《共面向量定理》教学反思

A B C D M N 共面向量定理教学目标：1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；2．利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题教学过程：一、创设情景 1、关于空间向量线性运算的理解平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。

从平面几何到立体几何，类比是常用的推理方法。

二、建构数学1、 共面向量的定义一般地，能平移到同一个平面内的向量叫 向量；理解：(1)若b a ,为不共线且同在平面α内，则p 与b a ,共面的意义是p 在α内或α//p(2) 空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．2、共面向量的判定平面向量中，向量b 与非零向量a 共线的充要条件是a b λ=，类比到空间向量，即有 共面向量定理 如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组 ，使得 .这就是说，向量p 可以由不共线的两个向量b a ,线性表示。

M N ADCA B C D E F N M 三、数学运用 例1 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N 分别在对角线BD,AE 上，且AE AN BD BM 31,31==. 求证：MN//平面CDE例 2 设空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系OC z OB y OA x OP ++=（其中x+y+z=1）试问：P 、A 、B 、C 四点是否共面？例3 已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定在下列各条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面？(1)OA OP OM OB -=+3；(2)OM OB OA OP --=4解题总结：推论：空间一点P 位于平面M AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y 使得：MB y MA x MP +=，或对空间任意一点O 有：OB z OA y OM x OP ++=(其中x+y+z=1)。

共面向量的投影初中数学解的教案策划教案章节：一、向量的概念及表示【教学目标】1. 理解向量的定义及表示方法。

2. 掌握向量的基本性质，如相等、相反、数乘等。

【教学内容】1. 向量的定义：线段的方向和长度。

2. 向量的表示：用箭头表示向量的方向，用字母和箭头表示向量的大小和方向。

3. 向量的性质：相等、相反、数乘等。

【教学方法】1. 采用讲解法，讲解向量的定义和表示方法。

2. 采用示例法，展示向量的性质和运算。

【教学活动】1. 引入向量的概念，引导学生理解向量的定义。

2. 讲解向量的表示方法，让学生掌握向量的表示。

3. 通过示例，展示向量的性质和运算，让学生熟练掌握。

教案章节：二、向量的加法和减法【教学目标】1. 理解向量的加法和减法运算。

2. 掌握向量加法和减法的运算规则。

【教学内容】1. 向量的加法：同方向向量的和、反方向向量的差。

2. 向量的减法：减去一个向量，相当于加上它的相反向量。

3. 向量加法和减法的运算规则：交换律、结合律等。

【教学方法】1. 采用讲解法，讲解向量的加法和减法运算。

2. 采用示例法，展示向量加法和减法的运算过程。

【教学活动】1. 引入向量的加法和减法，引导学生理解向量的加法和减法运算。

2. 讲解向量的加法和减法运算规则，让学生掌握向量的加法和减法。

3. 通过示例，展示向量加法和减法的运算过程，让学生熟练掌握。

教案章节：三、向量的数乘【教学目标】1. 理解向量的数乘运算。

2. 掌握向量数乘的运算规则。

【教学内容】1. 向量的数乘：一个实数与一个向量的乘积。

2. 向量数乘的运算规则：分配律、数乘的逆元等。

【教学方法】1. 采用讲解法，讲解向量的数乘运算。

2. 采用示例法，展示向量数乘的运算过程。

【教学活动】1. 引入向量的数乘，引导学生理解向量的数乘运算。

2. 讲解向量数乘的运算规则，让学生掌握向量的数乘。

3. 通过示例，展示向量数乘的运算过程，让学生熟练掌握。

教案章节：四、向量的长度和方向【教学目标】1. 理解向量的长度和方向的概念。

关于《平面向量基本定理》的课后反思当前，新课程的改革与素质教育工作已全面展开，它对教育、教学不断提出更新、更高的要求，而课堂教学是教育教学的主阵地，那种以老师讲解为主，使学生常常处于消极、被动、受压抑的状态，既不能充分地调动学生的主动性、积极性，又不能很好地培养学生的各方面能力的传统灌输教学法与新课程的改革理念及“以学生为本”的教学思想已是格格不入。

