高中数学教学 共线向量与共面向量

共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行→ 向量，记作 푎∥→ →푏．0与任意向量是共线向量．（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理→ → →→ 对于空间任意两个向量 푎、푏（푏 ≠ 0），푎 ∥ → → →푏的充要条件是存在实数 λ，使得푎 = 휆푏． （2）共面向量定理→→ → → →→ 如果两个向量 푎、푏不共线，则向量푝与向量푎、푏共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得푝 = 푥 → →푎 +푦푏．【解题方法点拨】空间向量共线问题：→ →（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使푎 = 휆푏成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具→ → →体图形，通过化简、计算得出푎 = 휆푏，从而푎 ∥→푏．→ （2）푎 ∥→ → →푏表示푎与푏所在的直线平行或重合两种情况．空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过 程中注意直线与向量的相互转化．→ → →（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使푀푃=푥푀퐴+푦푀퐵．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．1/ 3证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题→→→→例：若푎=（2x，1，3），푏=（1，﹣2y，9），如果푎与푏为共线向量，则（）A．x＝1，y＝1 B．x =12，y =―12C．x =16，y =―32D．x =―16，y =32→→分析：利用共线向量的条件푏=휆푎，推出比例关系求出x，y 的值．→→解答：∵푎=（2x，1，3）与푏=（1，﹣2y，9）共线，2푥故有1=1―2푦=39．∴x =16，y =―32．故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（）→A．푂푀=→푂퐴+→푂퐵+→→→푂퐶B．푂푀=2푂퐴―→푂퐵―→→푂퐶C．푂푀=→푂퐴+12→푂퐵+13→→푂퐶D．푂푀=13→푂퐴+13→푂퐵+13→푂퐶→分析：根据共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．→解答：由共面向量定理푂푀=푚⋅→푂퐴+푛⋅→푂퐵+푝⋅→푂퐶，푚+푛+푝=1，说明M、A、B、C 共面，可以判断A、B、C 都是错误的，则D 正确．2/ 3故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．3/ 3。

高中数学学案：空间向量的共线与共面基础诊断1. 对于空间任意一点O,下列命题正确的是________．(填序号) ①若OP→＝OA →＋tAB →,则P,A,B 三点共线； ②若3OP→＝OA →＋AB →,则P 是AB 的中点； ③若OP→＝OA →－tAB →,则P,A,B 三点不共线；④若OP →＝－OA →＋AB →,则P,A,B 三点共线．2. 已知向量a ＝m i ＋5j －k ,b ＝3i ＋j ＋r k ,若a ∥b ,则实数m ＝________,r ＝________．3. 已知A,B,C 三点不共线,对平面ABC 外的任意一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是________．(填序号)①OM→＝OA →＋OB →＋OC →； ②OM→＝2OA →－OB →－OC →； ③OM→＝OA →＋12OB →＋13OC →； ④OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.范例导航考向例1 在空间四边形ABCD 中,AC 和BD 为对角线,G 为△ABC 的重心,E 是BD 上的一点,BE ＝3ED,以{AB→,AC →,AD →}为基底,则GE →＝__________________．如图,在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中,AM →＝12MC →,A 1N →＝2ND →,设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,用基底{a ,b ,c }表示向量MN→＝________________________________________________________________________.考向例2 如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和BD上的点,且D1P∶PA＝DQ∶QB＝5∶12.(1) 求线段PQ的长度；(2) 求证：PQ⊥AD；(3) 求证：PQ∥平面CDD1C1.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中点．求证：(1) AE⊥CD；(2) PD⊥平面ABE.自测反馈1. 若A(m ＋1,n －1,3),B(2m,n,m －2n),C(m ＋3,n －3,9)三点共线,则m ＋n ＝________．2. 设点A,B,C,D 是空间四点,有以下几个条件：①OD →＝OA →＋12OB →＋12OC →；②OD→＝12OA →＋13OB→＋14OC →；③OD →＝12OA →＋13OB →＋15OC →；④OD →＝12OA →＋13OB →＋16OC →.其中能够使A,B,C,D 四点一定共面的条件是________．(填序号)3. 向量a ＝(8,3,13),b ＝(2,3,5),c ＝(－1,3,1)________共面．(填“是”或“不是”)1. 用基底表示空间向量,作为基底的三个向量要不共面,注意上面题目中的基底是否共面？2. 四点共面成立的充要条件是什么？证明线面平行需要交代线不在平面内．3. 你还有哪些体悟,写下来：第3课 空间向量的共线与共面基础诊断1. ① 解析：①若OP →＝OA →＋tAB →,则AP →＝tAB →,所以A,B,P 共线,所以①正确；②若3OP →＝OA →＋AB→,则3OP →＝OB →,不能得到P 是AB 的中点,所以②错误；③若OP →＝OA →－tAB →,则AP →＝－tAB→,A,B,P 共线,所以③错误；④若OP →＝－OA →＋AB →,则OP →＝－2OA →＋OB →,且－2＋1≠1,所以A,B,P 不共线,所以④错误．2. 15 －15 解析：因为a ∥b ,所在存在实数λ使得a ＝λb ,可得⎩⎨⎧m ＝3λ，5＝λ，－1＝λr ，解得m ＝15,λ＝5,r ＝－15.3. ④ 解析：由向量共面定理得,OM→＝xOA →＋yOB →＋zOC →,x ＋y ＋z ＝1.①1＋1＋1＝3≠1,则①不能确定；②2－1－1≠1,所以②不能确定；③1＋12＋13≠1,所以③不能确定；④13＋13＋13＝1,所以④能确定．