基本不等式的八种变形技巧

不等式的常用变形公式一、加减法变形公式不等式的加减法变形公式是我们在解不等式问题时经常使用的一种变形方式。

具体表达如下：1. 加法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时加上相同的数 c，不等式的方向不变，即 a + c < b + c。

例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以通过加法变形公式将其变形为 2x - 3 + 3 < 5 + 3，得到 2x < 8。

2. 减法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时减去相同的数 c，不等式的方向不变，即 a - c < b - c。

例如，对于不等式 3x + 4 > 7，我们可以通过减法变形公式将其变形为 3x + 4 - 4 > 7 - 4，得到 3x > 3。

二、乘法变形公式不等式的乘法变形公式是解决不等式问题时常用的另一种变形方式。

具体表达如下：1. 正数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 ac < bc。

例如，对于不等式 2x < 6，我们可以通过正数乘法变形公式将其变形为 2x * 3 < 6 * 3，得到 6x < 18。

2. 负数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个负数 c（c < 0），不等式的方向改变，即 ac > bc。

例如，对于不等式-3x > 9，我们可以通过负数乘法变形公式将其变形为 -3x * (-3) > 9 * (-3)，得到 9x < -27。

三、除法变形公式除法变形公式是不等式中应用较少的一种变形方式，但在特定情况下仍然有一定的应用价值。

具体表达如下：对于不等式 a < b，如果两边同时除以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 a/c < b/c。

例如，对于不等式4x > 12，我们可以通过除法变形公式将其变形为 4x / 4 > 12 / 4，得到 x > 3。

基本不等式知识点总结向量不等式：注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、反向或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+； a b 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+.这些和实数集中类似代数不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤双向不等式：a b a b a b -±+≤≤左边当0(0)ab ≤≥时取得等号,右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.放缩不等式：①00a b a m >>>>，,则b m b b ma m a a m-+<<-+. 说明：b b m a a m+<+0,0a b m >>>,糖水的浓度问题. 拓展：，则，，000>>>>n m b a ba nb n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a bc R +∈,b d ac <,则b bd da a c c+<<+； ③n N +∈<< ④,1n N n +∈>,21111111n n n n n-<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1xe x +≥()x R ∈.函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质1函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如图：2函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞,)+∞；单调递减区间：(0,,[0). 基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：,a b R ∈⇒222a b ab +≥当且仅当a b =时取到“=”．变形：①222()22a b a b ab ++≤≤当a = b 时,222()22a b a b ab ++==注意：(,)2a b a b R ++∈,2()(,)2a b ab a b R +∈≤ 2、均值不等式：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”.若0x >,则12x x +≥ 当且仅当1x =时取“=”; 若0x <,则12x x+≤- 当且仅当1x =-时取“=”若0x ≠,则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 当且仅当b a =时取“=”.若0>ab ,则2≥+ab ba 当且仅当b a =时取“=”若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 当且仅当b a =时取“=” 3、含立方的几个重要不等式a 、b 、c 为正数：3333a b c abc ++≥0a b c ++>等式即可成立,时取等或0=++==c b a c b a ；不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如：当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或ba ab -≥-11; ,,b a 均为正数,b a ba -≥22八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2)2(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+ ④)(222b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则ba b a +≥+411；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥+； ⑧ 若0≠ab ,则222)11(2111b a ba +≥+; 上述八个不等式中等号成立的条件都是“b a =”;最值定理积定和最小①,0,x y x y >+≥由若积()xy P =定值,则当x y =时和x y +有最小值和定积最大②,0,x y x y >+≥由若和()x y S +=定值,则当x y =是积xy 有最大值214s .推广：已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(22+-=+.1若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.2若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小；当||y x -最小时,||xy 最大.③已知,,,R a x b y +∈,若1ax by +=,则有则的最小值为：21111()()2 ()by axax by a b a b ab a b x y x y x y+=++=+++++=+≥④已知,若则和的最小值为：①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数乘、除变量系数.例1.当 04x <<时,求函的数(82)y x x =-最大值.⑵凑项加、减常数项：例2.已知54x <,求函数1()4245f x x x =-+-的最大值.⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域； ⑷变用公式：基本不等式2a b ab +≥有几个常用变形2222a b a b ++≥,222()22a b a b ++≥不易想到,应重视；例4.求函数152152()22y x x x =--<<的最大值；⑸连用公式：例5.已知0a b >>,求216()y a b a b =+-的最小值；⑹对数变换：例6.已知1,12x y >>,且xy e =,求ln (2)yt x =的最大值；⑺三角变换：例7.已知20y x π<<≤,且tan 3tan x y =,求t x y =-的最大值；⑻常数代换逆用条件：例8.已知0,0a b >>,且21a b +=,求11t a b=+的最小值. “单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值若22x y a +=a 为定值,0a ≠,可设,,x a y a αα==,其中02απ<≤.①(,)2)4f x y x y a a a πααα=+==+在15[0,],[,2)44πππ上是增函数,在15[,]44ππ上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数,在1357[,],[,]4444ππππ上是减函数；③11(,)x y m x y x yxy +=+==.令sin cos )4t πααα=+=+,其中[1)(1,1)(1,2]t ∈--.由212sincos t αα=+,得22sin cos 1t αα=-,从而2(,)1)m x y t t==-在[1)(1,1)(1,2]--上是减函数. ⑵和为定值若x y b +=b 为定值,0b ≠,则.y b x =-①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数,在[,)2b +∞上是减函数；②211(,)x y bm x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时,在(,0),(0,]2b -∞上是减函数,在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时,在(,),(,]2b b b -∞上是减函数,在[,0),(0,)2b+∞上是增函数. ③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数,在[,)2b +∞上是增函数；⑶积为定值若xy c =c为定值,0c ≠,则.c y x= ①(,)cf x y x y x x=+=+.当0c >时,在[上是减函数,在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；②111(,)()x y cm x y x x y xy c x+=+==+.当0c >时,在[上是减函数,在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时,在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；③222222(,)()2c c n x y x y x x c x x=+=+=+-在(,-∞上是减函数,在()+∞上是增函数.⑷倒数和为定值若112x y d +=d 为定值,111,,x d y ,则.c y x=成等差数列且均不为零,可设公差为z ,其中1z d≠±,则1111,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz ==-+. ①222()1d f x x y d z =+=-.当0d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d+∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是增函数,在11[0,),(,)d d --+∞上减函数；②222(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时,在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数,在11[0,),(,)d d+∞上是增函数；当0d <时,在11(,),(,0]d d -∞上是减函数,在11[0,),(,)d d --+∞上是增函数；③222222222(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+,其中1t ≥且2t ≠,从而22222(,)4(2)4d t d n x y t t t==-+-在[1,2)上是增函数,在(2,)+∞上是减函数.。