所以课堂教学的改革与创新是一个必要的、重要的主题。

而在高中阶段的数学教学中，因其抽象性及综合性强的特点，课堂教学改革难度较大，能体现新课程理念和素质教育思想的教学方法还不够成熟或完善，不能直接套用。

为此，我们结合我校实际情况，对课堂教学的方法开始进行改革试验，并把这种教学法命名为《合作探究、分层推进教学法》。

现在的课堂教学运用的就是此教学法。

合作是指师生、生生的合作，合作应是积极的相互支持、配合，特别是面对面的促进性的互动；探究是指自主探究和合作探究，探究应是在教师根据教学情况创设的科学合理的情境下，引领学生进行的探索、分析、归纳、交流、反思与总结的过程。

自主是合作、探究的基础、前提，合作是促进自主、探究的形式、途径，探究是自主、合作学习的目的，三者互为一体，又互为促进。

分层就是根据学生的各方面情况（如：学习基础与学习能力，心理与性格等等）把学生分成小组，每个小组由各种类型或层次的学生组成，这样能使各层次的学生便于交流，相互促进，共同发展。

此教学法是在高中数学课堂教学中根据所教学生的实际情况，先进行科学的分层分组，然后在教师的科学导引下，利用目标明确、层次分明的学案引领学生进行自主学习、合作探究、师生与生生互动交流（或分组竞赛）、不断反思和总结，从而使学生进行主动的知识建构和能力培养，并促使各层学生共同进步，共同成长。

用此教学法首先解决了下面几项具体问题：（1）改变学生原有的单一、被动的学习方式，使学生成为学习和发展的主体，使以学生为本的思想得到落实；（2）凭借自主、合作、探究的学习方式，培养学生良好的学习习惯，让每一位学生都能独立探究，并注重合作，有团队精神；（3）尊重学生的个体差异并满足不同的学习需求，保护学生的好奇心、求知欲、竞争意识，充分激发学生的主动意识和进取精神；（4）尽量不使一个学生掉队，可以让学习有困难的学生得到帮助，达到共同进步的目的；让学生体验成功的乐趣，培养学生的心理素质、自信心及远大的志向；（5）培养学生具有集体竞争和集体荣誉感等社会意识，培养学生在集体活动中的表达能力和自制能力以及了解他人和具有正确评价他人的能力，培养团结协作、民主和谐的一代新人；（6）通过对本教学法的研究提高教师的素质和科研创新能力，不断积累总结教学改革的经验。

《平面向量的概念及线性运算》教学反思本节课主要是要让学生理解平面向量的基本概念：向量、有向线段、零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量；掌握基本方法：向量加法的三角形法则、平行四边形法则、向量的减法法则、数乘向量的运算法则。

因为向量知识比较抽象，就像学生说的有点“横空出世”，很难想到，学生容易产生厌烦的情绪。

建议：1、借助图形帮助学生理解，把抽象的问题转化为形象具体的问题；2、向量有两种表示方法：即有向线段和字母法，但是书写时必须加箭头，必须强调这一点。

7.2平面向量的坐标表示反思：本节课主要是要让学生理解向量坐标化的意义，并且能熟练掌握平面向量的坐标运算。

向量的坐标表示比较好理解，所以课上没有太多问题。

只是课上和学生的交流太少，几乎都是自己在讲，而且学生的呼应不够，有时候问他们，并没有多少人会回答。

建议：1.在表示向量时要注意与表示点的坐标的区别，前者有等号连接，后者无等号，这点要向学生强调；2.必须强化“数形结合”的思想；3.多和学生进行眼神交流。

4.讲解速度可以放慢一点。

7.3平面向量的内积反思：本节课主要是①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②理解平面向量夹角的定义和内积运算公式；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