范例导航例1 －112AB →－13AC →＋34AD → 解析：由题意,连结AE,则GE→＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD→＋14DB →－23·12(AC →＋AB →)＝AD →＋14(AB →－AD →)－13AC →－13AB →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.－13a ＋13b ＋13c 解析：MN →＝AN →－AM →＝AA 1→＋A 1N →－13AC →＝AA 1→＋23A 1D →－13(AB →＋BC →)＝AA 1→＋23(AD →－AA 1→)－13(AB →＋AD →)＝c ＋23(b －c )－13(a ＋b )＝－13a ＋13b ＋13c .例2 解析：(1) 以D 为坐标原点,分别以DA,DC,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系．由于正方体的棱长为1,所以D(0,0,0),D 1(0,0,1),B(1,1,0),A(1,0,0)． 因为P,Q 分别是线段AD 1和BD 上的点,且D 1P ∶PA ＝DQ ∶QB ＝5∶12, 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫517，0，1217,Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫517，517，0, 所以PQ→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，517，－1217,所以PQ ＝|PQ →|＝1317. (2) 因为DA→＝(1,0,0),所以PQ →·DA →＝0,即PQ ⊥AD. (3) 因为DC →＝(0,1,0),DD 1→＝(0,0,1),所以PQ →＝517DC →－1217DD 1→.又DD 1,DC 平面CDD 1C 1,PQ 平面CDD 1C 1, 所以PQ ∥平面CDD 1C 1.解析：(1) 由题意知AB,AD,AP 两两垂直,以A 为坐标原点,分别以AB,AD,AP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,如图,设PA ＝AB ＝BC ＝1,则P(0,0,1).因为∠ABC ＝60°,AB ＝BC, 所以△ABC 为正三角形, 所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0,E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12.设D(0,y,0),则AC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0, CD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y －32，0. 由AC ⊥CD,得AC→·CD →＝0,即y ＝233,则D ⎝⎛⎭⎪⎫0，233，0, 所以CD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0. 又AE→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12, 所以AE →·CD →＝－12×14＋36×34＋0×12＝0, 所以AE→⊥CD →,即AE ⊥CD. (2) 因为P(0,0,1),所以PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1. 又AE→·PD →＝14×0＋34×233＋12×(－1)＝0, 所以PD→⊥AE →,即PD ⊥AE.因为AB →＝(1,0,0),所以PD →·AB →＝0. 所以PD ⊥AB.又AB ∩AE ＝A,AB,AE 平面ABE, 所以PD ⊥平面ABE.自测反馈1. 0 解析：因为A(m ＋1,n －1,3),B(2m,n,m －2n),C(m ＋3,n －3,9),所以AB →＝(m －1,1,m －2n－3),AC→＝(2,－2,6)．又因为A,B,C 三共点共线,所以存在实数λ使得AB →＝λAC →,即⎩⎨⎧m －1＝2λ，1＝－2λ，m －2n －3＝6λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0，λ＝－12，所以m ＋n ＝0＋0＝0.2. ④ 解析：由向量共面定理得,OD→＝xOA →＋yOB →＋zOC →,x ＋y ＋z ＝1.①因为1＋12＋12≠1,所以不能使A,B,C,D 共面；②因为12＋13＋14≠1,所以不能使A,B,C,D 共面；同理③亦不能；④因为12＋13＋16＝1,所以④能使A,B,C,D 共面．3. 是解析：假设a ＝x b ＋y c ,则可得⎩⎨⎧8＝2x －y ，3＝3x ＋3y ，13＝5x ＋y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2.又因为b ＝(2,3,5),c ＝(－1,3,1),所以b ,c 不共线,则a ,b ,c 三向量共面．。

高中数学选择性必修一-二。

三知识点汇编选择性必修一第一章 空间向量与立体几何一、共线向量、共面向量定理1.共线向量定理:对任意两个空间向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb.2.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p =xa +yb. 二、空间向量基本定理如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对任意一个空间向量p ,存在唯一的有序实数组(x ,y ,z ),使得p =xa +yb +zc.三、空间向量运算的坐标表示1.空间向量运算的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3). 运算 坐标表示加法 a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) 减法 a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2,a 3-b 3) 数乘 λa =(λa 1,λa 2,λa 3),λ∈R数量积a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 32.空间向量常用结论的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3). 结论 坐标表示共线 a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ⇔a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R) 垂直a ⊥b ⇔a ·b =0⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0向量长度 |a |=√a ·a =√a 12+a 22+a 32向量夹 角公式cos<a ,b >=a ·b|a||b|=112233√a 1+a 2+a 3·√b 1+b 2+b 33.