1.耦合谐振子的Hamilton量为工；）+ AXjX2 H= y-（+ P；）+ ^fna>2（x： +其中- '四=_谕白，P，=_滴白（2）OX A- dx2X|、Pl和名、P2分属于不同的自由度，设/t<〃Z©2,试求这耦合谐振子的能级。
解：如没有耦合项石内，就成为二维各向同性谐振子，Hamilton量为H0 = H l+H2=^-pf + m（o2xf + 土°；+?"1况¥；⑶用分离变量法即可化成两个独立的-•维谐振子问题，能级和本征函数为E* 如=（弓+%+1）上。
（4）% （心易）=%,（而肱（工2）⑸%,仇=°，1，2, ........其中％（》）为一维谐振子的能量本征函数。
对于耦合振子，可以用坐标变换的办法将问题化成两个独立的一维谐振子问题。
令也=±°""）' "=去（凶一）‘2）（6）即"士（…）（&）蚌+云=弁+犬 工内=!（井一乂） a 2 a 2 a 2 伊 --- + --- = -- + ---dxf dx^ dyf dy}因此，Hamilton 量可以表示成容易证明当苴*生+_ 2m[dy ； + oy ； )+ ：〃以2（），《+）'；） + 务2一£）(8)其中+ }网将 +!，g ；y ；=^2 + —,CO ； = CD 1 -—tn」(9)式（8）正是两个独立谐振子（频率田，例）能量算符之和。
因此，能量本征值和本征函数为=（可+?力使膈2(10)on W N、形（凹，v2）=w*（乂）w/ y2）MM=0,l,2,…2. 利用Hermite 多项式的递推关系式和求导公式，证明d"!2-TV W 〃 (x) = %「(x) -(2〃 + \)甲〃(X)+ J(〃 + l)(〃 + 2)“ 心 2 (x)]ax^2 1-J" = 2〃…T （X ）+j 号板，Md （X ）xV ?J (x )= —!- 2aJn(n - l )w"_2(X )4- (2〃 + l)"〃(x) + yj(n +1)(/14- 2)^/J +2(x)]AdU ）- J 旦（X ）々*）=（—1）%尸") = !知“(x)= N“eYS 号H,0)=5* 加")+ 2电再)]=|N*FH Z (g) + (S)=g N n+l后罚…乩其)+ N“_\总次(£) =UP NZf (S) + 也N/S2H.T (§)=，捋(X)+ 由"妇(x)_____ ___________生Wn （X ）=-切"（X ）+ 乂 岑宾… d& d&=- （X ）+ J 号X H（X ）+ N,K"nHi （&）=_（*）+（X ）］ + N“_i y^~e ' 2 2〃H,,_i （S ） =（x ）+（X ）］ + 2*乂（§）必）=5（如牛g 〃（§）d 号皿（，）一 2g, （§） + 2儿％t （Q = OH 〃（号）=（一1）腿必d<S n_I3.求在一维常数虚势一iV(V«E)中运动的粒子的波函数。
第二章dinger oSchr &&方程§2.1dinger oSchr &&方程dinger oSchr &&方程是非相对论量子力学的基本方程，是公设，其正确性只能由它导出的结论和实验是否符合来检验。
下面只是去理解它。
无外场的自由粒子波函数为())Et r p i Ce t r −⋅=rr hr ,ψ由于22p E m=v，这个()t r ,r ψ表达式显然满足下面形式的波动方程()()t r mptt r i ,2ˆ,2r r r hψψ=∂∂这就是自由微观粒子的dinger oSchr &&方程。
我们可以用一种简明的公设性程式，即“一次量子化”的方法直接“得到”这个方程：将经典物理学关于自由粒子能量的等式mp E 22r=，按以下对应替换为量子算符（2.1a ） 并将所得的量子算符方程作用到系统的状态波函数()t r ,rψ上即可。
对于有外场()r V r的情况，按经典物理学，系统的总能量为()r V mp E r r+=22。
为了转换到对应的量子系统，仍采用上述“一次量子化”的程式：（2.1b ） 再将所得到的算符方程作用到波函数()t r ,rψ上，就得到与此经典系统对应的量子系统的dinger oSchr &&方程：(2.2)这里用了方程()()()()t r r V t r r V ,,ˆˆr r r r ψψ=。
通常记()()Hr V mr V m p ˆ2222=+Δ−=+r h r ，称为这个量子系统的哈密顿量算符，简称为系统的哈密顿量。
于是非相对论量子系统dinger oSchr &&方程可写为(2.3) 其中()()r f r vv =0,ψ为给定的初始条件，如果需要再配以适当的边界条件，便是一个完整的非相对论量子力学问题。
这里应当指出三点： 第一， 这里“一次量子化”程式只是一种理解，不是严肃的逻辑论证。
