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第八章能量原理及其应用第八章能量原理及其应用弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。
然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有 15 个未知量的 6 个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。
因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。
这些解法的依据都是能量原理。
本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。
本章共讨论五个能量原理。
首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。
另外，还简单介绍最大耗散能原理。
本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。
8.1 基本概念1.1物体变形的热力学过程由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。
因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。
如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。
物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。
令物体在变形过程中的动能为 E，应变能为 U，则在微小的 t 时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为EUWQ(a)其中， W 为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q 是物体由其周围介质所吸收 ( 或向外发散 ) 的热量，并以等量的功度量。
假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有E 0，Q 0(b)将式 (b) 代入式 (a) ，则有U W(8.1-1)第八章能量原理及其应用1.2 应变能由第四章的式 (4.1-5b) 知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为U 0ijijdij1(8.1-2)2ij ik对于一维应力状态，在xx 平面内，则U 0 实际上就是应力应变曲线与x轴和xx '所围成的面积 ( 图 8.1) ，即'U 0X(8.1-3)x dx其中 x ' 是物体变形过程某一指定时刻的应变，应 图 8.1 应变能与应变余能变能 U 0 表示物体在变形过程中所储存的能量。
变分原理与变分法一、变分原理的基本概念变分原理是针对泛函的一种表述方式。
所谓泛函是指一类函数的函数，这类函数可以是数学上的对象，也可以是物理上的对象。
变分原理是以泛函的极值问题为基础，通过对泛函进行变分计算，求取泛函的极值。
在变分原理中，被考虑的对象是泛函数而不是函数。
二、变分原理的基本原理三、变分法的基本步骤变分法是通过对泛函的变分计算来解决极值问题。
它的基本步骤如下：1.建立泛函：根据具体的问题，建立一个泛函表达式，其中包含了待求函数及其导数。
2.变分计算：对建立的泛函进行变分计算，即对泛函中的待求函数及其导数进行变动，求出泛函的变分表达式。
3.边界条件：根据具体问题的边界条件，对变分表达式进行求解，得到泛函的变分解。
4.极值问题：根据泛函的变分解，通过进一步的计算确定泛函的极值。
四、变分原理和变分法的应用1.物理学中的应用：变分原理和变分法在物理学中有广泛的应用。
例如，拉格朗日方程和哈密顿方程可以通过变分原理推导出来。
此外，在量子力学和场论中，变分法也被用于求解相应的泛函积分方程。
2.工程学中的应用：在工程学中，变分原理和变分法常用于求解最优化问题。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解出构件的最优形状和尺寸。
在控制理论中，变分法可以用于求解最优控制问题。
3.数学学科中的应用：变分原理和变分法在数学学科中也有重要的应用。
例如，在函数极值问题中，变分法可以用于求解一类非线性偏微分方程的临界点。
总之，变分原理与变分法是一种强有力的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过应用变分原理和变分法，可以更好地解决求极值问题，进而推导出物理方程、最优设计和数学方程等相关问题的解。
因此，深入理解变分原理和变分法对于数学、物理、工程等学科的研究和应用具有重要的意义。
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
