代数变形常用技巧

代数变形中常用的技巧

代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。

两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。

代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。

代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。

一、整式变形

整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。这些知识都是代数中的最基础的知识。有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。

例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2 分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。

解：设y-z=a, z-x=b, x-y=c,则a+b+c=0，y+z-2x=b-c, x+z-2y=c-a,

x+y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2

=b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2

=-a2 -b2-c2-2ac-2ab-2bc

=-(a+b+c)2

=0

例2：分解因式

① (1-x2)(1-y2)-4xy

② x4+y4+ x2y2

分析：本题的两个小题，若按通则变形，则困难重重，不知从何下手，但从其含平方的项来研究，考虑应用配方法会使变形迎刃而解。①题先将括号展开，并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分组就可以配成完全平方式。②题用添项、减项法加上x2y2再减去x2y2，即可配方，然后再进行变形分解。

解：①原式= 1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy

=(1-2xy+x2y2)-( x2+2xy+ y2)

=(1-xy)2-(x+y)2

=(1-xy+x+y)(1-xy-x-y)

②原式= x4+y4+ x2y2+x2y2-x2y2

=(x2+y2)2-x2y2 =( x2+y2+xy) ( x2+y2-xy)

以上两例充分说明了，配方法、因式分解法、换元法都是恒等变形的方法与基础，它们都是学习数学的有力工具，是解决数学问题的武器。因此，这些变形技巧必须熟练掌握。

二、分式变形

众所周知，对学生而言，分式的变形较为复杂，也很讲究技巧。通分化简是常规方法，但很多涉及分式的问题仅此而已是不够的，还需按既定的目标逆向变通，这时将分式分解成部分分式、分离常数、分子变位等便成了特殊的技巧，灵活应用这些变形技巧便会使问题迎刃而解。

有关分式的计算、化简、求值、证明，常常采用分式的变形技巧。

（一）将已知条件变形，再直接代入

例：已知zyx=a, xzy=b, yxz=c, 且x+y+z≠0, 试求aa1+bb1+cc1的值。

分析：此题若按常规方法，把已知条件直接代入所求进行计算，计算会很复杂，也不容易求得正确答案。通过观察已知和未知的式子，考虑将已知条件进行变形，再整改代入未知中去，计算起来比较简单。因此，对已知条件进行变形也是非常必要的。

解：由已知得1+a=1+zyx=zyzyx

所以aa1=zyxx，同理bb1=zyxy，cc1=zyxz

所以原式=zyxx+zyxy+zyxz=zyxzyx=1

（二）应用比例的基本性质进行恒等变形 例：已知ba3=bab52=aba156，求222232654babababa的值。

解：由已知条件知a≠0，b≠0，把已知条件中的等式变形并利用等比性质消去b，得

ba7525=bab753015=aba156=ababbaba)7530(75)156(1525=aa3131=1

∴ a=3b

∴原式=2222332)3(635)3(4bbbbbbbb=22627bb=29

（三）利用倒数知识进行恒等变形

例：已知a、b、c为实数，且baab=31，cbbc=41，acca=51，求cabcababc的值。

解：显然a、b、c均不为零，故将三个条件分式两边分别取倒数，得：

abba=3，bccb=4，caac=5

再逆用分式加法法则变形得：a1+bc=3，b1+c1=4，c1+a1=5

三式相加，得a1+b1+c1=6，再通分变形得abccabcab=6，两边取倒数得cabcababc=61， ∴原式=61

本题多次应用了通分，逆用通分，取倒数等恒等变形，使问题得到了解决，说明这些方法都是代数变形的重要方法，这些技巧应理解掌握。

（四）利用常值代换进行恒等变形

例：已知abc=1,求1aaba+1bbcb+1ccac的值。

解：∵ abc=1

∴原式=abcaaba+1bbcb+1bbcbc

=11bbcbbc=1

本题的解法很巧，若将所求通分化简，再代入已知或将已知变形再代入所求都不易求出结果。习惯上是将字母代换成数，而此题是将数代换成字母，反而收效较好。因此，常值代换也是恒等变形的重要技巧。

