第2课 空间向量基本定理课程标准课标解读1.理解并记住共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义..2.理解基底与基向量的含义，会用恰当的基向量表示空间任意向量.3.会用相关的定理解决简单的空间几何问题.1.通过对空间向量基本定理的意义的掌握与了解，会用空间向量的基底表示空间任一向量，能用正交分解及坐标形式表示空间向量.2.结合平面向量与空间向量的基本定理，解决平面与立体几何的相关问题.知识点01 空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p =xa +yb +zc .其中，空间中不共面的三个向量a ，b ，c 组成的集合{a ，b ，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a ，b ，c 都称为基向量；如果p =xa +yb +zc ，则称xa +yb +zc 为p 在基底{a ，b ，c}下的分解式.【微点拨】1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.【即学即练1】若a ,b ,c 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是()A.a ,a +b ,a -bB.b ,a +b ,a -bC.c ,a +b ,a -bD.a +b ,a -b ,2a +b【答案】C【解析】A ：因为(a +b )+(a -b )=2a ，所以向量a ,a +b ,a -b是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B ：因为(a +b )+(-1)(a -b)=2b ，所以向量b ,a +b ,a -b 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C ：因为a ,b ,c为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若c ,a +b ,a -b 不构成一组基底，则有c =x (a +b )+y (a -b )⇒c =(x +y )a +(x -y )b ，所以向量a ,b ,c是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此c ,a +b ,a -b能构成一组基底，D ：因为2a +b =32(a +b )+12(a +b)，所以向量a +b ,a -b ,2a +b 是共面向量，因此a +b ,a -b ,2a +b不能构成一组基底.故选：C知识点02空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用i ,j ,k表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.【微点拨】正交基底的三个向量i ,j ,k共起点.【即学即练2】已知向量a ，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a +b ，a -b ，a +c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为2,3,4 ，则p 在a +b ，a -b ，a +c 下的坐标为()A.-12,52,4B.52,12,4C.12,-52,4D.52,-12,4【答案】C 【分析】可设向量a =(1,0,0)，b =(0,1,0)，c =(0,0,1)，由此把向量a +b ，a -b ，a +c分别用坐标表示，列方程组解出x ，y ，z ，即可得到p的坐标．【详解】不妨设向量a =(1,0,0)，b =(0,1,0)，c=(0,0,1)；则向量a +b =(1,1,0)，a -b =(1,-1,0)，a +c=(1,0,1)．设p =x (a +b )+y (a -b )+z (a +c )，即(2,3,4)=x (1,1,0)+y (1,-1,0)+z (1,0,1)，∴x +y +z =2x -y =3z =4解得x =12y =-52z =4即p 在a +b ，a -b ，a +c 下的坐标为12,-52,4 ．故选：C ．【点睛】向量类问题的常用处理方法--向量坐标化，利用坐标运算比较简单．知识点03 用空间向量基本定理解决相关的几何问题1. 用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【即学即练3】已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且NM =xAB +yAD +zAP ，PM =2MC ，PN =ND ，则x +y +z 的值为()A.-23B.23C.1 D.56【答案】B【分析】取定空间的一个基底，由题设条件把NM用基底向量表示出，再根据空间向量基本定理求出x ，y ，z 的值而得解.【详解】PA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，以AB ,AD ,AP 为空间向量的一个基底，因PM =2MC，PN =ND ，NM =AM -AN =23AC +13AP -12(AD +AP )=23(AB +AD )-12AD -16AP =23AB+16AD -16AP ，又NM =xAB +yAD +zAP ，由空间向量基本定理知，x =23,y =16,z =-16，x +y +z =23+16-16=23.