ʏ尹丹青利用基本不等式求最值是高考的常考点,下面介绍基本不等式求最值的八种思维方法㊂方法一: 定和 与 拼凑定和 求积的最值例1 已知x >0,y >0,且x +y =7,则(1+x )(2+y )的最大值为㊂解:由x +y =7,可拼凑(x +1)+(y +2)=10,利用基本不等式求最值㊂易得(x +1)+(y +2)=10,所以(1+x )(2+y )ɤ(1+x )+(2+y )22=25,当且仅当1+x =2+y ,即x =4,y =3时等号成立㊂故(1+x )㊃(2+y )的最大值为25㊂解后反思:利用基本不等式求最值时,必须同时满足: 一正 二定 三相等㊂方法二: 定积 与 拼凑定积 求和的最值例2 若a >-3,则a 2+6a +13a +3的最小值为㊂解:对a 2+6a +13a +3变形拼凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂因为a >-3,所以a +3>0,4a +3>0㊂由基本不等式得a 2+6a +13a +3=(a +3)2+4a +3=(a +3)+4a +3ȡ2(a +3)㊃4a +3=4,当且仅当a +3=4a +3即a =-1时等号成立㊂故a 2+6a +13a +3的最小值为4㊂解后反思:观察积与和哪个是定值,根据 和定积动,积定和动 来求解㊂方法三: 和积化归 构建不等式求最值例3 已知x >0,y >0,且x +y +x y =3,若不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,则实数m 的取值范围为㊂解:由基本不等式得(x +y )m i n =2,构建m 2-m ɤ(x +y )m i n ,再解不等式即可㊂由3-(x +y )=x y ɤ(x +y )24,当且仅当x =y =1时等号成立,解得x +y ȡ2或x +y ɤ-6(舍去),则(x +y )m i n =2㊂因为不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,所以m 2-m ɤ(x +y )m i n ,即m 2-m ɤ2,解得-1ɤm ɤ2㊂解后反思:根据和与积的关系式,结合基本不等式可以求出积或和的最值,这就是 和积化归法㊂方法四: 化1 与 拼凑化1 求最值例4 已知a ,b 均为正数,且1a +1+2b -2=12,则2a +b 的最小值为㊂解:确定b >2,由题设变换得2a +b =2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2,展开凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂当b ɪ(0,2)时,2b -2<-1,而1a +1<1,则1a +1+2b -2<0,不符合题意,故b >2㊂2a +b =2(a +1)+(b -2)=2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2=8㊃a +1b -2+2㊃b -2a +1+8ȡ216㊃a +1b -2㊃b -2a +1+8=16,当且仅当8㊃a +1b -2=2㊃b -2a +1,即a =3,b =10时等号成立㊂故2a +b 的最小值为16㊂解后反思: 化1 或 拼凑化1 求最值的关键是基本不等式的灵活应用㊂方法五:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)的合理应用例5 已知a >0,b >0,若a +b =4,51知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则( )㊂A .a 2+b 2有最小值4B .a b 有最大值2C .1a +1b 有最大值1D .1a +b 有最小值24解:已知a >0,b >0,则21a +1b ɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b22,当且仅当a =b 时取等号㊂a 2+b 2ȡ(a +b )22=8,A 错误㊂由4=a +b ȡ2a b ,可得a b ɤ4,B 错误㊂1a +1b ȡ4a +b =1,C 错误㊂1a +b ȡ12a +b 2=122=24,当且仅当a =b =2时取等号,D 正确㊂应选D ㊂解后反思:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)分别为调和平均数㊁几何平均数㊁代数平均数㊁平方平均数㊂方法六:复杂分式构造法凑定值例6 已知a >b ,不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,且∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,则a 2+b2a -b的最小值为㊂解:由不等式恒成立和∃x 0ɪR 使得方程成立可得a b =1,将a 2+b2a -b化成a -b +2a -b 求最值㊂因为不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,所以a >0,4-4a b ɤ0㊂因为∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,所以4-4a b ȡ0㊂据上可得,4-4a b =0,所以a >0,b >0,a b =1㊂故a 2+b 2a -b =(a -b )2+2a ba -b=a -b +2a -b ȡ22,当且仅当a -b =2a -b 时取等号㊂故所求的最小值为22㊂解后反思:复杂分式构造法凑定值,其目的是构造和式的积为定值,再利用基本不等式求最值㊂方法七:反解代入消元法凑积为定值例7 设b >0,a b +b =1,则a 2b 的最小值为㊂解:已知等式转化为b =1a +1,再通过常数分离得到a b 2=(a +1)+1a +1-2求最值㊂已知b >0,a b +b =1,所以b =1a +1,a +1>0,所以a 2b =a 2a +1=(a +1-1)2a +1=a +1+1a +1-2ȡ2(a +1)㊃1a +1-2=0,当且仅当a +1=1a +1,即a =0时等号成立㊂故a 2b 的最小值为0㊂解后反思:借助反解代入消元,重新构造积为定值,这是求解最值的通法㊂方法八:两次使用基本不等式求最值例8 已知x ,y 都为正实数,则4(x y +1)x +x 2y的最小值为㊂解:4(x y +1)x +x 2y=4y +4x +x 2y ㊂因为x ,y 都为正实数,所以4y +x 2yȡ24x 2=4x ,当且仅当4y 2=x 2,即2y =x 时等号成立㊂所以4y +4x +x 2yȡ4x +4x ȡ216=8,当且仅当4x =4x,即x =1时等号成立㊂综上所述,当x =1,y =12时,4(x y +1)x +x 2y取得最小值为8㊂解后反思:两次使用不等式求最值,既要注意多次取等号时成立的条件,也要注意两次使用不等式后能 约分凑出定值㊂作者单位:江苏省丹阳高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

