浅谈数学中的变形技巧

数学中的变形与变化学习形的变化与变形规律数学作为一门科学，其核心是研究数的变形与变化规律。

在数学中，我们经常遇到各种形式的变形和变化问题。

本文将从几个方面探讨数学中的变形与变化学习形的变化与变形规律。

一、数的变形与变化1.1 加减乘除运算的变形在数学中，加减乘除运算是最基本的四则运算。

在解决实际问题时，我们往往需要根据情况对运算进行变形。

例如，在解决一道复杂的加法运算题时，我们可以通过拆分数字、调整顺序等方式对运算进行变形，以简化计算过程，提高计算效率。

1.2 方程式的变形方程式是数学中非常重要的概念，它描述了一种等式的关系。

在解决方程式时，我们需要对等式进行变形，以便求得未知数的值。

这种变形包括常见的加减乘除运算，配方法、因式分解等。

通过变形，我们可以将原方程化简成更简单的形式，从而更容易求解。

二、学习形的变化与变形规律2.1 图形的变形在几何学中，我们学习了各种图形的性质和变形规律。

例如，矩形可以通过拉伸或收缩来改变形状和大小；圆形可以通过扩大或压缩来变化；三角形可以通过旋转或镜像来改变方向等。

通过学习这些变形规律，我们能够更好地理解几何形状的特性，并能够应用到实际问题中。

2.2 函数的变形在数学中，函数是描述两个变量间关系的工具。

函数的形式主要有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

当我们改变函数中的参数、系数时，函数的形状和特性也会发生相应的变化。

通过分析函数的变形规律，我们可以更深入地理解函数的性质，进而解决各种与函数相关的问题。

三、变化与变形的规律性3.1 变形具有可逆性在数学中，很多变形都具有可逆性。

也就是说，通过一系列变形操作，我们可以将一个数或一个问题由一种形式变形为另一种形式，然后再通过逆向的变形操作将其还原回原来的形式。

这种可逆性使得我们可以在解决问题时灵活运用各种变形技巧。

3.2 变形有固定的规律数学中的变形与变化并不是随意进行的，它们都有固定的规律可循。

例如，我们在解方程时常常使用的基本运算法则，就是一种变形规律。

数学中的变形技巧
数学中有许多变形技巧，可以帮助我们更好地理解和解决问题。

以下是一些常见的变形技巧：
1. 代入变量：将问题中的实际值用代入变量的形式表示，可以让问题更简洁和易于分析。

2. 合并相同项：将具有相同变量和指数的项合并在一起，可以简化表达式和方程式。

3. 移项：将一个或多个项从一个位置移动到另一个位置，通过改变方程式的结构来解决问题。

4. 因式分解：将一个多项式分解成一个或多个可以相乘得到原多项式的因式，可以简化计算和分析。

5. 求公因式：找出一个多项式中可以同时被所有项整除的最高次数的因式，可以简化计算和分析。

6. 变量代换：通过引入新的变量或代换来改变问题的形式，使其更易于处理。

7. 对称性：利用图形、方程或函数的对称性来简化问题的分析和解决。

8. 极限转化：将一个复杂的极限转化为另一个较为简单的极限，以便更容易求解。

9. 反证法：通过假设问题的反面来推导出一个矛盾的结论，以证明原始假设是正确的。

10. 递推关系：通过递推关系，将一个问题转化为另一个相似的问题，以便更容易求解。

这些变形技巧在不同的数学领域和问题类型中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。

2020年02期New Generation浅谈数学中的变形技巧王永莉（陇南市武都区两水中学甘肃陇南746000）摘要：高中阶段数学更具系统性和逻辑性，同时高中生逻辑思维能力、空间思维能力和推理能力等思维潜能的挖掘也处于鼎盛时期。

