高中数学经典解题技巧和方法：三角变换与解三角形.

三角恒等变换与解题技巧三角函数是数学中重要的一部分，与几何、物理等学科密切相关。

在解三角函数的问题时，常常需要运用恒等变换来简化计算或将复杂的式子转化为简单的形式。

恒等变换是指在等式两边同时做相同的运算而不改变等式的值。

掌握常用的三角恒等变换并灵活运用是解题的关键。

本文将介绍一些常用的三角恒等变换，并分享一些解题技巧。

一、正弦、余弦、正切的恒等变换1. 余切的逆关系根据余切的定义，我们知道cot(A)等于tan(A)的倒数，即cot(A) = 1 / tan(A)。

这是一个重要的恒等变换，在简化复杂式子、证明等题目中经常会用到。

2. 三角函数的平方和恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1这是三角函数最基本的恒等式之一，也是勾股定理的三角形形式。

该恒等式可以用来将一个三角函数转化为其他三角函数的形式。

3. 正切的平方和恒等式1 + tan^2(A) = sec^2(A)这是正切函数的平方和恒等式，也是解析几何中的一条重要公式。

运用该恒等式可以将一个正切函数的式子转化为其他三角函数的式子。

4. 余切的平方和恒等式1 + cot^2(A) = csc^2(A)这是余切函数的平方和恒等式，与正切的平方和恒等式相对应。

在解题时运用该恒等式可以将一个余切函数的式子转化为其他三角函数的式子。

二、两角和与差的恒等变换1. 正弦的两角和与差sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)这是正弦函数的两角和与差公式，可以通过将两个三角函数用另外两个三角函数来表示。

在解题时，可以通过将复杂的三角函数式子转化为正弦函数的形式来简化计算。

2. 余弦的两角和与差cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)这是余弦函数的两角和与差公式，与正弦的两角和与差公式相似。

在解题时，也可以通过转化为余弦函数的形式来简化计算。

高中数学中的三角函数与解三角形方法在高中数学学习中，三角函数和解三角形方法是重要的内容之一。

本文将介绍三角函数的概念和常见的解三角形方法，以帮助同学们更好地掌握这些知识点。

一、三角函数的概念1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期函数，表示直角三角形中对边与斜边的比值。

用sin表示，公式为sinθ=对边/斜边。

2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期函数，表示直角三角形中邻边与斜边的比值。

用cos表示，公式为cosθ=邻边/斜边。

3. 正切函数（tan）：正切函数用来表示直角三角形中对边与邻边的比值。

用tan表示，公式为tanθ=对边/邻边。

4. 正割函数（sec）、余割函数（csc）和余切函数（cot）是对应于正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数函数。

二、常见的解三角形方法解三角形是指已知某些角度或边长，求解其余角度或边长的过程。

在高中数学中，常见的解三角形方法有以下几种。

1. 三角形的两边和夹角法（SAS法）：已知三角形的两条边和它们之间的夹角，可以利用余弦定理来求解第三边和其余角。

2. 三角形的两角和边法（ASA法）：已知三角形的两个角和它们之间的一条边，可以利用正弦定理和余弦定理求解其余边长和第三个角度。

3. 三角形的两边和一个对应角法（SSA法）：已知三角形的两条边和一个对应的角度，可以利用正弦定理来求解第三边和另外两个角度。

但要注意，SSA法可能有多解或无解的情况，需要根据具体情况进行讨论。

4. 直角三角形的特殊情况：如果已知三角形是直角三角形，可以直接根据已知边长关系来求解其余边长和角度。

在解三角形时，可以通过使用辅助线、引入辅助角等方法来简化问题，提高解题效率。

三、示例题以一个具体的示例来说明三角函数和解三角形方法的应用。

例题：已知直角三角形的一条直角边长为6cm，另一条直角边长为8cm，求解其余角度和斜边长。

解题过程：1. 根据已知条件，我们可以得知一个直角角度为90度，两条直角边的长度分别为6cm和8cm。

高中数学中的三角恒等变换利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧在高中数学中，三角函数是一个非常重要的概念。

通过恒等变换，我们可以简化复杂的三角式子，使其更易于计算和理解。

本文将介绍一些常用的三角恒等变换以及利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧。

一、基本恒等变换1. 正弦函数的基本恒等变换正弦函数的基本恒等变换包括：sin²θ + cos²θ = 1sin(90° - θ) = cosθsin(-θ) = -sinθsin(180° - θ) = sinθ2. 余弦函数的基本恒等变换余弦函数的基本恒等变换包括：cos²θ + sin²θ = 1cos(90° - θ) = sinθcos(-θ) = cosθcos(180° - θ) = -cosθ3. 正切函数的基本恒等变换正切函数的基本恒等变换包括：tanθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π + θ) = tanθ二、常用恒等变换1. 二倍角恒等变换二倍角恒等变换可以将一个角的正弦、余弦、正切函数转化为两倍角的正弦、余弦、正切函数。

常用的二倍角恒等变换包括：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ/1 - tan²θ2. 和差角恒等变换和差角恒等变换可以将两个角的正弦、余弦、正切函数转化为一个角的正弦、余弦、正切函数。

常用的和差角恒等变换包括：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)三、利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧1. 利用二倍角恒等变换当我们遇到一个三角函数中带有角度为θ的复杂式子时，可以尝试使用二倍角恒等变换将其转化为两倍角的三角函数。