故选：B【点睛】空间向量线性运算与平面向量线性运算的运算律、运算方法相同.【即学即练4】如图，在三棱柱ABC -A 'B 'C '中，已知AA =a ，AB =b ，AC =c ，点M ，N 分别是BC '，B 'C '的中点，试用基底{a ,b ,c}表示向量AM ，AN .【答案】AM =12(a +b +c )；AN =a +12b +12c .【分析】根据向量的加法、减法法则，用a ,b ,c表示出AM 、AN 即可.【详解】连接A 'N ，AM =AB +12BC =AB +12(BC +CC)=AB +12BC +12CC=AB +12(AC -AB )+12AA =12AB +12AC +12AA =12(a +b +c)；AN =AA +A N =AA +12(A B +A C )=AA +12(AB +AC )=a +12b +12c .【点睛】本题考查向量的线性运算，考查计算化简的能力，属基础题.考法01空间向量基本定理的理解与运用：在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.【典例1】如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ,AC ,M ,N 分别是OA ,CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG =2GN ，用向量OA ,OB ,OC 表示向量OG为()A.OG =16OA +13OB +13OCB.OG =12OA+23OB +23OC C.OG =OA +23OB +23OCD.OG =12OA +13OB +23OC 【答案】A【分析】结合空间向量的加法、减法和数乘运算，把向量OG逐步向基底靠拢，再结合点的位置关系可得答案.【详解】OG =OM +MG =OM +23MN =23ON +13OM .因为M ,N 分别为OA ,CB 的中点，所以OM =12OA ,ON =12OB +OC ,所以OG =13OB +OC +16OA=16OA +13OB +13OC .故选：A .【典例2】下列关于空间向量的命题中，正确的有______.①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a ⎳b；②若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则有a ⎳c；③若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且OD =13OA +13OB +13OC ，则A ，B ，C ，D 四点共面；④若向量a +b ，b +c ，c +a ，是空间一组基底，则a ，b ，c也是空间的一组基底.【答案】①③④【解析】对于①：若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即a ⎳b，故①正确；对于②：若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则a 与c不一定共线，故②错误；对于③：若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且OD =13OA +13OB +13OC ，则OD -OA=13OB -OA +13OC-OA ，即AD =13AB +13AC ，可得到A ，B ，C ，D 四点共面，故③正确；对于④：若向量a +b ，b +c ，c +a，是空间一组基底，则空间任意一个向量d ，存在唯一实数组x ,y ,z ，使得d =x a +b +y b +c +z c +a =x +z a +x +y b +y +z c ，则a ，b ，c 也是空间的一组基底，故④正确.故答案为：①③④【典例3】已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD =xSA +ySB +zSC ，则x +y +z =_____.【答案】-12【解析】如图,根据条件:BD =12BC +BS =12SC -SB -SB=-SB +12SC =0SA -SB +12SC ,又BD =xSA +ySB +zSC ,∴由空间向量基本定理得x +y +z =0-1+12=-12,故答案为:-12考法02证明空间三向量共面或四点共面的方法向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p =x a +y b ，则向量p ，a ，b共面.对于此方法的使用要注意涉及的向量的始点、终点问题，如，本例中当MN 和CD 、DE 没有关联的端点时要说明CD 与DE不共线.除了例题中记法，另，若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP =x OA +y OB +z OC ，且x +y +z =1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面.可使用这一推论进行共面的证明.【典例4】如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM =13BD ，AN =13AE .求证:向量MN ，CD ，DE 共面.【答案】证明见解析【分析】根据题意，求得MB =13DB =13DA +13AB ，AN =13AD +13DE，再结合向量的共面定理，即可求解.【详解】因为M 在BD 上，且BM =13BD ，所以MB =13DB =13DA +13AB .