在这个阶段学好数学知识，将有利于终身学习能力的形成。

而数学变形技巧则是学好高中数学的关键，掌握变形技巧，对解决问题能力和逻辑思维能力的提升都有积极作用。

本文就针对数学教学中的变形技巧展开深入探究，以期促进学生数学综合能力的提升。

关键词：数学教学；变形技巧；解题能力近年来随着教育质量的不断提升，高中数学的难度也在不断加深。

教师常说“万变不离其中”意思是事情怎怎么变化都有一定的规律和原则。

高中数学涵盖了小初中几个阶段的所有数学知识，内容较为全面和系统，数学题目也更具技巧性和逻辑性。

变形技巧是考察高中数学知识掌握情况的基本能力，只有掌握了变形技巧，才能够将看似复杂的题目精简，提取有效信息，从而提高解题效率。

但目前，在实践教学中部分高中生审题盲目不懂变通，导致学习低效。

这正是没有掌握变形技巧的突出表现。

对比，本文就针对高中数学中较常应用到变形技巧的几个方面展开深入探究，以期找到提升高中生数学变形技巧的突破口。

一、变形技巧的应用意义运算、推理、探究、验证都是数学学习中的重要内容，而这些过程也是提升逻辑思维能力、空间观念、推理创新能力等数学思维的必要途径。

高中数学看似复杂，但知识点都存在必然联系，是万变不离其宗的。

只要掌握了数学“变形”技巧，学会了面对不同问题寻找内在联系，应用变形技巧化繁为简，就能够高效解决问题。

实践发现，学生可在条件不明显或者不充分时采取变形方法，通过变形将已知条件关联起来，将关键元素集中起来，从而转化为另一种形式的问题。

还可以在条件和结论关系不明确时应用变形技巧揭露题目中隐藏的条件，从而将看似困难复杂的问题简单化，最终顺利解决问题。

因此，变形技巧是高中生必备的能力。

知识文库 第6期115浅谈恒等变形在求极限运算中的技巧与方法张 孟 吴常虹极限的运算是微积分的重要基础，本文全面系统地介绍了恒等变形在求极限运算过程中的几种方法与技巧。

极限是微积分的研究方法，掌握好极限的运算方法是学习好高等数学的重要前提。

极限的运算方法多样，灵活性强，在求极限的过程中能够灵活的运用初等数学的恒等变形的方法与技巧对极限的运算也是至关重要的。

文章结合作者多年教学经验和对考研数学的研究全面系统地介绍了在求极限过程中的一些常见的恒等变形方法。

一、分式作差时，常采用通分例如: lim tan 2011x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ tan lim tan 20x x x x x→-=（通分） tan lim 30x x x x →-=sec lim 2201x x →-=tan lim2203x x x →=13= 例如：()ln201x x x x →+-x →=（有理化）()()tan cos limln 01121x x x x x x →-=⎡⎤+-⎣⎦12=- 三. 不同根号作差 ①)(x f m n- 用泰勒公式来处理②m n- 先用倒代换处理，再使用泰勒公式例如：)11(lim 332x x x +-+∞→11(lim 3320tt t t +-+=→ 0)(311)(211lim 33220=+--++=→t t O t t O t t 四. 指数作差时，常采取提取公因式法例如：aa x x x aaax aa x x x x x x x x x x x ln ln )111(lim .lim )1(lim )(lim 2111111121112=+-=-=-∞→+∞→+-+∞→+∞→ ( 提取公因式 )五.若遇到幂指函数，常采用e抬起法处理（a b be aln =）例如：)1ln(sin 0sin 022lim )1(lim -→→++=-x ex x x x x e e e 抬起法而02.lim 112.lim 1)1ln(lim )1ln(lim )1ln(sin lim 22222202000=-=--=--=-+++++→→→→→x e xe xe x e e x e x x x x x x x x x x x x所以1)1(lim sin 02=-+→x x x e（作者单位：湖南农业大学东方科技学院）（上接第123页）你获得了哪些改变你的知识并理解本问题的新信息？ 在解决问题的过程中，你学到了哪些有助于你处理未来性质相同问题的方法？在方案的工作中，有关你自己、你的领导能力、参与小组管理等方面，你获得了哪些认识？在实施本方案的过程中，哪些你原来持有的观点或意见改变了？在处理本问题的过程中，有哪些尚需进一步研究的问题被提了出来？本方案可以作怎样的修改，以增加你的学习效果？ 总之，教学实践表明，以问题为本的学习（PBL）在通用技术教学过程中的运用，是能够提高教学质量，增强学生能力的，其也是贯彻素质教育的一种形式。

