第八章 离散控制系统
8．1 引言
自动控制系统发展至今，数字计算机作为补偿装置或控制装置越来越多的应用到控制系统中。数字计算机中处理的信号是离散的数字信号。所谓离散信号，是指定义在离散的时刻点上信号，连续信号经过等间隔时间采样后就变成离散时间信号。而数字信号，是指由二进制数表示的信号，计算机中的信号就是数字信号。数字信号的取值只能是有限个离散的数值。如果一个系统中的变量有离散时间信号，就把这个系统叫做离散时间系统，简称离散系统。如果一个系统中的变量有数字信号，则称这样的系统为数字控制系统。图8－1为典型的计算机控制系统框图，计算机控制系统是最常见的离散系统和数字控制系统。计算机工作在离散状态，控制对象和测量元件工作在模拟状态。偏差信号)(t e 是模拟信号，经过A/D 变换后转换成离散的数字信号)(*
t e 进入计算机。计算机按照一定的控制规律处理输入信号，完成控制器的功能。计算机的输出信号)(*t u 为离散的数字信号，经过D/A 变换后转换成模拟信号)(t u h 。)(t u h 输入到控制对象，是其按预定方式工作。将图8－1中的A/D 转换器由一个采样开关代替，D/A 转换器由采样开关和保持器代替，得到图8－2。在量化误差可以忽略的情况下，计算机控制系统可以看作是离散控制系统。
8．2 采样系统
在离散控制系统中，数字计算机只能处理离散的数字信号，而系统中其余元件则处理模拟信号，所以在数字计算机与其余元件之间需要进行信号转换。信号经过A/D 转换，变成离散的数字信号输入到计算机。而计算机输出的离散的数字信号经过D/A 转换，变成模拟信号输入到其余元件。在分析离散控制系统时，假定输入到计算机和从计算机输出的每一个
图8－1 计算机控制系统
图8－2 离散控制系统
数字量之间的时间间隔为T ，称为采样时间，T /1为采样频率，单位为Hz 。所以在图8－2中，偏差信号
∑∞
=-=0
*
)()()(k kT t kT e t e δ
（8－1）
)(*t e 为离散信号，该信号实际上是由二进制表示的数字信号，通常为8位、10位、12位或者16位数字信号。若数字信号的位数为N ，则其最小单位为
N q 2
1= （8－2）
q 称为量化单位。可以看出量化会带来一定的误差，q 越小，量化误差越小。在分析离散系
统的特性时，通常忽略量化误差。图8－3是模拟信号经过采样后变换成离散的数字信号的过程，经过采样后，离散信号只在kT 时刻上有意义，而在其余时刻无意义。
计算机的输出信号通过D/A 变换，变成模拟信号。D/A 变换首先将计算机中的数字信号变成模拟电压值，然后在每个采样间隔内保持输出信号的值。D/A 转换通常采用零阶保持器，它将采样时刻kT 时的电压或电流值保持到下一个采样时刻T k )1(+到来之前。若经零阶保持器保持之后，D/A 转换器输出的模拟信号记为)(t x h ，则有
)()(kT x KT x h =+τT <<τ0
（8－3）
图8－4为零阶保持器的输出特性，可以看出每个采样时刻的离散信号经过零阶保持器都保持到下一个采样时刻到来之前，保持时间为一个采样周期，)(t x h 为阶梯信号。
从零阶保持器的特性可以得出，其单位冲激响应为幅值为1，宽度为T 的矩形脉冲，表示为
)(1)(1)(T t t t g h --=
（8－4）
对)(t g h 取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数为
*()e t
()t kT δ-
T
图8－3 采样过程
T
图8－4 零阶保持器输出特性
s
e s e s s H Ts
Ts ---=-=11)(0
（8－5）
由采样定理可知，若信号的频率分量中最大频率为ω，则采样频率ω2/1>T ，才能保证信号不失真的进行A/D 和D/A 转换。在控制系统中，通常要求采样频率为系统闭环带宽的20倍或20倍以上。
8．3 z 变换
8．3．1 z 变换
在分析线性连续系统时，使用了拉普拉斯变换，对离散信号
∑∞
=-=0
*
)()()(k kT t kT x t x δ
进行拉氏变换，得到
∑∞
=-=0
*
)()(k kTs e kT x s X
（8－6）
令sT
e z =，得到
∑∞
=-=0
)()(k k z kT x z X
（8－7）
)(z X 称为离散时间函数——脉冲序列)(*t x 的z 变换，记为
[]*
()()()X z x t x t ??==??
（8－8）
可以看出，z 变换是的离散信号进行拉氏变换的一种表示方法。常用的z 变换方法有级数求
和法和部分分式法。 1. 级数求和法
根据z 变换的定义，将连续信号)(t e 按周期T 进行采样，将采样点处的值代入式（8－7），可得
+++++=---n z nT e z T e z T e e z E )()2()()0()(21
再求出上式的闭合形式，即可求得)(z E 。
例8-1 对连续时间函数
????
?<≥=0
t t a t e t
)( 按周期1=T 进行采样，可得
????
?<≥=0
n n a n e n
)( 试求)(z E 。
解
按(8-7)z 变换的定义
++++===---∞
=-∞
=-∑∑312110
10
)()(1)()()(az az az az z
nT e z E n n n n
若a z >，则无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得闭合形式为
a z a
z z z E >-=
)(
2. 部分分式法（查表法）
已知连续信号)(t e 的拉氏变换)(s E ，将)(s E 展开成部分分式之和
)()()()(21s E s E s E s E n +++=
且每一个部分分式),2,1()(n i s E i =都是z 变换表中所对应的标准函数，其z 变换即可查表得出
)()()()(21z E z E z E z E n +++=
例8-2 已知连续函数的拉氏变换为
)
1(2
)(2++=
s s s s E
试求相应的z 变换)(z E 。
解
将)(s E 展成部分分式：
1
1122
++-
=
s s s s E )( 对上式逐项查z 变换表，可得
)
()1()]12(1[)12(1)1(2)(222T T
T
T e z z z T e z e
T e z z
z z z Tz z E ------+-+-+=
-+
---=
常用函数的z 变换表见附录A 表A-2。由表可见，这些函数的z 变换都是z 的有理分式。
8．3．2 z 变换的基本定理
应用z 变换的基本定理，可以使z 变换的应用变得简单方便，下面介绍常用的几种z 变
换定理。
1. 线性定理
若)]([)(t e Z z E 11=,)]([)(22t e Z z E =,a ,b 为常数，则
)()()]()([z bE z aE t be t ae Z 2121±=± (8－9) 上式表明，z 变换是一种线性变换，其变换过程满足齐次性与均匀性。 2. 实数位移定理
实数位移是指整个采样序列)(nT e 在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移
)(kT nT e +为超前，向右平移)(kT nT e -为滞后。实数位移定理表示如下：
如果函数)(t e 是可z 变换的，其z 变换为)(z E ，则有滞后定理
)()]([z E z kT t E Z k -=- (8－10)
以及超前定理
])()([)]([1
∑-=--=+k n n
k
z
nT e z E z kT t e Z （8－11）
其中k 为正整数。
显然可见，算子z 有明确的物理意义：k
z
-代表时域中的延迟算子，它将采样信号滞后
k 个采样周期；同理，k z 代表超前环节，它把采样信号超前k 个采样周期。
实数位移定理的作用相当于拉氏变换中的微分或积分定理。应用实数位移定理，可将描述离散系统的差分方程转换为z 域的代数方程。
例8-3 试用实数位移定理计算滞后函数3)5(T t -的z 变换。 解 由式(8－10)
4
5
2342353
5
3
5
3
)1()14()1(6)14(6]
!