由于公式比较多，学生有点消化良；学生对数量积的性质、运算律不够灵活应用。

建议：1、讲课速度放慢点，花多点时间放在练习上。

让学生熟练数量积的性质、运算律的应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

2、鼓励学生积极参与到课堂中来。

第七章反思和体会向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

由于平面向量理论性强，内容抽象，解题方法独特。

3.1.2 共面向量定理姜堰市蒋垛中学 孟进教学目标：1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；2．能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．教学重点：共面向量定理的理解．教学难点：运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．教学方法： 新授课、启发式一一引导发现、合作探究．教学过程：一、问题情境怎样的向量是共面的向量呢？在平面向量中，向量b 与向量a （a ≠0）共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa ．那么，空间任意一个向量p 与两个不共线的向量a ，b 共面时，它们之间存在什么样的关系呢？二、学生活动1．自己作图，通过长方体体验并归纳什么是共面向量．2．通过类比得出共面向量定理．三、建构数学如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，11A B AB ＝，11A D AD ＝，而AB ，AD ，AC 在同一平面内，此时，我们称AB ，AD ，AC 是共面向量．1． 共面向量的定义．一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量；理解 （1）若a ，b 为不共线且同在平面α内，则p 与a ，b 共面的意义是p 在α内或p ∥α ．（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．2．共面向量的判定．平面向量中，向量b 与非零向量a 共线的充要条件是b a λ ＝，类比到空间向量，即有：共面向量定理 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x α ＋y b ．这就是说，向量p 可以由不共线的两个向量a ，b 线性表示． 四、数学运用1．例题．例1 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且AE AN BD BM 31,31==． 求证：MN ∥平面CDEDA 1DC C证明：MN MB BA AN ＝＋＋＝2133CD DE ＋ 又CD 与DE 不共线根据共面向量定理，可知MN ，CD ，DE 共面．由于MN 不在平面CDE 中，所以MN ∥平面CDE ．例2 设空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC ＝＋＋（其中x ＋y ＋z ＝1）试问 P ，A ，B ，C 四点是否共面？解 由OP xOA yOB zOC =++ 可以得到AP yAB zAC =+由A ，B ，C 三点不共线，可知 AB 与 AC 不共线，所以 AP ， AB ， AC 共面且具有公共起点A ．从而P ，A ，B ，C 四点共面．推论 空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y 使得：MP xMA yMB ＝＋，或对空间任意一点O 有：OP OM xMA yMB ＝＋＋．2．练习．（1）作业 课后练习1，2．（2）已知非零向量1 e ，2 e 不共线，如果12 AB e e ＝＋，1228 AC e e ＝＋，1233AD e e ＝－，求证：A ，B ，C ，D 共面．（3）已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE kOA ＝，OF kOB ＝，OG kOC ＝，OH kOD ＝．求证 ①四点E ，F ，G ，H 共面；②平面AC ∥平面EG ．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．了解共面向量的含义；2．理解共面向量定理；3．能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．。

§3.1.2 共面向量定理编写：陶美霞审核：赵太田一、知识要点1.共面向量定义：2.共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在有序实数组(,)x y ，使得p xa yb =+。

二、典型例题例 1.如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面相交于AD ，点,M N 分别在对角线,BD AE 上，且11,33BM BD AN AE ==，求证：MN CDE ∥平面。

例2.设空间任意一点O 和不共线三点,,A B C ，若点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++ (其中1x y z ++=)。

试问：,,,P A B C 四点是否共面？思考：由()x y z OP xOA yOB zOC ++=++ ，你能得到什么结论？例3.已知四棱锥__P ABCD 的底面是平行四边形，M 是PC 的中点，求证：PA BMD ∥面。

三、巩固练习1.在四面体PABC 中，点,M N 分别为,PA PB 的中点，问：MN 与BC ，AC 是否共面？2.已知空间向量,,,a b c p ，若存在实数组1,11(,)x y z 和222(,,)x y z 满足111p x a y b z c =++，222p x a y b z c =++，且12x x ≠，试证明向量,,a b c 共面。