同理AN =13AD +13DE .所以MN =MB +BA +AN=13DA +13AB +BA +13AD +13DE =23BA+13DE =23CD +13DE .又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN ，CD ，DE 共面.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记平面向量的共面定理，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与论证能力.【典例5】已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM =13OA +13OB +13OC .(1)判断MA ，MB ，MC三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内.【答案】(1)MA ,MB ,MC共面；(2)点M 在平面ABC 内.【分析】(1)由向量的线性关系可得OA -OM =(OM -OB )+(OM -OC )，由向量减法有MA =-MB-MC ，由空间向量共面定理，知MA ,MB ,MC 共面.(2)由(1)结论，有四点共面，即可知M 在平面ABC 内.【详解】(1)由题意，知：3OM =OA +OB +OC，∴OA -OM =(OM -OB )+(OM -OC )，即MA =BM +CM =-MB -MC ，故MA ,MB ,MC共面得证.(2)由(1)知：MA ,MB ,MC共面且过同一点M .所以M ,A ,B ,C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.考法03利用空间向量基本定理解决几种常见问题：1.平行问题：【典例6】已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ⎳平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM =14(OA +OB +OC +OD).【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)证明见详解【分析】(1)根据向量的加法几何应用得EG =EF +EH，由共面向量定理的推论可证E ，F ，G ，H 四点共面；(2)利用中位线证EH ⎳BD ，根据线面平行的判定定理可证BD ⎳平面EFGH ；(3)根据向量的几何应用可得OM =12(OE +OG )、OE =12(OA +OB )、OG =12(OC +OD )即可证OM =14(OA +OB +OC +OD )【详解】(1)如图，连接BG则EG =EB +BG =EB +12(BC +BD )=EB +BF +EH =EF +EH由共面向量定理的推论，知E ，F ，G ，H 四点共面(2)∵△ABD 中E ，H 分别是边AB ，DA 的中点，即EH 为中位线∴EH ⎳BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH ∴BD ⎳平面EFGH(3)由(2)知EH =12BD ，同理FG =12BD∴EH =FG ，即四边形EFGH 是平行四边形∴对角线EG ，FH 交于一点M 且M 为它们的中点，又E ，G 分别是AB ，CD 的中点空间中任取一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG ，如图所示故，在△OEG 中OM =12(OE +OG )=12OE+12OG在△AOB 中OE =12(OA +OB )；在△COD 中OG =12(OC +OD)；∴OM =12×12(OA +OB ) +12×12(OC +OD ) =14(OA +OB +OC +OD ).2.垂直问题：【典例7】在所有棱长均为2的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠B 1BC =60°，求证：(1)AB 1⊥BC ；(2)A 1C ⊥平面AB 1C 1.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)通过计算AB 1 ⋅BC=0来证得AB 1⊥BC .(2)通过证明A 1C ⊥AC 1、AB 1⊥A 1C 来证得A 1C ⊥平面AB 1C 1.【详解】(1)依题意可知三角形ABC 是等边三角形，所以‹AB ,BC ›=120°,AB 1 =AB +BB 1 ，则AB 1 ⋅BC =(AB +BB 1 )⋅BC =AB ⋅BC +BB 1 ⋅BC =2×2×-12 +2×2×12=0.所以AB 1⊥BC .(2)依题意四边形AA 1C 1C 为菱形，所以A 1C ⊥AC 1.因为AB 1 ⋅A 1C =(BB 1 -BA )⋅(AC -AA 1)=(BB 1 -BA )⋅(BC -BA -AA 1 )=BB 1 ⋅BC -BB 1 ⋅BA -BB 1 ⋅AA 1 -BA ⋅BC +BA ⋅BA +BA ⋅AA 1=BB 1 ⋅BC -BB 1 ⋅AA 1 -BA ⋅BC +BA ⋅BA=2×2×12-4-2×2×12+4=0，所以AB 1⊥A 1C ，又AC 1∩AB 1=A ，所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.3.夹角问题：【典例8】已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD=π3，DD 1=2.