3[!3][])5[(-++=
-++===-----z z z z T z z z T z t Z z t Z z T t Z 3. 复数位移定理
如果函数)(t e 是可z 变换的，其z 变换为)(z E ，则有
)()]([bT bt
za E t e a
Z ±= (8－12)
例8-4 试用复数位移定理计算函数aT
e t 2
的z 变换。
解
令2
)(t t e =，查表可得
3
222
1122)()
(][][)(-+===z z z T t Z t Z z E
根据复数位移定理(8－12)，有
3
23
2211)()()
()()(][at at at at
at at at
at e z e z ze T ze
ze ze T ze
E e t Z -+=
-+=
=----
4. 终值定理
如果信号e(t)的z 变换为E(z)，信号序列e(nT)为有限值(n ＝o ，1，2，…)，且极限
)(lim nT e n ∞
→存在，则信号序列的终值
)()1(lim )(lim 1
z E z nT e z n -=→∞
→ (8－13)
例8-5 设z 变换函数为
)
57)(1()(2
3
++-=z z z z z E 试利用终值定理确定)(nT e 的终值。
解
由终值定理(8－13)得
131
)
57(lim )57)(1()1(lim )()1(lim )(2312311=++=++--=-=∞→→→z z z z z z z z z E z e z z z 5. 卷积定理
设)(nT x 和)(nT y ( ,2,1,0=n )，为两个采样信号序列，其离散卷积定义为 ∑∞
=-=*0
])[()()()(k T k n y kT x nT y nT x (8－14)
则卷积定理可描述为：在时域中，若
()()*()g nT x nT y nT = (8－15) 则在z 域中必有
)()()(z Y z X z G ?= (8－16) 在离散系统分析中，卷积定理是沟通时域与z 域的桥梁。利用卷积定理可建立离散系统的脉冲传递函数。
应当注意，z 变换只反映信号在采样点上的信息，而不能描述采样点间信号的状态。因此z 变换与采样序列对应，而不对应唯一的连续信号。不论什么连续信号，只要采样序列一样，其z 变换就一样。
8．3．3 z 反变换
已知z 变换表达式)(z E ，求相应离散序列)(nT e 的过程, 称为z 反变换，记为 )]([)(z E Z nT e 1
-= (8－17) 当0 部分分式法又称查表法，根据已知的)(z E ，通过查z 变换表找出相应的)(* t e ，或者 )(nT e 。考虑到z 变换表中，所有z 变换函数)(z E 在其分子上都有因子z ，所以，通常先将z z E )(展成部分分式之和，然后将分母中的z 乘到各分式中，再逐项查表反变换。 例8-6 设)(z E 为 ) 2)(1(10)(--= z z z z E 试用部分分式法求)(nT e 。 解 首先将 z z E ) (展开成部分分式，即 2 10 110)2)(1(10)(-+ --=--=z z z z z z E 把部分分式中的每一项乘上因子z 后，得 2 10110)(-+--= z z z z z E 查z 变换表得 1]1[ 1=--z z Z ，n z z Z 2]2 [1=-- 最后可得 2,1,0)()21(10)()()(0 =-+-=-=∑∞ =* n nT t nT t nT e t e n n δδ 2. 幂级数法 z 变换函数的无穷项级数形式具有鲜明的物理意义。变量n z -的系数代表连续时间函数 在nT 时刻上的采样值。若)(z E 是一个有理分式，则可以直接通过长除法，得到一个无穷 项幂级数的展开式。根据n z -的系数便可以得出时间序列)(nT e 的值。 例8-7 设)(z E 为 ) 2)(1(10)(--= z z z z E 试用长除法求)(nT e 或)(t e *。 解 2 310)2)(1(10)(2+-=--= z z z z z z z E 应用长除法，用分母去除分子，即 3 23 212 1210 101 04321214015014021070)6070609030)2030203010)1507030101023----------------+---+---+--+++++-z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z )(z E 可写成 +++++=----432101507030100)(z z z z z z E 所以 +-+-+-+-=)4(150)3(70)2(30)(10)(*T t T t T t T t t e δδδδ 长除法以序列的形式给出 ),3(),2(),(),0(T e T e T e e 的数值，但不容易得出) (nT e 的封闭表达形式。 3. 反演积分法（留数法） 反演积分法又称留数法。在实际问题中遇到的z 变换函数)(z E ，除了有理分式外，也可能是超越函数，此时无法应用部分分式法及幂级数法来求z 反变换，只能采用反演积分法。当然，反演积分法对)(z E 为有理分式的情形也适用。)(z E 的幂级数展开形式为 ∑∞ =-= )()(n n z nT e z E (8－18) 设函数1)(-n z z E 除有限个极点1z ,2z ,…k z 外，在z 域上是解析的，则有反演积分公式 ∑?=→-Γ-==k i z z n n i z z E s dz z z E j nT e 1 11 ])([Re )(21)(π (8－19) 式中i z z n z z E s →-])([Re 1 表示函数1()n E z z -在极点i z 处的留数，留数计算方法如下： 若i z (k i ,,2,1,0 =)为单极点，则 ])()[(lim ])([Re 11 -→→--=n i z z z z n z z E z z z z E s i i (8－20) 若i z 为m 阶重极点，则 i i z z n m i m m z z n z z E z z dz d z z z E s =---→-??????--=])()[()!1(1])([Re 1111 例8-8 设)(z E 为 ) 2)(1(10)(--= z z z z E 试用反演积分法求)(nT e 。 解 根据式（8－19），有 ,2,1,0) 21(1021010)]2()2)(1(10[)]1()2)(1(10[] ) 2)(1(10[ Re )(211=+-=?+-=-?--+-?--=--===-∑n z z z z z z z z z z z z s nT e n n z n z n n 例8-9 设z 变换函数 2 3 ) 5)(1()(--=z z z z E 试用留数法求其z 反变换。 解 因为函数 2 2 1 51))(()(--= +-z z z z z E n n 有11=z 是单极点，52=z 是2阶重极点，极点处留数 161 ) 5)(1()1(lim ])()1[(lim ])([Re 2211 1 1 1=---=-=+→-→→-z z z z z z E z z z E s n z n z z z n 16 5)34(])5)(1()5[()!12(1)(]5[)!1(1])([Re 1522212125 15111 2 +→+--→---→-+= ??????----=?? ????--=n z n z n m m z z n n z z z z dz d z z E z dz d m z z E s 所以 16 1 5)34(165)34(161])([Re )(11 11 ++= ++==+=+→-∑n k i n z z n n n z z E s nT e i 相应的采样函数 +-+-+=-++=-=∑∑∞ =∞ =+)2(86)1(11)() (161 5)34()()()(00 1* t t t nT t n nT t nT e t e n n n δδδδδ 8．4 脉冲传递函数 8．4．1 脉冲传递函数定义 设离散系统如图8－5所示，如果系统的输入信号为)(t r ，采样信号)(*t r 的z 变换函数为 )(z R ，系统连续部分的输出为)(t c ，采样信号 )(*t c 的z 变换函数为)(z C ， 则线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：在零初始条件下，系统输出采样信号的z 变换)(z C 与输入采样信号的z 变换)(z R 之比，记作 ∑∑ ∞ =-∞ =-== 0)()() () ()(n n n n z nT r z nT c z R z C z G (8－21) 所谓零初始条件，是指在0 式(8－31)表明，如果已知)(z R 和)(z G ，则在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为 )]()([)]([)(11z R z G Z z C Z nT G --== 输出是连续信号)(t c 的情况下，如图8－6所示。