代数变形常用技巧

代数变形常用技巧代数变形是数学中的基本技巧，它可以帮助我们简化复杂的表达式、求解方程和证明数学命题。

在学习代数变形时，有一些常用的技巧可以帮助我们更高效地解决问题。

以下是一些常用的代数变形技巧：1.合并同类项：当一个表达式中有多个相同的变量项时，可以将它们合并成一个变量项。

例如，将2x+3x变形为5x。

2.分解因式：将一个多项式分解为较简单的因式乘积。

例如，将x^2+3x+2因式分解为(x+1)(x+2)。

3.提取公因式：当一个多项式中的每一项都有一个公因子时，可以将这个公因子提取出来。

例如，将2x^2+2x分解为2x(x+1)。

4.移项：当一个方程中含有所求变量的项时，可以将这些项移动到一个方程的一边，同时将其他项移动到方程的另一边，从而解出所求变量的值。

例如，将2x-5=3移项为2x=85.合并分数：将两个分数合并为一个分数。

例如，将1/2+1/3合并为5/66.分解分数：将一个复杂的分数分解为几个简单的分数的和。

例如，将4/5分解为1/2+1/10。

7. 乘法公式与因式平方差公式：乘法公式可以用于展开两个括号成的乘积，因式平方差公式可以用于将平方差分解因式。

例如，将(x + y)^2展开为x^2 + 2xy + y^2，将x^2 - y^2分解为(x + y)(x - y)。

8. 平方根与立方根的平方与立方：将平方根与立方根的平方与立方进行展开与因式分解。

例如，将√(x^2 + 2xy + y^2)展开为x + y，将(x + y)^3展开为x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^39.分数与小数的相互转化：将一个分数转化为小数可以通过除法运算得到，将一个小数转化为分数可以通过多项分母的方式进行处理。

例如，将3/4转化为0.75，将0.6转化为3/510. 二次方程的求解：使用二次方程的求根公式可以求解二次方程的解。

例如，对于ax^2 + bx + c = 0，x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

复数乘除的代数变形技巧
复数是由实部和虚部构成的数学对象，常用形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

复数的乘除是复数运算中常见的操作，掌握好复数的代数变形技巧，能够简化计算过程，提高效率。

下面将介绍复数乘法和除法的代数变形技巧。

复数乘法
设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的乘积为：
z1 * z2 = (a1 + b1i) * (a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i^2
根据虚数单位i的定义，i^2 = -1，可以化简上式：
z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i
所以，两个复数相乘的实部为(a1a2 - b1b2)，虚部为(a1b2 + a2b1)。

通过这个计算方式，可以快速得出两个复数相乘的结果。

复数除法
设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，它们的除法为：
z1 / z2 = (a1 + b1i) / (a2 + b2i)
利用乘法的技巧，我们可以先将分母有理化，即乘以分母的共轭：
z1 / z2 = (a1 + b1i) * (a2 - b2i) / (a2 + b2i)(a2 - b2i)
计算分子和分母的乘积，再进行化简，得到复数的除法结果。