(1)证明：DD 1⊥BD ；(2)求异面直线CA 1与AB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见详解；(2)51122【分析】(1)由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明DD 1 ⋅BD=0即可；(2)用基向量求解向量CA 1 ,AB的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可.【详解】设CD =a ，CB =b ，CC 1 =c由题可知：a ,b ,c 两两之间的夹角均为π3，且a =1=b ，c =2(1)由DD 1 ⋅BD =CC 1 ⋅CD -CB =c ⋅a -b =c ⋅a -c ⋅b=1-1=0所以DD 1⊥BD 即证.(2)由CA 1 =CD +DA +AA 1 =a +b +c ，又AB =-a所以CA 1 =a +b +c 2=11，AB =1又CA 1 ⋅AB =-a ⋅a +b +c =-52则cos CA 1 ,AB =CA 1 ⋅ABCA 1 AB=-5211=-51122又异面直线夹角范围为0,π2所以异面直线CA 1,AB 夹角的余弦值为51122.4.求长度：【典例9】如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ,AD ,AA 1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P 在线段BC 上，且3BP =BC ，记a =AB,b =AD ,c =AA 1 .(1)试用a ,b ,c表示D 1P ；(2)求D 1P 模.【答案】(1)a -23b -c；(2) 5.【解析】(1)D 1P =AP -AD 1 =(AB +BP )-(AD +AA 1)，=a +13b -(b +c )=a -23b -c.(2)因为AB ，AD ，AA 1两两夹角为60°，长度分别为2，3，1.所以a ⋅b =3,a ⋅c=1,b ⋅c =32，D 1P =a -23b -c =a 2+49b 2+c 2-43a ⋅b -2a ⋅c +43b ⋅c =4+4+1-4-2+2.= 5.基础过关练1.下列能使向量MA ，MB ，MC成为空间的一个基底的关系式是()A.OM =13OA +13OB +13OC B.MA =MB +MCC.OM =OA +OB +OCD.MA =2MB -MC【答案】C【分析】根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A ：由OM =xOA +yOB +zOC x +y +z =1 ，可得M ，A ，B ，C 四点共面，即MA ,MB,MC共面，所以选项A 无法构成基底，选项C 可以构成基底；对于B ：因为MA =MB +MC ，由平面向量基本定理，可得MA ,MB ,MC共面，无法构成基底，故B 错误；同理选项D 中，MA ,MB ,MC共面，故D 错误.故选：C2.在正方体ABCD -A 'B 'C 'D '中，点M 为棱D 'C '的中点，点N 为棱BC 的中点，若MN =xAB +yAD+zAA ' ，则x +y +z =()A.-1B.0C.1D.2【答案】A【分析】利用空间向量的加法运算得到MN =12AB -AA ' -12AD ，再由MN =xAB +yAD +zAA ' ，利用待定系数法求解.【详解】如图所示：MN =MC ' +C 'C +CN =12AB -AA ' -12AD ，又因为MN =xAB +yAD +zAA '，所以x =12,y =-12,z =-1，所以x +y +z =-1，故选：A3.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1 =a ，AB =b ，AD =c，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c表示A 1N ()A.-a +b +12cB.-a +b +cC.-a -b +12cD.a -b +12c【答案】A【解析】∵N 是BC 的中点，∴A 1N =A 1A +AB +BN =-a +b +12BC =-a +b +12AD =-a +b +12c.故选：A .4.如图，正四棱锥P -ABCD 中，已知PA =a ，PB =b ，PC =c ，PE =12PD ，则BE=()A.12a -32b +12c B.-12a -12b -12cC.-12a -32b +12cD.-12a -12b +32c【答案】A【解析】如图所示：连接AC 、BD 交点为O ，则PO =12a +12c，又PO =12PD +12PB ，所以PD =a +c -b ，又PE =12PD =12a +12c -12b ，所以BE =BP +PE =12a -32b +12c.故选：A .5.已知向量a ,b ,c是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是()A.a +b ，a ，a -bB.a +b ，b ，a -bC.a +b ，c ，a -bD.a +b ，2a -b ，a -b【答案】C【解析】∵a +b +a -b =2a ，∴a ，a +b ，a -b共面，不能构成基底，排除A ；∵a +b -a -b=2b ，∴b ，a +b ，a -b 共面，不能构成基底，排除B ；∵2a -b =32a -b +12a +b ，∴a +b ，a -b ，2a -b 共面，不能构成基底，排除D ；若c 、a +b ，a -b 共面，则c =λa +b +m a -b =(λ+m )a +(λ-m )b ，则a 、b 、c为共面向量，此与a ,b ,c 为空间的一组基底矛盾，故c 、a +b ，a -b 可构成空间向量的一组基底．