可以在系统输出端虚设一个开关，如图中虚线所示，它与输入采样开关同步工作，具有相同的采样周期。如果系统的实际输出)(t c 比较平滑，且采样频率较高，则可用)(*t c 近似描述)(t c 。必须指出，虚设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的只是输出连续函数)(t c 在采样时刻的离散值)(*t c 。 8．4．2 串联环节的脉冲传递函数 离散系统中，计算串联环节的脉冲传递函数需要考虑环节之间有无采样开关。 1. 串联环节之间有采样开关 如图8－7所示，当串联环节)(1s G 和)(2s G 之间有采样开关时，由脉冲传递函数定义可知 ,)()()(1z R z G z D = )()()(2z D z G z C = 图8－5 离散系统 图8－6 开环采样系统 其中，)(1z G 和)(2z G 分别为)(1s G 和)(2s G 的脉冲传递函数。则 )()()()(12z R z G z G z C = 可以得到串联环节的脉冲传递函数为 )()() () ()(21z G z G z R z C z G == (8－22) 上式标明，当串联环节之间有采样开关时，脉冲传递函数等于两个环节脉冲传递函数的乘积。同理可知，n 个串联环节间都有采样开关时，脉冲传递函数等于各环节脉冲传递函数的乘积。 2. 串联环节之间无采样开关 如图8－8所示，当串联环节)(1s G 和)(s G 2之间没有理想采样开关时，系统的传递函数为 )()()(21s G s G s G = 由脉冲传递函数定义可知 [])()()() () ()(2121z G G s G s G Z z R z C z G === (8－23) 上式表明，当串联环节之间没有采样开关时，脉冲传递函数等于两个环节的连续传递函数乘积的z 变换。同理可知，n 个串联环节间都没有采样开关时，脉冲传递函数等于各环节的连续传递函数乘积的z 变换。 显然，)()()(2121z G G z G z G ≠，从上面的分析我们可以得出结论：在串联环节之间有无采样开关，脉冲传递函数是不相同的。 例8－10 设开环离散系统如图8－7、图8－8所示，)/()(,/1)(21a s a s G s s G +==，输入信号)(1)(t t r =，试求两种系统的脉冲传递函数)(z G 和输出的z 变换)(z C 。 解 输入)(1)(t t r =的z 变换为 1 )(-= z z z R 对如图8－7系统 图8－7 串联环节间有采样开关 图8－8 环节间无采样开关的串联离散系统 aT e z az a s a Z z G z z s Z z G --= +=-= =][)(1 ]1[)(21 有 ))(1()()()(2 21aT e z z az z G z G z G ---== ) ()1()()()(23 aT e z z az z R z G z C ---== 对如图8－8系统 ) ()1() 1()()()())(1() 1(])([)()() ()()(222121aT aT aT aT e z z e z z R z G z C e z z e z a s s a Z z G G z G a s s a s G s G -------= =---=+==+= 显然，在串联环节之间有无采样开关时，其总的脉冲传递函数和输出z 变换是不相同的。但是，不同之处仅表现在其开环零点不同，极点仍然一样。 3. 环节与零阶保持器串联 如图8－9所示，当环节与零阶保持器串联时，串联环节的连续传递函数为 0000()1()()()()(1)Ts Ts G s e G s H s G s G s e s s ---===- 令10()()/G s G s s =，则有 111()(1)()()()Ts Ts G s e G s G s e G s --=-=- ()G s 的单位冲激响应为 []111111()()()() =()() Ts g t G s G s e G s g t g t T ---??==-?? -- 对上式做z 变换可得环节与零阶保持器串联时的脉冲传递函数为 T 图8－9 环节与零阶保持器串联 [][]11111()()()()()()G z g t g t g t T G z z G z -==--=- 即 10()()(1)G s G z z s -?? =-???? （8－24） 例8－11 设离散系统如图8－10所示，已知 0()() a G s s s a = + 试求系统的脉冲传递函数()G z 。 解 因为 022()1111()G s a s s s a s a s s a ?? ==-- ?++?? 得 022()1[ ](1)11(1)(1) (1)() aT aT aT aT aT G s Tz z z s z a z z e z e aT z aTe e a z z e -----??=-- ?---?? ??+-+--??= -- 所以系统脉冲传递函数为 1 01(1)(1)()()(1)(1)()aT aT aT aT e aT z aTe e G s a G z z s z z e -----??+-+--????=-=??--?? 可以看出，零阶保持器不改变开环脉冲传递函数的阶数也不影响开环脉冲传递函数的极点，只影响开环零点。 8．5 线性离散系统的脉冲传递函数 图8－11为一个典型的线性离散系统框图 由脉冲传递函数的定义及开环脉冲传递函数的求法，对图8－11可建立方程组如下： T 图8－10 有零阶保持器的离散系统 ?? ? ??=-==)()()()()()()()()(z E z GH z B z B z R z E z E z G z C 解上面联立方程，可得该闭环离散系统脉冲传递函数 ) (1) ()()()(z GH z G z R z C z += = Φ （8－25） 闭环离散系统的误差脉冲传递函数 ) (11 )()()(z GH z R z E z e +== Φ （8－26） 令()z Φ或()e z Φ的分母多项式为零，便可得到闭环离散系统的特征方程： 0)(1)(=+=z GH z D （8－27） 式中，)(z GH 为离散系统的开环脉冲传递函数。 线性离散系统的结构多种多样，采样开关所处位置不同，结构相似的离散系统的传递函数完全不相同。而且当偏差信号不是以离散信号的形式输入到前向通道的第一个环节时，一般写不出闭环脉冲传递函数，而只能写出输出的z 变换表达式。表8－1为常见的线性离散系统的框图及输出信号的z 变换()C z 。 表8－1 常见线性离散系统的框图及()C z 图8－11 闭环离散系统结构图 续表8－1 例8－12 试求图8－12中线性离散系统的闭环脉冲传递函数 解 系统开环脉冲传递函数为 []121()()(1)()[(1)(1)] = (1)() aT aT aT aT k G z G s z s s s a k aT e z e aTe a z z e -----?? ==-?? +?? -++---- 则系统的闭环脉冲传递函数为 22 22()() ()()1() [(1)(1)] =[(1)(1)][(1)] aT aT aT aT aT aT aT aT C z G z z R z G z k aT e z e aTe a z k aT e a e z k e aTe a e --------Φ= = +-++--+-+-++--+ 例8－13 试求图8－13线性离散系统的输出信号()c t 的z 变换。 解 从系统框图可以列些方程组如下 *3()()()C s G s N s = *2()()()N s G s M s = 11* 113()()()()[()()()] =()()()()()() M s G s E s G s R s H s C s G s R s G s H s G s N s ==-- 以上3个方程的左边信号均有离散信号存在，对以上3个方程作z 变换可得 图8－12 线性离散系统 图8－13 线性离散系统 3()()()C z G z N z = 2()()()N z G z M z = 113()()()()()M z G z R z G HG z N z =- 整理上3式可得 32321133231213()()()() =()()[()()()/()] =()()()()()() C z G z G z N z G z G z G R z G G H z C z G z G z G z G R z G z G G H z C z =-- 由上式可以得到输出信号的z 变换为 231213()()() ()1()() G z G z G R z C z G z G G H z = + 因为该系统的偏差信号未经采样开关就输入到前向通道第一个环节，所以系统的闭环传递函数不能写出来，只能得到输出信号的z 变换式。 8．