现代控制理论7.2 变分法

泛函(5/14)—定义7-3
� 定义7-3 泛函J[y(x)]如果满足下列叠加性和齐次性两个条件
J[y1(x)+ y2(x)]=J[y1(x)]+J[y2(x)] J[cy(x)]=cJ[y(x)] 式中,y1(x)和y2(x)为任意的两个函数;c为任意常数。
� 此时,称J[y(x)]为线性泛函。 � 线性泛函具有可叠加性和齐次性。
min f ( x )
x
无约束条件的多元函数极值(2/3)--定义7-1
� 函数极小的定义是一个相对概念, 并不是在函数的定义域上 的一个绝对概念,其基本定义可表述如下。 � 定义7-1 若存在一个ε>0,由 x-x* ≤ε所规定的x*的邻域 内总有y(x*)≤y(x),则称点x*是函数y(x)的一个相对极小点, 简称为极小点。 □ � 由数学分析知识可知,无约束条件时的多元函数极小值问 题的解x*满足如下必要条件
⎧2 x + λ2 = 0 ⎪ ⎨−4 y + 2λ2 y = 0 ⎪ 2 ⎩y + x −5 = 0
解得
⎧x = 5 ⎪ , ⎨y = 0 ⎪λ = −10 ⎩ 2 ⎧ x = −1 ⎪ ⎨y = 6 , ⎪λ = 2 ⎩ 2 ⎧ x = −1 ⎪ ⎨y = − 6 ⎪λ = 2 ⎩ 2
� 上述第一个解中λ2<0,故不是极小值解； � 第二个解中y+2>0不满足问题的约束条件,故不为 该问题的极小值解；
g ( x* ) = 0
� 例7-1 求给定关于n维变量向量x的二次型标量函数
f ( x) = xτ A x + bτ x + c
在约束条件
Hx = e
下的极小值。 � 其中 ,e为 m维常数向量 ;A,H和 b 分别为适宜维数的常数矩 阵和向量;c为常数。
有等式约束条件的多元函数极值(4/5)
� 解 先定义如下拉格朗日函数
泛函(2/14)—最短弧长问题
� 最短弧长问题 如图7-2所示,设y(x)是连 接点(x1,y1)到(x2,y2)的一条曲线。 � 若y(x)是连续可微的,则A,B两点的区 间y(x)的弧长为
S [ y ( x)] = ∫
x2 x1
̇ 2 ( x)dx 1+ y
图 7-2最短弧长问题
� 显然,上述弧长的积分式对于任意给定的连续可微的函数 y(x)都存在对应的一个积分值,即存在函数y(x)到数 S[(y(x)]的一种映射关系。 � 因此,有下面泛 x*
d 2 f ( x) dxdx τ
≥0
x = x*
无约束条件的多元函数极值(3/3)
� 如果函数f(x)对x的二阶导数矩阵在x*为正定矩阵,则上述 多元函数极小值问题的必要条件亦为充分条件,即
df ( x ) dx =0
x= x*
d 2 f ( x) dxdx τ
3) g i ( x * ) ≤ 0
i = 1, 2,..., p
式中,λ=[λ1 λ2 … λp]τ为库恩-塔哈克乘子向量; � L(x,λ)为如下库恩-塔哈克函数
L( x , λ) = f ( x ) + λτ g ( x )
有不等式约束条件的多元函数极值(4/7)—例7-2
� 例7-2 求给定关于n维变量向量x的二次型标量函数
式中,现在依次考虑下述4种可能情况: (1) λ1=λ2=0,即在两个不等式约束的边界之内求解。此时, 则由
∂L = 2 x = 0, ∂x ∂L = −4 y = 0 ∂y
解得x=y=0。由于该问题的第一个不等式约束条件不满 足,因此,不是极小解。
有不等式约束条件的多元函数极值(6/7)
(2) λ1=0,λ2≠0。因此,有:
− H A+ A
(
τ −1
) (b + H λ) = e
−1
即
λ = − ⎡ H A + Aτ ⎢ ⎣
(
)
−1
H ⎤ ⎡ H A + Aτ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣
τ
(
)
−1
b + e⎤ ⎥ ⎦
x = − A + Aτ
(
) ( b + H λ)
τ
−1
(1)
有等式约束条件的多元函数极值(5/5)
� 将上述λ的表达式代入式(1),可得
有等式约束条件的多元函数极值(2/5)
� 拉格朗日乘子法是解决有等式约束条件的函数极值问题的有 效方法,其求解基本方法如下。 1) 先引入拉格朗日乘子λ=[ λ1 λ 2 … λp]τ , 定义如下拉格朗日 函数
L( x , λ) = f ( x ) + λτ g ( x )
2) 该极值问题的解x*满足如下必要条件
有不等式约束条件的多元函数极值(2/7)