浅谈数学中的变形技巧数学中的变形技巧是解决问题的重要方法之一、通过巧妙地变形，可以将一个问题从一个形式转化为另一个形式，从而更容易解决。

在数学中，变形技巧广泛应用于各种数学领域，包括代数、几何、概率等。

下面将对数学中的变形技巧进行浅谈。

首先，代数中的变形技巧是解决代数方程、方程组、不等式等问题的常用方法之一、在解代数方程时，可以通过变形将方程转化为更简单的形式，从而求得方程的解。

比如，对于方程x^2-6x+8=0，可以通过配方变形得到(x-2)(x-4)=0，从而得到方程的解为x=2或x=4、又如，在解方程组时，可以通过变形技巧将方程组转化为更容易求解的形式。

比如，对于方程组2x+y=5和x-3y=4，可以通过高斯消元法将方程组化简为x+y=2和-5y=-6，从而得到方程组的解为x=3，y=-1、变形技巧在解不等式时也是十分有用的。

比如，对于不等式2x+1<5x-2，可以通过变形得到3x>3，从而得到不等式的解为x>1其次，几何中的变形技巧是解决几何问题的重要方法之一、在几何中，常常需要将一个几何图形变形为另一个几何图形，以便更容易研究其性质。

比如，在证明几何定理时，可以通过将一个几何图形变形为另一个几何图形，从而将原问题转化为更容易证明的形式。

又如，在计算几何体的体积、表面积时，常常需通过变形将几何体分解为更容易计算的形状，比如将三棱柱分解为若干个三角形和矩形，从而得到几何体的体积和表面积。

此外，概率中的变形技巧也是解决概率问题的重要方法之一、在概率中，常常需要通过变形将一个复杂的概率问题转化为一个简单的概率问题，从而更容易计算。

比如，在计算事件的概率时，可以通过变形将事件分解为若干个相互独立的事件，从而计算概率。

又如，在计算复杂事件的概率时，可以通过变形将复杂事件转化为多个简单事件的并、交或差，并利用概率的性质计算概率。

在进行数学变形时，需要注意以下几点。

首先，变形的过程中要保持等价性。

浅谈数学中的变形技巧作者：陈程来源：《读写算》2014年第43期【摘要】数学解题变形技巧是我们在数学学习和解题中最常应用的方法，数学学习中学习技巧的应用，是我们在解题中求解、化简和完成论证的一种解题方法。

有时候，同一个解题公式会有多种变形方式，因题而异，在解题中其技巧是非常重要的。

下面主要是对数学学习中函数、不等式、一元二次方程的变形技巧进行介绍，合理掌握灵活运用其变形技巧，使我们在解题中如虎添翼，将问题由繁化简、节约解题时间提高解题效率。

【关键词】数学解题；变形技巧，函数；不等式数学是一个整体，各个环节是相互衔接的，或多或少的存在相互联系，使得我们在数学解题中，逻辑思维、运算能力和空间想象能力，对于我们在学习中起着至关重要，而变形技巧的应用，则可以有助于弥补我们在这方面的不足，是数学解题中最常用的，是解题的关键，灵活的运用变形技巧，则可以使得我们的做题效率大幅度提高。

一、数学中变形概述和常用的基本方法1.1 什么是数学变形数学变形概念较模糊，总的来说就是为达到目的而采用的一种手段，包括转换、联想、和简化，是一种技巧形手段，具有一定的灵活性，同时，又运用公式和定理，其表现形式各不相同，具有一定的技巧性，需要我们反复的练习和总结才可以达到运用自如和灵活。