变分法基本引理变分法是数学中一种重要的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
其基本引理为变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
本文将围绕变分法基本引理展开讨论，介绍其基本概念、原理和应用。
一、引言变分法是数学中研究变量函数的极值问题的一种方法。
其基本思想是通过将极值问题转化为一个函数的极值问题，从而求解原问题。
变分法的基本引理是变分法的基础，为后续的推导和应用提供了重要的理论支持。
二、变分法基本引理的概念变分法基本引理是对于函数的变分的一种数学表述。
它指出，如果函数在某一点处取得极值，那么在该点处的变分为零。
换言之，如果一个函数在某一点处的变分不为零，那么该点不是函数的极值点。
三、变分法基本引理的原理变分法基本引理可以通过泛函导数的概念来理解。
泛函导数是对函数的变分的一种推广，它表示函数在某一点处的变分相对于该点处的微小变动的比率。
根据变分法基本引理，如果一个函数在某一点处的泛函导数为零，那么该点是函数的极值点。
四、变分法基本引理的应用变分法基本引理在实际问题中有着广泛的应用。
以经济学为例，我们可以将经济系统的效用函数看作一个泛函，通过变分法求解该泛函的极值，得到最优的经济决策。
类似地，变分法在物理学中的应用也十分广泛，例如用于求解最短路径、最小作用量和最小曲面等问题。
五、变分法基本引理的思考虽然变分法基本引理在理论和应用上都具有重要的意义，但在实际问题中的应用也面临一定的挑战。
首先，变分法需要对变分进行严格的数学推导，这对于一些复杂的问题来说是一项困难的任务。
其次，变分法在求解极值问题时并不一定能得到全局最优解，而可能仅能得到局部最优解。
六、结论变分法基本引理是变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
通过对变分法基本引理的理论分析和应用示例的介绍，我们可以看到变分法在实际问题中的重要性和应用价值。
在今后的研究和应用中，我们应进一步深化对变分法的理解，不断拓展其应用领域，为解决复杂问题提供更有效的数学工具。
变分法的基本原理
变分法的基本原理可以用极值问题的欧拉-拉格朗日方程来描述。
对于给定的
函数als，如果要求该函数在一定条件下取得极值，可以通过欧拉-拉格朗日方程来
求解。
欧拉-拉格朗日方程的形式为：
\[\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial y'}) \frac{\partial f}{\partial y} = 0\]
其中，f是要求极值的函数als，y是自变量，y'是y关于x的导数。
通过求解欧拉-拉格朗日方程，可以得到函数als在给定条件下的极值。
变分法的应用不仅局限于数学领域，它在物理学中也有着重要的应用。
例如，
光的传播可以用费马原理来描述，而费马原理可以通过变分法来推导。
在工程学中，变分法可以用于求解结构力学中的静力平衡问题，以及流体力学中的运动方程。
在经济学中，变分法可以用于求解效用最大化和成本最小化等优化问题。
总之，变分法是一种强大的数学工具，它在求解函数的极值问题以及优化问题
中有着广泛的应用。
通过欧拉-拉格朗日方程，可以描述变分法的基本原理，而在
实际问题中，变分法可以帮助我们求解各种各样的优化问题，从而推动科学技术的发展。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解变分法的基本原理，以及它在实际问
题中的应用。
同时，也希望读者能够进一步深入学习变分法的理论和方法，从而更好地应用它解决实际问题。
变分法作为一种重要的数学工具，有着广阔的应用前景，相信在未来会有更多的领域受益于它的应用。
变分法求解方程步骤
在数学和物理学中，变分法是一种重要的数学工具，用于求解
微分方程和极值问题。
在本文中，我们将介绍使用变分法求解方程
的基本步骤。
步骤一，建立泛函。
首先，我们需要将要求解的方程转化为一个泛函，即一个函数
的积分。
通常情况下，我们将方程中的未知函数表示为一个变量，
然后构建一个与该未知函数相关的积分表达式。
步骤二，引入变分。
接下来，我们引入一个新的函数，称为变分函数，它与原始未
知函数有一定的关系。
我们将原始未知函数表示为变分函数加上一
个小的扰动，然后利用这个扰动来构建一个新的泛函。
步骤三，计算变分。
通过计算变分函数对应的泛函的变分，即对变分函数进行微分，
然后代入原始方程，得到一个新的方程，称为欧拉-拉格朗日方程。
步骤四，解欧拉-拉格朗日方程。
最后，我们解欧拉-拉格朗日方程，得到原始未知函数的解。
这通常需要一些数学技巧和方法，如积分、微分、边界条件等。
总结。
使用变分法求解方程的步骤包括建立泛函、引入变分、计算变分和解欧拉-拉格朗日方程。
这种方法在物理学和工程学中有着广泛的应用，能够帮助我们求解复杂的微分方程和极值问题。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