故选：C ．6.已知e 1 、e 2 、e 3 是空间的一个基底，a =e 1 +e 2 ，b =e 1 -e 2 ，c =e 3 ，p =3e 1 +2e 2 +e 3 ，若p =xa+yb +zc ，则x 、y 、z 的值分别为()A.12，52，1 B.52，1，12C.1，12，52D.52，12，1【答案】D【分析】本题首先根据p =xa +yb +zc 得出p =x +y e 1 +x -y e 2 +z e 3 ，然后根据p =3e 1 +2e 2 +e 3 即可列出算式并通过计算得出结果.【详解】因为a =e 1 +e 2 ，b =e 1 -e 2 ，c =e 3 ，p =xa +yb +zc，所以p=x e 1 +e 2 +y e 1 -e 2 +z e 3 =x +y e 1 +x -y e 2 +z e 3 ，因为p=3e 1 +2e 2 +e 3 ，所以x +y =3x -y =2z =1，解得x =52y =12z =1，故选：D .7.如图，在四面体OABC 中，G 是△ABC 的重心，D 是OG 的中点，则()A.OD =13OA +16OB+16OC B.OD =16OA +16OB +16OC C.OD =12OA +13OB +13OC D.OD =13OA +13OB +13OC 【答案】B【分析】记点E 为BC 的中点，连接AE ，OE ，G 是△ABC 的重心，则AG =23AE =23(OE -OA)，又OD =12OG =12(OA +AG )，化简可得选项．【详解】如图，记点E 为BC 的中点，连接AE ，OE ，所以OE =12(OB +OC )，又G 是△ABC 的重心，则AG =23AE ，所以AG =23AE =23(OE -OA ).因为OD =12OG ，所以OD =12OG =12(OA +AG )=12OA+13(OE -OA )=16OA +13OE =16OA +16(OB +OC )=16OA +16OB +16OC .8.如图所示，在四面体ABCD 中，△ABC 为等边三角形，AB =1，CD =12，∠ACD =60°，AB ⊥CD ，则BD =()A.32B.72C.52D.32【答案】D【分析】用向量BA ,AC ,CD 表示向量BD ,再根据向量的模的计算公式求解即可；另一方面还可以通过证明CD ⊥平面ABD 得CD ⊥BD ，进而在Rt △BCD 中求解即可.【详解】解：方法一：依题意，BD =BA +AC +CD，因为△ABC 为等边三角形，AB =1，CD =12，∠ACD =60°，AB ⊥CD ，所以BD =BD 2=BA +AC +CD 2=BA 2+AC 2+CD 2+2BA ⋅AC +2AC ⋅CD +2BA ⋅CD=1+1+14+2×1×1×cos120°+2×1×12×cos120°+2×0=32，故选：D ．方法二：∵AC =AB =1，CD =12，∠ACD =60°，∴AD =AC 2+CD 2-2⋅AC ⋅CD ⋅cos ∠ACD =32∴AD 2+CD 2=AC 2，即AD ⊥CD∵CD ⊥AB ，AB ∩AD =A ，∴CD ⊥BD ，BC =1⇒BD =32．故选：D ．【点睛】本题考查空间线段的计算，解题的关键在于将问题转化为向量的模的计算即可解决，是基础题.能力提升练9.以下命题①|a |-|b |=|a +b |是a ,b共线的充要条件；②若{a ,b ,c }是空间的一组基底，则{a +b ,b +c ,c +a }是空间的另一组基底；③|(a ⋅b )c |=|a |⋅|b |⋅|c |．其中正确的命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】①|a |-|b |=|a +b |⇒a ，b 共线，反之不成立，|a |-|b |=|a +b |是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，c }是空间的一组基底，假设a +b ,b +c ,c +a 共面，则存在唯一一组实数x ,y ，使a +b =x (b +c )+y (c +a)成立，即a +b =xb +(x +y )c +ya，所以x =1,y =1,x +y =0，显然无解，假设不成立，即a +b ,b +c ,c +a不共面，则{a +b ，b +c ，c +a }是空间的另一组基底，正确；③|(a ∙b )c |=|a |∙|b |∙|c |cos <a ,b >，而cos <a ,b >不一定等于1，因此不正确．其中正确的命题有一个．故选：B ．10.在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是()A.OM =2OA -OB -OCB.OM =15OA +13OB +12OCC.MA +MB +MC =0D.OM +OA +OB +OC =0 【答案】C 【解析】【分析】根据四点共面需要满足的条件，对四个选项进行逐一分析即可得到结果.