1.2 在数学中常用到的方法数学中常用的方法：在我们的数学学习中较常用的方法是；有建模法、消元法、代入法等等，另外还有一些是向量法、比较法、同一法，在应用中都较为广泛。

数学中的特殊方法：常见的有；配方法、待定系数法、换元法等等，有时也可用到因式分解，这些方法在我们的数学问题解决中所起的作用是不可忽视的。

二、变形技巧在数学中的运用2.1 在函数变形解题技巧运用关于函数变形解题技巧，针对问题，下面主要是对于三角函数，证明、化简、求值及方程和一些常见的几何问题解决的方法与技巧的应用，而对于三角函数的在解题方法中的应用，三角恒等变换是在解题中最常用的，其具有灵活多变的特点。

【关键字】精品代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。

代数变形技巧是学习掌握代数的重要根底，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。

两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。

恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的根底，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。

代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要根底,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。

中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。

代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。

一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。

这些知识都是代数中的最根底的知识。

有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。

例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。

而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。

代数变形常用技巧及其应用代数变形常用技巧及其应用摘要代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法The common skills and application of the algebradistortionAbstractThe algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve.This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects：The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction,inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on.Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method目录摘要 (I)Abstract................................................................................... II 一、绪论.. (3)二、换元法及其应用 (3)（一）换元法的定义 (3)（二）换元法的应用 (3)1．应用于三角中 (3)2．应用于分式不等式中 (4)3．在方程组中的应用 (5)三、直接法及其应用 (5)（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 (5)（二）在不等式中的应用 (6)（三）在求极限中的应用 (7)（四）在求导中的应用 (7)四、数学公式法及其应用 (8)（一）完全平方公式的变形及应用 (8)（二）三角公式变形及其应用 (9)（三）行列式变形及其应用 (9)五、分解组合思想及其应用 (10)（一）配方法 (10)1．应用于解方程和因式分解中 (10)2．应用于二次型中 (11)3．用配方法证明柯西不等式 (11)（二）拆项法 (12)1．应用于数列求和 (12)2．应用于行列式 (12)（三）加“0”乘“1”法 (13)1．加“0” (13)2．乘“1” (13)3．应用于行列式 (14)六、待定系数法及其应用 (15)（一）待定系数法 (15)（二）应用 (15)1．在有理分式分解中的应用 (15)2．在求取值范围中的应用 (16)3．在数列求和中的应用 (17)4．在极限中的应用 (17)结束语 (19)致谢 (20)参考文献 (21)一、绪论所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决．一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意．在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果．实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键．二、换元法及其应用（一）换元法的定义换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题．（二）换元法的应用1．应用于三角中例[]11 求证x x x x x 2cos 42sin 1tan 22cos 42sin 3+=--．证明令 t x =tan ，则左边＝()()()2222221421214641211416t t t t t t t t t t t ++=-+-+=-+--+，右边＝2221421412tt t t t ++=+++＝左边，所以原恒等式成立 2．应用于分式不等式中例[]22 试证对满足10x >，20x >，21110x y z ->，22220x y z ->的所有实数 1x ，2x ，1y ，2y ，1z ，2z ，有不等式：()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，并求出等号成立的充要条件．证明设02111>-=z y x a ，02222>-=z y x b ，则2111z a y x +=，2222z b y x +=，所以()()()212221*********2121212z z z z y x y x y x y x z z y y x x ---+++=+-++ ()22221112221122b a z x x z x x x b x x a x ab b a +≥???? ??-+???? ??-+++=，因此()()()()22222111222121211111288z y x z y x b a ab b a z z y y x x -+-=+≤≤+≤+-++ 即 ()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，且当且仅当212121,,z z y y x x ===等号成立．。