3.已知P 是ABCD 所在平面外一点，连,,,PA PB PC PD ，点E F G H 、、、分别是PAB ∆，,,PBC PCD PDA ∆∆∆的重心，求证：⑴E F G H 、、、共面；⑵EFGH ABCD 面∥面。

四、小结高二数学选修2-1教学案27FMNEAB DC五、课后作业1. ,a b 不共线时，a b +与a b -的关系是 ； A.共面B.不共面C.共线D.无法确定2.已知正方体__1111ABCD A B C D 的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有 (写出序号)①OA OD +与11OB OC +是一对相反向量；②OB OC -与11OA OD -是一对相反向量； ③OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量； ④1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量。

本堂课属于概念课，作为数学的概念课是非常难讲的课题，一来你得让学生在第一时间能清晰的对概念的内涵和外延有深刻的认识，争取达成思维上的认同，避免理解的偏差和错误；二来更要让学生能融入到它原有的知识结构体系中，把在知识碰撞中存在的疑惑在起始阶段就帮助他们搞透彻。

回首这堂课的设计，总体感觉还是不错：( 一)对于教学设计的反思因为在新课程的理念中重点强调了，教师在进行数学教学时要充分考虑到数学学科的特点，针对不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段引导学生积极主动的学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及它们体现的数学思想方法，培养和发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发展和进一步学习打好基础。

基于此，故而经过了推敲得出本节课的教学设计。

(二)对于“新课引入”环节的反思原设计：由向量的加法法则和数乘运算引入，教师提问，学生回答; 然后直接给出问题:如果是平面内的任意两个不共线的向量，那么平面内的任意向量可以由这两个向量表示吗?这就是这节课要学习的问题。

新设计:在重新思考之后，在引入上完全是学生在动手做，通过复习向量的加、减法法则、数乘运算及平面向量共线定理让学生回忆旧知并为新知识做好铺垫，并且每组的这张作图纸的功能一直贯穿整节课的学习，也让学生从直观上得到平面向量基本定理的内容作准备。

在学生复述了上述知识之后，让学生在纸上画出，让学生感知通过数乘运算和向量的加法法则是可以表示出平面中任意向量——引出课题。

应用新的设计之后的好处是让学生能够很容易的进入到本节课的学习状态中来，因为学生很明白这节课学习的主要内容，这比原来的设计方案要更加的顺畅和细致，也更加符合学生的认知水平。

(三)对于“图形演示”的反思原设计的作图过程，通过环灯片中的动画设置(运动路线)可以表示出来。

这样设计的优点是:直观，清晰;缺点是:只能够表示平面内有限的向量作加法来求和向量。

平面向量基本定理教学反思本堂课属于概念课，作为数学的概念课是非常难讲的课题，一来你得让学生在第一时间能清晰的对概念的内涵和外延有深的认识，争取打成思维上的认同，避免理解的偏差和错误；二来更要让学生能融入到他原有的知识结构体系中，把在碰撞中的问题在起始阶段帮助他们搞透彻。

这是一个很难处理的环节，因为学生是不是能准确积极的思维是你不能控制的，现在的学生总是喜欢去用这些东西死死的去做题，根本不去深刻理解其中的内涵，总是在不断的做题中去发现自己对概念定理的误区，从而在错误中爬起来，爬起来再倒下，如此数个回合，有些明白了，有些就觉得难的要死几个问题：1、在最后的环节中处理有点仓促，还没有小结；2、课堂把握上前松后紧，如果最后的课堂检测，分组处理会更好，这样可以有小结反思的时间；3、课件的制作中对于拓展定理的证明可以提到前面一张幻灯片，这样似乎更自然；4、路漫漫的环节，没有处理，本来是想出彩的，可是没有出上呵呵，但是我的观点还是应该把课堂延续到课外，让学生能知道下一节课的学习其实和以前我们学习的东西是有连贯性的，告诫学生需要周而复始的一点一滴的积累，把课堂的每一个细节都做好。