202 年高考数学解题技巧及规范答题三角函数大题【规律方法】1、正弦定理、余弦定理：正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分基本量的情况下求解其余基本量，基本思想是方程思想.正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，其解题方法主要有： （1）化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，如：，等，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时要注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如：，或等．（2）化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．注意：（1）注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．（2）在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．2、三角恒等变换综合应用的解题思路(1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；(2)构造；(3)和角公式逆用，得(其中φ为辅助角)；(4)利用研究三角函数的性质；2sin a R A =2222cos a b c ab C +-=sin sin A B A B =⇔=sin 2sin 2A B A B =⇔=2A B π+=sin 2a A R =222cos 2b c a A bc+-=())f x x x =+())f x x ϕ=+())f x x ϕ=+3(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【核心素养】以三角形为载体，以正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段考查解三角形问题是高考一类热点题型，考查的核心素养主要有“逻辑推理”、“数学运算”、“数据分析”．【典例】【2020年全国II 卷】中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求周长的最大值.【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：，，，. （2）由余弦定理得：，即.ABC ABC cos A A ()29AC AB AC AB +-⋅=AC AB +222BC AC AB AC AB --=⋅2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅()0,A π∈ 23A π∴=222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=()29AC AB AC AB +-⋅=第二步，用定理、公式、性质：利用正弦定理、余弦定理、二倍角公式、辅助角公式等进行三角形中边角（当且仅当时取等号），，解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为【解题方法与步骤】1、解三角形问题的技巧：（1）解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． ①应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍；②求角时易忽略角的范围而导致错误，因此需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图进行判断．(2)三角形解个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断．2、三角恒等变换要遵循的“三看”原则:一看“角”：通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式; 二看“函数名称”：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”;三看“结构特征”：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.3、解三角形与三角函数综合问题一般步骤：第一步，转化：正确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角关系合理将问题转化为三角函数的问题； 22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭AC AB =()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭AC AB +≤AC AB =ABC ∴ 3L AC AB BC =++≤+ABC ∴ 3+的的关系的互化；第三步，得结论：利用三角函数诱导公式、三角形内角和定理等知识求函数解析式、角、三角函数值，或讨论三角函数的基本性质等.【好题演练】1.（2021·河南中原高三模拟）在中，，，所对的角分别为，，，已知. （1）求；（2）若，为的中点；且，求的面积.【分析】（1）根据题意，由正弦定理得出，再由两角和的正弦公式化简得，由于，从而可求得，最后根据同角三角函数的平方关系，即可求出；（2）法1：在中由余弦定理得出，再分别在和中，由余弦定理得出和，再由，整理ABC a b c A B C 3cos 3a b A c +=sin B 3a =D AC BD =ABC sin 3sin cos3sin A B A C +=sin 3sin cos A A B =sin 0A >1cos 3B =sin B ABC 221936c b c+-=ABD △BCD △2cos ADB ∠=2cos CDB ∠=cos ADB cos DB 0∠+∠=C化简的出边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果. 法2：由平面向量的加法运算法则得出，两边平方并利用平面向量的数量积运算化简得，从而可求出边，最后根据三角形的面积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为， 所以，因为，所以，所以，因为，所以（2）法1：在中，由余弦定理得，即， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得因为，c 1sin2ABC S ac B =△12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()213294c c =++c 1sin 2ABC S ac B =△3cos 3a b A c +=sin 3sin cos 3sin A B A C +=()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin 3sin cos A A B =()0,A π∈sin 0A >1cos 3B =()0,B π∈sin B ===ABC 222cos 2a c b B ac +-=221936c b c+-=ABD △2cos ADB ∠=BCD △2cos CDB ∠=πADB CDB ∠+∠=220=即，所以， 整理得，解得：或（舍去）， 所以. 法2：因为为的中点，所以，两边平方得，即，即，解得或（舍）， 所以. 2.记中内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求；（2）点，位于直线异侧，，.求的最大值.【分析】（1，利用正弦定理化边为角结合利用两角和的正弦公式展开整理可求得的值，即可得角； （2）结合（1化角为边可得，即，在中由余弦定理求，利用三角恒等式变换以及三角函数的性质可得最大值.2262b c =+()222296219366c c c b c c+-++-==2230c +c -=1c =3c =-11sin 3122ABC S ac B ==⨯⨯=△D AC 12BD BA BC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222124B BD B BA C BC A →→→→→⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭()213294c c =++2230c +c -=1c =3c =-11sin 3122ABC S ac B ==⨯⨯=△ABC A B C a b c a =3cos sin B b A =+A A D BC BD BC ⊥1BD =AD cos sin B b A =+sin sin()C A B =+tan A A cos sin sin C A B B A =+cos sin B a B =+sin c B B =ABD △2AD（1）求 A ；【详解】（1，.. 因为，，所以，，，又因为， 可得：，所以； （2）由（1，， 即，由余弦定理得，所以当且仅当时，取得最大值，所以.3.在中，内角的对边分别为，且满足. 3cos sin B b A =+a =cos sin B b A =+cos sin sin C A B B A =+πA B C ++=,,(0,π)A B C ∈sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+cos s cos sin s i in n A B A B A B B A +=+sin sin sin A B B A =sin 0B ≠sin A A =tan A =0πA <<π3A =cos sin sin C AB B A =+cos sin B a B =+cos sin c a B B B =+=+2222cos AD c BD c BD ABD =+-⋅∠()()()2sin 12sin sin B B B B B =+--222sin 3cos 212sin 2B B B B B =+++++42B =+π4B =2AD )241+=+AD 1+ABC 、、A B C ,,a b c 2sin cos b A B ()2sin c b B =-（2）若l 的取值范围.【分析】（1）由正弦定理得，化简得， 利用的范围可得答案；（2）由正弦定理得，利用的范围和三角函数的性质可得答案.【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，解得，因为，所以.（2）由正弦定理得， 所以，所以，因为，所以， a =()2sin sin cos 2sin sin sin B A B CB B =-1cos2A =A 4sin ,4sin bB cC ==()4sin sin l B C =++B ()2sin sin cos 2sin sin sin BA B C B B=-0B π<<sin 0B ≠2sincos 2sin sin A BC B =-2sin cos 2sin cos 2sin cos sin A B A B B A B =+-1cos 2A =0A π<<3A π=4sin sin sin a b cAB C===4sin ,4sin b B c C ==()24sin sin sin sin 3l B C B B π⎡⎤⎛⎫=+++-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦314sin cos 22B B B B ⎛⎫⎫=+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以， 所以.4.（2021·天津高考）在，角所对的边分别为，已知． （I ）求a 的值；（II ）求的值；（III ）求的值．【分析】（I ）由正弦定理可得（II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I ）因为，由正弦定理可得，；（II ）由余弦定理可得； （III ），， ，， 所以. 1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(l ∈ABC ,,A B C ,,a bc sin:sin :sin 2A B C =b =cos C sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭::2a b c =2C sin :sin :sin 2A B C =::2:1:ab c=b =2a c ∴==2223cos 24a b c C ab +-===3cos 4C =sin C ∴==3sin 22sin cos 24C C C ∴===291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1182=⨯=5.（2021·南京市中华中学）在中，分别为内角的对边，且满足． （1）求的大小；（2）从①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题．问题：已知___________，___________，若存在，求的面积，若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再结合辅助角公式化简运算，可求出角的范围.（2）若选择条件①②，由余弦定理可计算的值，面积公式计算面积；若选择条件②③，正弦定理计算边，两角和的正弦计算，可求面积；若选择条件①③，由大边对大角可知三角形不存在. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得因为即因为所以因为即ABC ,,a b c ,,A B C b a =B 2a c =2b =4A π=ABC ABC ABC a c 、a sin C b a =sin sin B A =sin 0A ≠cos 1B B -=1sin()62B π-=0B π<<5666B πππ-<-<66B ππ-==3B π第 11 页 共 11 页（2）若选择条件①②，由余弦定理可得，解得， 故所以若选择条件②③由正弦定理可得，可得所以若选择条件①③这样的三角形不存在，理由如下： 在三角形中，， 所以， 所以，所以又因为所以与矛盾，所以这样的三角形不存在.2222cos b a c ac B=+-222442c c c +-=c =a =11sin sin 223ABC S ac B π=== sin sin a b A B =sin sin b A a B ==11sin 2sin 2234ABC S ab C ππ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭ ABC 43A B ππ==，53412C ππππ=--=A C <a c <2a c=a c >a c <。