良师导学77代数变形常用技巧及其应用★李雨凡对于代数的变形来讲，它作为数学解题的关键所在，学生对代数变形的掌握程度以及变形能力的高低，直接决定了其解题的能力。

之所以变形，它的根本目的就是要把题目简化并最终解决。

作为一种机能性很强的知识，它必须要通过不断地练习，才能慢慢的掌握。

本文展开了详细的分析。

一、代数变形的应用方法1、因式分解把一个多项式化成几个整式乘积的形式叫做因式分解，这在我们数学的解题过程中也是最常用到的一种方法。

2、因式的变形法学生在运用公司进行推理和运算的时候，往往无法做到灵活的运用，不知道怎么将公示转换变形。

究其原因，往往就是公式的变形能力差，所以，怎么进行因式教学的这一部分内容的时候，必须要针对以下的几种变形强加练习。

（1）公式基本变形我们可以将其展开，并对其移项，通过分配以及结合等等的方式，对其进行变形，从而得到一系列的公式。

但是，这一系列的公式并不需要我们完全将其记住，只要多做这方面的练习，就能够活用这些公式。

（2）公式推广变形对于很多比较重要的公式，我们都可以将其做出一些推广，而对于那些重要的推广结论，应该要求学生将其记住，因为，通常这些结论都有助于那些复杂问题的解决。

（3）公式反向变形对于很多的公式，学生往往只对那些正向的结论熟悉，而对这些公式的反向运用却往往忽视了，有时候看到一个公式，很难会联想到它的反向面。

但是，事实上，在很多的题目中，都需要通过反向变形的方式来解决。

3、构造法在具体的解题过程中，构造法也是一种经常会用到的方式。

这样的方式，主要是通过对条件以及结论的分析，将一个辅助的元素构造起来。

对于这一辅助元素，它既可以是一个图形、也可以使一个方程、还可以是一个函数或者一个等式等等。

这样的方式，实现了代数、三角以及几何等一系列问题的渗透，有效的将条件和结论串联起来，从而把题目解决。

4、反证法对于反证法来讲，作为一种间接的证法，它主要是先把和命题结论相反的假设提出来，在这之后，以这个假设为基础，通过一系列的推理和分析，造成矛盾，从而就能够把这一假设给否定掉，于是，原命题就被肯定。