6 线性离散系统的稳定性 线性离散系统的数学模型是建立在z 变换的基础上的，在z 平面上分析线性离散系统的稳定性，可以借助于连续系统在s 平面上稳定性的分析方法。为此首先需要研究s 平面与z 平面的映射关系。 8．6．1 s 平面到z 平面的映射关系 在z 变换定义中， sT e z = （8－28） 其中，T 为采样周期。将ωσj s +=代入到式（8－28），得到 T j T T j e e e z ωσωσ==+)( （8－29） 于是s 域到z 域的基本映射关系式为 T z e z T ωσ=∠= （8－30） 在s 平面的虚轴，即0=σ。当ω从∞-变到∞时，由式(8－30)知，映射到z 平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆。只是当s 平面上的点沿虚轴从2s ω-移到2s ω时(其中 T s πω2=为采样角频率)，z 平面上的相应点沿单位圆从π-逆时针变化到π正好转了一圈；而当s 平面上的点在虚轴上从从2s ω-移到23s ω时，z 平面上的相应点又将逆时针沿单位圆转过一圈。依次类推，如图8－14所示。由此可见，可以把s 平面划分为无穷多条平行于实轴的周期带，其中从2s ω-到2s ω的周期带称为主带，其余的周期带称为辅带。 而s 平面的整个虚轴在z 平面的映像为单位圆。 在s 平面左半部，即0σ<。由式（8－30）可知，1z <，所以s 平面左半部映射到z 平面单位圆内。而在s 平面右半部，0σ>，1z <，所以s 平面右半部映射到z 平面单位圆外。 从s 平面与z 平面的映射关系可以看出，s 平面上稳定区域，即s 平面的左半部在z 平面的映射为单位圆内。这说明，z 平面的上的稳定区域为单位圆内，而单位圆外为不稳定区域，单位圆是稳定与不稳定的分界线。 8．6．2 线性离散系统稳定的充要条件 闭环线性离散系统稳定的充要条件为：线性离散系统的闭环特征根全部位于z 平面的单位圆内，或者说全部闭环特征根的模均小于1。如果闭环特征根中，有位于z 平面单位圆以外者时，则闭环线性离散系统是不稳定的。 例8－14 设线性离散系统的闭环特征方程为0368.0736.02 =+-z z 试判断系统的稳定性。 解 由系统闭环特征方程 0368.0736.02=+-z z 解出特征方程的根 48.037.0,48.037.021j z j z -=+= 因为1606.048.037.02221<=+= =z z ，所以该离散系统稳定。 该例子中，闭环特征方程的阶数为2阶，直接求闭环特征根比较容易。而当系统阶数较高时，求根就比较麻烦。 图8－14 s 平面虚轴在z 平面上的映射 8．6．3 劳斯稳定判据 在连续系统的稳定性分析中，利用劳思稳定判据来判断系统特征方程的根是否都在s 平面左半部。若要在离散系统的稳定性分析中应用劳斯判据，需要将z 平面的单位圆映射到另一个平面的左半部。采用w 变换，令 11 -+= w w z （8－31） 则有 1 1 -+= z z w （8－32） 式（8－31）和（8－32）表明，w 变换为可逆的双向线性变换，便于应用。令 jy x z +=， jv u w += 代入式（8－32），得 2 22222)1(2)1(1)(y x y j y x y x jv u +--+--+=+ 显然 2 222)1(1 )(y x y x u +--+= 由于上式的分母2 2 )1(y x +-始终为正，因此可得 ① 0=u 等价为12 2=+y x ，表明w 平面的虚轴对应于z 平面的单位圆周； ② 0 ③ 0>u 等价为12 2>+y x ，表明右半w 平面对应于z 平面单位圆外的区域。 z 平面和w 平面的这种对应关系，如图8－15所示。经过w 变换之后，z 平面上的单位圆内映射到w 平面左半部，所以根据w 域中的特征方程系数，可以直接应用劳思判据判 断离散系统的稳定性。 例8－15 设闭环离散系统的脉冲传递函数为 2 0.632() 1.3680.368 Kz G z z z = -+ 图8－15 z 平面与w 平面的对应关系 试用劳斯判据求出系统临界稳定时的K 值。 解 闭环特征方程为 0368.0)368.1632.0()(12=+-+=+z K z z G 令)1()1(-+=w w z ,得 0368.011)368.1632.0(112 =+?? ? ??-+-+??? ??-+w w K w w 化简后，得w 域特征方程 0)632.0736.2(264.1632.02=-++K w Kw 列出劳思表 K w w K K w 632.0736.20 264 .1632.0736.2632.00 12-- 从劳思表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须有33.40< 界增益 4.33K =。 8．7 线性离散系统的时域分析 8．7．1 极点在z 平面的分布与暂态响应 同连续系统类似，线性离散系统的闭环极点在z 平面上的分布，决定了系统时域响应的形式。设离散系统的闭环脉冲传递函数为 11 () () ()() () m i i n k k z z M z z k m n D z z p ==-Φ==≤-∏∏ 其中，),,2,1(m i z i =为)(z Φ的零点，),,2,1(n k p k =为)(z Φ的极点。不失一般性，且为了便于讨论，假定)(z Φ无重极点。 当)(1)(t t r =时，离散系统输出的z 变换 1 )()()()()(-?= Φ=z z z D z M z R z z C 将()C z 展成部分分式 实验报告 离散控制系统的性能分析及设计 一．实验目的：熟悉MATLAB环境下的离散控制系统性能分析；二．实验原理及实验内容 1. 数学模型的确定及系统分析： 已知采样控制系统，如图所示，若采样周期T＝1s，K=10，（1）求闭环z传函；（2）求单位阶跃响应；（3）判定系统稳定性；（4）确定系统的临界放大系数； 图1 （1）计算闭环Z传函 ds1=tf(10,[1 1 0]);Ts=1; dg1=c2d(ds1,Ts,'zoh') dgg=feedback(dg1,1) Transfer function: 3.679 z + 2.642 ---------------------- z^2 - 1.368 z + 0.3679 3.679 z + 2.642 -------------------- z^2 + 2.311 z + 3.01 （2）求系统单位阶跃响应 C（z）=R*G Y= 3.6788 -2.1802 0.28517 12.225 -22.789 22.182 23.66 -115.13 201.15 -111.95 -1.1555 + 1.2943i -1.1555 - 1.2943i ans = 1.7350 1.7350 （4）临界稳定 将上述系统改变采样周期，T=0.1s,确定系统稳定的K 值范围； Root Locus Real Axis I m a g i n a r y A x i s -6 -5-4-3 -2-101 -2-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 附录： 最小拍系统设计原理及实例： 精心整理 ----------2007-------------------- 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(*t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。 3．(3 4．（x()∞5．(5解：(G 6．(5试用Z 解：二、（ (i X s ) z 图1 1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数 () () o i X z X z ； 2．（5分）试判断系统稳定的K 值范围。 解：1.101 1 1 1 11 1()(1)(1)11(1)1(1)()1e 11e 1e G G z z Z s s z Z s s z z z z z z z e z -------??=-??+????=--??+?? =-----=---= -1 1 010******* 1e ()()e 1e ()1()1e (1e )(e )(1e )(1e )e e o i K X z KG G z z X z KG G z K z K z K K z K K ------------== -++--=-+--=-+- 2．（5 三、(8 已知(z)1Φ=1．(3分)简述离散系统与连续系统的主要区别。 解：连续系统中，所有信号均为时间的连续函数；离散系统含有时间离散信号。 2．(3分)简述线性定常离散系统的脉冲传递函数的定义。 解：在系统输入端具有采样开关，初始条件为零时，系统输出信号的Z 变换与输入信号的Z 变换之比。 3．(3分)简述判断线性定常离散系统稳定性的充要条件。 解：稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．