【详解】空间的四点M 、A 、B 、C 四点共面，只需满足OM =xOA +yOB +zOC，且x +y +z =1即可，对于A ，OM =2OA -OB -OC中x +y +z =2-1-1=0，故此时四点M 、A 、B 、C 四点不共面；对于B ，OM =15OA +13OB +12OC 中x +y +z =15+13+12≠1，此时四点M 、A 、B 、C 四点不共面；对于C ，MA +MB +MC =0 ，MO +OA +MO +OB +MO +OC =0，即OM =13OA +13OB +13OC ，x +y +z =13+13+13=1，此时四点M 、A 、B 、C 四点共面；对于D ，OM +OA +OB +OC =0 ，则OM =-OA -OB -OC，x +y +z =-1-1-1=-3，此时四点M 、A 、B 、C 四点不共面；故选：C【点睛】本题考查空间中四点共面的判断，注意四点共面判断的二级结论的使用即可.11.已知空间向量a ，b 满足|a |=|b |=1，且a ，b 的夹角为π3，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA =2a +b ，OB =3a -b ，则△OAB 的面积为()A.523 B.543 C.743 D.114【答案】B 【分析】求出|OA |和|OB |，cos ∠AOB 和sin ∠AOB ，根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】|OA |=(2a +b)2=4|a |2+|b |2+4a ⋅b=4+1+4×1×1×12=7，|OB |=(3a -b )2=9a 2-6a ⋅b +b 2=9-6×1×1×12+1=7，则cos ∠AOB =OA ·OB |OA ||OB |=6|a |2-|b |2+a ⋅b 7=6-1+ 1×1×127=1114，从而有sin ∠AOB =1-1114 2=5314，∴△OAB 的面积S =12|OA ||OB |sin ∠AOB =12×7×7×5314=534，故选：B ．12.在三棱锥M -ABC 中，下列命题正确的是()A.若AD =13AB +23AC ，则BC =3BDB.若G 为△ABC 的重心，则MG =13MA +13MB +13MCC.若MA ⋅BC =0，MC ⋅AB =0，则MB ⋅AC =0D.若三棱锥M -ABC 的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则PQ =2【答案】BC 【分析】作出三棱锥M -ABC 直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于A ，由已知AD =13AB +23AC ⇒3AD =2AC +AB ⇒2AD -2AC =AB -AD ，即2CD =DB，则32BD=BD +DC =BC ，故A 错误；对于B ，由G 为△ABC 的重心，得GA +GB +GC =0，又MG =MA +AG ，MG =MB +BG ，MG =MC +CG ，∴MA +MB +MC =3MG ，即MG =13MA +13MB +13MC ，故B 正确；对于C ，若MA ⋅BC =0，MC ⋅AB =0，则MA ⋅BC +MC ⋅AB =0，即MA ⋅BC +MC ⋅(AC +CB)=0⇒MA ⋅BC +MC ⋅AC +MC ⋅CB =0⇒MA ⋅BC +MC ⋅AC -MC ⋅BC =0⇒MA -MC ⋅BC +MC ⋅AC =0⇒CA ⋅BC +MC ⋅AC =0⇒AC ⋅CB +MC ⋅AC =0⇒CB +MC ⋅AC =0，即MB ⋅AC =0，故C 正确；对于D ，∴PQ =MQ -MP =12(MB +MC )-12MA=12(MB +MC -MA )∴PQ =12MB +MC -MA =12MB +MC -MA2，又MB +MC -MA 2=MB 2+MC 2+MA2+2MB ⋅MC -2MB ⋅MA -2MC ⋅MA =22+22+22+2×2×2×12-2×2×2×12-2×2×2×12=8，∴PQ =128=2，故D 错误.故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．13.(多选题)在四面体P -ABC 中，以上说法正确的有()A.若AD =13AC +23AB ，则可知BC =3BDB.若Q 为△ABC 的重心，则PQ =13PA +13PB +13PCC.若PA ∙BC =0，PC ∙AB =0，则PB ∙AC =0D.若四面体P -ABC 各棱长都为2，M ，N 分别为PA ,BC 的中点，则MN =1【答案】ABC 【分析】作出四面体P -ABC 直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于A ，∵AD =13AC +23AB ，∴3AD =AC +2AB ，∴2AD -2AB =AC -AD ，∴2BD =DC，∴3BD =BD +DC =BC 即∴3BD =BC ，故A 正确；对于B ，∵Q 为△ABC 的重心，则QA +QB +QC =0，∴3PQ +QA +QB +QC =3PQ ∴(PQ +QA )+(PQ +QB )+(PQ +QC )=3PQ ,∴PA +PB +PC =3PQ即∴PQ =13PA +13PB +13PC ，故B 正确；对于C ，若PA ∙BC =0，PC ∙AB =0，则PA ∙BC +PC ∙AB=0，∴PA ∙BC +PC ∙(AC +CB )=0,∴PA ∙BC +PC ∙AC +PC ∙CB =0∴PA ∙BC +PC ∙AC -PC ∙BC =0,∴(PA -PC )∙BC +PC ∙AC =0∴CA ∙BC +PC ∙AC =0,∴AC ∙CB +PC ∙AC =0∴AC ∙(PC +CB )=0，∴AC ∙PB =0，故C 正确；对于D ，∴MN =PN -PM =12(PB +PC )-12PA=12(PB +PC -PA )∴MN =12PB +PC -PA =12PA -PB -PC∵PA -PB -PC =PA 2+PB 2+PC 2-2PA ∙PB -2PA ∙PC +2PC ∙PB =22+22+22-2×2×2×12-2×2×2×12+2×2×2×12=22∴MN=2，故D 错误.