共面向量定理

§2 共面向量定理教学目的：1.掌握共面向量定理2.会用定理证明一些共面，平行等问题教学重难点：共面向量定理的应用教学过程：一、问题情境：平面向量基本定理：注：（1）12,e e 叫平面内所有向量的一组基底（2）a 用12,e e 表示称为向量的分解，当12e e ⊥时称为正交分解。

二、学生活动：上述定理可推广到空间吗？是什么形式？三、数学建构1、共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量（或平行于同一平面的向量）注：两个向量一定共面，三个向量不一定共面2、三个向量共面的条件：（1）若p 与,a b 共面，则由平面向量基本定理：存在唯一实数对,x y ，使p xa yb =+（2）若存在唯一一对实数,x y ，使p xa yb =+在空间中一点M 作,MA a MB b ==且作','MA xa MB yb ==，则MP xa yb p =+= P 在面MAB 内， p ∴与,a b 共面3、共面向量定理：注：（1）p 可用,a b 线性表示（2）作用：证明线面平行，证明点共面（3）推论：点P 在面MAB 内充要条件是：存在,x y 使MP xMA yMB =+四、数学应用：例1、课本如图。

已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N 分别在对角线BD,AE 上，且BM=31BD,AN=31AE.求证：CDE MN 平面//.注：（1）找向量关系，封闭图形（2）尽量用面CDE 中向量表示练习：76P １ ３例2、如图，AB 所在直线为AB ，O 为直线AB 外一点，则P 在直线AB 上充要条件是：存在实数t ，使(1)OP t OA tOB =-+证明：（1）若(1)OP t OA tOB =-+，则(OP OA t =+ AP t AB ∴=,,A B P ∴三点共线。

推广：设空间任意一点O 和不共线三点A,B,C 若点P 满足向量关系)1(=++++=→→→→z y x OC z OB y xOA OP 其中，试问：P,A,B,C 四点是否共面？练习：在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面,ABCD ABCD 为矩形，,M N 在,PC PD 上，且:2:1PM MC =，N 为PD 中点。

间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
4
思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？ (2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯 一？ [提示] (1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个 非零向量共面． (2)唯一确定．
5
2．正交分解 (1)单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量_两_两__垂__直__，且长度都是 __1__，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．
34
基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤
(1)设出基向量．
(2)用基向量表示出直线的方向向量．
(3)用|a|＝
a·aa·b |a||b|
求夹
角．
(4)转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题．
35
1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共 线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着 三个向量一定为非零向量．
1 －1 [由m与n共线，得1x＝－y1＝11， ∴x＝1，y＝－1.]
10
基底的判断
【例1】 (1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空
间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，
③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的
向量组有( ) A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11
(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且 O→A ＝e1＋2e2－e3， O→B＝－3e1＋e2＋2e3，O→C＝e1＋e2－e3，试判断{O→A，O→B，O→C}能否 作为空间的一个基底．
12
(1)C [如图所示，令a＝A→B，b＝A→A1，c＝A→D，

三个向量共面定理证明三个向量共面定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了三个向量是否在同一个平面上的条件。

在本文中，我将详细介绍三个向量共面定理，并通过推导和例子来证明它的正确性。

让我们来看一下三个向量共面定理的表述：如果三个向量a、b和c 共面，那么它们之间存在一个非零的标量k，使得ka + kb + kc = 0。

为了证明这个定理，我们首先假设三个向量a、b和c共面，并尝试找到一个非零的标量k，使得ka + kb + kc = 0。

现在，让我们考虑向量a、b和c在三维空间中的几何意义。

向量a 可以表示为(a1, a2, a3)，向量b可以表示为(b1, b2, b3)，向量c可以表示为(c1, c2, c3)。

我们可以将这三个向量表示为一个矩阵：A = [a1, a2, a3][b1, b2, b3][c1, c2, c3]我们知道，如果矩阵A是一个奇异矩阵（行列式等于零），那么它的列向量线性相关，也就是说，存在一个非零的标量k，使得ka + kb + kc = 0。

为了证明这一点，我们可以计算矩阵A的行列式。

如果行列式等于零，那么我们可以确定三个向量a、b和c共面。

通过展开矩阵A的行列式，我们可以得到：|A| = a1(b2c3 - b3c2) - a2(b1c3 - b3c1) + a3(b1c2 - b2c1)如果|A| = 0，那么我们可以得到下面的等式：a1(b2c3 - b3c2) - a2(b1c3 - b3c1) + a3(b1c2 - b2c1) = 0这个等式可以进一步化简为：a1b2c3 - a1b3c2 - a2b1c3 + a2b3c1 + a3b1c2 - a3b2c1 = 0我们可以将上述等式写成向量的形式：(a1, a2, a3) · (b2c3 - b3c2, b3c1 - b1c3, b1c2 - b2c1) = 0如果我们令向量 d = (b2c3 - b3c2, b3c1 - b1c3, b1c2 - b2c1)，那么上述等式可以写成：(a1, a2, a3) · d = 0这意味着向量a与向量d垂直，也就是说，它们之间的夹角为90度。

共面向量系数和为1证明摘要：一、引言1.共面向量基本概念2.共面向量系数和为1 的意义二、向量共面的基本定理1.共面向量定理2.共面向量系数的性质三、共面向量系数和为1 的证明1.证明思路2.证明过程四、结论1.证明的总结2.对实际问题的意义正文：一、引言在向量空间中，共面向量是指方向相同或相反的向量。

在数学和物理学中，研究共面向量的性质对于理解向量空间和向量场的性质具有重要意义。

共面向量系数和为1 是共面向量性质中的一个重要结论，它表明任意两个共面向量都可以表示为一个标量与一个共面向量的乘积。

二、向量共面的基本定理1.共面向量定理设向量A、B、C 共面，那么存在非零实数λ、μ使得：A = λB + μC2.共面向量系数的性质根据共面向量定理，向量A、B、C 的共面向量系数λ、μ满足以下性质：λ+ μ = 1三、共面向量系数和为1 的证明1.证明思路利用向量共面定理，将待证明的共面向量表示为已知的共面向量的线性组合，然后通过构造合适的共面向量系数的线性方程组，求解得到共面向量系数和为1。

2.证明过程假设向量A、B 共面，且它们的共面向量系数为λ、μ。

根据共面向量定理，存在非零实数k 使得：B = kA + (1 - k)B将B 表示为A 的线性组合，得到：B = λA + (1 - λ)B比较系数，得到：λ= λ1 - λ = 1 - λ所以，共面向量系数和为1。

四、结论通过以上证明，我们得出了共面向量系数和为1 的结论。

这个结论表明，任意两个共面向量都可以表示为一个标量与一个共面向量的乘积，这对于研究向量空间和向量场的性质具有重要意义。