(5分)设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数)(z G 。 实验二 离散控制系统分析方法 一、实验目的 利用MATLAB 对各种离散控制系统进行时域分析。 二、实验指导 1．控制系统的稳定性分析 由前面章节学习的内容可知，对线性系统而言，如果一个连续系统的所有极点都位于s 平面的左半平面，则该系统是一个稳定系统。对离散系统而言，如果一个系统的全部极点都位于z 平面的单位圆内部，则该系统是一个稳定系统。一个连续的稳定系统，如果所有的零点都位于s 平面的左半平面，即所有零点的实部小于零，则该系统是一个最小相位系统。一个离散的稳定系统，如果所有零点都位于z 平面的单位圆内，则称该系统是一个最小相位系统。由于Matlab 提供了函数可以直接求出控制系统的零极点，所以使用Matlab 判断一个系统是否为最小相位系统的工作就变得十分简单。 2．控制系统的时域分析 时域分析是直接在时间域对系统进行分析。它是在一定输入作用下，求得输出量的时域表达式，从而分析系统的稳定性、动态性能和稳态误差。这是一种既直观又准确的方法。 Matlab 提供了大量对控制系统的时域特征进行分析的函数，适用于用传递函数表示的模型。其中常用的函数列入表1，供学生参考。 例1．z z z H 5.05 .1)(2+= 试绘出其单位阶跃响应及单位斜波输入响应。 解：为求其单位阶跃响应及单位斜波输入响应，编制程序如下： num=[1.5]; den=[1 0.5 0];sysd=tf(num,den,0.1) [y,t,x]=step(sysd); subplot(1,2,1) plot(t,y); xlabel('Time-Sec'); ylabel('y(t)'); gtext('单位阶跃响应') grid; u=0:0.1:1; subplot(1,2,2) [y1,x]=dlsim(num,den,u); plot(u,y1) xlabel('Time-Sec'); ylabel('y(t)'); gtext('单位速度响应') grid 二、实验内容 1、MATLAB在离散系统的分析应用 对于下图所示的计算机控制系统结构图1，已知系统采样周期为T=0.1s，被 控对象的传递函数为 2 () s(0.11)(0.05s1) G s s = ++ ，数字控制器 0.36 () 0.98 z D z z - = + ，试 求该系统的闭环脉冲传递函数和单位阶跃响应。 图1 计算机控制系统结构图 实验步骤： 1）.求解开环脉冲传递函数，运用下面的matlab语句实现：>> T=0.1; >> sys=tf([2],[0.005 0.15 1 0]); %将传函分母展开>> sys1=c2d(sys,T,'zoh'); >> sys2=tf([1 -0.36],[1 0.98],0.1); >> sys3=series(sys2,sys1) 执行语句后，屏幕上显示系统的开环脉冲传递函数为： sys3 = 0.03362 z^3 + 0.05605 z^2 - 0.01699 z - 0.002717 -------------------------------------------------- ----------2007-------------------- 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(* t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。 3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。 解：若系统在初始扰动的影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 ) 5.0)(1()(2+--= z z z z z X 解： 经过验证(1)X()z z -满足终值定理使用的条件，因此， 211x()lim(1)X()lim 20.5 z z z z z z z →→∞=-==-+。 5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 ) 2)(1(1 e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h 解：11 1 1211 11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++ 6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下： )k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。 试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解： 22 ()6()8()() ()(1)(68)3(1)2(2)6(4)1 (){2324},0 6 k k z C z C z C z R z z z z z C z z z z z z z c k k -+===-+--+---=-?+≥ 二、（10分）已知计算机控制系统如图1所示，采用数字比例控制() D z K =， 其中K >0。设采样周期T =1s ，368.0e 1=-。 第7章离散控制系统的分析与综合 7.3 离散系统的能控性和能观性 1、离散系统的能控性和能观性判据 ◆能控性和能观性定义： 对有限个采样周期，若能找到控制信号序列，能使任意一个初始状态转移到零状态，则系统是状态完全能控的；若根据有限个采样周期的输出序列，能唯一地确定任意初始状态，则系统是状态完全能观的。 ◆能控性和能观性判据： A B C状态完全能控的充要条件 n阶线性定常离散系统(,,) 是 1 rank rank[,,,]n c Q B AB A B n -== 状态完全能观的充要条件是 1rank rank o n C CA Q n CA -轾犏犏犏==犏犏犏臌 2、连续系统离散化后的能控性与能观性 设具有零阶保持器的n 阶连续系统以采样周期T 离散为离散系统。 定理：若连续系统不能控（不能观），则其离散系统必不能控（不能观）。若连续系统能控（能观），其互异特征值（含 重特征值）为μλλλ，， ， 21，若对一切 μλλ,,2,1,,0][ ==-j i R j i e 的互异特征值满足 ,2,1,2][±±=≠-k T k I j i m πλλ 则其离散系统必保持能控（能观）性。 7.4 离散系统的稳定性 1、离散系统稳定的充要条件 1）赛尔维斯特展开定理 设n 阶系数矩阵A 具有互异特征值n λλλ，，， 21，)(A f 是A 函数，则有 i i n i A f A f )()(1λ∑== 其中 j i i n i j j i I A A λλλ--= ∏≠=,1 2）离散系统稳定的充要条件 线性定常离散系统齐次状态方程 的解为 ()(0)k x k A x = 由系统的特征方程 0zI A -= 可解得系统的特征值。 设A 的特征值n λλλ，，， 21两两互异，则由赛尔维斯特展开定理得 1n k k i i i A λA ==? 第十章 3. 在R 中定义二元运算，使得,a b R ?∈有 *a b a b ab =++ 证明 (2) a) 由运算表可得：运算封闭，且F 不是空集，所以,F <> 为一个代数系统。 b) 函数复合运算满足结合律。 c) 单位元为f1 d) f1-1=f1, f2-1=f2, f3-1=f3, f4-1=f5, f5-1=f4, f6-1 =f6, 所以,F <> 为群 实验利用MATLAB进行离散控制系统模拟本试验的目的主要是让学生初步掌握MATLAB软件在离散控制系统分析和设计中的应用。 1．连续系统的离散化。 在MATLAB软件中，对连续系统的离散化主要是利用函数c2dm( )函数来实现的，c2dm( )函数的一般格式为 C2dm( num, den, T, method)，可以通过MATLAB的帮助文件进行查询。其中： Num：传递函数分子多项式系数； Den：传递函数分母多项式系数； T：采样周期； Method：转换方法； 允许用户采用的转换方法有：零阶保持器（ZOH）等五种。 2．求离散系统的相应： 在MATLAB中，求采样系统的响应可运用dstep( )，dimpulse( )，dlsim( )来实现的。分别用于求取采样系统的阶跃，脉冲，零输入及任意输入时的响应，其中dstep( )的一般格式如下： dstep( num, den, n)，可以通过MATLAB的帮助文件进行查询。其中： Num：传递函数分子多项式系数； Den：传递函数分母多项式系数； N：采样点数； 3．此外，离散控制系统也可以用simulink工具箱进行仿真，仿真界面 如下图（采样周期可以在对应模块中进行设定）。 1．编制程序实现上面三个仿真程序。 2．把得到的图形和结果拷贝在试验报告上。 