高中数学重难点归纳：解三角形常考题型有
三种类型
题型一：三角变换与解三角形的综合问题方法归纳：
（1）解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向。

第二步：定工具，即根据条件与所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

第三边：求结果（2）三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如A+B+C=π，sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，以及在△ABC中，A＞B→sanA＞sinB等。

题型二：解三角形与平面向量结合解三角形与平面向量综合问题的一般思路
（1）求三角函数值，一般利用向量的相关运算把向量关系转化为三角函数关系。

利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解
（2）求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角。

（3）解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题。

题型三：以平面图形为背景的解三角形问题以平面图形为背景的解三角形问题的一般思路
（1）建联系：在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何集中在某一个三角形。

（2）用定理：①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采取正弦定理②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采取余弦定理。

高中数学三角函数与解三角形的方法三角函数是高中数学中重要的一部分内容，它与解三角形的方法密切相关。

在本文中，我们将探讨三角函数的基本概念和性质，并介绍解三角形的常用方法。

一、三角函数的基本概念和性质1. 正弦函数和余弦函数在一个直角三角形中，假设某一锐角的对边长度为a，邻边长度为b，斜边长度为c。

则该锐角的正弦和余弦分别定义为：sinθ = a / ccosθ = b / c其中，θ表示锐角的度数。

2. 正切函数和余切函数正切和余切是两个常用的三角函数。

它们定义如下：tanθ = a / bcotθ = b / a3. 三角函数的周期性和奇偶性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π) = sinx，cos(x+2π) = cosx。

而正切函数和余切函数的周期是π，即tan(x+π) = tanx，cot(x+π) = cotx。

此外，正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sinx；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cosx。

而正切函数和余切函数既不是偶函数也不是奇函数。

二、解三角形的方法1. 已知两边和夹角解三角形的常用方法之一是利用已知两边和夹角的关系。

根据三角函数的定义，可以得到以下公式：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a、b、c分别表示三角形的三条边长，A、B、C分别表示对应的内角度数。

2. 利用余弦定理当已知三角形的两条边和夹角时，可以利用余弦定理来求解第三条边的长度。

余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2abcosC3. 利用正弦定理当已知三角形的两条边和夹角时，可以利用正弦定理来求解第三条边的长度。

正弦定理的公式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC三、实例分析现假设有一个三角形，已知两边长分别为3和4，夹角为60°，我们将运用前面讲到的解三角形的方法来求解该三角形的其他属性。

高考数学解答题技巧1、三角变换与三角函数的性质问题解题方法：①不同角化同角;②降幂扩角;③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h ;④结合性质求解。

答题步骤：①化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。

②整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。

③求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。

2、解三角形问题解题方法：(1) ①化简变形;②用余弦定理转化为边的关系;③变形证明。

(2) ①用余弦定理表示角;②用基本不等式求范围;③确定角的取值范围。

答题步骤：①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

③求结果。

3、数列的通项、求和问题解题方法：①先求某一项，或者找到数列的关系式;②求通项公式;③求数列和通式。

答题步骤：①找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。

②求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。

③定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。

④写步骤：规范写出求和步骤。

4、离散型随机变量的均值与方差解题思路：(1)①标记事件;②对事件分解;③计算概率。

(2)①确定ξ取值;②计算概率;③得分布列;④求数学期望。

答题步骤：①定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值。

②定性：明确每个随机变量取值所对应的事件。

③定型：确定事件的概率模型和计算公式。

④计算：计算随机变量取每一个值的概率。

⑤列表：列出分布列。

⑥求解：根据均值、方差公式求解其值。

5、圆锥曲线中的范围问题解题思路;①设方程;②解系数;③得结论。

答题步骤：①提关系：从题设条件中提取不等关系式。

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解决三角形相关问题中常用的工具。

通过利用三角函数之间的关系，可以在一些情况下简化问题的求解，或者将复杂的三角形相关问题转化为更简单的形式。

本文将介绍一些常见的三角恒等变换，并结合实例说明其在解三角形问题中的应用。

1. 正弦定理正弦定理是三角形中常用的定理之一，用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，正弦定理的数学表达式为：```a/sinA = b/sinB = c/sinC```其中，等式两边都表示边与对应角的正弦值的比例关系。

举例：已知三角形的两边a、b和它们夹角C，求第三边c。

根据正弦定理可得```c/sinC = a/sinA = b/sinB```通过这个等式可以解出c的值，进而求得整个三角形的相关信息。

2. 余弦定理余弦定理也是解决三角形问题时常用的定理之一，可以用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，余弦定理的数学表达式为：```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```其中，等式右侧表示边长和夹角的余弦值的比例关系。