在实际计算中，可以结合乘法和除法的代数变形技巧，快速准确地进行复数的运算。

熟练掌握这些技巧，可以在数学问题中事半功倍。

以上是复数乘除的代数变形技巧，希望对你有所帮助。

祝你在学习数学的道路上越走越远！。

第11讲代数变形知识与方法代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种手段,将一个问题等价地变为另一个问题,由一种复杂的形式转变为一种简单的形式,将整个数学问题转变为一个较为容易处理或熟悉的问题.在处理含对数或指数式时,有如下两个技巧:1.对数处理技巧——对数靠边走设f(x)是可导函数,不难得到(f(x)ln⁡x)′=f′(x)ln⁡x+f(x)1x,若f(x)不是常函数,则所得的导数式中含有ln⁡x,往往需要再次甚至多次求导.对于这类含有对数式ln⁡x的不等式问题时,通常要让对数型的函数分离出来,把对数型函数前面所乘的代数式或分母中的代数式处理掉,让对数型函数形成单独的一项,这样再对新函数求导,只需要求导一次即可求出函数的极值点,从而避免了多次求导的麻繁.这种让对数函数“孤军奋战”的代数变形过程,我们称其为对数处理技巧,即“对数靠边走”.相关的转化如下:情形1设f(x)>0,f(x)ln⁡x+g(x)>0⇔ln⁡x+g(x)f(x)>0;情形2设f(x)≠0,f(x)ln⁡x+g(x)=0⇔ln⁡x+g(x)f(x)=0.点睛意到：(f(x)ln⁡x+g(x))′=f′(x)ln⁡x+f(x)x+g′(x)(ln⁡x+g(x)f(x))′=1x+(g(x)f(x))比较(1)(2)两式中等号右边的部分,可知(1)式含有对数ln⁡x,但(2)式中不含对数ln⁡x,这将为后续的解题带来方便.2.指数处理技巧——指数找朋友在证明或处理含指数型函数的不等式时,通常要让指数型函数乘以或除以一个多项式函数(让多项式除以指数也一样),这样就很容易求出新函数的极值点,从而可以避免多次求导.这种相当于给指数函数寻找了一个合作伙伴的变形过程,我们称之为指数处理技巧,即“指数找朋友”.相关的转化如下:e x+1>0;情形1设f(x)>0,则f(x)+g(x)e x>0⇔g(x)f(x)e−x+1>0;情形2设g(x)>0,则f(x)+g(x)e x>0⇔f(x)g(x)e x+1=0;情形3设f(x)≠0,则f(x)+g(x)e x=0⇔g(x)f(x)e−x+1=0.情形4设g(x)≠0,则f(x)+g(x)e x=0⇔f(x)g(x)因为(f(x)e x)′=(f(x)+f′(x))e x,(f(x)e−x)′=(f′(x)−f(x))e−x.所以(f(x)e x)′>0⇔(f(x)+f′(x))e x>0⇔f(x)+f′(x)>0,(f(x)e−x)′>0⇔(f′(x)−f(x))e−x>0⇔f′(x)−f(x)>0.使用上述变形,可以减少求导次数,优化解题过程.典型例题对数靠边走【例1】当x >1时,求证:(x +1)ln⁡x >2(x −1).【解析】因为x >1,所以(x +1)ln⁡x >2(x −1)⇔ln⁡x >2(x−1)x.令f(x)=ln⁡x −2(x−1)x(x >1),f ′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0,所以f(x)在(1,+∞)上为增函数.所以f(x)>f(1)=0,所以x >1时,ln⁡x >2(x−1)x+1,即(x +1)ln⁡x >2(x −1).【例2】若不等式xln⁡x ⩾a(x −1)对所有x ⩾1成立,求实数a 的取值范围.【解析】原问题等价于ln⁡x −a(x−1)x⩾0对所有的x ⩾1都成立.令f(x)=ln⁡x −a(x−1)x(x ⩾1),则f ′(x)=x−a x 2.(1)当a ⩽1时,f ′(x)=x−a x 2⩾0恒成立,即f(x)在[1,+∞)上单调递增,因而f(x)⩾f(1)=0恒成立;(2)当a >1时,令f ′(x)=0,得x =a,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以f(x)min =f(a)=ln⁡a −a +1<0,不符合题意.综上所述,实数a 的取值范围是(−∞,1].【例3】设二次函数g(x)对任意实数x 都满足g(x −1)+g(1−x)=x 2−2x −1,且g(1)=−1,令f(x)=g (x +12)+mln⁡x +98(m ∈R,x >0).(1)求g(x)的表达式;(2)设1<m⩽e,H(x)=f(x)−(m+1)x.证明:对任意x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)−H(x2)|<1【解析】(1)设g(x)=ax2+bx+c,所以g(x−1)+g(1−x)=a(x−1)2+b(x−1)+c+a(1−x)2+b(1−x)+c=2a(x2−2x+1)+2c=2ax2−4ax+2a+2c=x2−2x−1.比较两边的系数得{2a=1,−4a=−2,2a+2c=−1,所以{a=12,c=−1,所以g(x)=12x2+bx−1.又因为g(1)=−1,所以12+b−1=−1,所以b=−12,所以g(x)=12x2−12x−1.(2)H(x)=12(x+12)2−12(x+12)−1+mln⁡x+98−(m+1)x=12(x2+x+14)−12x−14−1+mln⁡x+98−mx−x=12x2−(m+1)x+mln⁡x.H′(x)=x−(m+1)+mx =x2−(m+1)x+mx=(x−1)(x−m)x<0.所以H(x)在[1,m]上单调递减,所以H(x)min=H(m)=12m2−(m+1)m+mln⁡m=−12m2−m+mln⁡m,H(x)max=H(1)=12−m−1=−12−m.所以|H(x1)−H(x2)|⩽H(x)max−H(x)min=12m2−mln⁡m−12.下面只需证12m2−mln⁡m−32<0.(可采用对数靠边走,将对数ln⁡m独立出来)即证明12m−ln⁡m−32m<0.令g(m)=12m −ln⁡m −32m,g ′(m)=12−1m+32m 2=m 2−2m+32m 2>0.所以g(m)在(1,e]上单调递增,所以g(m)⩽g(e)=12e −1−32e =e 2−2e−32e.而e 2−2e −3<2.82−2×2.8−3=2.24−3<0,所以g(e)<0,所以g(m)<0,即|H (x 1)−H (x 2)|<1.【点睛】上面解法的优势在于,将ln⁡x 的系数化为“1”后,就可以有效避免求导后再出现对数函数,避免了隐零点出现,这是解决对数型函数的精华所在.指数找朋友【例4】已知函数f(x)=ln⁡x +x −1(a ∈R).求证:e −x +xf(x)⩾0.【解析】解法1:以指数处理技巧为主线要证e −x +xf(x)⩾0,只需证1+xe x f(x)⩾0. 令g(x)=1+e x (xln⁡x +x 2−x )(x >0),g ′(x)=e x (xln⁡x +x 2−x +ln⁡x +1+2x −1)=e x (x +1)(ln⁡x +x).令ℎ(x)=ln⁡x +x ,在(0,+∞)上单调递增,又因为ℎ(1)=1>0,ℎ(1e )=−1+1e <0,所以存在t ∈(1e ,1),使得ℎ(t)=ln⁡t +t =0,即ln⁡t =−t ,即e t =1t .当x ∈(0,t)时,ℎ(x)<0,g ′(x)<0,g(x)单调递减;当x ∈(t,+∞)时,ℎ(x)>0,g ′(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)⩾g(t)=1+e t (tln⁡t +t 2−t )=1+ln⁡t +t −1=0,所以1+xe x f(x)⩾0,即e −x +xf(x)⩾0.解法2:以对数的处理技巧为主线要证e −x +xf(x)⩾0成立,只需证e −x x+f(x)⩾0即可.令g(x)=e −x x+ln⁡x +x −1(x >0),则g ′(x)=−(x+1)x 2e x+1x +1=(x+1)(xe x −1)x 2e x,令ℎ(x)=xe x−1,ℎ′(x)=(x +1)e x >0,所以ℎ(x)单调递增;又因为ℎ(1)=e −1>0,ℎ(12)=√e 2−1<0,所以存在t ∈(12,1),使得ℎ(t)=te t −1=0,即e t =1t ,即t =ln⁡1t =−ln⁡t ,当x ∈(0,t)时,ℎ(x)<0,g ′(x)<0,g(x)单调递减;当x ∈(t,+∞)时,ℎ(x)>0,g ′(x)>0,g(x)单调递增.所以,g(x)⩾g(t)=e −t t+ln⁡t +t −1=ln⁡t +t =0,所以e −x x+f(x)⩾0,即e −x +xf(x)⩾0.解法3:虚设零点+同构令g(x)=e −x +x(ln⁡x +x −1)=e −x +xln⁡x +x 2−x(x >0),g ′(x)=−e −x +ln⁡x +2x 在(0,+∞)上单调递增,且g ′(1e )=−e −1e +ln⁡1e +2e =−e −1e −1+2e <0,g ′(1)=−e −1+ln⁡1+2=2−1e >0.所以存在t ∈(1e ,1),使得g ′(t)=−e −t +ln⁡t +2t =0,所以e−t=ln⁡t+2t,ln⁡t+t=e−t−t,即ln⁡t+e ln⁡t=e−t+(−t).令G(x)=e x+x在(0,+∞)单调递增,且G(ln⁡t)=G(−t),所以ln⁡t=−t.当x∈(0,t)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(t,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.g(x)⩾g(t)=e−t+tln⁡t+t2−t=ln⁡t+2t+tln⁡t+t2−t=(1+t)(ln⁡t+t)=0,所以e−x+xf(x)⩾0.【点睛】解法3看似行云流水,思维直接,但是仔细品味,暗流汹涌,思维含量非常大,主要表现在以下三个方面：1.没有明显的零点,需要利用函数的单调性以及零点存在性定理,虚设零点;2.虚设零点后,出现了指数、对数以及多项式同时存在的情况,这样难以利用零点的关系式一次把指数以及对数全部消除;3.本题目需要较强的技巧性构造同构式,借助于单调性,找出对数与多项式的关系,万一想不到这一点,这道题目就不容易处理.实际上,本题之所以难,是因为指数、对数以及多项式的同时出现,将题目提升了一个难度.对于这种指、对混合形式出现的试题,利用指数或对数的处理技巧,可以帮助我们提高“求导效率”,将指数与多项式结合起来,或者将对数分离出来.【例5】已知函数f(x)=ax 21+ln⁡x(a≠0),e是自然对数的底数.若f(x)的极大值为−2,求不等式f(x)+e x<0的解集.【解析】解法1:巧用对数、指数处理技巧对方程变形f(x)的定义域为(0,e−1)∪(e−1,+∞),由f′(x)=2ax(1+ln⁡x)−ax 2⋅1 x(1+ln⁡x)2=2ax(12+ln⁡x)(1+ln⁡x)2.当a>0时,f(x)在(0,e−1)上单调递减;在(e−1,e−12)单调递减;在(e−12,+∞)上单调递增;显然f(x)有极小值,无极大值.显然,当a<0时,f(x)有极大值,此时f(e−12)=−2,所以a=−e,此时f(x)=−ex 21+ln⁡x ,−ex21+ln⁡x+e x<0.显然,当x∈(0,1e ),−ex21+ln⁡x+e x>0,矛盾.故当x∈(1e ,+∞)时,e x<ex21+ln⁡x,即1+ln⁡x−ex 2e x<0(对数靠边走)令F(x)=1+ln⁡x−ex 2e x ,F′(x)=1x−2x−x2e x−1.下证F′′(x)>0,e x−1⩾2x2−x3,2x2−x3e x−1⩽1(指数找朋友)令G(x)=2x 2−x3e x−1,G′(x)=x(x2−5x+4)e x−1=x(x−1)(x−4)e x−1.令G′(x)=0,解得x=1,或x=4,所以G(x)权大值=G(1)=1,G(x)权小鹪=G(4)=−32e3<0.当x>4时,G(x)<0,所以G(x)⩽1,所以F′(x)⩾0,F(x)在(1e,+∞)上单调递增.因为F(1)=0,所以当1e<x<1时,F(x)<0,当x>1时,F(x)>0.所以f(x)+e x <0的解集为(1e,1).解法2:构造同构式当x ∈(0,1e )时,−ex 21+ln⁡x +e x >0,矛盾;当x ∈(1e,+∞)时,−x 21+ln⁡x+e x−1<0,所以x1+ln⁡x >e x−1x=e x−11+ln⁡e x−1(构造同构式)令ेF(x)=x 1+ln⁡x,F ′(x)=1+ln⁡x−1(1+ln⁡x)2=ln⁡x (1+ln⁡x)2.当1e <x <1时,F ′(x)<0,F(x)单调递减;由于x <ex−1<1,所以F(x)>F (e x−1),即x1+ln⁡x >e x−11+ln⁡e x−1,满足题意;当x ⩾1时,F ′(x)⩾0,F(x)单调递增,而e x−1⩾x ⩾1,所以F(x)⩽F (e x−1),矛盾.综上可知,不等式f(x)+e x <0的解集为(1e,1).【例6】求证:e x −2x >x 2ln⁡x .【解析】解法1:要证e x −2x >x 2ln⁡x ,只需证e x −2x x 2−ln⁡x >0(对数靠边走)设f(x)=e x −2x x 2−ln⁡x(x >0),f ′(x)=(x−2)(e x −x )x 3,令f ′(x)=0,得x =2.当x ∈(0,2)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减;当x ∈(2,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)min=f(2)=e2−44−ln⁡2=e2−(4+4ln⁡2)4.由于e2>2.72=7.29,4+4ln⁡2=4+ln⁡16<4+ln⁡e3=7, 所以e2−(4+4ln⁡2)>0,从而不等式得证.解法2:要证e x−2x>x2ln⁡x,只需证x2ln⁡x+2xe x<1.设g(x)=x 2ln⁡x+2xe x,则g′(x)=(2−x)(xln⁡x+1)e x,又因为xln⁡x+1>0(证明略),从而当x∈(0,2)时,g(x)单调递增,x∈(2,+∞)时,g(x)单调递增.从而g(x)max=g(2)=4ln⁡2+4e2<3+4e2<1,从而原不等式得证.指对处理技巧的综合运用【例7】已知函数f(x)=e x−a(x−1)(a∈R,e为自然对数的底数).(1)若存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)<0,求实数a的取值范围;(2)若f(x)有两个零点x1,x2.证明:x1+x2>x1x2.【解析】(1)解法1;指数变对数,方便求导令ेt=e x,g(t)=t−aln⁡t+a,当x>1时,t>e.原题等价于g(t)=t−aln⁡t+a,存在t0∈(e,+∞),使得g(t0)<0,求a的取值范围.g′(t)=1−at =t−at,令g′(t)=0,得t=a.当a⩽e时,g′(t)⩾0,g(t)单调递增,所以g(t)⩾g(e)=e−a+a=e>0,不符合题意; 当a<e时,g(t)在(e,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以g(t)min=g(a)=a−aln⁡a+a=a(2−ln⁡a).因为存在t0∈(e,+∞),使得g(t0)<0,所以g(a)=a(2−ln⁡a)<0,解得a>e2.综上知a>e2.解法2:指数处理技巧e x−a(x−1)<0⇔g(x)=1−ae−x(x−1)<0,g′(x)=ae−x(x−1)−ae−x=ae−x(x−2),g′(2)=0.当a⩽0时,g(x)在(1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,g(1)=1>0,→1,当x→+∞时,g(x)=1−a x−1e xg(x)}>0,不合题意.所以g(x)⩾min{g(1),limx→+∞当a>0时,g(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,.所以g(x)⩾g(2)=1−ae2因为存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)<0,<0,解得a>e2.所以g(2)=1−ae2综上知a>e2.解法3:直接法f ′(x)=e x −a .(1)若a ⩽0,因为e x >0,则f ′(x)>0,此时f(x)在R 上单调递增.当x ∈(1,+∞)时,f(x)>f(1)=e >0,不合题意;(2)若a >0,由f ′(x)>0,得e x >a ,即x >ln⁡a ,则f(x)在(ln⁡a,+∞)上单调递增,在(−∞,ln⁡a)上单调递减,所以f(x)min =f(ln⁡a)=e ln⁡a −a(ln⁡a −1)=a(2−ln⁡a),根据题意,有a(2−ln⁡a)<0,则ln⁡a >2,即a >e 2,且此时ln⁡a >ln 2>1,所以a 的取值范围是(e 2,+∞).解法4:分离变量法当x ∈(1,+∞)时,由f(x)<0,得e x <a(x −1),即a >e x x−1.设g(x)=e x x−1(x >1),根据题意,当x ∈(1,+∞)时,a >g(x)能成立,则a >g(x)min .因为g ′(x)=(x−2)e x(x−1)2(x >1),则当x >2时,g ′(x)>0,g(x)单调递增;当1<x <2时,g ′(x)<0,g(x)单调递减.所以,g(x)min =g(2)=e 2,所以a 的取值范围是(e 2,+∞).(2)由题设,f (x 1)=f (x 2)=0,即{e x 1=a (x 1−1),e x 2=a (x 2−1),则e x1+x2=a2(x1−1)(x2−1),即e x1+x2=a2(x1x2−x1−x2+1).要证x1+x2>x1x2,只需要证e x1+x2<a2,即证x1+x2<2ln⁡a,即证x1<2ln⁡a−x2. 不妨设x1<x2,由(1)可知a>e2,且x1<ln⁡a<x2,从而2ln⁡a−x2<ln⁡a.因为f(x)在(−∞,ln⁡a)上单调递减,所以只要证f(x1)>f(2ln⁡a−x2),即证f(x2)>f(2ln⁡a−x2).设ℎ(x)=f(x)−f(2ln⁡a−x),则ℎ′(x)=f′(x)+f′(2ln⁡a−x)=e x−2a+e2ln⁡a−x=e x+a2e x −2a⩾2√e x⋅a2e x−2a=0,所以ℎ(x)在R上单调递增.因为x2>ln⁡a,则ℎ(x2)>ℎ(ln⁡a)=f(ln⁡a)−f(ln⁡a)=0,即f(x2)−f(2ln⁡a−x2)>0,即f(x2)>f(2ln⁡a−x2),所以原不等式成立.【点睛】有些问题用直接法做,反而会更简单,比如本例第(1)小问,在使用“指数处理技巧”后,刧必须要使用洛必达法则才能解决问题.从另外一个层面上来讲,若指数、对数函数同时出现的能成立问题、恒成立问题常见的处理方法主要有:1.设而不求,隐零点法;2.一凸一凹,分离函数法;3.化直为曲,切线法或放缩法;4.必要性探路,缩小范围法.典型例题1.证明:当x>0时,e x>x2.【解析】要证e x>x2,只需证:x2e x<1令f(x)=x 2e x ,f′(x)=2xe x−e x⋅x2e2x=x(2−x)e x当0<x<2时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当x>2时,f′(x)<0,f(x)单调递减所以f(x)max=f(2)=4e2<1,所以f(x)<1,即x2e x<1,所以e x>x2.2.已知函数f(x)=e x−sin⁡x−cos⁡x,g(x)=e x+sin⁡x+cos⁡x.(1)证明:当x>−5π4时,f(x)⩾0;(2)若g(x)⩾2+ax,求a.【解析】(1)f(x)⩾0⇔sin⁡x+cos⁡xe x⩽1,记ℎ(x)=sin⁡x+cos⁡xe x ,ℎ′(x)=−2sin⁡xe x.(1)当x∈(−5π4,−π)时,ℎ′(x)<0;x∈(−π,0),ℎ′(x)>0;x∈(0,π),ℎ′(x)<0.又ℎ(−5π4)=0,ℎ(0)=1,所以在(−54π,π)上,ℎ(x)⩽ℎ(0)=1;(2)当x∈[π,+∞)时,e x⩾eπ,而sin⁡x+cos⁡x⩽√2,所以e x⩾sin⁡x+cos⁡x,则有f(x)⩾0.综合(1)(2)可知当x>−5π4时,不等式f(x)⩾0成立.(2)由题可知H(x)=g(x)−(ax+2)=e x+sin⁡x+cos⁡x−ax−2⩾0恒成立,且H(0)=0,所以H(x)⩾H(0),故x=0是H(x)的最小值点,也是极小值点. 所以H′(0)=0,又H′(x)=e x+cos⁡x−sin⁡x−a,所以H′(0)=2−a=0,故a=2.下证当a=2时不等式成立.H(x)⩾0⇔sin⁡x+cos⁡x−2x−2e x+1⩾0记m(x)=sin⁡x+cos⁡x−2x−2e x +1,m′(x)=2(x−sin⁡x)e x.易得当x>0时,x−sin⁡x>0;当x<0时,x−sin⁡x<0. 所以当x<0时,m′(x)<0,m(x)单调递减;当x>0时,m′(x)>0,m(x)单调递增.所以m(x)⩾m(0)=0.故H(x)⩾0成立.。