3．在第1个例子中，改变采样周期为0.25，重新运行程序，把结果和原来结果进行比较，并说明为什么？ 4．在第2个例子中，改变采样点数为70，重新运行程序，把结果和原来结果进行比较，并说明为什么？同样，改变采样周期T，观察不同周 期下系统阶跃响应的动态性能，分析采样周期对系统动态性能的影响。 1. 1） num=10; den=[1,7,10]; t=0.1 [numz,denz]=c2dm(num,den,t,'zoh'); printsys(numz,denz,'z') 得出结果： t = 0.1000 num/den = 0.039803 z + 0.031521 ------------------------ z^2 - 1.4253 z + 0.49659 若t改为0.25: num=10; 第10章数据的离散程度 一、选择题（每题3分，共30分） 1、数据2，3，3，5，7的极差为（） A、2 B、3 C、4 D、5 2、在统计中，样本的标准差可以反映这组数据的（） A、平均状态 B、分布规律 C、离散程度 D、数值大小 3、下列说法正确的是（） A、方差反映的是一组数据的波动大小，方差的值一定是正数 B、已知一组数据的方差计算公式为s2=1/5（x12+x22+x32+x42+x52-20），则这组数据的平均数为2 C、数据1，2，2，3，3，4的众数是2 D、一组数据x1，x2，x3，……x n，都减去a值的平均数为m，方差为n，则这组数据的平均数为a+m，方差为n 4、老师对小明本学期的5次数学测试成绩进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明这5次数学成绩的（） A、平均数 B、方差 C、众数 D、频数 5、样本方差的作用是（） A、样本数据的多少 B、样本数据的平均水平 C、样本数据在各个范围中所占比例大小 D、样本数据的波动程度 6、已知样本：1，2，-3，-2，3，0，-1，那么样本数据的标准差为（） A、0 B、√2 C、2 D、4 20次，3人的测试成绩如下表： 甲、乙、丙三名运动员测试成绩最稳定的是 （）A、甲B、乙C、丙 D、3人成绩稳定情况相同 8、为了判断甲、乙两个小组的学生英语测试成绩哪一组比较整齐，通常要知道两组成绩的（）A、平均数B、众数C、方差D、中位数 9、若一组数据1，2，3，x的极差是6，则x的值是（） A、7 B、8 C、9 D、7或-3 10、一组数据1，2，3，4，5的方差是 A、1 B、2 C、3 D、4 二、填空。（每题3分，共24分） 1、样本-2，-1，0，3，5的平均数是，极差是，方差是，标准差是。 2、某体委准备从甲、乙两名射击运动员中选拔1人参加全运会，每人各打靶5次，打中环数分别如下，甲：7，8，9，8，8；乙：5，10，6，9，10，那么应该选运动员参加全运会。 3、一组数据35，35，36，36，37，38，38，38，39，40的极差是。 4、5名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm）：2，-2，-1，1，0，则这组数据的极差为cm。 5、某学校篮球队五名队员的年龄分别为17，15，17，16，15，其方差为0.8，则三年后这五名运动员年龄的方差为。 6、已知一组数据1，2，0，-1，x，1的平均数是1，则这组数据的极差为。 7、一组数据2,6，x ，10，8的平均数是6，则这组数据的方差是。 8、甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400g的茶叶，从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，得到它们的实际质量的方差如下表所示，根据表中的数据，可以认为三台包装机中，包装机包装的茶叶质量最稳定。 三、解答题。（ 1、某农场种植甲、乙两种水稻，在连续6年中各年的平均亩产量如下（单位：千 第七章 线性离散系统基础 一．基本内容 1．了解离散控制系统基本概念、采样过程及采样定理；零阶保持器的传递函数、频率特性及应用特点。 2．掌握z 变换及z 反变换的求取方法；熟练掌握脉冲传递函的定义，开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数求解方法； 3．熟练掌握离散控制系统的稳定性分析； 4．熟练掌握离散控制系统的稳态误差计算 二．重点和难点 离散控制系统与连续控制系统的根本区别，在于连续控制系统中的信号都是时间的连续函数，而离散控制系统中有一处或多处的信号是脉冲序列或数码形式的。 把连续信号变为离散信号的过程叫做采样，实现采样的装置称为采样器（采样开关）。反之，把采样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。 离散控制系统的采样定理给出了从采样的离散信号恢复到原来连续信号所必须的最低采样频率（max 2ωω≥s ）。 离散信号的恢复，是在系统中加入代替理想滤波器的实际保持器来实现的。按恒值外推规律实现的零阶保持器，由于其实现简单，且具有最小的相移，被广泛的应用于离散控制系统中，其传递函数为 s e s G Ts h --=1)( 1．脉冲传递函数 脉冲传递函数的定义：零初始条件下，线性定常离散系统输出离散信号的z 变换与输入离散信号的z 变换之比，称为脉冲传递函数。 比较常见的一种离散控制系统的结构形式如图7-1所示，其闭环脉冲传递函数为 ) (1)()() (2121z H G G z G G z R z C += 式中 ， )]()()([)(2121s H s G s G Z z H G G = )]()([)(2121s G s G Z z G G = 图7-1典型离散控制系统的结构图 其中：)(21z H G G 为系统的开环脉冲传递函数。 2．离散系统分析 （1）离散系统的稳定性 离散系统稳定的充分必要条件是：系统的闭环极点均在z 平面上以原点为中心的单位圆内。即 ),2,1(1n i z i =<。 因此，可以通过求解闭环特征方程式的根来判断离散系统的稳定性。但当系统的阶次较高或有待定常数时，采用此法不太合适，可以通过双线性变换 1 1 -+= w w z 将z 平面上的单位圆内部分映射到w 平面的左半平面，即可使用劳斯稳定判据判断离散系统的稳定性。 （2）稳态误差 单位反馈的离散系统（即图7-1中1)(=s H ）的的稳态误差为： ) (1) () 1(lim )(1 z G z R z e z +-=∞→ 其中)()(21z G G z G =为开环脉冲传递函数。 通常选用三种典型输入信号，即单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位抛物线信号，对应z 变换分别为 3 22)1(2) 1(,)1(,1 -+--z z z T z Tz z z 三．典型例题分析 )(1s G ) (s H )(s R T ) (s E ) (s C ) (2s G 10.1.1 柔性制造系统定义 至今，对FMS尚无统一、严格的定义，许多国家的组织和协会从自己的理解给出了不同的描述。这里我们引用《中华人民共和国国家军用标准——武器装备柔性制造系统》中关于FMS的术语：柔性制造系统（简称FMS）是由数控加工设备、物料储运装置和计算机控制系统等组成的自动化制造系统。它包括多个柔性制造单元（FMC），能根据制造任务或生产的变化迅速进行调整，适用于多品种中、小批量生产。其中的FMC由计算机控制的数控机床或加工中心，环形（圆形或椭圆形）托盘输送装置或工业机器人所组成，可不停机转换工件进行连续生产。图10-1为柔性制造单元的示意图。 图10-1 典型的FMC配置 APC—托盘交换装置；MC—加工中心；CNC—计算机数字控制 柔性制造系统由两台或两台以上的数控加工设备（CNC数控机床、加工中心等）或柔性制造单元（FMC）所组成，配有物料自动输送装置，自动上下料装置（运输及装载设备、托盘库，自动化仓库，中央刀库等），并具有计算机综合控制功能，数据管理功能，生产计划和调度管理功能和监控功能等。图10-2为FMS-500系统的示意图。 根据FMS在机械制造不同领域的应用，FMS可分为切削加工FMS、钣金加工FMS、焊接FMS、柔性装配系统等。 图10-2 FMS-500示意图 FMS的类型有： 10.2 柔性制造系统基本组成 FMS由制造工作站、自动化物料储运系统和FMS管理与控制系统三个主要部分组成。制造工作站则主要包括机械加工工作站、清洗站和测量站。 10.2.1FMS制造工作站 1．机械加工工作站。 一般在柔性制造系统中主要的机械加工设备是加工中心，常带有机附刀库，可实现主轴和机附刀库的刀具交换，同时还带有自动托盘交换装置。 加工中心要集成到FMS中，需要满足以下的基本条件： （1）硬接口托盘自动交换装置（Automated Pallet Changer，APC）和第二刀具交换点；APC采用多种方式，最为常见的双交换台有平行式和回转式两种类型。