反思二：平面向量基本定理教学反思（一）对于教学设计的反思因为在新课程的理念中重点强调了，教师在进行数学教学时要充分考虑到数学学科的特点，针对不同水平、不同兴趣学生的学习需要，运用多种教学方法和手段引导学生积极主动的学习，掌握数学的基础知识和基本技能以及它们体现的数学思想方法，培养和发展应用意识和创新意识，对数学有较为全面的认识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来发展和进一步学习打好基础。

基于此，故而经过了推敲得出本节课的教学设计。

（二）对于新课引入环节的反思原设计：由向量的加法法则和数乘运算引入，教师提问，学生回答；然后直接给出问题：如果是平面内的任意两个不共线的向量，那么平面内的任意向量可以由这两个向量表示吗？这就是这节课要学习的问题。

2018版⾼中数学苏教版选修2-1学案：3.1.2共⾯向量定理3．1.2 共⾯向量定理[学习⽬标] 1.了解共⾯向量等概念.2.理解空间向量共⾯的充要条件．知识点⼀共⾯向量能平移到同⼀平⾯内的向量叫做共⾯向量．知识点⼆共⾯向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共⾯的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b ，即向量p 可以由两个不共线的向量a ，b 线性表⽰．知识点三空间四点共⾯的条件若空间任意⽆三点共线的四点，对于空间任⼀点O ，存在实数x 、y 、z 使得OA →＝xOB →＋yOC→＋zOD →，且x 、y 、z 满⾜x ＋y ＋z ＝1，则A 、B 、C 、D 共⾯．思考1．空间两向量共线，⼀定共⾯吗？反之还成⽴吗？答案⼀定共⾯，反之不成⽴．2．空间共⾯向量定理与平⾯向量基本定理有何关系？答案空间共⾯向量定理中，当向量a ，b 是平⾯向量时，即为平⾯向量基本定理．题型⼀应⽤共⾯向量定理证明点共⾯例1 已知A 、B 、C 三点不共线，平⾯ABC 外的⼀点M 满⾜OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →. (1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共⾯；(2)判断点M 是否在平⾯ABC 内．解 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)．∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →.⼜MB →与MC →不共线．∴向量MA →、MB →、MC →共⾯．(2)∵向量MA →、MB →、MC →共⾯且具有公共起点M ，∴M 、A 、B 、C 共⾯．即点M 在平⾯ABC 内．反思与感悟利⽤共⾯向量定理证明四点共⾯时，通常构造有公共起点的三个向量，⽤其中的两个向量线性表⽰另⼀个向量，得到向量共⾯，即四点共⾯．跟踪训练1 已知两个⾮零向量e 1、e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 共⾯．证明∵AD →＋AC →＝5e 1＋5e 2＝5AB →，∴AB →＝15(AD →＋AC →)＝15AD →＋15AC →，⼜AD →与AC →不共线．∴AB →、AD →、AC →共⾯，⼜它们有⼀个公共起点A .∴A 、B 、C 、D 四点共⾯．题型⼆应⽤共⾯向量定理证明线⾯平⾏例2如图，在底⾯为正三⾓形的斜棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平⾯C 1BD .证明记AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则AB 1→＝a ＋c ，DB →＝AB →－AD →＝a －12b ， DC 1→＝DC →＋CC 1→＝12b ＋c ，所以DB →＋DC 1→＝a ＋c ＝AB 1→，⼜DB →与DC →1不共线，所以AB 1→，DB →，DC 1→共⾯．⼜由于AB 1不在平⾯C 1BD 内，所以AB 1∥平⾯C 1BD .反思与感悟在空间证明线⾯平⾏的⼜⼀⽅法是应⽤共⾯向量定理进⾏转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．跟踪训练2 如图所⽰，已知斜三棱柱ABCA 1B 1C 1，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，在⾯对⾓线AC 1上和棱BC 上分别取点M 、N ，使AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC → (0≤k ≤1)．求证：MN ∥平⾯ABB 1A 1.证明 AM →＝k ·AC 1→＝k (AA 1→＋AC →)＝k b ＋k c ，⼜∵AN →＝AB →＋BN →＝a ＋kBC →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ，∴MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a ＋k b －k b －k c＝(1－k )a －k c .⼜a 与c 不共线．∴MN →与向量a ，c 是共⾯向量．⼜MN 不在平⾯ABB 1A 1内，∴MN ∥平⾯ABB 1A 1.