� 有不等式约束条件的函数极值问题的求解比等式约束条件的 函数极值问题复杂。 � 受前面讨论的引入拉格朗日乘子的启发,求解不等式约束 的函数极值问题也引入了乘子的概念,其求解基本方法可 由如下库恩-塔哈克(Kuhn-Tucker)定理给出。
有不等式约束条件的多元函数极值(3/7)—定理7-1
x = −1, y=− 6
泛函(1/14)
7.2.2 泛函
� 变分法是研究泛函极值问题的一种经典方法,从17世纪末开 始逐渐发展成为一门独立的数学分支。 � 它在力学、光学、电磁学等方面有着极为广泛应用。 � 下面先讨论泛函的基本概念。 � 泛函是函数概念的一种扩充。 � 函数表示从数到数的对应关系 , 如 y(x)=2x2-x+1 规定了自 变量x和因变量y之间的对应关系,是数x到数y的一种映射。 � 而泛函则表示函数 y到数 J的一种映射关系 ,见下面的 例子。
Ch.7 最优控制原理
目录(1/1)
目 录
� � � � � � � � 7.1 最优控制概述 7.2 变分法 7.3 变分法在最优控制中的应用 7.4 极大值原理 7.5 线性二次型最优控制 7.6 动态规划与离散系统最优控制 7.7 Matlab问题 本章小结
变分法(1/1)
7.2 变分法
� 本节在讨论变分法之前,先简单讨论多元函数的极值问题,然 后引出泛函的极值问题。 � 内容为 � 多元函数的极值问题 � 泛函 � 欧拉方程 � 横截条件 � 欧拉方程和横截条件的向量形式
泛函(4/14)
� 在泛函的定义中,强调泛函的宗量y(x)属于某一类函数。 � 由泛函的定义所确定的宗量属于的函数类称为容许函数 类或容许函数空间。 � 如最短弧长问题中泛函 S[y(x)]的容许函数类为通过 A,B两 点的连续可微或分段连续可微的函数。 � 线性泛函是研究泛函极值问题的基础, 下面先给出线性泛函 的定义。
min f ( x, y) = x 2 − 2 y 2
x, y
⎧y + 2≤ 0 s.t. ⎨ 2 ⎩y + x −5≤ 0
解 先定义库恩-塔哈克函数如下
L( x, y, λ1, λ2 ) = x2 − 2 y2 + λ1( y + 2) + λ 2 ( y2 + x − 5)
有不等式约束条件的多元函数极值(5/7)
泛函(3/14)—定义7-2
� 定义7-2 对于某一类函数集合中的每一个函数y(x), 都存在一 个确定的数J与之对应,那么就称J为依赖于函数y(x)的泛函, 记 为 J=J[y(x)] 或简记为J。 � 相应地,自变量函数y(x)称为宗量。 □
� 从上述定义可知 ,泛函规定了数 J与函数 y(x) 的对应关系,可理 解为“函数的函数”。 � 需要强调的是 , 上述定义中的宗量y(x)是某一特定函数的 整体,而不是对应于某一自变量x的函数值y(x)。 � 为强调泛函的宗量是函数的整体 , 有时将泛函表示为 J=J[y(·)]。
x = −( A + A
τ
)
−1
b+ (A+ A
τ
)
−1
H ⎡ H (A+ A ⎢ ⎣
τ
τ
)
−1
τ −1 ⎤ ⎡ H ⎥ ⎢H ( A+ A ) b + e⎤ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ τ
−1
当矩阵H为行满秩矩阵时,矩阵H(A+Aτ)-1Hτ是可逆的,此时上 述解成立。 � 由极值问题的充分条件可知,当
∂ 2 L ( x * , λ) τ = A + A >0 τ ∂x ∂x
⎧x = 5 ⎪ , ⎨y = 0 ⎪λ = −10 ⎩ 2
⎧x = −1 ⎪ ⎨y = 6 , ⎪λ = 2 ⎩ 2
⎧x = −1 ⎪ ⎨y = − 6 ⎪λ = 2 ⎩ 2
有不等式约束条件的多元函数极值(7/7)
� 只有第三个解满足库恩-塔哈克定理的所有条件, 因此是该问题的极小值解。 (3) 类似前面求解过程,可知在λ1≠0,λ2=0及λ1≠0,λ2≠0 两种情况下,该问题无解。 � 综上所述,该极值问题的解为
L( x , λ) = xτ Ax + bτ x + c + λτ ( Hx − e )
式中,λ为m维拉格朗日乘子向量,那么
∂L = A + Aτ x + b + H τ λ = 0 ∂x
(
)
� 当(A+Aτ)可逆时
x =− A+ A
(
τ −1
) (b + H λ )
τ τ
� 由约束条件Hx=e,有
⎧ ∂L( x * , λ) = 0, ⎪ ⎪ ∂x ⎨ 2 * ∂ L ( x , λ) ⎪ ≥0 τ ⎪ ⎩ ∂x∂x
g ( x* ) = 0
� 如果函数 L(x)对 x的二阶偏导数矩阵在 x* 为正定矩阵 , 则该必要条件亦为充分条件,即