第二刀具交换点的功能是使加工中心机附刀库通过刀具机器人实现与外界交换刀具。 （2）软接口具有通过计算机网络或其它通信接口实现与上级控制计算机通信的功能，通常称FMS接口。接口的功能是接收上级控制机发给加工中心的各种命令和数据，同时也能把各种数据和状态上传给控制机。 2．清洗站 清洗站可以放在柔性制造系统的生产线内，也可分开。可以独立，也可与装卸站并为一体。所谓清洗，主要指清除切屑和清洗油污，清洗对象包括零件、夹具和托盘。清洗不包括去除零件毛刺，通常去毛刺工作在生产线外进行，因为它 第七章 线性离散系统的分析与校正（B ） 一、填空题 1、数字控制系统是一种以数字计算机为 去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。 2、对于具有传输延迟，特别是大延迟的控制系统，可以引入 控制的方式稳定。 3、如果采样器的输入信号()t e 具有有限带宽，并且有直到h w 的频率分量，则使信号()t e 完满地从采样信号()t e *中恢复过来的采样周期T ，满足条件： 。 4、闭环离散系统脉冲传递函数不能从()s F 和()s e F 求变换得来，这是由于采样器在闭环系统中有 的原因。 5、z 变换是对连续信号的 进行变换，因此z 变换与其原连续时间函数并非一一对应。 6、1)(-=z z G ，在离散系统中其物理意义代表一个 环节。 7、对于任何输出)(z C 的z 反变换，)(nT c 只能代表)(t c 在 的数值。 8、采样器的引入一般会降低系统的 。 9、如要在离散系统中运用连续系统中的劳思判据，则必须 变换。 10、影响离散系统稳定性的因素中，除与开环增益K 、系统的零极点分布和传输延迟等因素有关外，还有 有关。 11、当开环增益一定时，采样周期越 ，对离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至可使系统失去稳定性。 12、在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在采样瞬时存在 误差。 13、零阶保持器的 滞后降低了系统的稳定程度。 二、单项选择题 （在下列每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其字母标号填入题干的括号内。） 1、采样信号的拉氏变换形式为（ ）。 A. 0 ()()nTs n E s e nT e ￥ -==? B. * ()()nTs n E s e n e ￥-==? C. ?￥=-=0*)()(n nTs e nT e s E D. *0 ()()Ts n E s e nT e ￥-==? 2、已知差分方程)2(6)1(5)()(---+=k c k c k r k c ，输入序列1)(=k r ，初始条件为1)1(,0)0(==c c ，则(3)c =（ ）。 A. 6 B. 25 C. 90 D. 301 3、用z 变换分析离散系统时，系统连续部分传递函数)(s G p 的极点数至少要比其零点数多（）。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4、下列与线性定常离散系统的稳态误差无关的是（）。 A. 系统本身的结构和参数 B. 系统输入 C. 采样周期 D.分析方法 5、采样器和保持器不影响（）。 A. 开环脉冲传递函数的零点 B. 开环脉冲传递函数的极点 C. 闭环 脉冲传递函数零点 D 闭环脉冲传递函数极点 6、有关采样器和保持器对离散系统的动态性能影响不正确的是（）。 A. 采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小。 B. 在具有大延迟的系统中，误差采样会降低系统的稳定程度。 C. 零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长。 D. 零阶保持器使系统的超调量和振荡次数增加。 三、试证明 []()()d L tx t Tz X z dz éù=-êú??成立。 四、试求2()()(1)z X z z a z =--的Z 反变换。 五、用部分分式法求 10()(1)(2)X z z z = --的反Z 变换，(0)0x =。 实验二离散控制系统分析方法 一、实验目的 利用MATLAB对各种离散控制系统进行时域分析。 二、实验指导 1．控制系统的稳定性分析 由前面章节学习的内容可知，对线性系统而言，如果一个连续系统的所有极点都位于s平面的左半平面，则该系统是一个稳定系统。对离散系统而言，如果一个系统的全部极点都位于z平面的单位圆内部，则该系统是一个稳定系统。一个连续的稳定系统，如果所有的零点都位于s平面的左半平面，即所有零点的实部小于零，则该系统是一个最小相位系统。一个离散的稳定系统，如果所有零点都位于z平面的单位圆内，则称该系统是一个最小相位系统。由于Matlab提供了函数可以直接求出控制系统的零极点，所以使用Matlab判断一个系统是否为最小相位系统的工作就变得十分简单。 2．控制系统的时域分析 时域分析是直接在时间域对系统进行分析。它是在一定输入作用下，求得输出量的时域表达式，从而分析系统的稳定性、动态性能和稳态误差。这是一种既直观又准确的方法。 Matlab提供了大量对控制系统的时域特征进行分析的函数，适用于用传递函数表示的模型。其中常用的函数列入表1，供学生参考。 例1．z z z H 5.05 .1)(2+= 试绘出其单位阶跃响应及单位斜波输入响应。 解：为求其单位阶跃响应及单位斜波输入响应，编制程序如下： num=[1.5]; den=[1 0.5 0];sysd=tf(num,den,0.1) [y,t,x]=step(sysd); subplot(1,2,1) plot(t,y); xlabel('Time-Sec'); ylabel('y(t)'); gtext('单位阶跃响应') grid; u=0:0.1:1; subplot(1,2,2) [y1,x]=dlsim(num,den,u); plot(u,y1) xlabel('Time-Sec'); ylabel('y(t)'); gtext('单位速度响应') grid 二、 实验内容 1、MATLAB 在离散系统的分析应用 对于下图所示的计算机控制系统结构图1，已知系统采样周期为T=0.1s ，被 第九章 线性离散控制系统 A9－1 试求下列函数的Z 变换： （1）f(t)=1-e －at （2）f(t)=cos ωt （3）f(t)=αt/T （4）f(t)=te －at （5）f(t)=t 2 A9－2 求下列拉氏变换式的Z 变换（式中T 为采样周期）： （1）21)(s s F = （2）) 2)(1()3()(+++=s s s s F （3）2 )2(1)(+=s s F （4）) ()(a s s K s F += （5）)(1)(2a s s s F += （6）22)(ωω ?=s s F （7）) ()(a s e s F nTs +=? A9－3 求下列函数的Z 反变换（式中T 为采样周期）： （1）) )(1()1()(T T e z z e z z F ?????= （2）) 2()1()(2??=z z z z F （3）22)1()1()(?+= z z z z F （4）222) 1()1(2)(+?=z z z z F （5）55 432546.035.0)(z z z z z z z F +++++= A9－4 用留数法求下列函数的Z 反变换： （1）) 2)(1(10)(??=z z z z F （2）3 )1()(2 ?=ze z z F A9－5 确定下列函数的初值与终值： （1）) 2.0)(18.0()1()(2222+++?++=z z z z z z z z F （2）) 1.0)(8.0()(2 ??=z z z z F （3）3212 14.26.52.411.03.01)(??????+?++=z z z z z z F A9－6 用Z 变换方法求解下列差分方程，结果以f(k)表示： （1）f(k+2)+2f(k+1)+f(k)=u(k) f(0)=0, f(1)=0, u(k)=k (k=0,1,2,…) （2）f(k+2)-4f(k)=coskn (k=0,1,2,…) f(0)=1, f(1)=0 （3）f(k+2)+5f(k+1)+6g(k)=cos 2 k n (k=0,1,2,…) f(0)=0, f(1)=1 A9－7 求图题A8－7所示各系统的脉冲传递函数和输出信号的Z 变换。 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(* t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。 3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。 