举例：已知三角形的两边a、b和它们的夹角C，求第三边c。

根据余弦定理可得```c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC```通过解这个方程可以求得c的值。

3. 正切定理正切定理是利用正切函数关系来解决三角形问题的定理，可以用于求解三角形的边或角。

假设有一个三角形ABC，边长分别为a、b，对应的内角为A、B，正切定理的数学表达式为：```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```其中，等式右侧表示两个边长度和夹角的正切值的比例关系。

举例：已知三角形的一边a和它的内角A，求另一边b。

根据正切定理可得```tanA = (b*sinA)/(a - b*cosA)```通过这个等式可以解出b的值。

高考数学题集，三角函数解答题，常用的5
个数学思想方法技巧
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点，提高三角变换能力, 要学会变换条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能。

常用的数学思想方法技巧如下：
1、角的变换：在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题得解。

方法1求解cosα是比较巧妙的，根据角的范围继而解出si nα的值，所求式子的值就出来了。

联想是构造的基础，而这样长期积累，才能提高解题的灵活性，丰富自己的做题经验。

方法2直接正弦差角公式展开得到正余弦的差为3√2/5，再通过平方法，配凑技巧得到正余弦的和为4√2/5，再解方程组即可，比方法1稍微麻烦点基本技巧还有下面几个方面
2、函数名称变换：三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名。

3、常数代换：在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形。

4、幂的变换：降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法。

5、公式变形式：三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式的应用。

课题 解三角形教学目标掌握正弦定理,余弦定理的基本概念,熟练运用来解题一、 知识点复习1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况:如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解； 如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解. 3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+- 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边。

5、常用的三角形面积公式 （1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABCsin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）；6、三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）7．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-已知条件 定理应用 一般解法一边和两角 （如a 、B 、C ） 正弦定理由A+B+C=180˙，求角A ，由正弦定理求出b 与c ，在有解时有一解。

高一数学三角函数与解三角形方法总结在高一数学学习中，三角函数与解三角形是一个非常重要的知识点。

通过学习三角函数可以帮助我们了解三角形的性质和关系，而解三角形方法则可以帮助我们求解各种三角形的边长和角度。

本文将对高一数学中的三角函数与解三角形方法进行总结。

一、三角函数的基本概念与性质1.1 正弦函数正弦函数是指在一个直角三角形中，对于某个角的正弦值等于该角对边与斜边的比值。

用数学符号表示为sinθ=a/c（其中θ为角度，a为对边长度，c为斜边长度）。

正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

1.2 余弦函数余弦函数是指在一个直角三角形中，对于某个角的余弦值等于该角邻边与斜边的比值。

用数学符号表示为cosθ=b/c（其中θ为角度，b为邻边长度，c为斜边长度）。

余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

1.3 正切函数正切函数是指在一个直角三角形中，对于某个角的正切值等于该角对边与邻边的比值。

用数学符号表示为tanθ=a/b（其中θ为角度，a为对边长度，b为邻边长度）。

正切函数的定义域为实数集，但要注意避开一些特定角度的值，例如tan90°是不存在的。

1.4 三角函数的基本关系式三角函数有很多基本关系式，例如sin^2θ+cos^2θ=1，tanθ=sinθ/cosθ等。

在解三角形问题中，基本关系式是非常重要的工具，可以帮助我们推导出其他未知量。

二、解三角形方法2.1 解直角三角形直角三角形是最简单的三角形，其中一个角度为90°。

解直角三角形的方法通常有两种：已知一个锐角和斜边，求解两个其他角度和两个其他边长；已知两个角度或一个角度和一个边长，求解其他未知量。

2.2 解一般三角形一般三角形是指除了直角三角形以外的任意三角形。

解一般三角形的关键是利用三角函数的性质以及三角函数之间的关系，常用的方法有正弦定理和余弦定理。

2.2.1 正弦定理正弦定理是用来求解具有一个已知角度和两个已知边长的一般三角形的方法。

数学解三角形技巧大全解三角形是数学中的一个重要内容，也是高中数学中的一项基本知识。

掌握一些解三角形的技巧可以让我们更加方便地求解各种三角形的性质和关系。

本文将介绍一些常用的数学解三角形的技巧大全。

一、利用正弦定理求解三角形正弦定理是解三角形最基本也是最常用的方法之一。

对于任意一个三角形ABC，假设它的三个角度分别为∠A，∠B，∠C，边长分别为a，b，c。

正弦定理可以表达为：$\dfrac{a}{\sin{\angle A}} = \dfrac{b}{\sin{\angle B}} =\dfrac{c}{\sin{\angle C}}$利用正弦定理可以轻松求解三角形的任意边长或角度，只需知道已知边长或角度之间的比例关系即可。

二、利用余弦定理求解三角形余弦定理也是解三角形的重要方法之一。

当我们已知一个三角形的两边和夹角时，可以利用余弦定理求解第三边的长度。

对于任意一个三角形ABC，假设它的三个角度分别为∠A，∠B，∠C，边长分别为a，b，c。

余弦定理可以表达为：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\angle C}$利用余弦定理可以解决一些不规则的三角形，或者求解已知两边和一个角的三角形。

三、利用解析几何方法求解三角形解析几何是利用坐标系和代数方法来解决几何问题的一种方法。

对于三角形ABC，如果我们已知三个顶点的坐标，可以利用解析几何的方法来求解三角形的各种性质。

首先，假设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点B的坐标为$(x_2,y_2)$，点C的坐标为$(x_3,y_3)$。

我们可以利用距离公式来求解三边的长度，即：$a=\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}$$b=\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}$$c=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$其中，$\sqrt{\cdot}$表示开根号运算。

通过解析几何方法，我们可以很方便地求解三角形的各种性质，如边长、角度、重心、外心等。

高中解三角形题型及解题方法归纳总结
1.根据角度关系求解三角形：通过已知角度的大小关系，可以确定三角形的形状和大小，常见的题型包括等腰三角形、直角三角形等。

2. 利用三角函数求解三角形：三角函数包括正弦、余弦、正切等，通过已知角度和边长的关系，可以利用三角函数求解三角形。

3. 利用勾股定理求解三角形：勾股定理是指直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方和，通过已知两条直角边的长度，可以求出斜边的长度，从而确定三角形的形状和大小。