（五）利用设比例系数进行恒等变形

例：已知bax=cby=acz，求cbazyx200520042003的值。

解：设bax=cby=acz=k(k≠0),则x=(a-b)k，y=(b-c)k，z=(c-a)k

∴原式=0

此变形是解有关等比问题的重要技巧。

（六）利用添项拆项进行恒等变形

例：已知abc≠0，a+b+c=0，求a(b1+c1)+b(c1+a1)+c(a1+b1)的值。

解：由abc≠0，知aa+bb+cc=3，故

原式=a(a1+b1+c1)+b(a1+b1+c1)+c(a1+b1+c1)-3

=(a+b+c)(a1+b1+c1)-3=-3

（七）利用运算定律进行恒等变形

例：求值

(21+31+41+…+601)+(32+42+52+…+602)+(43+53+63+…+603)+…+(5958+6059)=

解：原式=21+(32+31)+(43+42+41)+…+(6059+6058+…+603+602+601)

=21+22+23+…+259=21（1+2+3+…+59）

=21×2)591(59=885

（八）利用整体代换思想进行变形

例：已知x2-3x+1=0，求x3+1/x3 =3的值。

分析：此题若用常规方法先求出x的值，再代入x3+1/x3 =3中进行计算是很繁的，如果注意到运用立方和公式及整体代换进行变形，问题就很简单了。

解：由x2-3x+1=0，可知x+x1=3，故 原式=(x+x1)[( x+x1)2-3]=3(32-3)=18

本题还运用了配方，等式两边除以同一个不为零的数的变形技巧，这样做的目的是使已知条件与所求式之间的关系更加明朗化，便于代入，使运算更简便。

（九）利用逆用通分进行恒等变形

例：化简)1(1xx+)2)(1(1xx+…+)2005)(2004(1xx

分析：这类问题在通常情况下是整体通分，但本题这样做显然很繁，若在每个分式中逆用通分进行“裂项”的恒等变形，则十分简捷。

解：原式=x1-11x+11x-21x+…+20041x-20051x

=x1-20051x=)2005(2005xx

（十）利用分离常数的方法进行恒等变形

例：解方程106xx+62xx=73xx+95xx

分析：如果按照常规思路整体去分母，显然运算很繁杂，若采用分段化简，分离常数，可化繁为简。

解：原方程可化为

1+104x+1+64x=1+74x+1+94x

即101x+61x=71x+91x

再进行变形得101x-91x=71x-61x

∴ 901912xx=421312xx

∴ 90192xx=42132xx

∴ x=8

（十一）利用换元再约简的方法进行恒等变形

约分是分式化简的重要手段之一。这种变形技巧贯穿整个分式的学习过程中。 例：化简332222)(1)()(1)(bacbabcbbacbacbaaca

解：设bac=x，则

原式=)1)(1()1)(1(322xxbxxxa=)1)(1)(1()1)(1)(1(22xxxxbxxxxa=ba

（十二）利用主元代入及消元思想进行恒等变形

例：若4x-3y-6z=0, x+2y-7z=0,则

322222103225zyxzyx等于（ ）

（A）21 （B）219 （C）-15 （D）-13

解：以x、y为主元，由已知得

利用消元变形求得x=3z，y=2z

∴ 原式=2222221043924295zzzzzz=－13 故选（D）

由以上的论述可知：分式的变形一般有三种思路，先变形条件，以便运用；先化简待求式，这是为了利用条件；将条件和待求式同时变形，容易看出二者的关系。也就更容易找到变形技巧，使变形简单明了，更具可操作性。

三、根式变形

有关根式的计算、比较大小、化简、求值等，经常应用到根式的变形技巧，特别是二次根式的运算，它是中学代数中的一个难点，不少题目用常规方法去解比较繁琐，所以解题中要根据题目的特点，巧用一些运算技巧，才能达到事半功倍的效果。

（一）巧用运算性质进行恒等变形

例：计算(6+5)2004(6-5)2004 (6-5) 4x-3y=6z

x+2y=7z