基本不等式(均值不等式)技巧基本知识】1.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2ab$。

（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）2.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。

（2）若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）3.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）4.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）5.若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数做题时，条件不满足时关键在于构造条件。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。

1.已知 $x<5$，求函数 $y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}$ 的最大值。

解：因为 $x<5$，所以首先要“调整”符号，又 $4x-5<0$，要进行拆、凑项，得到：y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}=-\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{4x-5}\right)+\frac{11}{4}由于 $\frac{1}{4x-5}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)$（当且仅当$x=2$ 时取“=”），所以：y\leq -\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)\right)+\frac{1 1}{4}=-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)+\frac{11}{4}对 $-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)$ 求导，得到$x=\frac{1}{2}$ 时取得最小值，代入得到$y_{\max}=3$。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解 第6讲 应用基本不等式的八种变形技巧基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”.但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值.技巧一 加上一个数或减去一个数使和或积为定值(1)已知函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________.(2)(2022·杭州学军中学计算大赛)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则11＋x ＋11＋2y 的最小值是________.【解析】 (1)因为x >2，m >0，所以y ＝x －2＋m x －2＋2≥2（x －2）·m x －2＋2＝2m ＋2，当且仅当x ＝2＋m 时取等号.又函数y ＝x ＋m x －2(x >2)的最小值为6，所以2m ＋2＝6，解得m ＝4.(2)因为x ＋y ＝1， 所以2x ＋2＋2y ＋1＝5，所以11＋x ＋11＋2y ＝15(2x ＋2＋2y ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫22＋2x ＋11＋2y ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2＋4y 2＋2x ＋2＋2x 1＋2y ≥3＋225， 当且仅当1＋2y 1＋x ＝2＋2x 1＋2y ，即x ＝8－522，y ＝52－62时等号成立.【答案】 (1)4 (2)3＋225对于因不能出现“定值”而不能使用基本不等式的情况，可以通过加减(乘以)一个数后使和或积为定值.技巧二 平方后再使用基本不等式若x >0，y >0，且2x 2＋y23＝8，求x 6＋2y 2的最大值.【解】 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋y 23≤3·⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋1＋y 2322＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫922.当且仅当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝422时，等号成立.故x 6＋2y 2的最大值为923.一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值. 技巧三 展开后求最值已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，求⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1的最小值.【解】 由题得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3ab ＋1，因为a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以2≥2ab ，所以ab ≤1，所以1ab ≥1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥4(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1的最小值是4.对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值. 技巧四 变形后使用基本不等式设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么( ) A.a ＋b 有最小值2(2＋1) B.a ＋b 有最大值(2＋1)2 C.ab 有最大值2＋1 D.ab 有最小值2(2＋1)【解析】 因为ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2)2，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式， 解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)，所以a ＋b 有最小值2(2＋1). 