浅谈数学中的变形技巧数学中的变形技巧是解决问题的重要方法之一、通过巧妙地变形，可以将一个问题从一个形式转化为另一个形式，从而更容易解决。

在数学中，变形技巧广泛应用于各种数学领域，包括代数、几何、概率等。

下面将对数学中的变形技巧进行浅谈。

首先，代数中的变形技巧是解决代数方程、方程组、不等式等问题的常用方法之一、在解代数方程时，可以通过变形将方程转化为更简单的形式，从而求得方程的解。

比如，对于方程x^2-6x+8=0，可以通过配方变形得到(x-2)(x-4)=0，从而得到方程的解为x=2或x=4、又如，在解方程组时，可以通过变形技巧将方程组转化为更容易求解的形式。

比如，对于方程组2x+y=5和x-3y=4，可以通过高斯消元法将方程组化简为x+y=2和-5y=-6，从而得到方程组的解为x=3，y=-1、变形技巧在解不等式时也是十分有用的。

比如，对于不等式2x+1<5x-2，可以通过变形得到3x>3，从而得到不等式的解为x>1其次，几何中的变形技巧是解决几何问题的重要方法之一、在几何中，常常需要将一个几何图形变形为另一个几何图形，以便更容易研究其性质。

比如，在证明几何定理时，可以通过将一个几何图形变形为另一个几何图形，从而将原问题转化为更容易证明的形式。

又如，在计算几何体的体积、表面积时，常常需通过变形将几何体分解为更容易计算的形状，比如将三棱柱分解为若干个三角形和矩形，从而得到几何体的体积和表面积。

此外，概率中的变形技巧也是解决概率问题的重要方法之一、在概率中，常常需要通过变形将一个复杂的概率问题转化为一个简单的概率问题，从而更容易计算。

比如，在计算事件的概率时，可以通过变形将事件分解为若干个相互独立的事件，从而计算概率。

又如，在计算复杂事件的概率时，可以通过变形将复杂事件转化为多个简单事件的并、交或差，并利用概率的性质计算概率。

在进行数学变形时，需要注意以下几点。

首先，变形的过程中要保持等价性。

高中代数变形规律总结高中代数是数学学科的重要组成部分，掌握代数变形规律对于提高学生的数学素养和解题能力具有重要意义。

本文将总结高中代数中的一些常见变形规律，以帮助学生更好地理解和应用代数知识。

一、等式的性质和变形等式是代数中最重要的概念之一，掌握等式的性质和变形规律是解决代数问题的关键。

等式的性质包括：等式的两边加上或减去同一个数，等式仍成立；等式的两边乘以或除以同一个非零数，等式仍成立。

基于这些性质，我们可以进行以下变形：1.移项：将等式的一边移到另一边，同时改变符号。

例如，从2x + 3 = 5中，我们可以得到2x = 2。

2.合并同类项：将等式中的同类项合并在一起。

例如，从2x + 3x = 5中，我们可以得到5x = 5。

3.提取公因数：从等式中提取公因数，简化表达式。

例如，从2x(x + 3) = 5中，我们可以得到2(x + 3) = 5。

二、不等式的性质和变形不等式是描述两个数之间大小关系的数学符号。

不等式的性质包括：不等式的两边加上或减去同一个数，不等式仍然成立；不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等式仍然成立；不等式的两边乘以或除以同一个负数，不等式反向。

基于这些性质，我们可以进行以下变形：1.移项：将不等式的一边移到另一边，同时改变不等号的方向。

例如，从2x > 3中，我们可以得到2x - 3 > 0。

2.合并同类项：将不等式中的同类项合并在一起。

例如，从2x > 3x + 1中，我们可以得到-x > 1。

3.提取公因数：从不等式中提取公因数，简化表达式。

例如，从2x(x + 3) >5中，我们可以得到2(x + 3) > 5。

三、指数和幂的变形指数和幂是代数中的重要概念，掌握它们的变形规律对于解决复杂问题具有重要意义。

指数的变形包括：指数的乘法法则、指数的除法法则、指数的乘方法则等。

幂的变形包括：幂的乘法法则、幂的除法法则、幂的乘方法则等。

代数式的变形的技巧一、展开和简化1. 乘法公式展开：例如，(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2，(a+b)(a-b)=a^2-b^22.平方差公式展开：例如，a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

3. 三角函数的展开：例如，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb。

二、合并同类项当代数式中含有相同的字母和指数时，可以将它们合并成一个项，从而简化代数式。

例如，2a+3a=5a，4x^2-2x^2=2x^2三、因式分解1.提取公因式：将代数式中的公因式提取出来，并将其余部分合并。

例如，2ax+4ay=2a(x+2y)，3x^2+6x=3x(x+2)。

2.二次因式分解：将一个二次多项式分解成两个一次多项式的乘积。

例如，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)，x^2-6x+8=(x-2)(x-4)。

3.因式分解的特殊情况：a)平方差公式：a^2-b^2=(a-b)(a+b)。

b) 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2，a^2-2ab+b^2=(a-b)^2四、配方法针对一些复杂的多项式，可以通过配方法将其变形为一个简化的形式，以便更好地进行计算和分析。

例如，(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，可以使用配方法将其变形为(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2五、分式的变形对于分式的变形，可以进行以下操作：1.分子分母同乘或同除：a)将分式的分子和分母同乘或同除以同一个数，可以使分子和分母变得更简单。

