柱、锥、球及其简单组合体

考点22 空间几何题的面积与体积一、考纲要求1. 直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,对柱、锥、台、球的概念的理解不作过高要求,复习时不要过分挖深.2. 多面体与旋转体表面上两点间的最短距离问题,要适当强化,体现了空间问题向平面问题转化.3. 柱、锥、台、球的表面积与体积的计算可能会在高考填空题中出现,注意体现不同几何体之间的联系,同时注意与平面几何中的面积等进行类比.二、近五年江苏高考立体几何中的计算作为江苏考纲必考知识点，每年都会考查，但是江苏高考对立体几何中的运算要求比较简单，近要求计算简单几何体的体积与表面积等简单的运算。

从近五年江苏高考试题可以发现主要考查柱、锥、球的表面积与体积，因此，在复习中要注意把握深度。

三、考点总结：把握空间几何体的结构特征是认识几何体的一个重要方面,也是进一步学习立体几何的基础. 在学习过程中,要通过互相对比的方式来把握它们的实质与不同,既要看到它们之间的不同,也要理解它们之间的联系,这样才能理解它们之间的共性和个性,做到心中有数,心中有图. 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题. 即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托,因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式. 同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解.四、近五年江苏高考题1、（2019江苏卷）如图，长方体1111ABCD A B C D 的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.2、（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．3、（2017江苏卷）如图，圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．4、（2016江苏卷）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1) 若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？5、（2015江苏卷）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．五、三年模拟题型一柱的表面积与体积1、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm，侧面的对角线长是3 5 cm，则这个正四棱柱的体积为________cm3.2、(2019常州期末）已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．3、(2019苏锡常镇调研（一））已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．4、(2019南京三模）有一个体积为2的长方体，它的长､宽､高依次为a，b，1．现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为．5、(2018南京学情调研）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为________cm2.6、(2018南通、泰州一调）如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm，圆柱的底面积为9 3 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm(不计损耗)．7、(2018苏北四市期末）已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长是35cm，则这个正四棱柱的体积是________cm3.8、(2018苏中三市、苏北四市三调）现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为1S ,2S ,则12S S 的值为 ．9、(2017南通一调）如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1A 1BD 的体积为________cm 3.10.(2017常州期末）以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．题型二 锥的表面积与体积1、(2019扬州期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．2、(2019镇江期末） 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．3、(2019泰州期末） 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．4、(2019苏北三市期末）已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为________．5、(2018苏州暑假测试）如图，正四棱锥PABCD 的底面一边AB 的长为2 3 cm ，侧面积为8 3 cm 2，则它的体积为________cm 3.6、(2018常州期末） 已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．7、(2018镇江期末） 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________． 8、(2018扬州期末） 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为________．9、(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH 的体积为________．（图1） （图2）10、(2018苏锡常镇调研（一））若正四棱锥的底面边长为 2 cm ，侧面积为8 cm 2，则它的体积为________cm 3.11、(2017苏锡常镇调研（一）） 已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________．题型三 球的表面积与体积1、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．2、(2019苏州三市、苏北四市二调）设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝2 m，PB＝3 m，PC＝4 m，则球O的表面积为________m2.3、(2018无锡期末）直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．4、(2018苏州期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．。

9.5 柱、锥、球及其简单组合体一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列几何体是旋转体的是()A. 五棱柱B. 六棱锥C. 八棱台D. 球2.长方体的一个顶点出发的三条边的长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是()A. √22πB. 25√2πC. 50πD. 200π3.已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的表面积为()A. 9πB. 18πC. 27πD. 54π4.若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为()A. √2πB. πC. 2πD. 4π5.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为()A. 1∶9B. 1∶27C. 1∶3D. 1∶16.已知圆锥的底面直径与高都是4，则该圆锥的侧面积为()A. 4πB. 4√3πC. 4√5πD. 87.正三棱柱ABC−A1B1C1的边长为2，侧棱长为√3，D为BC中点，则三棱锥A−DB1C1体积为()A. 3B. 32C. 1 D. √328.已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为50π，则圆锥的全面面积是()A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π9.若一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则这个圆柱的侧面积为()A. 9πB. 16πC. 272π D. 128π10.圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为()A. √15B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.已知正四棱锥的底面边长为4cm，高为√5cm，则该四棱锥的侧面积____________12.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于_________13.球的表面积为16πcm2，则球的半径为___________cm．14.已知底面是边长为1正方形，侧棱长为√2的直棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为______15.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱B1B的中点，则三棱锥D1−DEC1的体积为________．16.已知圆柱底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为.17.若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．18.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，是半径为3，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为__________．三、解答题（本大题共6小题，共46.0分）19.如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，AB//CD，AD=AF=CD=2，AB=4．(1)求证：AC⊥平面BCE；(2)求三棱锥E−BCF的体积．20.如图，菱形ABCD和直角梯形CDEF所在平面互相垂直，AB=DE=4，CF=2，∠BAD=60º，DE//CF，CD⊥DE．(1)求证：BD⊥AF；(2)求四棱锥A−CDEF的体积．21.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=√3，点M是棱PC的中点．(Ⅰ)证明：PA//面BMD；(Ⅱ)求三棱锥M−PAD的体积．π，求它的表面积．22.已知球的体积为500323.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中侧棱垂直于底面，且AC⊥BC，点D是AB的中点．(Ⅰ)求证：AC⊥BC1；(Ⅱ)若AC=BC=√2，AA1=2，求三棱锥A−B1CD的体积．24.如图所示，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90∘，AD//BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD．(1)证明：PC⊥CD；(2)若E是PA的中点，证明：BE//平面PCD；(3)若PA=3，求三棱锥B−PCD的体积．。