变分法

变分法综述1.变分法1.1.变分法起源变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。

20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。

[1]变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。

譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。

变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。

有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。

在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。

它对应于泛函的临界点。

在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。

它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。

变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。

它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。

而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。

最优控制的理论是变分法的一个推广。

[2]同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。

变分一词用于所有极值泛函问题。

微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。

极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。

1.2变分问题类型固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。

[3]（1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。

这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。

数值分析中的变分法及其收敛性在数值分析中，变分法（Variational Method）是一种通过变分问题求解数值解的方法。

它利用泛函分析的理论和方法，通过构建一个被最小化的泛函，来求解给定问题的最优解。

本文将介绍变分法的基本原理，并讨论其在数值分析中的应用以及收敛性。

一、变分法的基本原理变分法的基本原理可以通过极小化泛函的方法进行描述。

对于一个给定的泛函J[y]，其中y是一个函数，我们的目标是找到一个y*，使得J[y*]达到最小值。

为了找到这个最小值，我们可以将问题转化为一个极小化问题，即找到一个y*，使得对于任意的形状变化δy，J[y*]的变化率为零。

这可以通过求解变分问题来实现：δJ[y*] = 0，对任意δy通过变分法，我们可以通过求解变分问题来得到原问题的最优解。

二、变分法在数值分析中的应用1. 最小化问题：变分法可以用于最小化问题的求解。

例如，对于一个函数y(x)，我们可以通过构建一个泛函J[y]，然后使用变分法来求解最小化问题。

2. 边值问题的求解：变分法在边值问题的求解中也有广泛的应用。

通过构建适当的泛函，我们可以将边值问题转化为一个变分问题，并通过变分法来求解。

3. 偏微分方程的数值解：变分法在偏微分方程的数值解中也有重要的应用。

通过构建适当的泛函，并选择合适的试验函数空间，我们可以使用变分法来求解偏微分方程的数值解。

三、变分法的收敛性在使用变分法求解数值问题时，我们更关注的是变分法的收敛性。

收敛性指的是在一系列逼近过程中，逼近的解是否趋近于真实的解。

对于变分法而言，它的收敛性与使用的试验函数空间以及变分问题的性质有关。

1. 试验函数空间的选择：试验函数空间的选择对于变分法的收敛性至关重要。

通常，我们会选择适当的空间，使得试验函数满足一定的光滑性和边界条件。

选择合适的空间可以提高解的逼近精度，从而提高收敛性。

2. 变分问题的性质：变分问题的性质也会影响到变分法的收敛性。

如果变分问题满足一定的正则性条件，如强解的存在性和唯一性等，那么变分法的收敛性可以得到保证。

变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。

泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。

变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。

【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。

泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。

要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。

步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。

变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。

步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。

变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。

步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。

然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。

这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。

步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。

这个最优解是使得泛函取得极值的函数。

【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。

这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。