b)有理化分母：将分式的分母中含有根号的部分进行有理化，以便更好地计算。

2.分式的加减乘除：a)分式的加减：先通分，再将分子进行加减运算。

b)分式的乘法：将分子分母分别相乘。

c)分式的除法：将除法转化为乘法，即将一个分式的分子乘以另一个分式的倒数。

六、指数与对数的变形1.指数的变形：a)乘以相同底数的幂，底数相同则指数相加：a^m*a^n=a^(m+n)。

【代数十讲】代数变形例讲陶平生内容与方法：代数变形是处理数学问题的重要手段与基本能力，是数学功底的体现，常用的方法有：结构变形法；代换法；迭代法；配方、拆拼配凑法；部分分式；齐次化；利用对称性；利用非负项；1、设m n22222m mn n m mn n ++++且22222m mn n m mn n++++与m n 异号． 证：0(1)、若m n <2222222221111m mn n n m mn n m mn n m m n n ++=+=+++++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111>+3111=+=- … ①；同样，在m n >22222m mn n m mn n ++<++ … ②．因此22222m mn n m mn n++-++与m n 0(2)、如果m n <22222m m mn n n m mn n ++<<++，m a n =，22222m mn n b m mn n++=++，则0,0a b >>，且223222222()m m mn n m a b n m mn n n m mn n ⎛⎫⎛⎫++-=+=+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭2121n n n m m m ⎛⎫⎪⎪=+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121⎛⎫ ⎪ ⎪>+ ⎪⎛⎫ ⎪++⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭20⎛=== ⎝；即0a b >>，这表明，22222m mn n m mn n++++比mn对于m n> 2、设3333,m n p q m n p q a a a a a a a a +=++=+，(0,1)a a ≠≠；证明：mn pq =． 证：据第一式立方得，()()333333mn m n m n p q p q p q a a a a a a a a a a +++++=+++；所以有m np q aa ++=，故得m n p q +=+．从而m n p q a a a a ⋅=⋅，若记mnpqa a a ab +=+=，mnpqa a a a c ⋅=⋅=，则,m n a a 是方程20x bx c -+=的两根，,p q a a 也是此方程的两根，因此，或者m p a a =，n q a a =，由此,m p n q ==；或者m q a a =，n pa a =，由此,m q n p ==；总之都有mn pq =．3、设0x y z ++=，证明：(1)、222333555235x y z x y z x y z ++++++⋅=；(2)、222555777257x y z x y z x y z ++++++⋅=．(1)、证一：对于满足0x y z ++= … ①的任一组实数,,x y z ，若2220x y z ++=，则0x y z ===，结论显然成立；若2220x y z ++≠，设22222x y z a ++=，(0)a ≠，令111,,x ax y ay z az ===，则1110x y z ++= … ②，2221112x y z ++= … ③代入所证式，化为证 33355511111135x y z x y z ++++= … ④据②③得，2211111y z y z ++=，于是④左边33311111111()()3y z y z y z y z -+++==-+； ④右边5553322111111111111()()2()5y z y z y z y z y z y z -+++==-+-+ 22111111111111()()()y z y z y z y z y z y z =-+++=-+；因此④成立，结论得证．证二：对于满足0x y z ++= … ①的任一组实数,,x y z ，若3330x y z ++=，则因3332223()()0x y z xyz x y z x y z xy yz zx ++-=++++---=，于是30xyz =，即此时,,x y z 中必有一个为0，不妨设0x =，由①，y z =-，于是5550x y z ++=，结论成立；若3330x y z ++≠，设33333x y z a ++=，(0)a ≠，令111,,x ax y ay z az ===，则1110x y z ++= … ②，2221113x y z ++= … ③，由此得1111()1y z y z +=- … ④所证式化为 22255511111125x y z x y z ++++= … ⑤⑤式右边5555553322111111111111111()()2()55x y z y z y z y z y z y z y z ++-+++==-+-+ 2222222222111*********1111111()()()2222y z y z y z x y z y z y z y z y z y z +++=-+++=++=+=+2221112x y z ++=．因此⑤成立，结论得证．(2)、证明：对于满足0x y z ++= … ①的任一组实数,,x y z ，若2220x y z ++=，则0x y z ===，结论显然成立；若2220x y z ++≠，设22222x y z a ++=，(0)a ≠，令111,,x ax y ay z az ===，则1110x y z ++= … ②，2221112x y z ++= … ③代入所证式，化为证 55577711111157x y z x y z ++++= … ④据②③得，2211111x y x y ++=，于是④右边7771117x y z ++777552233331111111111111111()()3()5()7x y x y x y x y x y x y x y x y +-+==-+-+-+432234222211111111111111111111()()3()5x y x y x x y x y x y y x y x x y y x y ⎡⎤=-+-+-++-++⎣⎦ 432234111111111111()232x y x y x x y x y x y y ⎡⎤=-+++++⎣⎦222111*********()()()x y x y x x y y x y x y =-+++=-+；而④左边5553322221111111111111111111()2()()()5x y z x y x y x y x y x y x y x y x y ++=-+-+=-+++ 1111()x y x y =-+，即 ④成立，从而结论得证．4、设,,a b c 为实数，0a >，且0543a b c++=，证明：方程20ax bx c ++=有一根介于0和1之间．证：由条件得，435b c a+=-，记2()f x ax bx c =++，当34x =，有23333331533104441643165516a b c a a a f a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 如果0c ≥，则(0)0f c =≥，这时二次函数()f x 在30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭中与X 轴有一交点； 如果0c <，则()4054353a b c a ca b c a b c ⎛⎫++=++-++=->⎪⎝⎭ ，即(1)0f > 这时二次函数在3,14⎛⎫⎪⎝⎭中与X 轴有一交点，因此不论何种情况，20ax bx c ++=都有一根介于0和1之间．5、设22,31kk k a k N =∈+，令019A a a a =+++ ，019B a a a = ，求A B． （2009年全国初中联赛江西卷） 解：对任何1m >，因2112111m m m -=-+-，则2112111m m m =-+-- ， 两边通乘2k，并取23km =，得到11222222313131kkk k kk ++=-+-- … ①在①式中分别令0,1,,9k = ，然后相加得1010212231A =-- … ②又记019452222C =⋅⋅⋅= ，()()()()0129222231313131D =++++()()()()()12922222131313131312=-⋅++++()()()()112922221313131312=-⋅+++ ()1021312==- ，所以，102461312D B C -== … ③据②③得，101010102246473621231311222231A B ⎛⎫⎛⎫--=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 6、设正整数,,,,,a b c x y z 满足：,,ax b c by c a cz a b =+=+=+；求乘积xyz 所有可能的值．解：如果三数,,a b c 全相等，则有2x y z ===，这时8xyz =；如果,,a b c 不全相等，不妨设C 为最大数，则因2a b c +<，据a bz c+==正整数，所以1z =，c a b =+，于是221b c a b b x a a a ++===+，221a c a b ay b b b ++===+； 由于,,,a b x y 皆为正整数，则22,b a a b 也为正整数，设22,b a m n a b==（不妨设m n ≤）， 则因4mn =，得2m n ==或者1,4m n ==；由此，(,,)(3,3,1)x y z =或(2,5,1)，于是9xyz =，或10xyz =，即乘积xyz 可能取到的值有8,9,10三种情况；另一方面，这三种情况都可以出现：例如，当(,,)(1,1,1)a b c =时，(,,)(2,2,2),8x y z xyz ==； 当(,,)(1,1,2)a b c =时，(,,)(3,3,1),9x y z xyz ==； 当(,,)(1,2,3)a b c =时，(,,)(2,5,1),10x y z xyz ==．7、设实数,,a b c 满足：1111a b c a b c++=++， 证明：2013201320132013201320131111a b c a b c ++=++． 证一：据条件知,,a b c 皆不为0，且不全相等；不妨设a b ≠，直接将条件式1111a b c a b c++=++看作关于a 的方程，通乘分母后，就成为关于a 的一元二次方程， 显然该方程有一根a b =-；于是所证式成立；证二、将条件式左边通分，得到1ab bc ca abc a b c++=++，因此()()0a b c ab bc ca abc ++++-=；分解因式即()()()0a b b c c a +++=，故三式,,a b b c c a =-=-=-中必有一个成立；据此立知所证结论成立．8、设,,,,,a b c x y z 皆不为0，满足：0,1a b c x y zx y z a b c++=++=；证明：2222221x y z a b c++=．证：2222222221()x y z x y z xy yz zx ayz bzx cxy a b c a b c ab bc ca abc ⎛⎫⎛⎫++=++-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111xyz ayz bzx cxy xyz a b c abc xyz xyz xyz abc x y z ⎛⎫⎛⎫=-++=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9、设0a b c ++=，证明：对任意n N ∈，都成立等式：()()()33322211112n n n n n n n n n a b c abc a b c a b c a b c ++++++++=+++++++．证：作以 ,,a b c 为根的三次方程()()()0x a x b x c ---=，展开化简得30x px q ++= … ①，其中,p ab bc ca q abc =++=- … ②；将①两边同乘nx ，得 310n n n x px qx ++++= … ③，显然,,a b c 也是③的根； 据此有310n n n a pa qa ++++=，310n n n b pb qb ++++=，310n n n c pc qc ++++=； 相加得333111()()()0n n n n n n n n n a b c p a b c q a b c ++++++++++++++= … ④， 但由②，222222211()()()22p ab bc ca a b c a b c a b c ⎡⎤=++=++-++=-++⎣⎦， q abc =-，所以④成为()()()33322211112n n n n n n n n n a b c abc a b c a b c a b c ++++++++=+++++++． 10、已知()()()x y zm nb kc ma n kc ma nb k ma nb kc ==+-+-+-；证明：()()()m n kx by cz ax y cz ax by z ax by cz ==+-+-+-．证：由条件得，x y z m n k nb kc ma kc ma nb ma nb kc==+-+-+-，据比例性质得， 222y z z x x y n k k m m n ma nb kc+++==，约去2，并通乘mnk 得， ky nz mz kx nx my a b c +++==，所以，kxy nzx myz kxy nzx myzax by cz+++==，再次用比例性质得，222myz nzx kxyby cz ax cz ax by ax by cz==+-+-+- ，约去2，并同除xyz 得， ()()()m n kx by cz ax y cz ax by z ax by cz ==+-+-+-． 11、若实数,,x y z ，满足222222()()()(2)(2)(2)x y y z z x y z x z x y x y z -+-+-=+-++-++-；证明：x y z ==．证：22(2)()4()()y z x y z z x x y +---=---；同理有22(2)()4()()z x y z x x y y z +---=---，22(2)()4()()x y z x y y z z x +---=---，故由条件等式得 ()()()()()()0x y y z y z z x z x x y --+--+--= 又知 ()()()0x y y z z x -+-+-=，所以[]22220()()()()()()x y y z z x x y y z z x =-+-+-=-+-+-[]2()()()()()()x y y z y z z x z x x y +--+--+--222()()()x y y z z x =-+-+-因此x y z ==．12、设(),(),(),()P x Q x R x S x 都是x 的多项式，且55255432()()()(1)()P x xQ x x R x x x x x x S x ++=+++++⋅；求证：1x -是()P x 的一个因式．证：510x -=的五个根是：22cossin ,(0,1,2,3,4)55k k k i k ππε=+=，而 54321(1)(1)x x x x x x -=-++++，所以，1234,,,εεεε是43210x x x x ++++=的四个虚根；将其中任三个虚根例如123,,εεε代入条件式，得到211222233(1)(1)(1)0(1)(1)(1)0(1)(1)(1)0P Q R P Q R P Q R εεεεεε⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩系数行列式21122212233123311()()()01εεεεεεεεεεεε∆==---≠，故方程组只有零解，即(1)0P =，所以1x -是()P x 的一个因式．13、证明：从集合{}1,2,,100M = 中任取55个数构成的子集中，一定含有差为10,12,13的数对，但不一定含有差为11的数对．证：0(1)、先证明，从M 中任取55个数，必有两数之差为10； 为此，将M 的元素排成10行10列的表（表1）：12101112209192100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （表1），1234512131415161724252627282936858687888996979899100⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（表2） 从表中的10个列中取出55个数，必有一列取出了至少6个数， 其中必有两数在列中相邻，其差恰为10；0(2)、次证，从M 中任取55个数，必有两数之差为12；为此，将M 的元素排成表二： 共得12列，每列相邻两数之差为12，（前四列中每列有9个数，后八列中每列8个数；）从12列中取55个数，必有一列至少取出了五个数；()a 、如果有一列取出了六个数，因每列至多9个数，该列中必有两数相邻，其差为12； ()b 、如果任一列所取的数至多5个，则至少有7列各取了五个数，即是说，后8列中有一列取到五个数，其中必有两数相邻，其差为12；0(3)、为证取出的55个数中有两个之差为13，我们给出表格：表中有13列，每列至多8个数，从中取出55个数，必有一列中至少取出了五个数，其中必有两数相邻，其差恰为13．1291011121314152223242526798087888990919293100⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭（表3）， 1211121322899099100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（表4） 0(4)、今证明，不一定有两数之差为11；列表如表4，构造取法，将第1,3,5,7,9行的数全部取出，共得55 个数，其中任两数之差不等于11．14、数列{}n x 满足：2111,3n n n x x x x +==+，记122013111111S x x x =++++++ ；求[]S 的值．解：据条件，11()n n n x x x ++=，所以11111(1)1n n n n n x x x x x +==-++，11111n n n x x x +=-+；因此有1220131201420141111113111S x x x x x x =+++=-=-+++ ； 再从21n n n x x x +-=以及1103x =>可知，数列123,,,x x x 各项皆为正数，且严格单调递增， 而12341114445252526916,1,1,113339998181816561x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==+==+=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；于是当 4n ≥，就有101nx <<，所以23S <<，即[]2S =． 15、求满足以下关系的全部实系数多项式()P x ，使得3232(332)(1)(332)()x x x P x x x x P x +++⋅-=-+-⋅．（越南2003） 解：将条件式改写为22(2)(1)(1)(2)(1)()x x x P x x x x P x +++-=--+ … ① 以2,1,1,2x =--分别代入①中，得到(2)0,(1)0,(0)0,(1)0P P P P -=-===； 所以可令()(1)(1)(2)()P x x x x x Q x =-++ … ②，其中()Q x 为x 的实系数多项式， 由此，(1)(2)(1)(1)(1)P x x x x x Q x -=--+- … ③ 将②③代入①中，就有2(2)(1)(1)(2)(1)(1)x x x x x x x Q x --++⋅++- 2(2)(1)(1)(2)(1)()x x x x x x x Q x =--++⋅-+，由于两边都是x 的多项式，且对一切实数x ，等式皆成立，所以22(1)(1)(1)()x x Q x x x Q x ++-=-+ … ④，由于22(1,1)1x x x x ++-+=，则有2()(1)()Q x x x R x =++⋅ … ⑤，其中()R x 为x 的实系数多项式；在此式中易x 为1x -，又得2(1)(1)(1)Q x x x R x -=-+⋅- … ⑥将⑤⑥代人④得，2222(1)(1)(1)(1)(1)()x x x x R x x x x x R x -+++-=-+++因22(1)(1)0x x x x -+++≠，所以(1)()R x R x -=，这表明，()R x 为常数，记()R x c =， 利用②⑤式得，2()(1)(1)(2)(1)P x cx x x x x x =-++++，其中c 为任意常数．直接验证表明，这种多项式满足给定的条件，从而就是所求的多项式．16、设,,,,,a b c x y z 为实数，满足：=证明：或者x y z ==，或者a b c ==，其中必有一个成立．（全俄第23届-1996） 讲解：设想有两个同心圆盘，内盘分别填有,,a b c ，及,,x y z ，让内盘固定，外盘反反时针每次转过一格，对齐后分别将同一条半径上的数相加，便是条件中的三式．要证的目标是x y z ==，或a b c ==．二者是对称的， 我们不妨考虑以证明x y z ==为主体；但如果想直接通过平方的方式来证，则将是十分复杂的； 于是考虑先作些设定与简化；易知，为证x y z ==，如能证得，对于某个实数t ， 有x t y t z t +=+=+，则结论立得；同时，还可进一步假定x y z ≤≤，否则可将,,x y z 中最小的一个改记为1x ，最大的一个改记为1z ，剩下一数记为1y ，条件式左边式子中与111,,x y z 在同一根号中的,,a b c 对应地改为111,,a b c ；这样变更后所得到的条件与结论形式，皆与原问题等价；因此不妨就设，条件式中有x y z ≤≤；（一）、若,,a b c 三数中，以a 为最小，此时再令111111,,,0,,x a x y a y z a z a a a b a b c a c +=+=+=-==-=-=，则11,0b c ≥；则条件==为叙述方便，仍旧记为==，,0b c ≥… ①=+=+，即=；也即b c ⎛⎫⎛⎫= … ②； 由于,0b c ≥，x y z ≤≤ ，可得0(1)、若,b c 中有一个为0，例如0b =，则②的右端或有0c =，或有=，前者有0a b c ===，后者有y z =，再由①得x z =， 因此x y z ==；0(2)、若,0b c >，x y z ≤≤，则②式中，左边0≤，而右边0≥，于是两边皆为0，即有=0=， 因此得，x y z ==；若,,a b c 三数中，以b 为最小，此时再令111111,,,0,,x b x y b y z b z b b b a b a c b c +=+=+=-==-=-=，则11,0a c ≥；条件式==， 为叙述方便，仍旧记为==，0,,0b a c =≥；=+=+，即=，也即 a c⎛⎫= … ③； 仿照②中的讨论，可知此时亦有0a b c ===或者x y z ==成立；若,,a b c 三数中，以c 为最小，类同于上述讨论；因此结论成立．17、对于1,2,,2000 的任一排列()122000,,,T a a a = ，作和式：200012122000T a a a S =+++ ； 证明：当T 取遍所有这种排列时，{}T S 中至少含有300个连续的自然数．证：记{}1,2,,2000M = ，首先，对于排列()01,2,,2000T = ，01220002000122000T S =+++= ， 下面采用调整法，对于任一对正整数,m n ，若将22422m m n n m m n n ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，适当交换分母后，22522m m n n m m n n ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也就是说，对于和式中这样的四个项，经调整后可使和式的值增加1，现在我们适当安排这样的四数组：不大于1000的奇数有500个，为1,3,5,,999 ，对于其中每个奇数k ，数2k M ∈， 可将这些奇数配成250个奇数对(,)m n ，由此作成M 中互不相交的250个四数组(,2;,2)m m n n ；不大于200的奇数有100个，为1,3,5,,199 ，对于其中每个奇数k ，4,8k k M ∈， 令4a k =，则,2a a M ∈，这100个a 可配成50个对子，由此作成M 中50个不相交的四数组(,2;,2)a a b b ；将全部300个四数组合到一起，显然它们也互不相交；现在，我们以0T S 为基础，每次取出一个四数组，对和式进行调整；每调整一次，消耗一个四数组，而和式的值增加1，这样的操作可以进行300次，使得和式的值取遍由2000到 2301中的所有整数值，因此结论得证．18、求最大的整数A ，使得对于从1到100的全部正整数的任一排列，其中都有连续10个位置上的数，其和大于或等于A ．解：设12100(,,,)a a a σ= 是这样的一个排列，令101901max n k n k A a σ+≤≤==∑ … ①于是，排列σ中有某10个连续项之和等于A σ，而其余任何连续10个项之和都不大于A σ；因此，本题归结为求数min A A σσ= … ② 特别地，由数A σ的定义知，12101112209192100A a a a A a a a A a a a σσσ≥+++≥+++≥+++相加得，1210010121005050A a a a σ≥+++=+++= ，所以对任何排列，505A σ≥，由此，据A 的定义式②得，505A ≥ … ③为了说明505就是所求的A 值，考察前一百个正整数的如下排列：()12100(,,,)100,1,99,2,98,3,97,4,,51,50a a a τ== ，这个排列可以用以下关系式给出：212100,(049),,(150)n n a n n a n n +=-≤≤=≤≤， 我们来证明，它的任何连续10项之和不大于505；事实上，如果连续10项中的首项标号是偶数2k ，则 22129k k k S a a a ++=+++= ()()22228212329k k k k k k a a a a a a +++++=+++++++[][](1)(4)(100)(1001)(1004)500k k k k k k =++++++-+--++--= ； 如果连续10项中的首项标号是奇数21k +，则 2122210k k k S a a a +++'=+++= 2102(5)505k k S a a S k k +=+-=++-=，这说明，排列τ的任何连续10项之和不大于505，且可以等于505，因此505A τ=，从而由关系式②得505A ≤ … ④，由③④得505A =．（注，本题可推广到一般情形：求最大的整数A ，使得对于从1到2n 的全部正整数的任一排列，其中都有连续2k 个位置上的数，其和大于或等于A ．这里，k 是n 的因子； 仿照上述方法，可得(21)A k n =+；）。