空间两点间的距离公式设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,则P 1P 2=|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2+(z 2-z 1)2.四、空间向量1.设直线l ,m 的方向向量分别为μ,v ,平面α,β的法向量分别为n 1,n 2,则线线平行 l ∥m ⇔μ∥v ⇔μ=λv ,λ∈R 线面平行 l ∥α⇔μ⊥n 1⇔μ·n 1=0 面面平行 α∥β⇔n 1∥n 2⇔n 1=λn 2,λ∈R线线垂直 l ⊥m ⇔μ⊥v ⇔μ·v =0 线面垂直 l ⊥α⇔μ∥n 1⇔μ=λn 1,λ∈R 面面垂直 α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2=0 线线夹角 l ,m 的夹角θ∈[0,π2],cos θ=|μ·ν||μ||ν| 线面夹角 l ,α的夹角为θ∈[0,π2],sin θ=|μ·n 1||μ||n 1|面面夹角α,β的夹角为θ∈[0,π2],cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|2.点到直线的距离设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,则向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在直线l 上的投影向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ·u )u ,点P 到直线l 的距离PQ =√|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√a 2-(a ·u)2. 3.点到平面的距离已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点,过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则n 是直线l 的方向向量,且点P 到平面α的距离PQ =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |n||=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗·n |n||=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗·n||n|.第二章 直线和圆的方程一、直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角规定 当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°范围[0,π)2.直线的斜率定义当直线l 的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k =tan α斜率公式 经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k =y 2-y1x 2-x 13.直线的方向向量直线的方向向量 设A ,B 为直线上的两点,则AB⃗⃗⃗⃗⃗ 就是这条直线的方向向量 方向向量的坐标 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(其中x 1≠x 2),则直线AB 的一个方向向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1) 方向向量与斜率 若直线l 的斜率为k ,则直线l 的一个方向向量为(1,k )4.两条直线平行和垂直的判定对于两条不重合的直线l 1,l 2,其斜率分别为k 1,k 2. 位置关系 判定特例平行 l 1∥l 2⇔k 1=k 2 直线l 1,l 2的斜率都不存在时,l 1与l 2平行垂直l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1一直线斜率为零,另一直线斜率不存在时,两条直线垂直二、直线的方程直线方程的五种形式及适用范围:名称几何条件方程适用条件斜截式 纵截距、斜率 y =kx +b与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y -y 0=k (x -x 0)两点式 过两点y−y 1y 2-y 1=x−x 1x 2-x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 横、纵截距x a +yb=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)所有直线三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点坐标直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标就是方程组{A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.位置关系 方程组的解的个数相交 方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解 平行 方程组无解 重合方程组有无数个解2.距离公式距离类型 已知几何元素距离公式两点间的距离两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)|P 1P 2|=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2点到直线的距离点P 0(x 0,y 0),直线l :Ax +By +C =0 d =00√A 2+B 2两条平行直线间的距离两条平行直线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0d =12√A 2+B 2四、圆的方程圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 圆 的方 程 标准式 (x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0)圆心坐标:(a ,b )半径为r 一般式x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0) 圆心坐标:(-D2,-E2) 半径r =12√D 2+E 2-4F五、直线与圆、圆与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系判断; (2)代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断. 