因式分解常见变形技巧

因式分解的14 种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则：1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：3 .3 1. 2 . x . x . .x x . ）分解因式技巧：1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法：⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。

因式分解技巧这里介绍了10种因式分解的技巧，若将这些技巧全部掌握，在解决因式分解问题上必然有质的提升。

首先提取公因式，然后考虑用公式。

十字添拆要合适，待定主元要试试。

几种方法反复试，最后必是连乘式。

一、提取公因式法多项式中所有的项都含有的因式称为它们的公因式。

例1：分解因式12a2bc2x2y3-9ab2cx3y2+3abcx2y2解：仔细观察，其中3abcx2y2 是它们的公因式所以原式=3abcx2y2(4acy-3bx+1)技巧：先提取每一项的系数的公因数，再逐个将每个字母的最低次提取出来。

注意其中符号的变化以及不能遗漏其中的“1”。

例2：分解因式3x2y(a+b)(b+c)+3xy2(a+b)(b+c)若在求解过程中将(a+b)(b+c)展开，则在后面的分解过程中会有很大的麻烦，应该观察到每一项都含有(a+b)(b+c)，将其看成一个整体，不做变化。

解：含有公因式3xy(a+b)(b+c)所以原式=3xy(a+b)(b+c)(x+y)技巧：在分解过程中，利用好整体思想。

二、公式法利用常见的公式进行因式分解。

常用公式a2-b2=(a+b)(a-b)a2-2ab+b2=(a-b)2a2+2ab+b2=(a+b)2a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2补充公式当n为正奇数时有a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-……-ab n-2+b n-1)当n为正整数时，有a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+……+ab n-2+b n-1)例3：分解因式16(m+x)2-9(n+y)2解：16(m+x)2=(4m+4x)29(n+y)2=(3n+3y)2原式=(4m+4x)2-(3n+3y)2=(4m+3n+4x+3y)(4m-3n+4x-3y)技巧：应该先观察，若先进行展开，将会非常麻烦。

因式分解的常見變形技巧在因式分解學習過程中，除要掌握教材上介紹的三種基本方法：提公因式，公式法，分組分解法外，還常常要進行一些靈活的變換。

下面就簡單介紹一下這些常見的變換方法。

掌握了這些變換方法後，這類因式分解問題基本可以迎刃而解了。

需要說明的是，要想熟練掌握這些技巧，還需要同學們結合平時的練習去體驗我們所講的方法和思路。

技巧一符號變換有些多項式有公因式或者可用公式，但是結構不太清晰的情況下，可考慮變換部分項的係數，先看下面的體驗題。

體驗題1(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)指點迷津y-x= -(x-y)體驗過程原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y)=(x-y)(m+n-m+n)=2n(x-y)小結符號變化常用於可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的條件不太清晰的情況下。

實踐題1分解因式：-a2-2ab-b2技巧二係數變換有些多項式，看起來可以用公式法，但不變形的話，則結構不太清晰，這時可考慮進行係數變換。

體驗題2分解因式4x2-12xy+9y2體驗過程原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x-3y)2小結係數變化常用於可用公式，但用公式的條件不太清晰的情況下。

實踐題2分解因式221439xy yx++技巧三指數變換有些多項式，各項的次數比較高，對其進行指數變換後，更易看出多項式的結構。

體驗題3分解因式x4-y4指點迷津把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然後用平方差公式。

體驗過程原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)小結指數變化常用於整式的最高次數是4次或者更高的情況下，指數變化後更易看出各項間的關係。

實踐題3分解因式a4-2a4b4+b4技巧四展開變換有些多項式已經分成幾組了，但分成的幾組無法繼續進行因式分解，這時往往需要將這些局部的因式相乘的形式展開。

然後再分組。

體驗題4a(a+2)+b(b+2)+2ab指點迷津表面上看無法分解因式，展開後試試：a2+2a+b2+2b+2ab。

因式分解中的常用变形公式在因式分解中，常用的变形公式有以下几种：1.因式提取法：当多项式中存在公因式时，可以将公因式提取出来，从而简化多项式的形式。

例如，对于多项式2x + 4xy，可以将公因式2提取出来，得到2(x + 2y)。

2.公式a²-b²=(a+b)(a-b)：该公式用于因式分解差的平方。

例如，对于多项式x²-4，可以用该公式将其因式分解为(x+2)(x-2)。

3. 公式a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)：该公式用于因式分解和的立方。

例如，对于多项式x³+8，可以用该公式将其因式分解为(x+2)(x²-2x+4)。

4. 公式a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)：该公式用于因式分解差的立方。

例如，对于多项式x³-8，可以用该公式将其因式分解为(x-2)(x²+2x+4)。

5. 公式a² + 2ab + b² = (a + b)²：该公式用于因式分解完全平方。

例如，对于多项式x²+4x+4，可以用该公式将其因式分解为(x+2)²。

6. 公式a² - 2ab + b² = (a - b)²：该公式用于因式分解差的完全平方。

例如，对于多项式x²-4x+4，可以用该公式将其因式分解为(x-2)²。

7.因式分解四项和：当多项式中存在四项和的形式时，可以通过重新组合进行因式分解。

例如，对于多项式x²+4x+3x+12，可以将其重组为(x²+4x)+(3x+12)，然后可以使用公式1和2进行因式分解。

8. 公式a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc)：该公式用于因式分解三项和的立方差。

因式分解的方法与技巧有什么因式分解的方法与技巧有什么?同学们还有印象吗，如果没有快来小编这里瞧瞧。

下面是由小编为大家整理的“因式分解的方法与技巧有什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。

因式分解的方法与技巧有什么一、分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示;③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数;④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注意：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