【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。

例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。

此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。

【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。

它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。

变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。

§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。

它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。

这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。

约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。

后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。

有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。

在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。

伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。

数学的变分法数学的变分方法是一种研究函数变化的数学工具，被广泛应用于数学分析、物理学等领域。

它通过寻找函数的变化率最小值或最大值，揭示了许多自然界和社会现象的规律。

本文将介绍变分法的基本原理和主要应用，以及一些经典的变分问题。

一、变分法的基本原理在介绍变分法之前，我们需要先了解变分和变分算子的概念。

变分是指通过微小的函数偏移来研究一个函数的性质。

而变分算子是对这种微小的函数偏移进行数学上的描述。

变分法的基本思想是通过对一个函数进行变分，得到它的一阶变分和二阶变分，然后利用边界条件和变分的性质，求解出变分方程的解。

具体步骤如下：1. 假设函数的解是一个特定形式的函数表达式，其中包含一个或多个未知的参数。

2. 对这个函数进行变分，得到函数的一阶变分和二阶变分。

3. 将变分代入原方程，得到一个含有未知参数的函数方程。

4. 利用边界条件，求解出未知参数的值。

5. 将参数代入原方程，得到函数的解。

二、变分法的主要应用变分法具有非常广泛的应用领域，下面将介绍其中的几个重要应用。

1. 物理学中的作用量原理作用量原理是变分法在物理学中的重要应用之一。

它通过对作用量进行变分，得到物理系统的基本方程。

作用量原理在经典力学、电磁学、量子力学等领域均有广泛应用，是研究物理系统的基本工具。

2. 凸优化问题凸优化是变分法在应用数学领域的典型应用之一。

它研究如何寻找一个凸函数的最小值或最大值。

变分法可以帮助我们建立凸函数的变分问题，并通过求解变分问题来解决凸优化问题。

3. 经典的变分问题变分法在数学中的一个重要应用是解决一些经典的变分问题，比如著名的布拉赫罗恩极小曲面问题。

这个问题是在确定一个特定边界条件下，找到曲面的形状使其表面积最小。

三、经典的变分问题经典的变分问题是对变分法应用的经典案例，下面将介绍其中的两个。

1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了微观粒子的运动行为。

通过对薛定谔方程进行变分，可以得到微观粒子的能量本征值和能量本征态。

变分法的基本思想变分法是一种数学方法，用于研究函数的极值问题。

这一方法的基本思想是将函数的变化量表示成一个函数的积分，然后通过求积分的极值来求解函数的极值。

变分法不仅应用广泛，而且在理论上也有较大的价值。

一、变分法的历史变分法可以追溯到十七世纪，当时著名数学家莱布尼兹和尤拉分别独立地提出了这一方法。

莱布尼兹用变分法解决了曲线和曲面的最短路径问题，而尤拉则将其应用于力学中的最小作用量原理。

在之后的两个世纪里，变分法被广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

二、变分法的基本思想变分法的基本思想是将函数的变化量表示成一个函数的积分，然后求解积分的极值。

具体来说，假设有一个函数y(x)满足某些条件，如y(x)在一个区间[a,b]内连续、光滑等等，那么可以构造一个函数J[y(x)]，称为泛函，其表达式为：J[y(x)] = ∫[a,b] L(x,y,y’)dx其中L(x,y,y’)称为被积函数，y’表示y对x的导数，∫[a,b]表示在区间[a,b]内积分。

这里的J[y(x)]就是一个关于y(x)的函数，如果能够求出J[y(x)]的极值，那么对应的y(x)就是所要求的函数。

三、最小作用量原理最小作用量原理是变分法应用于力学中的一个重要例子。

假设有一质点从时刻t1到时刻t2经过一条路径，路径上有一个势场V(x)，则质点的作用量可以表示为：S = ∫[t1,t2] L(x,v)dt其中L(x,v) = T(v) – V(x)，T(v)表示质点的动能，V(x)表示势能。

根据最小作用量原理，实际上质点遵循的是作用量取极小值的路径。

换句话说，如果从t1到t2有多条路径，那么实际上质点所走的是其中作用量最小的路径。

四、应用举例变分法可以用于求解很多问题。

以下是一些应用举例：1、最短路径问题：这是莱布尼兹最早提出的应用之一。

假设有一条曲线y(x)，要使得从点A到点B的路径长度最短，即曲线y(x)在[a,b]内的弧长最小，可以通过应用变分法求解。

数学中的变分法数学中的变分法是一种重要的数学分析方法，它在各个领域具有广泛的应用。

本文将介绍变分法的基本概念、原理和应用，以及一些典型的例子。

一、基本概念1.1 变分问题在数学中，变分法主要用于研究变分问题。

所谓变分问题，是指要找到一个函数，使得特定的泛函取得极值。

泛函是一个对函数进行操作的函数，通常表示为一个积分形式。

1.2 泛函泛函是一个映射，它将一个函数空间中的每个函数映射到一个实数。

泛函的极值问题是变分法关注的核心内容。

二、原理与方法2.1 欧拉-拉格朗日方程变分法的核心思想是通过欧拉-拉格朗日方程来求得泛函的极值。

欧拉-拉格朗日方程是微分方程的一种形式，其推导基于变分学习中的一些基本假设。

2.2 性质与特点变分法具有以下性质和特点：（1）对连续问题和离散问题皆适用；（2）使用变分法可以简化求解过程；（3）可以应用于求解一些无法通过传统数学方法解决的问题。