又因为ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，所以ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1或ab ≤1－2(舍去)， 所以ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2. 【答案】 A对已知条件含ab ，a ＋b 型等式的最值问题，可以通过使用基本不等式转化为只含ab (或 a ＋b )的不等式.技巧五 形如f （x ）g （x ）型函数变形后使用基本不等式求函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1(x ≠－1)的值域.【解】 因为y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝（x ＋1）2＋5（x ＋1）＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋5，当x ＋1>0，即x >－1时，y ≥2（x ＋1）·4x ＋1＋5＝9(当且仅当x ＝1时取等号)；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤5－2（x ＋1）·4x ＋1＝1(当且仅当x ＝－3时取等号).所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞).若y ＝f （x ）g （x ）中f (x )的次数小于g (x )的次数，可取倒数后求其最值. 技巧六 用常数代换法求最值(2022·宁夏石嘴山市第三中学高三月考)已知正数a ，b 满足2a ＋b ＝ab ，则a ＋2b 的最小值为( )A.8B.10C.9D.6【解析】 由2a ＋b ＝ab 得2b ＋1a＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋2b ＝(a ＋2b )(2b ＋1a )＝5＋2a b ＋2ba ≥5＋22ab·2ba＝5＋4＝9，当且仅当2a b ＝2b a 且2b ＋1a＝1，即a ＝b ＝3时，等号成立.所以a ＋2b 的最小值为9.故选C.【答案】 C已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝3，则x 2＋3yxy 的最小值为( )A.3－2 2B.22＋1C.2－1D.2＋1【解析】 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝3，则x 2＋3y xy ＝x 2＋（x ＋2y ）y xy ＝x 2＋xy ＋2y 2xy ＝x y ＋1＋2y x ≥2x y ·2yx＋1＝22＋1， 当且仅当x 2＝2y 2，即x ＝32－3，y ＝6－322时，等号成立， 故x 2＋3y xy 的最小值为1＋2 2.【答案】 B求形如或可化为a x ＋b y＝1型为条件的cx ＋dy (a ，b ，c ，d 都不为0)的最值可利用“1”的代换求解.技巧七 代换减元求最值若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)·(b ＋2)的最小值是__________.【解析】 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1＝4＋3a －1. 又因为a >1，所以b >0.所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋6a －1＋9＝6(a －1)＋6a －1＋15. 因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥26（a －1）×6a －1＋15＝27.当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时取等号. 【答案】 27(1)(2022·天津市南大奥宇培训学校高三月考)已知2xy －y ＋1＝0()x ，y ＞0，则2＋xyx的最小值为( ) A.4 2 B.8 C.9D.8 2(2)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为__________.【解析】 (1)由2xy －y ＋1＝0可得x ＝y －12y ，x ，y ＞0，可得y ＞1，则2＋xyx＝2＋y －12y －12y＝4y y －1＋y ＝4y －1＋y ＋4＝4y －1＋()y －1＋5≥24y －1×()y －1＋5＝9， 当且仅当4y －1＝y －1，即y ＝3时取得等号.所以2＋xyx 的最小值为9.(2)x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0⇒z ＝x 2－3xy ＋4y 2，①所以z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4yx －3≥2x y ·4yx－3＝1. 当且仅当x ＝2y 时zxy取得最小值， 代入到①可得z ＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2，所以x ＝2y ，z ＝2y 2， 所以x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y 2－2y )＝－2(y －1)2＋2≤2.当且仅当y ＝1，x ＝2，z ＝2时取等号，所以x ＋2y －z 的最大值为2.【答案】 (1)C (2)2在含有两个及以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解.技巧八 建立求解目标不等式求最值设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值为( ) A.2105B.255C.252D.232【解析】 4x 2＋y 2＋xy ＝1，所以4x 2＋y 2＋4xy －3xy ＝1， 所以(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y ≤32·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22， 所以(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，即(2x ＋y )2≤85，即－2105≤2x ＋y ≤2105，当且仅当x ＝1010，y ＝105时右边取等号， 所以2x ＋y 的最大值为2105.【答案】 A利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值.。