题型三向量共线、共⾯的综合应⽤例3 如图所⽰，已知四边形ABCD 是平⾏四边形，点P 是ABCD 所在平⾯外的⼀点，连结P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重⼼．试⽤向量⽅法证明E ，F ，G ，H 四点共⾯．解分别连结PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连结MN ，NQ ，QR ，RM .∵E ，F ，G ，H 分别是所在三⾓形的重⼼，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →. 由题意知四边形MNQR 是平⾏四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．⼜MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →. ∴EG →＝EF →＋EH →，由共⾯向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共⾯．反思与感悟利⽤向量法证明四点共⾯，实质上是证明的向量共⾯问题，解题的关键是熟练地进⾏向量表⽰，恰当应⽤向量共⾯的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．跟踪训练3 已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点(如图所⽰)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG→＝EH →＋mEF →.求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共⾯，E 、F 、G 、H 四点共⾯；(2)AC →∥EG →；(3)OG →＝kOC →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →知A 、B 、C 、D 四点共⾯，E 、F 、G 、H 四点共⾯．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →)＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.(3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO →＝k (AC →－AO →)＝kOC →，∴OG →＝kOC →.1．设a ，b 是两个不共线的向量，λ，µ∈R ，若λa ＋µb ＝0，则λ＝________，µ＝________. 答案 0 0解析∵a ，b 是两个不共线的向量，∴a ≠0，b ≠0，∴λ＝µ＝0.2．给出下列⼏个命题：①向量a ，b ，c 共⾯，则它们所在的直线共⾯；②零向量的⽅向是任意的；③若a ∥b ，则存在惟⼀的实数λ，使a ＝λb .其中真命题的个数为________．答案 1解析①假命题．三个向量共⾯时，它们所在的直线或者在平⾯内或者与平⾯平⾏；②真命题．这是关于零向量的⽅向的规定；③假命题．当b ＝0时，则有⽆数多个λ使之成⽴．3.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →＝________.(⽤a 、b 、c 表⽰)答案－23a ＋12b ＋12c 解析 MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13a ＋(b －a )＋12(c －b ) ＝－23a ＋12b ＋12c . 4．下列命题中，正确命题的个数为________．①若a ∥b ，则a 与b ⽅向相同或相反；②若AB →＝CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线；③若a ，b 不共线，则空间任⼀向量p ＝λa ＋µb (λ，µ∈R )．答案 0解析当a ，b 中有零向量时，①不正确；AB →＝CD →时，A ，B ，C ，D 四点共⾯不⼀定共线，故②不正确；由p ，a ，b 共⾯的充要条件知，当p ，a ，b 共⾯时才满⾜p ＝λa ＋µb (λ，µ∈R )，故③不正确．5．空间的任意三个向量a ，b,3a －2b ，它们⼀定是________．答案共⾯向量解析如果a ，b 是不共线的两个向量，由共⾯向量定理知，a ，b,3a －2b 共⾯；若a ，b 共线，则a ，b,3a －2b 共线，当然也共⾯．共⾯向量定理的应⽤：(1)空间中任意两个向量a ，b 总是共⾯向量，空间中三个向量a ，b ，c 则不⼀定共⾯．(2)空间中四点共⾯的条件空间点P 位于平⾯MAB 内，则存在有序实数对x 、y 使得MP →＝xMA →＋yMB →，①此为空间共⾯向量定理，其实质就是平⾯向量基本定理，MA →，MB →实质就是⾯MAB 内平⾯向量的⼀组基底．另外有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →，②或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB → (x ＋y ＋z ＝1)，③①、②、③均可作为证明四点共⾯的条件，但是①更为常⽤．。