解：若系统在初始扰动的影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 ) 5.0)(1()(2 +--= z z z z z X 解： 经过验证(1)X()z z -满足终值定理使用的条件，因此， 2 1 1 x()lim(1)X()lim 20.5 z z z z z z z →→∞=-==-+。 5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 ) 2)(1(1 e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h 解：11 1 1211 11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++ 6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下： )k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。 试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解： 22()6()8()() ()(1)(68)3(1)2(2)6(4)1 (){2324},0 6 k k z C z C z C z R z z z z z C z z z z z z z c k k -+===-+ --+---=-?+≥ 二、（10分）已知计算机控制系统如图1所示，采用数字比例控制()D z K =， 其中K >0。设采样周期T =1s ，368.0e 1=-。 第七章 习题与答案 7-1 离散控制系统由哪些基本环节组成？ 答：离散控制系统由连续的控制对象，离散的控制器，采样器和保持器等几个环节组成。 7-2 香农采样定理的意义是什么？ 答：香农采样定理给出了采样周期的一个上限。 7-3 什么是采样或采样过程？ 答：采样或采样过程，就是抽取连续信号在离散时间瞬时值序列的过程，有时也称为离散化过程。 7-4 写出零阶保持器的传递函数，引入零阶保持器对系统开环传递函数的极点有何影响？ 答：零阶保持器的传递函数为s e s H Ts --=1)(0。零阶保持器的引入并不影响开环系统 脉冲传递函数的极点。 7-5 线性离散控制系统稳定的充要条件是什么？ 答：线性离散控制系统稳定的充要条件是： 闭环系统特征方程的所有根的模1 第10章习题答案 1.图10.5给出了一个带权有向图，试求从顶点u 1到u 8 的最短通路。 解： 从顶点u 1到u 8 的最短通路为(u1,u3,u6,u5,u8) 3. 图10.7给出了一个工序流线图，试求其关键通路。图中有两条弧 实验八 离散控制系统分析 理解采样定理，并熟悉离散控制系统的特点；掌握离散系统的模拟方法。 一、实验目的 （1）掌握电信号的采样与恢复电路。 （2）通过本实验，加深学生对采样定理的理解。 二、实验仪器 （1）TKKL-2型控制理论电子模拟实验箱 （2）双踪超低频慢扫描示波器 （3）万用表 三 、实验原理 （1）信号的采样 采样器的作用是把连续信号变为脉冲或数字序列。如图8-1示出了一个连续信号f （t ）经采样器后变为离散信号的过程。 图8-1 信号的采样过程 图中f(t)为 被采样的连续信号，s(t)为周期性窄脉冲信号，fs(t)为采样后的离散信号，它用下式来表征： )()()(t s t f t f z = （1） 上式经富氏变换后得 ()[]∑+=z z k w j akF j F ωω)( (2) 图8-2 频谱示意图 s ω2- 式中ak 为富氏系数，k=0,1,2…， 为采样频率。由式(2)画出 )(t f 和 )(t f z 的频谱示意图，如图8-2所示。由该图可知，相邻两频谱不相重叠交叉的条件是 ，或)(2)(t z f t f ≥ (3) 这就是香农采样定理，它表示采样角频率ωs （或采样频率f s ）若能满足式(3)，则采样后的离散信号fs(t)信号就会有连续信号f （t ）的全部信息，如把fs(t)信号送至具有图8-3所示特性的理想滤波器输入端，则其输出就是原有的连续信号。 图8-3 理想滤波器 反之，若 则上图所示的频谱就会相互重叠交叉，即使用图所示的理想滤波器，也不能获得原有的 )(t f 信号。 图8-4 信号采样的实验电路图 （2）信号的恢复 为了实验对被检对象的有效控制，必须把所有的离散信号恢复为相应的连续信号。工程上常用的低通滤波器是零阶保持器，它的传递函数为： G h (s)=1-e -Ts /S （4） 或近似地表示为 G h (s)=T/1+TS （5） 式中T 为采样周期。 四.实验步骤 具有ZOH 的离散控制系统,如图8-5 所示.其中有一采样开关和零阶保持器,与一积分环节和惯性环节串联后相连接,惯性环节输出反馈到采样开关输入端. 图8-5 具有ZOH 的离散控制系统的方框图 ω(f )(t max 2ωω≥s s ωmax 2ωω 第八章 离散控制系统 8．1 引言 自动控制系统发展至今，数字计算机作为补偿装置或控制装置越来越多的应用到控制系统中。数字计算机中处理的信号是离散的数字信号。所谓离散信号，是指定义在离散的时刻点上信号，连续信号经过等间隔时间采样后就变成离散时间信号。而数字信号，是指由二进制数表示的信号，计算机中的信号就是数字信号。数字信号的取值只能是有限个离散的数值。如果一个系统中的变量有离散时间信号，就把这个系统叫做离散时间系统，简称离散系统。如果一个系统中的变量有数字信号，则称这样的系统为数字控制系统。图8－1为典型的计算机控制系统框图，计算机控制系统是最常见的离散系统和数字控制系统。计算机工作在离散状态，控制对象和测量元件工作在模拟状态。偏差信号)(t e 是模拟信号，经过A/D 变换后转换成离散的数字信号)(* t e 进入计算机。计算机按照一定的控制规律处理输入信号，完成控制器的功能。计算机的输出信号)(* t u 为离散的数字信号，经过D/A 变换后转换成模拟信号)(t u h 。)(t u h 输入到控制对象，是其按预定方式工作。将图8－1中的A/D 转换器由一个采样开关代替，D/A 转换器由采样开关和保持器代替，得到图8－2。在量化误差可以忽略的情况下，计算机控制系统可以看作是离散控制系统。 8．2 采样系统 在离散控制系统中，数字计算机只能处理离散的数字信号，而系统中其余元件则处理模拟信号，所以在数字计算机与其余元件之间需要进行信号转换。信号经过A/D 转换，变成离散的数字信号输入到计算机。而计算机输出的离散的数字信号经过D/A 转换，变成模拟信号输入到其余元件。在分析离散控制系统时，假定输入到计算机和从计算机输出的每一个 图8－1 计算机控制系统 图8－2 离散控制系统 ------------------------------ 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω不不大于信号最高有效频率h ω2倍时，可以从采样信号)(* t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是至少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数至少，且在采样时刻上无稳态误差随动系统。 3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性定义及充要条件。 解：若系统在初始扰动影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定充要条件是：所有特性值均分布在Z 平面单位圆内。 4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 ) 5.0)(1()(2 +--= z z z z z X 解： 通过验证(1)X()z z -满足终值定理使用条件，因而， 2 1 1 x()lim(1)X()lim 20.5 z z z z z z z →→∞=-==-+。 5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 ) 2)(1(1 e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h 解：11 1 1211 11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++ 6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下： )k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。 试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解：验实验报告离散控制系统的性能分析及设计
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