4. 利用海龙公式求解三角形：海龙公式是指通过三角形三条边的长度求出其面积的公式，通过已知三条边的长度，可以求出三角形的面积和其他相关信息。

解题方法：
1. 画图：在解决三角形问题时，画图是非常重要的，可以帮助我们更好地理解题意和确定解题思路。

2. 建立方程：通过已知条件，可以建立方程，从而求解未知量。

3. 利用三角函数：当已知角度和边长的关系时，可以利用三角函数求解未知量。

4. 应用勾股定理：当已知直角边的长度时，可以应用勾股定理求解斜边的长度和其他相关信息。

5. 应用海龙公式：当已知三条边的长度时，可以应用海龙公式求解三角形面积和其他相关信息。

总结：
解决三角形问题需要掌握一定的基础知识和解题方法，其中画图、建立方程、利用三角函数、应用勾股定理和海龙公式等是常用的解题方法。

此外，需要注意理解题意和确定解题思路，以便正确地解决问题。

三角恒等变换与解题技巧三角函数是高中数学中重要且常用的概念之一，而三角恒等变换是解题过程中非常关键的工具。

本文将介绍三角恒等变换的基本概念，以及如何运用这些变换来解决各种三角函数题目。

一、三角恒等变换的基本概念在开始介绍三角恒等变换之前，我们先来回顾一下三角函数的基本定义：1. 正弦函数（sin）在一个锐角三角形中，正弦函数的定义为：正弦值等于对边与斜边之比。

2. 余弦函数（cos）在一个锐角三角形中，余弦函数的定义为：余弦值等于邻边与斜边之比。

3. 正切函数（tan）在一个锐角三角形中，正切函数的定义为：正切值等于对边与邻边之比。

三角恒等变换是指在三角函数中，通过一系列等价变换，将一个三角函数转化为另外一个三角函数的表达式，而不改变原始三角函数的值，从而简化问题的求解过程。

下面是三角恒等变换的几个基本公式：1. 余弦的平方加正弦的平方等于1：cos²θ + sin²θ = 12. 正切等于正弦除以余弦：tanθ = sinθ / cosθ3. 余切等于1除以正切：cotθ = 1 / tanθ4. 正弦与余弦的关系：sin(π/2 - θ) = cosθ, cos(π/2 - θ) = sinθ5. 正切与余切的关系：tan(π/2 - θ) = cotθ, cot(π/2 - θ) = tanθ二、解题技巧1. 利用三角恒等变换简化表达式当遇到一个复杂的三角函数表达式时，可以通过运用三角恒等变换将其简化。

例如，如果题目要求计算sin²θ + cos²θ的值，我们可以利用公式cos²θ + sin²θ = 1来将表达式简化为1，从而得到最终答案。

2. 利用三角恒等变换解决方程在解决包含三角函数的方程时，我们常常需要利用三角恒等变换将方程转化为更简单的形式。

例如，如果题目要求解方程sinθ = cosθ，我们可以利用公式sin(π/2 - θ) = cosθ将方程转化为sin(π/2 - θ) = sinθ，然后通过等值关系得出π/2 - θ = θ，从而求得θ的值。

三角恒等变换和解三角形公式三角恒等变换是指一类等式或恒等式，可以通过它们来简化或转换三角函数表达式。

这些变换可以帮助我们解决三角函数问题，并简化复杂的三角表达式。

解三角形公式是用来计算三角形各个角度和边长的公式。

下面将详细介绍三角恒等变换和解三角形公式。

一、三角恒等变换1.正弦、余弦和正切的基本恒等变换：(1) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，这个等式被称为三角恒等式的基本等式，它适用于所有角度。

(2) $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。

2.余弦、正切和余切的基本恒等变换：(1) $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$，也是三角函数的基本恒等变换。

3.正弦和余弦的互补恒等变换：(1) $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$(2) $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正弦和余弦互为相反数。

4.正切和余切的互补恒等变换：(1) $\tan(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cot \theta$(2) $\cot(\frac{\pi}{2} - \theta) = \tan \theta$这两个恒等变换表明，两个角度的正切和余切互为倒数。

5.其他常用的三角恒等变换：(1) $\sin(-\theta) = -\sin \theta$(2) $\cos(-\theta) = \cos \theta$(3) $\tan(-\theta) = -\tan \theta$这些变换表明，正弦、余弦和正切函数在角度取相反数时会发生改变。

1.解直角三角形：(1)已知两个直角三角形的边长求第三边：- 斜边长：$c = \sqrt{a^2 + b^2}$- 一边长和斜边长：$b = \sqrt{c^2 - a^2}$或$a = \sqrt{c^2 -b^2}$(2)已知一个直角三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$2.解一般三角形：(1)已知三个角度的和为180度- 内角和公式：$A + B + C = 180^\circ$(2)已知一个三角形的边长和一个角度，求其他边长和角度：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$总结：三角恒等变换是一类等式或恒等式，可以用来简化或转换三角函数表达式，包括正弦、余弦和正切的基本恒等变换、余弦、正切和余切的基本恒等变换、正弦和余弦的互补恒等变换、正切和余切的互补恒等变换，以及其他常用的变换。

三角恒等变换与解三角形三角恒等变换是解三角形中常用的方法之一。

通过利用三角函数之间的关系，可以简化复杂的三角形问题，从而解决解题难题。

本文将介绍常见的三角恒等变换，并结合实例来说明其在解三角形问题中的应用。

一、三角恒等变换的定义三角恒等变换指的是一些等式或关系式，通过其变换可以得到与原三角函数等价的另一种表达式。

这些变换可以方便我们在求解三角形问题时进行化简和变形。

下面将介绍几种常见的三角恒等变换：1. 余弦定理余弦定理是三角形中常用的恒等变换之一，可以用来求解三角形的边长或角度。

余弦定理表达式如下：\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)表示三角形的边长，\(C\)表示夹角\(c\)的对应角。

2. 正弦定理正弦定理也是解三角形问题中常用的恒等变换。

正弦定理表达式如下：\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)表示三角形的边长，\(A\)、\(B\)、\(C\)表示三角形的对应角度。