A 、1B 、2C 、3D 、4代数式变形与技巧（一）徳阳二中邓正健如果两个代数式对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，那么 这两个代数式恒等。

把一个代数式换成和它恒等的代数式，称为代数式的恒等变 形（或恒等变换）。

整式、分式、根式的运算及因式分解等都是恒等变形。

代数式 的恒等变形广泛应用于计算.化简.求值、证明、解方程之中，是数学中非常重 要的变形（运算）的方式。

能否将代数式进行适当、巧妙的变形，使问题获解，也是衡量学生数学能力 的标志之一。

因此，掌握恒等变形无论是对参加数学竞赛，还是进一步学好数学, 提高运算能力，都必将起到积极的促进作用。

代数式的变形方法灵活多变，技巧性强，即要求学生牢固掌握代数式运算的基本 法则，又要注意学习代数式恒等变形的方法和技巧。

下面将通过具体实例介绍一些代数式常用的变形方法和技巧。

一、利用因式分解进行代数式的变形因式分解本身就是恒等变形的一种形式。

常用的方法除提取公因式法、运用 公式法、分组分解法、十字相乘法之外，还有添（拆）项法、配方法、换元法、待 定系数法等。

山于后面还要专门探索代换法、配方法、待定系数法在代数式的变 形中的使用，所以这里不再展开。

例 1、计算:1991X 19921992-1992X 19911991 解：1991X 19921992-1992 X 19911991 =1991X1992X10001-1992X1991X10001分析：此题主要考察因式分解与约分的内容，已知条件首先要化成与所求式 相关的X 2 + 4 = 11的形式，然后将所求式的分子与分母同时变形，直到化成只含 X 2+4=H 时为止，再把X 2+-L=H 代入即可。

