA ,1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 ( )22.A 1.B 122.+C 2.D 【对应练习二】（1）正三棱柱111C B A ABC -内接于半径为2的球，若B A ,两点的球面距离为π，则此正三棱柱的体积为 。

（2）在四面体ABCD 中，已知AB=CD=10,AD=BC=13,AC=BD=5，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 。

4.球的外切多面体：利用过切点的半径垂直于切面或等体积法或化归法。

【例题6】如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）的球心O ，且与DC BC ,分别交于F E ,，如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥BEFD A -与三棱锥EFC A -的表面积分别为21,S S 则有 ( )21.S S A < 21.S S B > 21.S S C = 21,.S S D 大小不确定【例题7】如图是由三根交于一点P 的细铁杆组成的支架，三条细铁杆两两的夹角都是60，一个半径为1的球放在支架上，则球心O 到点P 的距离为 ( ) 2.A 23.B 3.C 2.D 【对应练习三】 已知球O 是棱长为62的正方体1111D C B A ABCD -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面积为 。

组合体的计算公式
组合体是由多个基本几何体组合而成的立体图形，如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等。

组合体的计算公式包括以下几种： 1. 长方体的体积公式：V = l × w × h，其中 l、w、h 分别为长方体的长、宽、高。

2. 正方体的体积公式：V = a，其中 a 为正方体的边长。

3. 圆柱体的体积公式：V = πrh，其中 r 为圆柱体的底面半径，
h 为圆柱体的高。

4. 圆锥体的体积公式：V = 1/3πrh，其中 r 为圆锥体的底面半径，h 为圆锥体的高。

5. 球体的体积公式：V = 4/3πr，其中 r 为球体的半径。

组合体的表面积公式也可以根据其构成的基本几何体来进行计算。

例如，长方体的表面积公式为 S = 2lw + 2lh + 2wh，球体的表面积公式为 S = 4πr 等等。

在实际应用中，组合体的计算公式能够帮助我们准确地计算出其体积、表面积等重要参数，为工程设计、物理实验等领域提供了重要的数学基础。

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立体几何与球体组合计算方法立体几何是研究物体在三维空间中的形状、大小和相互关系的数学分支。