基本不等式的八种方法
《基本不等式的八种方法基本不等式的八种方法》
嘿，朋友们！今天咱们来唠唠基本不等式的八种方法，可别小瞧这八种方法，学会了能在数学的世界里如鱼得水呢！
第一种方法，咱们叫它“直接法”。

就好比开门见山，直截了当，题目给啥条件，咱就直接往上套基本不等式，看能不能一下子就把答案给揪出来。

再说说“消元法”，有时候式子里面未知数太多，看得眼花缭乱？别慌，咱们想办法把多余的未知数消掉，让问题变得简单明了。

“换元法”也很有趣哦！就像给式子换个新造型，通过巧妙的换元，让复杂的式子变得亲切可爱，基本不等式就能派上用场啦。

“构造法”像是搭积木，根据条件和问题，构造出合适的式子或者函数，然后用基本不等式来解决。

还有“平方法”，有时候平方一下，就能让隐藏的关系浮出水面，基本不等式也就有机会大展身手啦。

“均值代换法”呢，就像是给式子找个替身，通过巧妙的代换，让解题过程变得轻松愉快。

是“判别式法”，把式子看成一个方程，利用判别式的特点，结合基本不等式，就能把难题攻克。

怎么样，朋友们，这八种方法是不是各有各的妙处？多练习，多琢磨，相信大家都能把基本不等式玩得团团转，数学成绩那肯定是蹭蹭往上涨！加油哦，小伙伴们，让我们在数学的海洋里畅游，把这些方法都变成我们的得力武器！。