故选：ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．14.已知O 是空间任一点，A ,B ,C ,D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA =2x ⋅BO +3y ⋅CO +4z ⋅DO ，则2x +3y +4z =________.【答案】-1【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【详解】∵OA =2x •BO +3y •CO +4z •DO ，∴OA =-2x •OB -3y •OC -4z •OD ，∵O 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面∴-2x -3y -4z =1∴2x +3y +4z =-1故答案为-115.在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA =a ，PB =b ，PC =c ，则BE=_____．【答案】12a -32b +12c【分析】根据底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，向量加法的平行四边形法则得到BE =12(BP +BD )，而BD=BA +BC =(PA -PB )+(PC -PB )，即可求得BE 的结果.【详解】解：BE =12(BP +BD )=12(-b +BA +BC )=-12b +12(PA -PB +PC -PB )=-12b +12(a +c -2b )=12a -32b +12c ．故答案为：12a -32b +12c.16.如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知A 1A =a ,A 1B 1 =b ,A 1D 1 =c,O 为底面的ABCD 的中心，G 为△D 1C 1O 的重心，则AG=______【答案】23a +12b +56c【分析】AG =AO +OG =12AB +AD +13OD 1 +OC 1 =12b +c +1312BA +BC +DD 1 +12AB +AD +CC 1 ，由此能求出结果.【详解】解：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1A =a ,A 1B 1 =b ,A 1D 1 =c,O 为底面的ABCD 的中心，G 为△D 1C 1O 的重心，∴AG =AO +OG=12AB +AD +13OD 1+OC 1 =12b +c +1312BA +BC +DD 1 +12AB +AD +CC 1 =12b +c +16-b +c +13a +16b +c +13a=23a +12b +56c.故答案为：23a +12b +56c.【点睛】本题考查向量的求法，空间向量加法法则等基础知识的考查.培优拔尖练17.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA 1=∠CAA 1=60°．(1)设AA 1 =a ，AB =b ，AC =c ，用向量a ，b ，c 表示BC 1 ，并求出BC 1的长度；(2)求异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值．【答案】(1)BC 1 =a +c -b ；BC 1 =2；(2)66．【解析】【分析】(1)根据向量加减法运算法则可得BC 1 =a +c -b ，根据BC 1=(a +c -b)2计算可得BC 1的长度；(2)根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【详解】(1)BC 1 =BB 1 +B 1C 1 =BB 1 +A 1C 1 -A 1B 1 =AA 1 +AC -AB =a +c -b，因为a ⋅b =|a |⋅|b |cos ∠BAA 1=1×1×cos60°=12，同理可得a ⋅c =b ⋅c =12，所以BC 1 =(a +c -b )2=a 2+c 2+b 2+2a ⋅c -2a ⋅b -2c ⋅b=1+1+1+1-1-1=2．(2)因为AB 1 =a +b ，所以AB 1 =(a +b )2=a 2+b 2+2a ⋅b=1+1+1=3，因为AB 1 ⋅BC 1 =(a +b )⋅(a +c -b )=a 2+a ⋅c -a ⋅b +b ⋅a +c ⋅b -b 2=1+12-12+12+12-1=1，所以cos <AB 1 ,BC 1 >=AB 1 ⋅BC 1AB 1 BC 1=12×3=66．所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为66．【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了利用空间向量计算线段的长度，考查了异面直线所成角的向量求法.18.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB =a ,AD =b ,AP =c ．