2.3 常用方法常见的变分法方法包括变分法、极大极小值原理、最小二乘方法等。

这些方法在不同的数学问题中有不同的应用。

三、应用领域3.1 物理学中的应用变分法在物理学中有广泛的应用，例如，它可以用于解决力学、电磁学、量子力学等领域的问题。

其中，著名的费马原理和哈密顿原理就是基于变分法的。

3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法可以应用于结构力学、流体力学、电气工程等领域。

例如，通过应用变分法，可以得到最优化设计问题的解。

3.3 经济学中的应用变分法在经济学中也有一些应用。

例如，在经济学中，当我们面临一个最优决策问题时，可以把问题转化为一个泛函的极值问题，并使用变分法求解。

四、典型例子4.1 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题。

我们可以通过变分法来解决最短路径问题，其中泛函表示为路径长度的积分形式。

4.2 边值问题边值问题是微分方程中常见的问题。

通过应用变分法，我们可以将边值问题转化为泛函的极值问题，并进一步求解。

4.3 牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的重要定理之一。

变分法与变分方程的基本概念与应用变分法和变分方程是数学中重要的概念和工具，在科学和工程领域中有着广泛的应用。

本文将介绍变分法和变分方程的基本概念，探讨其原理和应用，并列举一些实际问题中的案例。

一、变分法的基本概念1.1 变分的定义变分是函数对输入参数微小改变的响应，用于描述函数在其定义域上的变化情况。

1.2 变分的原理变分原理是变分法的核心思想，它基于极值原理，寻找函数使得变分为零的条件。

也就是说，通过变分法可以找到使得泛函（函数之间的映射）取得极值（最大值或最小值）的函数。

1.3 变分的求解变分的求解可以通过欧拉方程来实现，欧拉方程是变分法的求解工具。

通过求解欧拉方程，可以得到函数的极值条件。

二、变分方程的基本概念2.1 变分方程的定义变分方程是函数的导数方程，其中函数可以是标量函数、矢量函数或函数的集合。

变分方程描述了泛函的最小化问题，即在给定的约束下，找到使得泛函取得极值的函数。

2.2 变分方程的原理变分方程的原理是利用变分法求解方程，通过求解约束条件下使得泛函取得极值的函数，可以得到变分方程的解。

2.3 变分方程的求解变分方程的求解需要将方程转化成一个变分问题，然后使用变分法进行求解。

具体求解方法与问题的性质和约束条件有关。

三、变分法与变分方程的应用3.1 物理学中的应用在物理学中，变分法和变分方程有着广泛的应用。

例如，在经典力学中，变分法被用来推导和求解拉格朗日方程，描述物体在给定约束下的最小作用量原理。

此外，变分法还应用于量子力学、电磁学和热力学等领域。

3.2 工程学中的应用在工程学中，变分法和变分方程被广泛应用于结构力学、电子学和材料科学等领域。

例如，在结构力学中，变分法可以用于求解复杂结构下的应力和位移分布，以及优化设计问题。

3.3 经济学中的应用在经济学领域，变分法和变分方程也有一些应用。

例如，在经济学中，变分法可以用来优化生产函数和成本函数，以及求解最优控制问题。

四、变分法与变分方程的案例分析4.1 案例一：自然界的最小作用量原理自然界的很多现象都可以通过最小作用量原理进行解释。