变形技巧高中数学教案
教学目标：通过本课学习，学生能够掌握变形技巧，能够灵活运用变形技巧解决数学问题。

教学重点：加法变形、减法变形、乘法变形、除法变形等基本变形技巧。

教学难点：应用变形技巧解决复杂数学问题。

教学准备：教师准备PPT、练习题、板书等教学材料。

教学过程：
一、导入
教师可以通过一个简单的例子引导学生思考变形技巧在数学问题中的重要性，激发学生学
习的兴趣。

二、讲解
1. 加法变形：讲解如何通过加法变形简化数学问题，例如将复杂的加法运算转化为简单的
计算过程。

2. 减法变形：讲解如何通过减法变形解决数学问题，例如将减法问题转化为加法问题进行
求解。

3. 乘法变形：讲解如何通过乘法变形简化乘法运算，例如利用因式分解简化乘法运算。

4. 除法变形：讲解如何通过除法变形解决数学问题，例如利用乘法逆运算简化除法运算。

三、练习
教师可以设计一些练习题让学生在课堂上进行练习，巩固所学的变形技巧。

四、总结
教师对本节课的内容进行总结，并提醒学生要多加练习，掌握变形技巧。

五、作业
布置相关的作业，让学生在课后进行复习和巩固。

教学反思：
通过本节课的学习，学生能够掌握基本的变形技巧，能够灵活运用这些技巧解决数学问题。

教师对学生的知识掌握情况要及时进行评估和反馈，帮助学生及时纠正错误，提高学习效果。

本科生毕业论文（设计）题目：数学中的变形技巧及其应用院（系）数学与统计系专业班级数学与应用数学XX级X班学生姓名 XXX指导教师（职称） XXX 提交时间二○一三年五月数学中的变形技巧及其应用XXX（安康学院数学与统计系，陕西安康，725000）摘要许多数学问题都有一定难度，解决他们往往需要一定的技巧.为了在有限的时间内快速而准确地解决数学题，我们就必须采取一些方法与技巧.这就要求我们在平时的学习过程中细心观察、认真积累一些经验与方法.本文主要介绍数学中一些常用的变形技巧，给出了这些技巧在解数学问题中的应用.关键词数学变形技巧应用Deformation technique and its application in mathematicsXxx xxx WANG（Department of mathematics and statistics, Ankang University,Ankang Shaanxi, 725000)Abstract Many mathematical problems are difficult to solve, they often need certain skills. In order to solve math problems in the limited time quickly and accurately, we must adopt some methods and skills. Then we must observe carefully and accumulate some experience and methods in the usual learning process. This paper mainly introduces some deformation techniques commonly used in mathematics.Keywords mathematics deformation technique application目录摘要 (I)Abstract........................................................... I I 前言 (1)1.数学中的一般变形技巧 (2)1.1 一元二次方程的变形技巧 (2)1.2 三角函数的变形技巧 (4)1.3 “0”的变形技巧 (7)1.4 “1”的变形技巧 (9)2.最值问题的常用变形技巧 (11)2.1配方法 (12)2.2换元法 (13)2.3判别式法 (13)2.4不等式法 (14)3.运用均值不等式解题的变形技巧 (15)3.1拆项 (15)3.2拆幂 (15)3.3升幂 (16)3.4整体代换 (16)3.5平衡系数 (17)3.6分离取倒数 (17)结束语 (19)参考文献 (20)致谢 (21)前 言数学是一个有机整体，各个部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，从而构成了一个个相互交错的立体空间.因此为了培养学生在数学学习中的运算能力、逻辑能力、推理能力、空间想象能力以及综合应用数学知识分析、解决实际问题的能力，我们应该对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视，并且有意识地运用一些数学方法去解决问题，这样才能够使学生的数学学习提高到一个新的层次、新的高度 .数学方法，是针对不同的数学知识而定的一种策略.数学中的变形与数学知识一样，是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富.近几年来，中学数学考试中的考题越来越新颖，尤其是在中考，高考的试题中，要使考生在短短的两个小时之内完成所有的试题，这对大部分考生来说是非常困难的，而且有些试题的技巧性非常强，做起来有一定的难度，考生如果用常规的方法解决，这不仅会浪费很多时间，而且最后还可能得不到正确答案 .所以我们有必要针对一些题采取正确的解题技巧，即对它们作一些变形，这不仅能使试题变得简单明了，而且还能使我们做起题来得心应手，同时增加了我们解题的信心，还提高了我们对数学学习的兴趣.针对以上问题，本文主要总结归纳了数学中的一些变形技巧，通过例题的方式给出这些变形技巧及具体应用.1. 数学中的一般变形技巧在数学中什么是变形？它是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段.它属于技能技巧性知识，既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的.也就是说它存在着一定的技巧和方法，只有我们在学习数学的实践中反复操作才能掌握，以至于灵活运用.如勾股定理可表述为222c a b =+，也可表述222222,a c b b c a =-=-为等. 18?8⨯=若问，这显然是一个不屑回答的问题， 1?