3. 余角恒等变换余角恒等变换可以将三角函数中的一个角的正弦、余弦、正切、余切等函数转化为另一个角的相应三角函数表达式。

例如，\(sin(\pi -\theta) = sin\theta\)、\(cos(\pi - \theta) = -cos\theta\)等。

二、三角恒等变换在解三角形中的应用三角恒等变换在解三角形问题中是十分有用的。

通过对已知条件进行恒等变换，可以从中发现一些隐藏的关系，从而简化问题。

例如，已知三角形的两边和一夹角，可以使用余弦定理求解第三边的长度。

而当已知三角形的两边和三个角度之一时，可以使用正弦定理求解三角形的三个角度。

通过利用三角恒等变换，可以将复杂的计算问题转化为简单的代数计算，进而解决三角形问题。

下面通过一个具体的例子来说明三角恒等变换在解三角形中的应用。

三角函数、解三角形高考常见题型解题思路及知识点总结一、解题思路（一）解题思路思维导图（二）常见题型1.三角恒等变换已知正切值求正弦、余弦齐次式值问题 典例1：（2016年3卷）若tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】2cos 2sin 2αα+=25641tan tan 41cos sin cos sin 4cos 2222=++=++ααααααα故选A ．2.三角恒等变换给值求值问题典例2：（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．3．图象法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质 典例3：（2017年3卷6）设函数()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知， ()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.4．复合函数法求三角函数()ϕω+=x A y sin ()00>>ω，A 性质π5．求三角函数()B x A y ++=ϕωsin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,00πϕω，A 解析式 典例4：（2015年1卷8）函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（ ）（A ）（B ） （C ） （D ）【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D. 考点：三角函数图像与性质6．三角函数图象的平移与伸缩变换 典例5：（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2()f x cos()x ωϕ+()f x 13(,),44k k k Z ππ-+∈13(2,2),44k k k Z ππ-+∈13(,),44k k k Z -+∈13(2,2),44k k k Z -+∈1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=ωπ=4πϕ()cos()4f x x ππ=+22,4k x k k Z πππππ<+<+∈124k -x 324k +k Z ∈124k -324k +k Z ∈3π6π12写性质 根据解出x 的值或范围写出函数对称轴、对称中心、单调区间、最值等性质解题思路及步骤 注意事项求A 和B ()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+， 求ω 先求周期T ，再由求ωπ2=T 求ω 求ϕ代入已知点坐标，根据ϕ的具体范围求出ϕ，一般代入最值点，若代入与B y =的交点，注意区分是在增区间还是减区间上 求解析式写出解析式解题思路及步骤 注意事项写出变换法则 把变换前的函数看成抽象函数()x f y =，根据变换法则写出变换后的抽象函数 代入表达式根据原函数解析式写出变换后的解析式，例如：()x f y ==⎪⎭⎫⎝⎛+62sin 3πx 向右平移4π个单位后得函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4πx f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-32sin 3642sin 3πππx x ，其他变换都按这个方法确定变换后解析式C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2【解析】先变周期：先变相位：选D ．7.解三角形知一求一问题8.解三角形知三求一问题典例6：（2017年2卷17）的内角的对边分别为，已知． (1)求;(2)若，的面积为2，求解析:（1）依题得．因为， 所以，所以，得（舍去）或12π612π122cos sin sin 2sin 2sin 2223122y x x y x y x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=+⇒=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22cos sin sin sin sin 222633y x x y x x y x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⇒=++=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ABC △,,A B C ,,a b c ()2sin 8sin 2B AC +=cos B 6a c +=ABC △.b 21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-22sin cos 1B B +=2216(1cos )cos 1B B -+=(17cos 15)(cos 1)0B B --=cos 1B =（2）由∵可知，因为，所以，即，得.因为，所以，即，从而，即，解得．9.解三角形知二求最值（或范围）问题典例7：(2013年2卷17)∵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2，求∵ABC面积的最大值.【解析】(1)因为a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB，所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB，因为sinC≠0，所以tanB=1，解得B=.4π(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos4π，即4=a2+c2ac，由不等式得a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时，取等号，所以4≥(2)ac，解得，所以∵ABC的面积为12acsin4π≤4+1.所以∵ABC +1.典例8：（2011年1卷16）在中，的最大值为.令AB c=，BC a=，则由正弦定理得【解析】2,sin sin sina c ACA C B====2sin,2sin,c C a A∴==且120A C+=︒，222sin4sinAB BC c a C A∴+=+=+2sin4sin(120)C C=+︒-＝2sin C+14(cos sin)4sin22C C C C+=++)Cϕ=(其中tan2ϕ=∴当90Cϕ+=︒时，2AB BC+取最大值为8sin17B=2ABCS=△1sin22ac B⋅=182217ac⋅=172ac=15cos17B=22215217a c bac+-=22215a c b+-=22()215a c ac b+--=2361715b--=2b=ABC60,B AC==2AB BC+二、知识点总结 （一）知识点思维导图（二）常用定理、公式及其变形1.同角三角函数关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．2.诱导公式：对于角α±π2k 与角α的三角函数关系“奇变偶不变，符号看象限”，这句话是对变化前的函数和角来说的. 例如在三角形，∵，∴A B C A B C ++=+=-ππ3.两角和与差公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.4.二倍角公式： （1）升幂公式：sin 2sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，22tan tan 21tan ααα=-（2）降幂公式：221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==5.辅助角公式：sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决 定，tan b aϕ=).6．正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：7．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： 振幅：A ，周期：2πωT =，频率：12f ωπ==T ，相位：x ωϕ+，初相：ϕ．sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函 数性 质8．函数x y sin =变换到函数()ϕω+=x A y sin 的两种途径 ∵的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．∵数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．9.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===；化边变形：sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=； 化角变形：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；比例关系：::sin :sin :sin a b c C =A B .10.余弦定理2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-； 2222cos c a b ab C =+-.边角互化变形：222cos 2b c a bc+-A =，ac b c a B 2cos 222-+=，ab c b a C 2cos 222-+=11.面积公式：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.（3）()c b a r S ++=21（r 为三角形内切圆半径）。