解：Vx-- = 3, •"+丄=11x H (x 2+ l) + (x 2+l) _ (x 2+l)(x 8 + l) x 6(x 4 +1) + (x 4 +1) _ (x 4 + l)(x 6 + 1)x(x + —)^x 4(x 4 + —) (2 +r 广 一2x x — __________ 疋 “LX H—V + —)X —)X + r -1)对对对例3、满足等式：还+曲-丁2003兀- j2OO3y + 丁2003貯=2003的正整数对（如刃 的个数是（ ）o分析：等式左边虽然很复杂，但通过观察分析知，它是仮、"的代数式， 因而可例2、当兀一丄=3时,x X 104-X 8+X 2+l x ,0 + x 6+x 4 + l严+/+宀 1 严+.{+F+l代入得,原式=「7 =丄11x(11-1) 110考虑用因式分解方法来解。

代数变形常用技巧及其应用代数变形常用技巧及其应用摘要代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法The common skills and application of the algebradistortionAbstractThe algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve.This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on.Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method一、绪论所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决．一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意．在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果．实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键．二、换元法及其应用（一）换元法的定义换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题． （二）换元法的应用1．应用于三角中例[]11 求证x x x xx 2cos 42sin 1tan 22cos 42sin 3+=--． 证明 令 t x =tan ，则左边＝()()()2222221421214641211416tt t t t t t t t t t ++=-+-+=-+--+， 右边＝2221421412tt t t t ++=+++＝左边， 所以原恒等式成立2．应用于分式不等式中例[]22 试证对满足10x >，20x >，21110x y z ->，22220x y z ->的所有实数1x ，2x ，1y ，2y ，1z ，2z ，有不等式：()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，并求出等号成立的充要条件．证明 设02111>-=z y x a ，02222>-=z y x b ，则2111z a y x +=，2222z b y x +=， 所以()()()2122212212211122121212z z z z y x y x y x y x z z y y x x ---+++=+-++()22221112221122b a z x x z x x x b x x a x ab b a +≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=，因此()()()()22222111222121211111288z y x z y x b a abba z z y y x x -+-=+≤≤+≤+-++即()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++，且当且仅当212121,,z z y y x x ===等号成立．3．在方程组中的应用例[]33 已知方程组(1)， 求1000x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=11112004200321200443212004321200421x x x x x x x x x x x x x x x x(1) 解 由第一个方程可知()2004,,2,10 =≠i x i ，设()2003,,2,121 ==i x x x p i i 用i p 去乘第1+i 个方程，两边得()2003.,2,112 ==-i p p i i ， 所以有251+-=i p ， 又因为99910001000p p x =所以5151515111000-++-=或或x ．三、直接法及其应用利用数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，这是代数变形的最基本，最基础的方法．熟练掌握这些基本知识是进行代数变形的基础和依据，是必要的前提和准备．（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 例[]44 (1) 已知c yz zb x z y a z y x =+=+=+,,，且0≠++z y x ， 求cc b b a a +++++111的值． (2) 已知a b a b a b b a 156523-=-=，求222232654b ab a b ab a +-+-的值． 解 (1) 由已知 zy zy x z y x a +++=++=+11， 所以zy x xa a ++=+1， 同理可得到zy x z c c z y x y b b ++=+++=+1,1， 1111=++++=++++++++=+++++zy x z y x z y x z z y x y z y x x c c b b a a 所以．(2) 由已知条件知0,0≠≠b a ，把已知条件中的等式变形并利用等比性质消去b ，得：()()1313175307515615251567530157525==+-+-++=-=-=aaa b a b b a b a a b a b a b b a ， 因此b a 3=，所以()()29627332363534222222==+⋅⨯-+⋅⨯-=bb b b b b b b b b 原式． （二）在不等式中的应用例5 设()n i a i ,2,110=<<，且a a a a n =+++ 21 求证：an naa a a a a a n n -≥-++-+-1112211 ()不等式Shopiro ． 证明 因为()n i a a a ii i ,2,11111=--=-， 所以，原不等式变形为an nan a a a a a a a a a n n n -≥--+-+-=-+-+-111111********* ， 即an n a a a n -≥-+-+-221111111 ， 由算术平均≥调和平均，可得下式成立：()()()an n a a a n a a a n n -=-+-+-≥-+-+-221221111111111 ． 所以所求的原不等式成立． （三）在求极限中的应用例[]56 求数列极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭．解 先求函数极限211lim 1x x x x →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭()1∞型，对数后的极限为：211lim ln 1x x x x →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭()22ln 1ln lim1x x x x x→∞++-=222lim 11x x x x x →∞+==++， 所以由归结原则可得：211lim 1n n n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭211lim 1xx x x →∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭e =． （四）在求导中的应用例7 设 ()()()()1231525424x x y x x +-=++()4x >，求y '．解 先对函数式取对数得y ln ()()()()112ln 5ln 45ln 2ln 432x x x x =++--+-+，再对上式两边分别求导数，得()()()()2151534224y y x x x x '=+--+-++， 整理后得到()()()()()()()()12315254215153422424x x y x x x x x x ⎛⎫+-'=+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭++．四、数学公式法及其应用公式变形不仅仅是公式的基本形态的功能拓宽，而且在变形过程中，可以充分体现数学思想和观点，数学公式的转化和简化功能，更能深层次地理解公式的本质，有利于培养思维能力，创新意识．运用数学公式解决数学问题时，首先要对所学过的公式进行熟练掌握，这是基本的，首要的知识点，在此基础上才能灵活变形使用．（一）完全平方公式的变形及应用由完全平方公式 ()2222b ab a b a +±=±，我们可以进行恒等变形为：(1)()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+；(2)()()[]22222241⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--+=b a b a b a b a ab ；(3)()()()22222b a b a b a +=-++．上述几个恒等式十分重要，在解数学题时，若能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明．例[]68 化简()().1263163222+-++-++解 原式()()[]()()[]2212631263--++-++=2824+=．（二）三角公式变形及其应用在三角恒等变形中，熟悉公式的变化形式，既要学会顺用，又要学会逆用，还要会变用．例9 求证：()()()()()()x z z y y x x z z y y x -⋅-⋅-=-+-++tan tan tan tan tan tan ． 证明 左边()()()()[]x z z y x z z y y x ----+-+-=tan tan 1tan tan()()()()[]x z z y y x y x ------=tan tan 1tan tan ()()()x z z y y x -⋅-⋅-=tan tan tan 右边=（三）行列式变形及其应用学习行列式的时候，我们学习了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式计算或证明行列式时，应根据反德蒙德行列式的特点，将所给的行列式化为范德蒙德行列式，然后根据范德蒙德行列式计算出结果．例[]710 计算1n +阶行列式()()()()1111111111nnn n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解 此式不是范德蒙德行列式．将第1n +行，第n 行，，第2行分别向上和相邻行交换n 次，1n -次，，1次，共交换了()12n n +次，得 ()()()()()()nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D -------=---++1111111111211由1n +阶范德蒙德行列式的计算公式得()()()()[]∏≥>≥++++--+--=11211111j i n n n n j a i a D ()j i i i n -=∏≥≥≥+11．五、分解组合思想及其应用将分解和组合的思想用于代数变形，其方法灵活多变，而且技巧性强，具体有“凑、配、添、拆”等实际做法． （一）配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式．通过配方法解决数学问题的方法叫配方法．其中用的最多的是配成完全平方式．1． 应用于解方程和因式分解中一般在解析式的变化过程中，使用公式()2222a ab b a b ±+=±，可使其呈现某一式的完全平方．但在解答问题时，给定的多项式往往不是完全平方式，需要适当配项，使之成为完全平方式，于此同时方可发现隐含条件．例11 设111x y x y -=+，求y xx y+的值．解 因为111x y x y -=+，所以 1y xx y+=， 又因为5422=⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y xx y y x x y y x x y ， 所以5±=+yxx y ． 2．应用于二次型中例[]812 用配方法将下列二次型化为标准型()31212221321222,,x x x x x x x x x f -++=．解 二次型可化为31212221222x x x x x x f -++=()()2322223212x x x x x x --+-+=，令 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-+=323223211x x y x y x x x y ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=32322211yy x y x y y x ，则有f 的标准型为2322212y y y f -+=． 3．用配方法证明柯西不等式例[]913 (柯西不等式)设i a ，i b ，()1,2,,i n =，那么()()2222112212n n n a b a b a b a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()22212n b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，当且仅当11b a λ=，12b a λ=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，n n b a λ=时不等式取等号．证明 当22212n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=0，即2120n a a a ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅==时，不等式成立； 当22212n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≠0时，作二次函数()()()()2222222121122122n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()()()()()2222222211111120n n n n n n f x a x a b x b a x a b x b a x b a x b =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥当且仅当011=+==+n n b x a b x a 即11,n n b xa b xa =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-时等号成立， 因为20ax bx c ++≥()0a >的充要条件是240b ac ∆=-≤， 所以()211222n n a b a b a b ∆=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()222124n a a a -++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()22212n b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0≤，化简整理得()()()222222211221212n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，在前面等式中令x -=λ，当且仅当11a b λ=，22a b λ=，n n a b λ=, 时不等式取等号．（二）拆项法将某一式拆为另外两式之和或差的形式，从而化繁为简，化难为易． 1．应用于数列求和 例14 计算()11111223341n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+． 解 由()11111n n n n =-++，原式=11111223⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111n n ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭1111n n n =-=++． 2．应用于计算行列式例15 计算n 阶行列式123123123123n n n nx a a a a a x a a a a a x a a a a a x a ++++解 按最后一列拆项得n D 123123123123000x a a a a x a a a a x a a a a x++=+123123123123n n n nx a a a a a x a a a a a x a a a a a a ++++ 等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个行列式最后一列提出n a 后，第i 列减去最后一列的i a 倍()1,21i n =-，即得10010010010001n n n x x D xD a x-=+11n n n xD a x --=+ ()2121n n n n nx xD a xa x----=++11nn n i i x xa -===+∑．（三）加“0”乘“1”法1．加“0”例[]1016 在等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，110a b =>，220a b =>，求证：当 3n ≥时，n n a b <．证明 1211n n b b b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭1211n a a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭121111n a a a a a -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭121111n a a a a -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=--- 21122111211011a a a c a a a c c a n n n >1a ()21111a a n a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦=n a ．2．乘“1”例17 设,,a b c R +∈． 证明1⋅+=b a c 12++≥cb a =2ca b c ++， 同理≥2a a b c ++≥2ba b c++， 所以有≥()2a b c a b c ++++=2， 又上述三个不等式中“=”不能同时成立故． 3．应用于计算行列式 例18 计算n 阶行列式211122222111111111nnnn nnx x x x x x D x x x ++++++=+++解 将行列式加边升阶为2111222221000111111111111n nn n nnx x x D x x x x x x +++=++++++n nnnnnx x x x x x x x x2222212111111111---=nnn nnn x x x x x x x x x222221211111002=n nnn nnx x x x x x x x x2222212111111111----+()112nij i i i j nx x x =≤<≤=-∏∏()()()()()()11111112222211000111111111111n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ----------+---()()()()1111211nniji j ji i i j nj i j nx xx x xx =≤<≤=≤<≤=-+---∏∏∏∏()()11121n n j i i j i j n i j x x x x ≤<≤==⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∏∏∏．六、待定系数法及其应用（一）待定系数法在解数学问题中，若先判断所求结果具有某种特定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种接替方法称为待定系数法． （二）应用1．在有理分式分解中的应用例19 对4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-作部分分式分解．解 令()4325432249105248x x x x Q x x x x x x -++-=+--+-， 分母54325248x x x x x +--+-可写为几个因式乘积的形式 即：()R x =54325248x x x x x +--+-()()()22221x x x x =-+-+，则部分分式分解的待定形式为：()()()()()012222212A A A Bx CQ x x x x x x +=+++-+-++， 用()R x 乘以上式两边，得一恒等式43224910x x x x -++-()()22021A x x x ≡+-+()()()()()221222121A x x x x A x x x +-+-++--+()()()222Bx C x x ++-+，然后是等式两边同幂项系数相等，得到现行方程组： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++108244948344243312322102121021010C A A A C B A A C B A A A C B A A A B A A 求出它的解：01A =，12A =，21A =-，1B =-，C=1，并代入()1式所以原式的部分分式分解为4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-()()()()2212112212x x x x x x -=+---+-++．2．在求取值范围中的应用例[]1120 已知821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，求证：472576≤-+≤-z y x ．证明 令 ()()()z y x z y x C z y x B z y x A 25722-+=-+++-+-+， 比较两边的对应系数，得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=++25272C B A C B A C B A ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒321C B A由于821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，所以有472576≤-+≤-z y x ．3．在数列求和中的应用 例[]1221 求()()211543143213211++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=n n n S n ． 解 设()()21211++++=++n Cn B n A n n n ，比较两边对应项的系数，可得21,1,21=-==C B A ， 故()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++2112121211n n n n n n ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2112141322131221121n n n S n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=214131123222121121n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+++-=21112121n n ．4．在极限中的应用例[]1322 若()843lim =+∞→n n n b a ，()16lim =-∞→n n n b a ，求()n n n b a +∞→3lim ．解 设()()()()n n n n n n n n b B A a B A b a B b a A b a -++=-++=+4636433， 比较系数得⎩⎨⎧=-=+14363B A B A 解得31,31==B A ， 所以 ()()()331386lim 3143lim 313lim =+=-++=+∞→∞→∞→n n n n n n n n n b a b a b a ．代数变形的常用技巧还很多，如整体化思想，分离变量等．结束语本文主要浅谈了代数变形的一些方法和技巧以及其在分式、不等式、极限、求导、三角、方程等方面的应用，为解决相关数学问题指引了方向，点明了思路，这些方法和技巧各自具有优点和局限性，它们之间也无绝对界限，一道题有时可施加多种变形．我们在应用代数变形的方法去解决数学问题时，不一定非要严格遵循某一个统一的模式，需要依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，从中进行一番思考与选择，寻求有利于问题解决得最佳变换途径和方法．致谢本论文是在我的导师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．从课题的选择到项目的最终完成，导师都始终给予我细心的指导和不懈的支持．长期以来，在此谨向导师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．而且，我还要感谢潍坊继续教育学院数学与信息科学系的各位老师，是他们的传道、授业、解惑和辛勤工作让我们学到专业知识和如何求知治学．感谢学校提供了良好的学习环境．最后，我还要感谢我的家人，谢谢他们一直以来对我的关心和支持，同时，也向所有帮助我，关心我的朋友和同学表示最诚挚的感谢，谢谢他们的支持和帮助．参考文献[1]张钟宜．略谈三角恒等变形的技巧和方法[J]．数理化学习（高中版）．[2]陆如龙．戴志祥．证明分式不等式的变形技巧．［Ｊ］．河北理科教学研究．2003（1）．[3]丁胜．应用恒等变形解决数学问题[J]．成都纺织高等专科学校学报．2005（4）．[4]Reston．V．A．National of teacher of mathematics curriculum and evaluation standardsfor school mathematics．1998．6．[5]华东师范大学数学系编．数学分析（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2001（2003重印）．[6]申志强．例说代数式的恒等变形[J]．中学数学杂志．2004（1）．[7]仉志余等．线性代数分级讲练教程[M]．北京大学出版社．2006(6)．[8]Rorres C．Anton H．Applications of linear algebra．3rd ed．John wiley & Sons．Inc，1984．[9]罗仁幸．初等数学解题变形技巧漫谈[J]．宝山师专学报．1995（2）[10]袁良佐．“加0”与“乘1”．中学生数学[J]．2002（6）．[11]李亚丽．待定系数法在不等式中的应用[J]．创新篇．解题思想方法．2006（6）．[12]田宝运．高元仁．待定系数法在解题中的应用[J]．数理化学习(高中版)．[13]Loren C．Larson．Problem-Solving Through Problems Springer-Verlag．1983．。