=但若问就成了最富灵活性的问题， 111=⨯例如或2222sin cos 1,sec tan 1,tan cot 1αααααα+=-==g .可见“变形”确实是一个内涵十分丰富的概念，在一些着名的数学问题解决中，变形技巧的巧妙运用也是非重要的一个环节.有时我们在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等任务，常常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无固定的模式或规则，一个式子常常有多种可能的变形，因题而异，技巧性非常强.现在我们来看一下一元二次方程，三角函数，“0”，“1”等的变形应用，希望这几方面的变形应用的介绍，对其他题的变形能起到抛砖引玉的作用.下面我们就来谈谈这几种变形技巧的应用.1.1 一元二次方程的变形技巧对有些含有（或可转化）一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题“化繁为简”.下面举例说明：例1 24,31033.x x αβαβ--=+已知是方程的两根，求的值解：22231031031x x ααααα--=∴--==+Q 是方程的根 即422(31)9619(31)613310ααααααα=+=++=+++=+则，分析：如果,αβ要求出的值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发，这样可以提高解题的效率，以至于节省时间.例2 2,30070m n x x ++=若是一元二次方程的两个根，求解：由题意得：300,56m n mn +=-=而且 (韦达定理），分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决. .m n 不必求出和的值例3 设实数m n 、分别满足2219991099190m m n n ++=++=，并且1mn ≠， 41.mn m n++求的值 解：由题设可得：2219119m m n n +=+两式相除，得 . 221919mn m m n n +=+由比例的基本性质，得 ，119mn n m ≠=因为 ，所以 ，分析：通过仔细的观察可知只要对已知条件进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题.总结：在解决一元二次方程的代数问题时,首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所求的式子，观察他们之间有什么特点与联系，然后再充分利用已知条 件来解决所求的问题.特别是要灵活运用韦达定理： 12,x x 即若为一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，1212,.b c x x x x a a+=-⋅=则在解这类题目时，可以先从已知条件出发，也可以从结论入手，关键是要善于观察所求式子的特点进而合理适当地变形，使所求问题得到解决.以上三道题都是由问题入手，对已知条件做适当的变形，进而应用韦达定理来解决所求问题.1.2 三角函数的变形技巧三角函数是初等函数的重要组成部分，其与二次函数、初等几何的关系十分密切.特别是“给出已知条件，求三角函数的值”的问题，求三角函数的值的关键即合理地进行三角恒等变形，其最基本的思路是“三看”，即一看角、二看函数名称、三看结构特征.除此之外，我们还常常应用代数的变形技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件.例4 22tan 56sin 8sin cos 7cos .ααααα=--已知，求的值分析：除了这里的221sin cos αα=+外，还有以下等式也经常用到：22221tan cot ,1sec tan ,1csc cot ,1tan ,1sin ,1cos ,42ππααααααπ==-=-===灵活运用这些等式，能使许多三角函数问题得到简化.例5 ABC ∆在中，已知角A 、B 、C 成等差数列，tan 3tan tan 2222A C A C ++的值. 分析：本例题是正切公式变形的应用.在历年高考题中，曾多次出现两角和与差的正切公式的变形应用，希望读者在学习中一定要总结、体会以至于灵活运用.例6 4A B π+=已知， (1tan )(1tan ).A B ++求的值分析：对于正切和角tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=-公式可正用也可逆用.则其可变形tan tan 1tan tan ,tan tan tan()(1tan tan )tan()αβαβαβαβαβαβ±-=±=±-±为.这里()tan tan tan()(1tan tan )A B A B A B A B T ±±=±-是公式的变形应用.例7 22cos 10cos 50sin 40sin80.+-o o o o 试求的值解： 注意到 2222cos sin 1,cos sin cos 2ααααα+=-=可变形为我们可以通过构造对偶式，以减少三角变换的难度.再观察所求三角函数式， 很容易发现它与余弦定理非常相似，所以我们还可以通过构造三角形，使问题得到解决.2cos 40x y +=-o 则， 从而方法二：原式22sin 80sin 402sin 40sin80cos60=+-⋅o o o o o 构造ABC ∆， 80,40,6021A B C R ∠=∠=∠==o o o 使，外接圆直径则由正玄定理得：sin 80,sin 40,sin 602a b c ====o o o . 又由余弦定理得：2222cos60c a b ab =+-o ，说明：这里通过构造对偶式和三角形来求三角函数式的值是一种较高的变形技巧.总结：三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识不可缺少的知识.它包括：①化简三角函数式，②求三角函数式的值，③证明三角恒等式.三角函数式恒等变形的理论依据是代数恒等变形的一般方法和法则，三角函数 的变形公式在变形中要注意三角函数的定义域和值域的要求，以及符号的变化.1.3 “0”的变形技巧曾有人指出：“零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被所限定的数都更重要。