1 / 31 / 31 / 3运用基本不等式必备的变形技巧 基本不等式,0,0(2>>≥+b a ab b a 当且仅当a=b 时等号成立）在不等式的证明、求解或者解决其它问题中都起到了十分重要的工具性作用,在利用基本不等式求解函数最值问题时,有些题目可以直接利用公式求解，有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解．下面介绍一些常用的变形技巧．一、配凑1.凑系数例1当0<x<4时，求y=x(8-2x)的最大值．分析 由0＜x ＜4得8-2x>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子的积的形式，但其和不是定值．注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可． 解∵0<x<4,∴ 8-2x>0,∴y=x(8-2x)=2)2282(21)]28(2[21x x x x -+≤-=8， 当且仅当2x=8-2x 即二=2时取等号，∴当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑上系数后即可得到和为定值，就可利用均值不等式求得最大值．2. 凑项例2己知x<45，求函数f(x) =4x-2+541-x 的最大值． 分析 由已知4x-5<0，首先调整符号，又(4x-2)·541-x 不是定值，故需对4x-2进行凑项得到定值. 解 ∵x<45，∴5-4x>0， ∴f(x)=4x-2+541-x =-(5-4x+x451-)＋3≤-2x x 451)45(-⋅-+3=-2+3=1， 当且仅当5-4x=x451-，即x=1时等号成立. 点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项，使其积为定值．3.分离例3求)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域. 分析 本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出(x+1)，再将其分离．解 .514)1(14)1(5)1(110722++++=+++++=+++=x x x x x x x x y 当x+1＞0, 即x>-1时，514)1(2++⋅+≥x x y =9(当且仅当x=1时取“=”号)； 当x+1<0,即x<-1时, 14)1(25+⋅+-≤x x y =1(当且仅当x=-3时取“=”号)；2 / 32 / 32 /3 ∴)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域为(-∞,1]∪[9,+∞). 点评：分式函数求最值，通常化成y=Mg(x)+)(x g A +B(A>0,M>0,g(x)恒正或恒负)的形式，然后运用均值不等式来求最值．二、整体代换 例4 已知a>0,b>0，111=+ba ,求t=a+2b 的最小值. 分析 不妨将a+ 2b 乘以1，将1用b a 11+代换. 解 (a ＋2b)·=(a+2b)(b a 11+)=3＋2232232+=⋅+≥+b a a b b a a b ,当且仅当ba ab =2时取“=”号. 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=,111,2ba b a a b 得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,122,12b a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,122,12b a 时，t=a+2b 的最小值为223+. 点评：本题巧妙运用“1”的代换，得到t=b a a b ++23,而a b 2与b a 的积为定值，即可用均值不每式求得t=a+2b 的最小值．三、换元例5求函数522++=x x y 的最大值． 分析 变量代换，令t=2+x ，则x=t 2-2(t ≥0)则，t t t ty 121122+=+=，再利用均值不等式即可．解 令t=2+x , x=t 2-2(t ≥0) ,则122+=t ty ．当t=0时，y=0；当t ＞0时，421221121=⋅≤+=t t t t y ，当且仅当2t=t1,即t=22时取“=”号， ∴x=-23时,y max =42. 点评：本题通过变量代换，使问题得到了简化，而且将问题转化成熟悉的分式型函数的最值问题，从3 / 33 / 33 / 3 而为构造积为定值创设了有利条件．四、取平方例6求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最大值． 分析 注意到2x-1与5-2x 的和为定值．r解 8)25()12(4)25)(12(24)2512(22=-+-+≤--+=-+-=x x x x x x y ,又y>0，∴0<y ≤22，当且仅当2x-1=5-2x.即x=23时取“=”号， ∴y max =22.点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件．总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式．。

基本不等式公式五个1. 基本不等式原始形式。

- 对于任意实数a,b，有a^2+b^2≥slant2ab，当且仅当a = b时等号成立。

- 证明：(a - b)^2=a^2-2ab + b^2≥slant0，移项可得a^2+b^2≥slant2ab。

2. 基本不等式的变形一（均值不等式）- 对于正实数a,b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。

- 证明：由a^2+b^2≥slant2ab，令A=√(a)，B=√(b)（a,b>0），则A^2+B^2≥slant2AB，即a + b≥slant2√(ab)，所以(a + b)/(2)≥slant√(ab)。

3. 基本不等式的变形二（推广到三个正数）- 对于正实数a,b,c，有a^3+b^3+c^3≥slant3abc，当且仅当a = b = c时等号成立。

- 证明：a^3+b^3+c^3-3abc=(a + b + c)(a^2+b^2+c^2-ab - bc - ca)- 而a^2+b^2+c^2-ab - bc - ca=(1)/(2)[(a - b)^2+(b - c)^2+(c - a)^2]≥slant0，当且仅当a = b = c时等号成立。

- 又因为a,b,c>0，所以a^3+b^3+c^3≥slant3abc。

4. 基本不等式的变形三（三个正数的均值不等式）- 对于正实数a,b,c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a = b = c时等号成立。

- 证明：由a^3+b^3+c^3≥slant3abc，令A=sqrt[3]{a}，B=sqrt[3]{b}，C=sqrt[3]{c}，则A^3+B^3+C^3≥slant3ABC，即a + b + c≥slant3sqrt[3]{abc}，所以(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}。

基本不等式使用技巧基本不等式有个使用口诀：一正，二定，三相等，和定积大，积定和小。

和定积大：两个正数的和为定值，则它们的乘积小于等于它们相等时的乘积积定和小：两个正数的积为定值，则它们的和大于等于它们相等时的和。

基本不等式简单推导：由a -b 2≥0⇒a 2+b 2-2ab ≥0即a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时等号成立),令a =a ,b =b 得a +b ≥2ab 即a +b 2 ≥ab (a >0,b >0,此不等式称为基本不等式，反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数)。

重要变形：a 2+b 2≥2ab ⇒a 2+b 2≥2ab (a ,b 同号)a 2+b 2≥-2ab (a ,b 异号) ；ab ≤a 2+b 22 ；ab ≤a +b 24 (即ab ≤a +b 2 2)；a +b ≥2ab (a >0,b >0)；a +b ≤-2ab (a <0,b <0)；2(a 2+b 2)≥(a +b )2(即a 2+b 22 ≥a +b 2 2)，以上各式均是当且仅当a =b 时等号成立。