代数式的展开和简化代数式是由字母（表示数）和运算符号组成的数学表达式。

在数学中，我们常常需要对代数式进行展开和简化，以便更好地理解和处理数学问题。

本文将介绍代数式的展开和简化的方法和技巧。

一、代数式的展开代数式的展开指的是将多项式或者含有括号的代数式按照一定规则展开成多个单项式相加的形式。

下面将介绍两种常见的代数式展开方法。

1.1 一次展开法一次展开法是指将括号中的各项依次与其他项相乘，并将结果相加。

例如，对于代数式(a+b)^2的展开，按照一次展开法的规则，可以依次乘以(a+b)的每一项，并将结果相加，得到展开式a^2+2ab+b^2。

同样地，对于三次方的展开，可以按照一次展开法的规则，将括号中的各项依次与其他项相乘，并将结果相加得到展开式。

例如，(a+b)^3的展开式为a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。

1.2 二次展开法二次展开法是指利用特定公式将一个含有二次方的代数式展开。

例如，对于代数式(a+b)^2的展开，可以使用平方差公式展开，得到展开式为a^2+2ab+b^2。

类似地，对于含有三次方的代数式的展开，可以利用立方差公式进行展开，得到展开式。

例如，(a+b)^3的展开式可以使用立方差公式展开，得到a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。

二、代数式的简化代数式的简化是指将复杂的代数式化简成更加简洁的形式，以便更好地进行运算和解题。

下面将介绍两种常见的代数式简化方法。

2.1 合并同类项合并同类项是指将代数式中相同指数幂的项合并在一起。

例如，对于代数式3x^2+2x^2，可以合并同类项得到5x^2。

类似地，对于含有多个变量的代数式，也可以根据指数幂的相等性将同类项合并，得到简化形式。

例如，对于代数式2x^2+3xy+xy^2，可以合并同类项得到2x^2+4xy+xy^2。

2.2 因式分解因式分解是指将代数式按照一定规则分解成乘积的形式。

因式分解的过程常常需要运用因式分解公式。

例如，对于代数式x^2-4，可以运用差平方公式将其分解成(x+2)(x-2)的形式。

代数变形中常用的三大技巧，解题没思路，试试这些方法
代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。

代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

换元法
是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式)，对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.
高中数学中换元法主要有以下两类:
(1)整体换元:以“元”换“式”。