位置关系 几何法代数法相交 d <r Δ>0 相切 d =r Δ=0 相离d >rΔ<02.圆与圆的位置关系设圆O 1:(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 12(r 1>0),圆O 2:(x -a 2)2+(y -b 2)2=r 22(r 2>0).方法位置关系几何法:根据圆心距d =|O 1O 2|与r 1+r 2或|r 1-r 2|的大小关系进行判断代数法:根据两圆方程组成的方程组解的个数进行判断外离 d >r 1+r 2 无解 外切 d =r 1+r 2一组实数解 相交 |r 1-r 2|<d <r 1+r 2两组不同的实数解 内切 d =|r 1-r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1-r 2|(r 1≠r 2)无解第三章 圆锥曲线的方程一、椭圆1.椭圆的定义定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距符号语言集合P ={M ||MF 1|+|MF 2|=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a >0,c >0,且a ,c 为常数 轨迹类型a >c点M 的轨迹为椭圆 a =c点M 的轨迹为线段 a <c点M 不存在2.椭圆的标准方程及其几何性质标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)图形性范围-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b-a ≤y ≤a ,-b ≤x ≤b质 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点坐标A 1(-a ,0),A 2(a ,0),B 1(0,-b ),B 2(0,b )A 1(0,-a ),A 2(0,a ),B 1(-b ,0),B 2(b ,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ,a 为长半轴长;短轴B 1B 2的长为2b ,b 为短半轴长焦距 |F 1F 2|=2c离心率e =ca ,e ∈(0,1),其中c =√a 2-b 2a ,b ,c 的关系a 2=b 2+c 2二、双曲线1.双曲线的定义定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距符号语言集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a ,0<2a <|F 1F 2|},|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数,且a >0,c >0 轨迹类型a <c点M 的轨迹为双曲线(不含绝对值时为双曲线的一支) a =c点M 的轨迹为两条射线(不含绝对值时为一条射线) a >c点M 不存在2.双曲线的标准方程及其几何性质标准方程x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)图形性 质范围 x ≤-a 或x ≥a ,y ∈R x ∈R,y ≤-a 或y ≥a对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点顶点 A 1(-a ,0),A 2(a ,0)A 1(0,-a ),A 2(0,a )渐近线y =±ba xy =±ab x离心率 e =ca ,e ∈(1,+∞),其中c =√a 2+b 2轴实轴A 1A 2的长为2a ,a 为实半轴长; 虚轴B 1B 2的长为2b ,b 为虚半轴长a ,b ,c 的关c 2=a 2+b 2系 三、抛物线1.抛物线的定义定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线符号语言 集合P ={M ||MF |=d }(d 为点M 到准线l 的距离) 特例当F ∈l 时,动点M 的轨迹是过F 点垂直于l 的直线2.抛物线的标准方程及其几何性质图形标准方程 y 2= 2px (p >0) y 2= -2px (p >0)x 2=2py (p >0)x 2=-2py (p >0)p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离性质 顶点 O (0,0)对称轴 y =0 x =0焦点 F (p2,0)F (-p2,0)F (0,p2)F (0,−p2)离心率 e =1准线方程x =-p 2 x =p2y =-p2 y =p2 范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈Ry ≤0,x ∈R开口方向 向右向左向上向下选择性必修二一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).2.等差中项:由三个数a ,A ,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项,且2A =a +b.3.通项公式:等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d.4.前n 项和公式:S n =n(a 1+a n )2=na 1+n(n -1)2d (n ∈N *).5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (m ,n ∈N *).(2)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m +a n =a p +a q .(3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). (5)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值. 二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.2.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时,G 2=ab.3.通项公式:等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,则其通项公式为a n =a 1q n -1. 4.前n 项和公式:S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1−q =a 1-a n q 1−q,q ≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m q n -m(m ,n ∈N *).(2)若k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则有a k ·a l =a m ·a n .(3)当q ≠-1或q =-1且n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍成等比数列,其公比为q n. 