而球体是一种特殊的立体几何图形，具有球心、半径和表面等特征。

在实际生活和工程应用中，我们常常需要计算球体与其他几何形体的组合问题，比如球与立方体、球与圆柱体等。

本文将介绍一些常见的立体几何与球体组合计算方法。

一、球与立方体组合计算方法1. 球心在立方体内部当球心位于立方体内部时，我们需要计算球体与立方体的重叠部分体积。

首先，求出球体与立方体的交点，即求出球体的截面。

根据截面的形状，可以使用不同的方法进行求解。

其中一种常见的方法是使用球的方程和立方体的坐标方程求解截面的交点坐标。

然后，计算截面内的体积，最后将各个截面的体积相加即可得到球体与立方体组合的体积。

2. 球心在立方体外部当球心位于立方体外部时，我们需要计算球体与立方体的相交部分体积。

同样地，首先求解球体与立方体的交点坐标。

然后，计算球体在立方体内的投影体积，即球体在立方体内的部分。

最后，将投影体积与球体与立方体相交部分的体积相加即可得到球体与立方体组合的体积。

二、球与圆柱体组合计算方法1. 球心在圆柱体内部当球心位于圆柱体内部时，我们需要计算球体与圆柱体的相交部分体积。

类似于球与立方体的组合，首先求解球体和圆柱体的交点坐标。

然后，根据截面的形状使用相应的方法计算截面的体积。

最后，将各个截面的体积相加即可得到球体与圆柱体组合的体积。

2. 球心在圆柱体外部当球心位于圆柱体外部时，我们需要计算球体与圆柱体的相交部分体积。

同样地，首先求解球体与圆柱体的交点坐标。

然后，计算球体在圆柱体内的投影体积。

最后，将投影体积与球体与圆柱体相交部分的体积相加即可得到球体与圆柱体组合的体积。

三、其他球体组合计算方法除了与立方体和圆柱体的组合，球体还可以与其他几何形体进行组合。

例如，球体与锥体的组合，球体与棱台的组合等。

对于这些组合，我们同样可以采用类似的方法进行计算。

首先求解交点坐标，然后计算截面的体积，最后将各个截面的体积相加即可得到组合的体积。

关于球与多面体的组合体解题方法探讨球与多面体的组合体是三维几何中的一个重要概念，解题方法也有多种。

在此简要探讨一下关于球与多面体组合体的解题方法。

首先，对于球与多面体的组合体，我们可以将问题进行分解，分开考虑球和多面体的特性和性质，然后再综合起来考虑问题。

下面我们结合具体例题进行探讨。

例题1：一个正方体的棱长为2，一个半径为1的球被正方体完全包围住，且完全在正方体内，求球与正方体相交的面积。

解题思路：首先我们可以知道正方体的一个面上的对角线等于正方体的棱长，所以正方体的对角线长度为2√2由题目可知，球在正方体内，球的半径为1，则球心到正方体一些顶点的距离不会超过1，所以球心到正方体一些面的距离也不会超过1我们可以考虑球心到正方体各个面的距离，不难发现，球心到一个面的距离不超过1，球心到相对的面的距离不超过√2，球心到相对的对角面的距离不超过2综上所述，可以得到以下结论：1)若球心在正方体内部，则球与每一面都有交点；2)若球心在正方体边界上，即球心到一面的距离为1，则球与其对边的面无交点；3)若球心在正方体的角点上，即球心到对角面的距离为2，则球与对角面无交点。

在本题中，球心到正方体各个面的距离都不会超过1，所以球与每一面都有交点。

球与正方体的每一面的交线是一个圆，球与三个相邻的面的交线上的圆心在正方体的三个对角线的交点上，球与相对的两个面的交线上的圆心在每个对角面的对角线的交点上。

由于正方体是对称的，所以球与三个相邻的面的交线上的圆互相等价，同理，球与相对的两个面的交线上的圆互相等价。

因此，求球与正方体相交的面积，只需计算球与一个面的交线上的一个圆的面积即可。

球与面的交线上的圆的半径可以通过勾股定理得到，即球心到正方体其中一个面的距离。

在本题中，球心到正方体的一个面的距离为1，所以球与该面的交线上的圆的半径为1-1=0。

因此，球与该面的交线上的圆的面积为0。

综上所述，球与正方体相交的面积为0。

通过以上分析我们可以看出，在解这类球与多面体的组合体题目时，关键是找到球与多面体各个面的交线的性质和关系来进行求解。

球的组合问题表面积与体积的探求球与多面体组合的问题来探求表面积与体积在近几年的高考选择题与填空题中常有体现，在解这类题型中主要出现了两个方面的问题，一是球内切于多面体，其次就是多面体内接于球的问题。

在解决这类问题主要是通过多面体与球在空间中的关系，弄清楚球的半径与几何体棱长，对角线之间的关系，来达到解这类问题的目的。

一种是球内切于多面体，一种是多面体内接于球。

首先要注意：球内切于多面体的实质是切点到球心的距离等于其半径，而多面体内接于球的实质是球心到多面体的顶点的距离等于球的半径。

解题时要认真分析“接”、“切”的位置，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“接点”、“切点”作截面结合定义来解决，以下举例说明。

类型一：球内切于多面体的组合问题例1、已知正三棱锥底面边长为a ，高为h ，求它的内切球半径.分析与求解：因为内切球与棱锥的切点在棱锥的底面和斜高上，因此应作过侧棱与斜高的截面如图1，将截面分离出来如图21SDO θ∠＝， 1OO r ＝， 1tan 2r DO θ=•11336DO CD a ==，222213()6SD DO h a h =+=+， sin h SD θ=，1cos DO SD θ=，1cos tan 2sin θθθ-=＝1SD DO h-， ，221(12)tan 212a h a a r DO h θ+-=•= 点评：通过截面明确了接切关系，从而将空间图形问题转化为平面图形问题。

变式： 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等． 解：如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD 切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H ．由题设a GE AE AG 3622=-=．∵ △AOF ∽△AEGA C1C A1∴ a R a a R 233663-=，得a R 126=． ∵ △AO 1H ∽△AOF ∴ R r R a r R a =---36236， 得a r 246=．∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球． 点评：本题关键是先搞清楚球内切正四面体时，球的半径与三棱锥棱的关系，根据题意之间的关系，由于球与正四面体都有对称性，所以球O 的球心与正四面体ABCD 的中心重合，其次，我们很容易作出判断球1O 与球O 相切分别于H 和F ，它们与AHFE 四点共线，易得到△AO 1H ∽△AOF 从而达到求球1O 半径的作用。