(2)三角换元，以“式”换“元”。

(3)此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等.换元法应用比较广泛。

如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。

配方法
是指将一个式子(包括有理式和超越式)或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。

这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

待定系数法
一种求未知数的方法。

将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

数学代数式变形技巧课件数学中的代数式变形是指通过合理的变换规则将一个代数式转化为另一个等价的代数式，常用于解方程、证明等问题的推导过程中。

掌握代数式变形技巧，可以帮助我们更好地理解数学概念，简化计算过程，提高解题效率。

本课件将介绍一些常见的代数式变形技巧，并配有示例演示，旨在帮助学生掌握这些技巧，提升数学能力。

一、因式分解与合并因式分解和合并是代数式变形中常见且重要的技巧，它们可以将一个复杂的代数式简化为更简洁的形式。

1. 因式分解因式分解是将一个代数式拆分为多个乘积的形式，常用于简化计算、解方程等过程。

示例1：分解二次三项式对于形如ax² + bx + c的二次三项式，我们可以通过因式分解将其分解为两个一次项的乘积形式。

例如，对于2x² + 7x + 3，我们可以通过因式分解得到(2x + 1)(x + 3)。

示例2：分解完全平方差对于形如a² - b²的完全平方差，我们可以通过因式分解将其分解为两个一次项的乘积形式。

例如，对于x² - 9，我们可以通过因式分解得到(x + 3)(x - 3)。

2. 因式合并因式合并是将多个项合并为一个因式的过程，常用于简化计算、提取公因式等。

示例1：合并同类项对于形如3x + 4x + 2的代数式，我们可以将其中的同类项合并得到7x + 2。

示例2：提取公因式对于形如3x² - 6x的代数式，我们可以提取公因式得到3x(x - 2)。

二、化简与拓展化简与拓展是代数式变形中的重要技巧，它们可以帮助我们更好地理解代数式的性质，简化计算过程。

1. 化简代数式化简代数式是通过运用代数性质和运算规则，将一个复杂的代数式简化为更简单的形式。

示例1：化简分式对于形如(x² - 4)/(x + 2)的代数式，我们可以通过因式分解和约分的方法，将其化简为(x - 2)。

示例2：化简根式对于形如√(x² + 4x + 4)的代数式，我们可以通过完全平方公式，将其化简为(x + 2)。

式子变形的技巧
式子变形是数学问题解决中常用的技巧之一。

下面是一些常见的式子变形技巧：
1. 式子的移项：通过移动式子中的项，将未知量集中到一边。

- 例如：将方程式3x + 2 = 8变形为3x = 6。

2. 式子的合并：将类似项合并到一起，简化表达式。

- 例如：将表达式2x + 3x变形为5x。

3. 因式分解：将一个较复杂的式子分解成两个或多个简单的因式相乘。

- 例如：将式子x^2 + 3x + 2分解为(x + 1)(x + 2)。

4. 公因式提取：将一个式子中的公因式提取出来。

- 例如：将式子3x^2 + 6x分解为3x(x + 2)。

5. 变量替换：通过进行恰当的变量替换，将问题转化为更容易解决的形式。

- 例如：将复杂的多项式用新的变量进行替换，以简化计算。

6. 加减倍增：通过加减倍增某一项，将式子变形为更容易处理的形式。

- 例如：将式子2x = 8变形为x = 4。

7. 平方恒等式：利用平方恒等式将复杂的式子变为更简单的形式。

- 例如：使用(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2将一个平方项变形为两个因式的和。

这些技巧只是式子变形的一部分，实际问题中还可能涉及其他更复杂的变形方法。

因此，灵活运用各种技巧来处理问题是解题的关键。

良师导学77代数变形常用技巧及其应用★李雨凡对于代数的变形来讲，它作为数学解题的关键所在，学生对代数变形的掌握程度以及变形能力的高低，直接决定了其解题的能力。

之所以变形，它的根本目的就是要把题目简化并最终解决。

作为一种机能性很强的知识，它必须要通过不断地练习，才能慢慢的掌握。

本文展开了详细的分析。

一、代数变形的应用方法1、因式分解把一个多项式化成几个整式乘积的形式叫做因式分解，这在我们数学的解题过程中也是最常用到的一种方法。

2、因式的变形法学生在运用公司进行推理和运算的时候，往往无法做到灵活的运用，不知道怎么将公示转换变形。

究其原因，往往就是公式的变形能力差，所以，怎么进行因式教学的这一部分内容的时候，必须要针对以下的几种变形强加练习。

（1）公式基本变形我们可以将其展开，并对其移项，通过分配以及结合等等的方式，对其进行变形，从而得到一系列的公式。

但是，这一系列的公式并不需要我们完全将其记住，只要多做这方面的练习，就能够活用这些公式。

（2）公式推广变形对于很多比较重要的公式，我们都可以将其做出一些推广，而对于那些重要的推广结论，应该要求学生将其记住，因为，通常这些结论都有助于那些复杂问题的解决。

（3）公式反向变形对于很多的公式，学生往往只对那些正向的结论熟悉，而对这些公式的反向运用却往往忽视了，有时候看到一个公式，很难会联想到它的反向面。

但是，事实上，在很多的题目中，都需要通过反向变形的方式来解决。

3、构造法在具体的解题过程中，构造法也是一种经常会用到的方式。

这样的方式，主要是通过对条件以及结论的分析，将一个辅助的元素构造起来。

对于这一辅助元素，它既可以是一个图形、也可以使一个方程、还可以是一个函数或者一个等式等等。

这样的方式，实现了代数、三角以及几何等一系列问题的渗透，有效的将条件和结论串联起来，从而把题目解决。

4、反证法对于反证法来讲，作为一种间接的证法，它主要是先把和命题结论相反的假设提出来，在这之后，以这个假设为基础，通过一系列的推理和分析，造成矛盾，从而就能够把这一假设给否定掉，于是，原命题就被肯定。

代数式变形在高中数学中的应用（四）代数式运算变形常用到的方法1．配方配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成"完全平方"）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，化繁为简。

合理运用"裂项"与"添项"、"配"与"凑"的技巧，有时也将其称为"凑配法"。

例1 设x 、y 、z 为实数，且222222+=+++(y-z ）（x-y)（z-x)（y+z-2x)（x+z-2y)（y+x-2z). 求的值.解 原式化简拆项得： 22222220x xy xz yz ---=+2y +2z配方得：∴ 222+=0+(y-z ）（x-y)（z-x) ∴ x =y=z ,∴原式=1.附：最基本的配方，完全平方公式：222()2a b a ab b +=++变形一：1、2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+2、2222111()2()2a a a a a a +=+-=-+3、2222111()2()2a a a a a a+=+-=-+ 变形二： 4、22()()4a b a b ab +=-+ 5、22()()4a b a b ab -=+-6、22()()4a b a b ab +--=7、2222()()22a b a b a b ++-=+8、2222223()()3()()2b a ab b a b ab a b ab a ++=+-=-+=++ 变形三：9、2222221()()()2a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤+++++=+++++⎣⎦ 10、2222()222a b c a b c ab bc ca ++=++---变形四 立方和、立方差公式：11、3322()()a b a b a ab b +=+-+ 12、3322()()a b a b a ab b -=-++2008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 20082007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 变形五 杨辉三角：13、33223()33a b a a b ab b +=+++ 14、4432234()464a b a a b a b ab b +=++++2.因式分解例2 如果 a 是 2310x x -+= 的根,试求的值. 解 ∵ a 为 2310x x -+= 的根,∴ 2310a a -+=, 移项得：2311a a =+. 原式化简得：3. 整体代入、4. 降次、5. 降次、消元例3． 已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.分析：解法一（整体代入）：由012=-+a a 得 023=-+a a a所以：解法二（降次）：由012=-+a a ，得a a -=12，所以：解法三（降次、消元）：12=+a a （消元、、减项）20082007120072007)(20072007222222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a6.换元例4 设 3a b c m ++=,求证:333()()()3()()()0m a m b m c m a m b m c -+-+-----=.证明 令p m a =-,q m b =- ,r m c =-则0p q r ++=.3332223()()0p q r pqr p q r p q r pq qr rp ++-=++++---=∴ 33330p q r pqr ++-=即 333()()()3()()()0m a m b m c m a m b m c -+-+-----=例5 若,试比较A 、B 的大小.解 设 则.∵ 2x y > 即 20x y ->，又 ∵ 0y >,则 (2)0y y +>∴ 20(2)x y y y ->+ 即 102x x y y +->+ ∴ A B >.7.参数法当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例6 若 求 x y z ++ 的值.解 令则有 ()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-∴ ()()()0x y z k a b k b c k c a ++=-+-+-=.例7 已知a b c 、、 为非负实数，且2221a b c ++=, ,求 a b c ++的值.解 设 a b c k ++=则 a b k c +=-， b c k a +=-, a c k b +=-. 由条件知即∴ 2323233a k a b k b c k c abc -+-+-=-,∴ 222333()3a b c k abc a b c +++=++.∵ 2221a b c ++=,∴ 3333k a b c abc =++- 3223()333a b a b ab c abc =+--+-()22()()3()a b c a b c a b c ab a b c ⎡⎤=++++-+-++⎣⎦， ()222()a b c a b c ab bc ca =++++---，即 ()222k k a b c ab bc ca =++---,移项：()22210k a b c ab bc ca ++----=，又 2221a b c ++= ∴ ()0k ab bc ca ---=.若 0k =,即 0a b c ++= 则 ()0ab bc ca ++=.若 ()0ab bc ca ---=, 即()2222()0a b c a b c ++-++=,∵ 2221a b c ++= ∴ 2()1a b c ++=, ∴ 1a b c ++=±综上 0a b c ++= 或 1a b c ++=±8.构造法例8 已知0a b >>，m n ≥ 求证： m m n n m m n n a b a b y a b a b --=≥++， 解 构造函数 22()11()1x x x x x x x x a b b f x a a b a b b-==-=-+++ ∵ 0a b >>，则 1a b>， 又 ∵ ()f x 在 R 上是增函数∵ m n ≥，∴ ()()f m f n ≥，即 m m n nm m n na b a b a b a b --≥++8.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形策略：（1） 适当引入参数；（见参数法例6、例7）（2）拆项变形或拆分变形；例9 已知求证:.证明例10 已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x 2.那么计算的表达式是______.解 2(1)x x x x =+-或 2(1)x x x x =-+(3) 整体代入；（4）取倒数或利用倒数关系等，如 12(0)a a a+≥> 。

代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．
1．利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．
分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．
解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以
6x4+15x3+10x2
=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1
=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1
=0+1=1．
说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．
例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：
a2+b2+c2=1，①
1
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初步熟悉代数变形一般规律，后续陌生变形也能有效吸收经过大概30天做题，对代数变形有了初步的感觉。

一个是明白变形的原理，为什么这么变其次是，对特殊变形的记忆里增强,记住好多个变形的形式比如下面这个公式（a+b+c）^3-(a^3+b^3+c^3)=(a+b)(b+c)(c+a)三是计算力变强，复杂变形能写2页A4纸。

四是对新题型的吸收能力，明显变强。

对于一种新的变形形式，可以很快抓到特点，有效吸收比如日本代数学辞典735(打字关系，a1,a2,…an，其中的1，2，..n是下标)设（n-1）x^2+2x(a1-an)+a1^2+2a2^2+2a3^2+…+2an-1^2+an^2=2(a1a2+a2a3+…+an-1an)其中x,a1,a2…an都是实数求证：x=a2-a1=a3-a2=…=an-an-1这题刚开始看着困惑，后来迅速搞明白一般这种，都是构造()^2+()^2+…()^2=0它很可能有n-1个()^2,以此再看（n-1）x^2，正好拆成（n-1）项，再看2x(a1-an)，数字2，而拆成n-1个后， x^2的系数为1，答案也就遭然若揭了。

【最重要是展望未来】展望未来，无论是不等式，还是二次函数，还是三角恒等式，无论什么形态的代数变形，它总是符合上面的代数变形规律，也就是说，变形的原理，对它变形的形态（公式）的记忆，以及复杂变形的计算力。

这个最大的好处就是，对于陌生变形，就好比日本代数学辞典735，我能迅速抓到它的规律，记住它的形态，并进行复杂推算。

如果不知道这个代数变形的一般规律，则完全都是瞎猫碰死耗子。

看不出其背后的原理，记不住变形的形态，推导能力也弱。

掌握一般的代数变形规律，大量做题，非常有利于后续迅速吸收大量代数变形（包括陌生变形以及后续不等式等其它知识）.越学越简单了。