典型例题：已知x ,y 为实数，4x 2-5xy +4y 2=5,求x 2+y 2的最大值和最小值。

解：∵4x 2-5xy +4y 2=5∴x 2+y 2=54(xy +1)≥2xy (x ,y 同号时)⇒xy ≤53∴x 2+y 2=54 (xy +1)≤54 (53 +1)=103又∵x 2+y 2=54(xy +1)≥2xy (x ,y 异号时)⇒xy ≥-513∴x 2+y 2=54 (xy +1)≥54 (-513 +1)=1013∴x 2+y 2最大值为103 ，x 2+y 2最小值为1013使用技巧：(一).凑项与凑系数例1：已知x >0,y >0且x 2+y 22=1,则x y 2+1 的最小值为_____。

解：方法一：凑项：∵x 2+y 22=1∴x 2+y 2+12 =32∴x 2∙y 2+12 ≤34 ×34(和为定值乘积小于等于相等时的乘积)∴x 2∙(y 2+1)≤98 ∴x y 2+1 ≤32 4 ∴x y 2+1 的最小值为32 4方法二：凑系数：∵x 2+y 22=1∴2x 2+y 2=2∴x y 2+1 =2 2 ×2 x ×y 2+1 ≤2 2 ×(2 x )2+y 2+1 22 (ab ≤a 2+b 22 )=2 2 ×2x 2+y 2+12 =2 2 ×32 =32 4 ∴x y 2+1 的最小值为32 4例2：椭圆E ：x 23+y 2=1的上顶点为A ，过点A 的直线l 与E 交于另一点B ，求AB 的最大值？解：①当l 斜率不存在时，易知AB =2②当l 斜率存在时，设l 斜率为k ，则l 方程为：y =kx +1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立x 23 +y 2=1y =kx +1 ⇒3k 2+1 x 2+6kx =0∴x 1+x 2=-6k 3k 2+1x 1x 2=0 由弦长公式知：AB =1+k 2 ×(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2 ×6k 3k 2+1 =63k 2+1 ×k ×1+k 2 =2 2 ×63k 2+1 ×2 k ×1+k 2 ≤2 2 ×63k 2+1 ×2 k 2+1+k 2 22 (ab ≤a 2+b 22 )=2 2 ×63k 2+1 ×2k 2+1+k 22 =32 2 ∵32 2 >2∴AB 的最大值为32 2.(二).活用常数(活用“1”)例1：已知m >0,n >0且m +n =1,则1m +4n的最小值为？解：∵1m +4n =1m +4n m +n =5+n m +4m n ≥5+2n m ×4m n =9∴1m +4n的最小值为9例2：已知x >-1,y >0且x +2y =1,则1x +1 +2y的最小值为？解：∵x +2y =1∴(x +1)+2y ⋅12=1∴1x +1 +2y =1x +1 +2y∙(x +1)+2y ⋅12 =5+2y x +1 +2(x +1)y ⋅12 ≥5+22y x +1 ×2(x +1)y ⋅12=92 ∴1x +1 +2y 的最小值为92例3：已知a >0,b >0且a -2ab +b =0，则a +4b 的最小值为？解：∵a -2ab +b =0∴a +b =2ab ⇒a +b 2ab =1即(1a +1b)⋅12 =1∴a +4b =a +4b ∙(1a +1b )⋅12 =(5+4b a +a b )⋅12 ≥5+24b a ×a b ⋅12=92 ∴a +4b 的最小值为92例4：已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ,a n ，使得a m a n =4a 1,则1m +9n的最小值为()A.83 B.114 C.145 D.176解：由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，可得a 5q 2=a 5q +2a 5，所以q 2-q -2=0，解得q =2或q =-1(舍去)．因为a m a n =4a 1，所以q m +n -2=16，所以2m +n -2=24，所以m +n =6.∴1m +9n =(1m +9n )×m +n 16 =16 (10+n m +9m n)≥16 (10+6)=83 当且仅当n m =9m n,即n =3m ，即m =32 ,n =92时等号成立，不合题意(∵m ,n ∈N +)由m +n =6,m ,n ∈N +则m =1n =5 或m =2n =4 或m =3n =3 或m =4n =2 或m =5n =1代入式子1m +9n 知最小值为114，故选B 例5：已知x >0,y >0且x +y =1,(1)求x 2x +1 +y 2y +1的最小值,(2)求12x +y +1x +3y的最小值。