1三角恒等变换与解三角形【要点提炼】考点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化．【热点突破】【典例】1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( ) A.53 B.23 C.13 D.59【答案】 A【解析】 由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5， 即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53.2(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6【答案】 C【解析】 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.【方法总结】(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 【拓展训练】1 (1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝cos 2β1－sin 2β，则( )A ．α＋β＝π2B ．α－β＝π4C ．α＋β＝π4D ．α＋2β＝π2【答案】 B3【解析】 tan α＝cos 2β1－sin 2β＝cos 2β－sin 2βcos 2β＋sin 2β－2sin βcos β＝cos β＋sin βcos β－sin βcos β－sin β2＝cos β＋sin βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝π4＋β，即α－β＝π4.(2)(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°＝________.【答案】 －2【解析】 (tan 10°－3)·cos 10°sin 50°＝(tan 10°－tan 60°)·cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin －50°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2. 【要点提炼】考点二 正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bccos A. 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bccos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a22bc.43．三角形的面积公式：S ＝12absin C ＝12acsin B ＝12bcsin A.【热点突破】考向1 求解三角形中的角、边【典例】2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asin C1－cos A ＝3c.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝10，△ABC 的面积S △ABC ＝43，求a 的值． 解 (1)由正弦定理及asin C1－cos A ＝3c ，得sin Asin C1－cos A＝3sin C ，∵sin C ≠0，∴sin A ＝3(1－cos A)，∴sin A ＋3cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32，又0<A<π，∴π3<A ＋π3<4π3，∴A ＋π3＝2π3，∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bcsin A ＝34bc ＝43，∴bc ＝16.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccos π3＝(b ＋c)2－2bc －bc ＝(b ＋c)2－3bc ，又b ＋c ＝10，∴a 2＝102－3×16＝52，∴a ＝213.5考向2 求解三角形中的最值与范围问题【典例】3 (2020·新高考测评联盟联考)在：①a ＝3csin A －acos C ，②(2a －b)sin A ＋(2b －a)sin B ＝2csin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝3，而且________． (1)求角C ；(2)求△ABC 周长的最大值．解 (1)选①：因为a ＝3csin A －acos C ， 所以sin A ＝3sin Csin A －sin Acos C ， 因为sin A ≠0，所以3sin C －cos C ＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＝12，因为0<C<π，所以－π6<C －π6<5π6，所以C －π6＝π6，即C ＝π3.选②：因为(2a －b)sin A ＋(2b －a)sin B ＝2csin C ， 所以(2a －b)a ＋(2b －a)b ＝2c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝ab ， 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为0<C<π，所以C ＝π3.(2)由(1)可知，C ＝π3，6在△ABC 中，由余弦定理得a 2＋b 2－2abcos C ＝3，即a 2＋b 2－ab ＝3， 所以(a ＋b)2－3＝3ab ≤3a ＋b 24，所以a ＋b ≤23，当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以a ＋b ＋c ≤33，即△ABC 周长的最大值为3 3.【方法总结】 (1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．(2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．【拓展训练】2 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为S ，且a ＝1,4S ＝b 2＋c 2－1，则△ABC 外接圆的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π2【答案】 D【解析】 由余弦定理得，b 2＋c 2－a 2＝2bccos A ，a ＝1， 所以b 2＋c 2－1＝2bccos A ， 又S ＝12bcsin A,4S ＝b 2＋c 2－1，所以4×12bcsin A ＝2bccos A ，即sin A ＝cos A ，所以A ＝π4， 由正弦定理得，1sinπ4＝2R ，得R ＝22，7所以△ABC 外接圆的面积为π2.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝3B ，则ab 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(0,1]D ．(1,2] 【答案】 B【解析】A ＝3B ⇒sin A sin B ＝sin 3B sin B ＝sin 2B ＋Bsin B＝sin 2Bcos B ＋cos 2Bsin Bsin B＝2sin Bcos 2B ＋cos 2Bsin B sin B ＝2cos 2B ＋cos 2B ＝2cos 2B ＋1，即a b ＝sin A sin B ＝2cos 2B ＋1，又A ＋B ∈(0，π)，即4B ∈(0，π)⇒2B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2⇒cos 2B ∈(0,1)，∴a b ∈(1,3)．(3)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C ＝125，a ＝b ＝13，BC 边上的中点为D ，则sin ∠BAC ＝________，AD ＝________.【答案】31313 352【解析】 因为tan C ＝125，所以sin C ＝1213，cos C ＝513，又a ＝b ＝13，所以c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝13＋13－2×13×13×513＝16，所以c ＝4.由a sin ∠BAC ＝c sin C ，得13sin ∠BAC ＝41213，解得sin ∠BAC ＝31313.因为BC 边上的中点为D ，所以CD ＝a2，所以在△ACD 中，AD 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2×b ×a 2×cos C ＝454，所以AD ＝352.8专题训练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B 等于( )A.19B.13C.12D.23 【答案】 A【解析】 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCcos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.2．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6等于( )A.12B.33C.23D.22 【答案】 B【解析】 因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6＋ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6sin π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33.93．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，sin 2C 1－cos 2C ＝1，B ＝π6，则a 的值为( )A.3－1 B ．23＋2C ．23－2 D.2＋ 6【答案】 D【解析】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，sin 2C1－cos 2C ＝1，所以2sin Ccos C 2sin 2C ＝1，所以tan C ＝1，C ＝π4. 因为B ＝π6，所以A ＝π－B －C ＝7π12，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64.由正弦定理可得a2＋64＝2sinπ6，则a ＝2＋ 6.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，acos B ＋bcos A ＝2ccos C ，c ＝7，且△ABC 的面积为332，则△ABC 的周长为( ) A ．1＋7 B ．2＋7 C ．4＋7 D ．