3.提公因式法基本步骤：(1)找出公因式;二、因式分解方法分类把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法、分组分解法和十字相乘法、待定系数法、双十字相乘法、对称多项式轮换对称多项式法、余数定理法、求根公式法、换元法、长除法、除法等。

(1)提公因式法几个多项式的各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

口诀：找准公因式，一次要提净;全家都搬走，留1把家守。

要变号，变形看正负。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c);a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式(1)公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

因式分解的方法和技巧
因式分解是将一个多项式表示成若干个乘积的形式。

下面介绍几种常见的因式分解方法和技巧。

1. 公因式提取法：当多项式中的每一项都有公共因子时，可以先将公因式提取出来，然后再进行因式分解。

例如，对于多项式2x+4xy，可以先提取出公因式2，得到2(x+2y)。

2. 完全平方三项式的因式分解：形如a^2+2ab+b^2的多项式可以因式分解为(a+b)^2。

这是一个常见的公式，可以用来快速分解平方多项式。

3. 提取因式中的平方因子：当多项式中存在平方因子时，可以将其提取出来。

例如，对于多项式x^2+2x+1，可以将其因式分解为(x+1)^2。

4. 分组因式分解法：对于一些多项式，可以通过将其中的项进行分组，然后提取公因式的方式进行因式分解。

例如，对于多项式x^2+3x+2，可以将其分为(x^2+2)+(x+1)，然后分别提取每一组的公因式，得到(x+2)(x+1)。

5. 特殊因式分解：有一些特殊的多项式可以通过特殊的因式分解公式进行分解。

例如，差二平方公式a^2-b^2可以分解为(a-b)(a+b)，和二平方公式a^2+b^2可以分解为(a+bi)(a-bi)，其中i为虚数单位。

6. 使用因式分解公式：有一些常见的因式分解公式可以用来分
解特定类型的多项式，例如二次三项式的因式分解公式
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和差二三项式的因式分解公式(a-
b)^2=a^2-2ab+b^2。

以上是因式分解的一些常见方法和技巧，可以根据不同的情况选择合适的方法进行因式分解。

因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。

1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。

下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。

在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。

例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。

因式分解法的四种方法因式分解是代数学中常见的一种运算方法，通过因式分解可以将多项式分解成若干个一次或二次因式的乘积，从而简化计算和解题过程。

在代数学中，因式分解是一个非常重要的内容，掌握因式分解的方法对于学习代数学和解决实际问题都具有重要意义。

本文将介绍因式分解的四种常见方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握因式分解的技巧。

一、提公因式法。

提公因式法是因式分解中最基本的方法之一，它适用于多项式中存在公因式的情况。

具体的步骤是先找出多项式中的公因式，然后将多项式中的每一项都除以这个公因式，最后将得到的商式相乘即可得到原多项式的因式分解形式。

例如，对于多项式2x^2+6x，我们可以先找出公因式2x，然后将每一项除以2x，得到x+3，因此原多项式的因式分解形式为2x(x+3)。

二、配方法。

配方法是因式分解中常用的一种方法，它适用于多项式中存在完全平方公式的情况。

具体的步骤是将多项式中的每一项根据完全平方公式进行配方，然后利用配方公式将多项式进行因式分解。

例如，对于多项式x^2+2x+1，我们可以将其写成(x+1)^2的形式，因此原多项式的因式分解形式为(x+1)^2。

三、分组法。

分组法是因式分解中常用的一种方法，它适用于多项式中存在四项式的情况。

具体的步骤是将多项式中的项进行分组，然后利用分组的形式进行因式分解。

例如，对于多项式x^3+3x^2+2x+6，我们可以将其写成(x^3+3x^2)+(2x+6)的形式，然后再对每一组进行提公因式或配方法进行因式分解。

四、公式法。

公式法是因式分解中常用的一种方法，它适用于多项式中存在特定公式的情况。

具体的步骤是将多项式根据特定的公式进行变形，然后利用公式进行因式分解。

例如，对于多项式x^3+y^3，我们可以利用公式x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)进行因式分解。

综上所述，因式分解的方法有很多种，但是掌握其中的基本方法对于解题和学习都非常重要。

希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解和掌握因式分解的技巧，从而更好地应用于实际问题中。