基本不等式的八种变形技巧基本不等式是用来求两个正变量和与积的最值的，但有些题目需要用到基本不等式的变形形式才能求最值，或者需要对待求式作适当变形后才能求最值。

下面介绍几种常见的变形技巧。

1.加上一个数或减去一个数使和或积为定值例如，对于函数$f(x)=\frac{x}{3-x}$，当$x<3$时，求$f(x)$的最大值。

因为$x0$，所以$f(x)=\frac{-3+x}{3-x}+3\leq \frac{4}{3-x}\leq -2+\frac{4}{3-x}=2+\frac{2}{3-x}$。

当且仅当$3-x=2$时等号成立，即$x=1$时，$f(x)$的最大值为$-1$。

2.平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值。

例如，若$x>0$，$y>0$，且$2x^2+y^2=8$，求$x^6+2y^2$的最大值。

由于已知条件式中有关$x$，$y$的式子均为平方式，而所求式中$x$是一次的，且$\sqrt{y}$是二次的，因此考虑平方后求其最值。

设$a=x^2$，则$2a+y^2=8$，所以$y^2=8-2a$，代入$x^6+2y^2=x^6+16-4a$，即要求$a$的最小值。

由于$x>0$，所以$a>0$，所以$2a+y^2>0$，即$8-2a>0$，所以$a<4$。

由基本不等式，$(1+1+1+1+1+1)(a+a+a+y^2+y^2+y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$，即$6(6a+3y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$。

代入$y^2=8-2a$，整理得$x^6+2y^2\leq 29$，当且仅当$x^2=2$，$y^2=2$时等号成立，所以$x^6+2y^2$的最大值为$29$。

3.展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值。

例如，已知$a>0$，$b>0$且$a+b=2$，求$(a+1)(b+1)$的最小值。

基本不等式的常见变形技巧
基本不等式的常见变形技巧
不等式是数学中最基本也是最重要的思想，在实际生活中应用广泛，而对基本不等式的变形是其重要的技能，重要的技能之一就是求解的过程中，能够从繁杂的不等式中把握着关键因素，做出合理的变形处理。

首先，在变形不等式的时候要注意不改变它原有的等式形式的优势，即不会使原有的不等式的内容有太大变化，要采取合理的手段使不等式变形，而不是破坏不等式的原有形式。

其次，在不等式中要学会分步骤处理，即结果可能过于复杂，可以根据不同方面，将复杂的不等式分解成相对简单的一些不等式，用加减乘除法来变形，最后使它们可以组合在一起形成原有的不等式的形式。

最后，要学会把握变形的方向，在实际中，常常会有变形不等式的限定条件，我们可以借助前后变形比较，把握好变形不等式的方向，从而快速正确的得到最终结论。

变形不等式是基本不等式的重要技巧，只有具备了此技能，才能在正确解答问题时发挥出最大效率，使用此技巧也可以处理一些比较复杂的不等式，从而获得一个正确的答案。

方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧。

本文将介绍不等式的解法以及基本不等式。

一、不等式的解法1.同加同减法：对于不等式a<b，可以在两边同时加上（或减去）同一个数得到新的不等式，即：a+c<b+ca-c<b-c2.同乘同除法：对于不等式a<b，可以在两边同时乘上（或除以）同一个正数得到新的不等式，即：a*c<b*c，c>0a/c<b/c，c>0需要注意的是，当同乘或同除的数为负数时，不等号的方向需要颠倒，即：a*c>b*c，c<0a/c>b/c，c<03.倒置不等号：对于不等式a<b，如果两边同时乘以-1，不等号的方向需要颠倒，即：-a>-b4.分类讨论：对于一些复杂的不等式，可以通过分类讨论的方法进行求解。

根据不等式中出现的变量或系数的范围，将不等式分为几个情况进行讨论，然后逐一解决。

5.代换法：对于一些复杂的不等式，可以通过代换一些变量来简化问题。

选择合适的代换变量，使得不等式中的形式更加简单，从而更容易求解。

二、基本不等式基本不等式是不等式求解中常用且重要的技巧，掌握了基本不等式可以更方便地求解复杂的不等式问题。

以下是几个常用的基本不等式：1.平均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，平均值不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)即算术平均数大于等于几何平均数。

2.均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，有下列不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (√a1 + √a2 + ... + √an) / √n 即算术平均数大于等于几何平均数。

3.柯西-施瓦茨不等式：对于任意一组实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有下列不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)即两组数的乘积之和的平方不超过各自平方和的乘积之和。

均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”）2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。

解：因为x >0，y>0，所以234343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二：配凑项求 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。