(1)试用l 表示出向量BM；(2)求BM 的长．【答案】(1)-12a +12b +12c (2)62【解析】(1)∵M 是PC 的中点，∴BM =12BC +BP =12AD +AP -AB =12b +c -a =-12a +12b +12c (2)由于AB =AD =1,PA =2, ∴a =b =1,c =2由于AB ⊥AD ,∠PAB =∠PAD =600, ∴a ⋅b =0, a ⋅c =b ⋅c =2⋅1⋅cos60°=1由于BM =12-a +b +c ,∴BM 2=14-a +b +c 2=14a 2+b 2+c 2+2-a ⋅b -a ⋅c +b ⋅c =14 12+12+22+20-1+1 =32∴BM =62， ∴BM 的长为62.19.已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE =kOA ，OF =kOB ，OH =kOD ，AC =AD +mAB ，EG =EH +mEF ．求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面；(2)AC ⎳EG ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)根据共面向量的基本定理，由AC =AD +mAB ，EG =EH +mEF 可证明结论.(2)运用向量共线定理求证得到线平行.【详解】由AC =AD +mAB ，EG =EH +mEF 由共面向量的基本定理可得：AC ， AD ， AB 为共面向量且AC ， AD ， AB 有公共点A EG ， EH ， EF 为共面向量且EG ， EH ， EF 有公共点E所以A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面．(2)因为OE =kOA ，OF =kOB ，OH =kOD ∵EG =EH +mEF =OH -OE +m (OF -OE )=k (OD -OA )+km (OB -OA )=kAD +km AB =k (AD +mAB )=kAC ，∵AC ∥EG ，又∵E ∉AC ，∴AC ⎳EG ．所以AC ⎳EG20.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .【答案】证明见解析.【分析】设AB =a ，AD =c ，AA 1 =b ，作为一组基底，分别表示向量EF ,AB 1 ,B 1C ，证明EF ⊥AB 1 ，EF ⊥B 1C 即可.【详解】设AB =a ，AD =c ，AA 1 =b ，则a ⋅b =a ⋅c =b ⋅c =0.则EF =EB 1 +B 1F =12(BB 1 +B 1D 1 )=12(AA 1 +BD )=12(AA 1 +AD -AB )=12(-a +b +c )，AB 1 =AB +BB 1 =AB +AA 1 =a +b .∴EF ⋅AB 1 =12(-a +b +c )⋅(a +b )=12|b |2-|a |2 =0.∴EF ⊥AB 1 ，即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C .∵AB 1∩B 1C =B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .21.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AC ,A 1C ⊥BC 1,AB 1⊥BC 1，D ，E 分别是AB 1,BC 的中点.求证：(1)DE ⎳平面ACC 1A 1；(2)AE ⊥平面BCC 1B 1.(用向量方法证明)【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)设AB =a ,AC =b ,AA 1 =c ，利用空间向量定理表示向量DE ，A 1C ，论证DE ，A 1C 共线即可.(2)设AB =a ,AC =b ,AA 1 =c ，利用空间向量定理表示向量AE ,BC ,BB 1,BC 1 ,AB 1 ，根据AB =AC ,A 1C ⊥BC 1,AB 1⊥BC 1，得到b ⋅c +a ⋅c =0，然后再论证AE ⊥BB 1 ，AE ⊥BC 即可.【详解】设AB =a ,AC =b ,AA 1 =c .(1)DE =AE -AD =12(a +b )-12AB 1 =12(a +b )-12(a +c )=12(b -c )，∵A 1C =AC -AA 1 =b -c ，∴DE =12A 1C ，∴DE ⎳A 1C ，又DE ⊄平面ACC 1A 1,A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴DE ⎳平面ACC 1A 1.(2)易知AE =12(a +b ),BC =b -a ,BB 1=c ,BC 1 =b -a +c ,AB 1 =a +c ，∵A 1C ⊥BC 1,AB 1⊥BC 1，∴A 1C ⋅BC 1 =0AB 1 ⋅BC 1 =0 即(b -c )⋅(b -a +c )=0,(a +c )⋅(b -a +c )-0,两式相加，整理得b 2-a 2+b ⋅c +a ⋅c =0，∵AB =AC ，∴|a |=|b |，∴b ⋅c +a ⋅c =0.∵AE ⋅BB 1 =12(a +b )⋅c =12(a ⋅c +b ⋅c )=0，∴AE ⊥BB 1 .又AE ⋅BC =12b 2-a 2 =0，∴AE ⊥BC .又BC ∩BB 1=B ，∴AE ⊥平面BCC 1B 1.。