三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )=c (c 为常数) f'(x )=0f (x )=x α(α∈Q,且α≠0)f'(x )=αx α-1 f (x )=sin x f'(x )=cos x f (x )=cos x f'(x )=-sin x f (x )=a x (a >0,且a ≠1)f'(x )=a x ln a f (x )=e xf'(x )=e x f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)f'(x )=1xlna f (x )=ln xf'(x )=1x2.导数的四则运算法则已知两个函数f (x ),g (x )的导数分别为f'(x ),g'(x ).若f'(x ),g'(x )存在,则有: (1)[f (x )±g (x )]'=f'(x )±g'(x ); (2)[f (x )g (x )]'=f'(x )g (x )+f (x )g'(x ); (3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g (x )≠0).3.简单复合函数的导数复合函数y =f (g (x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为y'x =y'u ·u'x . 四、导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般地,函数f (x )的单调性与导函数f'(x )的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a ,b )上,如果f'(x )>0,那么函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递增; 在某个区间(a ,b )上,如果f'(x )<0,那么函数y =f (x )在区间(a ,b )上单调递减. 2.函数的极值与导数条件f'(x 0)=0x 0附近的左侧f'(x )>0,右侧f'(x )<0 x 0附近的左侧f'(x )<0,右侧f'(x )>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.选择性必修三一、计数原理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.3.排列与排列数(1)排列一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A n m表示.4.组合与组合数(1)组合一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号C n m 表示.5.二项式定理(1)二项式定理:(a +b )n =C n 0a n +C n 1a n -1b 1+…+C n k a n -k b k +…+C n n b n ,n ∈N * .(2)二项展开式的通项:T k +1=C n k a n -k b k ,通项为展开式的第k +1项.6.各二项式系数的和(1)(a +b )n 的展开式的各二项式系数的和等于2n ,即C n 0+C n 1+C n 2+…+C n n =2n .(2)在(a +b )n 的展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C n 1+C n 3+C n 5+…=C n 0+C n 2+C n 4+…=2n -1.二、随机变量及其分布1.条件概率一般地,设A ,B 为两个随机事件,且P (A )>0,则称P (B |A )=P(AB)P(A)为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率,简称条件概率.对任意两个事件A 与B ,若P (A )>0,则P (AB )=P (A )P (B |A ),称此公式为概率的乘法公式.2.全概率公式一般地,设A 1,A 2,…,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪…∪A n =Ω,且P (A i )>0,i =1,2,…,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,有P (B )=∑i=1n P (A i )P (B |A i ),称此公式为全概率公式.3.离散型随机变量的分布列、期望与方差名称 表现形式(或公式)性质分布列 X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p np i ≥0,i =1,2,3,…,n ; p 1+p 2+…+p n =1 期望 E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n =∑i=1n x i p i E (aX +b )=aE (X )+b 方差 D (X )=(x 1-E (X ))2p 1+(x 2-E(X ))2p 2+…+(x n -E (X ))2p n =∑i=1n (x i -E (X ))2p i(1)D (aX +b )= a 2D (X ); (2)D (X )=E (X 2)-[E (X )]2 4.几种常见的概率分布名称 概念(或公式)数字特征 二项分布 P (X =k )=C n k p k (1-p )n -k ,k =0,1,2,…,n.记作X~B (n ,p ) E (X )=np ; D (X )=np (1-p )超几何分布 P (X =k )=C M k C N−M n−k C N n ,k =m ,m +1,m +2,…,r.其中n ,N ,M∈N *,M ≤N ,n ≤N ,m =max{0,n -N +M },r =min{n ,M }E (X )=nM N 正态分布 随机变量X 服从正态分布记为X~N (μ,σ2),特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X 服从标准正态分布 若X~N (μ,σ2),则E (X )=μ,D (X )=σ2; P (X ≤μ)=P (X ≥μ)=0.5三、成对数据的统计分析1.样本相关系数r =∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1(x i -x)2√∑i=1(y i -y)2. 2.经验回归方程方程y ^=b ^x +a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )的回归方程,其中a ^,b ^是待定参数,其最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n (x i -x)2,a ^=y-b ^x. 3.2×2列联表Y =0 Y =1 合计 X =0a b a +b X =1c d c +d 合计a +cb +d a +b +c +d 4.独立性检验:χ2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n =a +b +c +d.。