5＋7【答案】 D【解析】 在△ABC 中，acos B ＋bcos A ＝2ccos C ， 则sin Acos B ＋sin Bcos A ＝2sin Ccos C ， 即sin(A ＋B)＝2sin Ccos C ，∵sin(A ＋B)＝sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3，10 由余弦定理可得，a 2＋b 2－c 2＝ab ， 即(a ＋b)2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12absin C ＝34ab ＝332，∴ab ＝6，∴(a ＋b)2＝7＋3ab ＝25，即a ＋b ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.5．若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525【答案】 A【解析】 因为α，β都是锐角，且cos α＝55<12， 所以π3<α<π2，又sin(α＋β)＝35，而12<35<22，所以3π4<α＋β<5π6，所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－45，又sin α＝1－cos 2α＝255， 所以cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝2525.6．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若A ＝120°，a ＝1，则2b ＋3c 的最大值为( )11A ．3 B.2213 C ．3 2 D.352【答案】 B【解析】 因为A ＝120°，a ＝1，所以由正弦定理可得 b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝1sin 120°＝233， 所以b ＝233sin B ，c ＝233sin C ， 故2b ＋3c ＝433sin B ＋23sin C ＝433sin ()60°－C ＋23sin C ＝433sin C ＋2cos C ＝2213sin(C ＋φ)． 其中sin φ＝217，cos φ＝277， 所以2b ＋3c 的最大值为2213. 二、多项选择题7．(2020·临沂模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝23，c ＝3，A ＋3C ＝π，则下列结论正确的是( )A ．cos C ＝33B ．sin B ＝23 C ．a ＝3D ．S △ABC ＝ 2【答案】 AD 【解析】 因为A ＋3C ＝π，A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝2C.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得23sin 2C ＝3sin C，即12 232sin Ccos C ＝3sin C ，所以cos C ＝33，故A 正确；因为cos C ＝33，所以sin C ＝63，所以sin B ＝sin 2C ＝2sin Ccos C ＝2×63×33＝223，故B 错误；因为cos B ＝cos 2C ＝2cos 2C －1＝－13，所以sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝223×33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×63＝69，则cos A ＝539，所以a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝(23)2＋32－2×23×3×539＝1，所以a ＝1，故C 错误；S △ABC ＝12bcsin A ＝12×23×3×69＝2，故D 正确．8．已知0<θ<π4，若sin 2θ＝m ，cos 2θ＝n 且m ≠n ，则下列选项中与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ恒相等的有() A.n 1＋m B.m 1＋n C.1－nm D.1－mn【答案】 AD【解析】 ∵sin 2θ＝m ，cos 2θ＝n ，∴m 2＋n 2＝1，∴1－m n ＝n1＋m ，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝cos θ－sin θcos θ－sin θcos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1－sin 2θcos 2θ＝1－m n ＝n1＋m .三、填空题9．(2020·保定模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.【答案】 －56【解析】 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝12，13 即1＋tan α1－tan α＝12，解得tan α＝－13， 所以sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ＋a sin C ＝2asin B －c sin B －sin A，则A ＝________. 【答案】π4 【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， 得b ＋a c ＝2asin B －c b －a， 整理得b 2－a 2＝2acsin B －c 2，即b 2＋c 2－a 2＝2acsin B ＝2bcsin A ，由余弦定理得，b 2＋c 2－a 2＝2bccos A ，∴2bccos A ＝2bcsin A ，即cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1，∴A ＝π4. 11．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P －ABC 的平面展开图中，AC ＝1，AB ＝AD ＝3，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE ＝30°，则cos ∠FCB ＝________.【答案】 －14【解析】 在△ABD 中，∵AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝3，∴BD ＝6，∴FB ＝BD ＝ 6.14在△ACE 中，∵AE ＝AD ＝3，AC ＝1，∠CAE ＝30°， ∴EC ＝32＋12－2×3×1×cos 30°＝1， ∴CF ＝CE ＝1.又∵BC ＝AC 2＋AB 2＝12＋32＝2， ∴在△FCB 中，由余弦定理得cos ∠FCB ＝CF 2＋BC 2－FB 22×CF ×BC ＝12＋22－622×1×2＝－14. 12．(2020·山东省师范大学附中月考)在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，记△ABC 的面积为S ，且4a 2＝b 2＋2c 2，则S a2的最大值为________． 【答案】 106【解析】 由题意知，4a 2＝b 2＋2c 2⇒b 2＝4a 2－2c 2＝a 2＋c 2－2accos B ，整理，得2accos B ＝－3a 2＋3c 2⇒cos B ＝3c 2－a 22ac ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12acsin B a 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫csin B 2a 2＝c 21－cos 2B 4a 2， 代入cos B ＝3c 2－a22ac，整理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫Sa 22＝－116⎝ ⎛⎭⎪⎫9×c4a 4－22×c2a 2＋9， 令t ＝c 2a 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22＝－116(9t 2－22t ＋9) ＝－116⎝⎛⎭⎪⎫3t －1132＋1036， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫S a 22≤1036，所以S a 2≤106，故S a 2的最大值为106.15四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin Bsin C.(1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．解 (1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB.①由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·ABcos A ．②由①②得cos A ＝－12. 因为0<A<π，所以A ＝2π3. (2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BC sin A＝23， 从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B)＝3cos B －3sin B.故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 又0<B<π3， 所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 14．(2020·重庆模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b 2＝(b 2＋c 2－a 2)(1－tan A)．(1)求角C ；(2)若c ＝210，D 为BC 的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度．16 条件①：△ABC 的面积S ＝4且B>A ；条件②：cos B ＝255.解 (1)在△ABC 中，由余弦定理知，b 2＋c 2－a 2＝2bccos A ，所以2b 2＝2bccos A(1－tan A)，所以b ＝c(cos A －sin A)，又由正弦定理知，b c ＝sin Bsin C ，得sin B ＝sin C(cos A －sin A)，所以sin(A ＋C)＝sin C(cos A －sin A)，即sin Acos C ＋cos Asin C ＝sin Ccos A －sin Csin A ，所以sin Acos C ＝－sin Csin A ，因为sin A ≠0，所以cos C ＝－sin C ，所以tan C ＝－1，又因为0<C<π，所以C ＝3π4.(2)选择条件②，cos B ＝255，因为cos B ＝255，且0<B<π，所以sin B ＝55，因为sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22×255＝1010，由正弦定理知csin C ＝asin A ，17 所以a ＝csin A sin C ＝210×101022＝22，在△ABD 中，由余弦定理知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝(210)2＋(2)2－2×210×2×255＝26，所以AD ＝26.(【答案】不唯一)。