专题多面体与球的组合体问题综述11.球与柱体的组合体21.1 球与正方体21.2球与长方体21.3球与正棱柱22球与锥体的组合体32.1 球与正四面体32.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥32.4 球与其他棱锥43三视图相结合的组合体问题44.球的截面问题5专项训练题球与几何体的组合体问题5综述在各类考试中，与球有关的问题往往是：（1）外接球一个几何体的所有顶点在球上，此球即为外接球，确定其半径的方法主要是：A．将几何体补为长方体或正方体，化为这两种特殊几何体的外接球问题；B．利用外接球的球心的特点〔到几何体所有顶点的距离相等，先确定球心的轨迹，再列等式，解得半径〕解此类题的关键是：球心到多面体的顶点的距离都相等，都等于球的半径，这是确定球心位置的根本依据要知道以下知识：〔1〕正方体，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处；〔2〕直棱柱的外接球的球心在高的中点；〔3〕对于底面是三角形的棱锥，需要知道：在空间，到三角形三个顶点距离相等的点，在经过该三角形外心且与该三角形平面垂直的直线上；〔4〕对某些特殊的三棱锥，可以将其补成为正〔长〕方体，三棱锥的外接球就是正〔长〕方体的外接球（2）切球也即球在几何体部，与其所有侧面均相切，这种球的半径往往用体积公式来确定，类似于求三角形接圆的半径问题。

1.球与柱体的组合体1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的切球，截面图为正方形EFGH 和其切圆，那么2a OJ r ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，那么22GO R ==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACAC 和其外接圆，那么13AO R '==. 例将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，那么这个球的外表积为〔〕 A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2球与长方体长方体必有外接球，不一定存在切球〔只有为正方体时才有〕. 设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l ，那么22222(2)l R a b c ==++，外接球的半径2222l a b c R ++==1.3球与正棱柱下面以正三棱柱为例。

球的组合体的知识拓展课本是传授知识、培养能力的载体，是知识精华的浓缩，是学科知识的书面表达。

在高三复习时，我们应该透彻把握课本的每一道题目，并能做到灵活应用，举一反三。

在人教A 版必修2第一章P 28有一道这样的题目：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm ，求球的体积。

，球的半径2R a =33344)33V R a ππ∴==⋅=球∴3a cm 3. 这道题考查的是球与正方体的组合体，是近几年高考的热点。

一般的，对球的考查，都是通过考查球与其它几何体的组合。

这类问题常见的一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，必要时作出合适的截面图。

我们不妨对这道习题进行推广：推广一：球的内接多面体问题：球的内接多面体问题即多面体的外接球问题１. 球的内接棱柱例1： 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 得球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为______________cm 2.答案：2+解析：有正四棱柱的外接球直径为2cm ，可得正四棱柱的对角线长为2cm ，又底面边长为1cm ，所以表面积为2+。

练习1. 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积_____________。

答案:2. 球的内接棱锥例2. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积（ ）A. 12B. 4C. 3D. 4答案：B解析：正三棱锥底面在大圆上，则底面三角形的外接圆的半径为球的半径且三棱锥的高为球的半径，设底面边长为a 。

所以3所以V=34。

练习22，四个顶点在同一球面上，求球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．33πD ．6π解析：法一：这个正四面体可以想象是由棱长为1的正方体砍去四个角所得，而这个正方体8个顶点所在的球面，也正是这个正四面体四个顶点所在的球面，而这个正方体的体对角线的长就是球的直径，显然，应选A 。

球的组合体题型1：球的截面问题:涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．1.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【答案】B2.在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积．解： 22500cm π．3.球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．解：球的表面积为πππ1200)310(4422===R S ．4．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（ ）A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π【答案】A题型2：球与几何体的切、接问题①． 正方体棱长为a ，则其内切球半径r 内切= ；棱切球半径r 外接= ；外接球半径r 外接=②．长方体长宽高分别为c b a ,,，则其外接球半径r 外接=_________ ③．正四面体棱长为a ，则其内切球半径r 内切=_________；外接球半径r 外接=_________④. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．解：如图，等边SAB ∆为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11CDD C ，截球面得球的大圆圆1O ．设球的半径R OO =1，则它的外切圆柱的高为R 2，底面半径为R ；R O O OB 330cot 1=︒⋅=，R R OB SO 33360tan =⋅=︒⋅=，∴334R V π=球，3222R R R V ππ=⋅=柱， 3233)3(31R R R V ππ=⋅⋅=锥， ∴964∶∶∶∶锥柱球=V V V ．CBADSOE1.设长方体的长、宽、高分别为a a a ,,2,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A ）23a π （B ）26a π （C ）212a π （D ） 224a π 【答案】B 练1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别 为1，2，3，则此球的表面积为 ．练2.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .:练3．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A ．3172 B ．210 C ．132D ．310 【答案】C 2．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 ______.【答案】3 3.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．解：由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面BCD 与球心的距离R a d -=36，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 33=，所以222)36()33(R a R a --=得R a 362=． 4. 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．解：2633232-=+=R ，∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球．∴33)26(3434-==ππR V 球． 说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．5.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 2 ()B 3 ()C 2 ()D 2 【答案】A 6．已知正四棱锥O-ABCD 的体积为,底面边长为,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为____.【答案】24π7.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,3AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为 。