量子力学第二章总结

第二章1.波函数/平面波：（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。

（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。

在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。

由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。

（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。

4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。

故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。

7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。

量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。

这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。

波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。

波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。

叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。

这个原理被称为叠加原理。

量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。

一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。

算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。

在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。

算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。

观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。

不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。

氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。

氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。

能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。

能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。

轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。

轨道角动量用量子数 l 来标记。

磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。

自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。

电子具有自旋角动量。

自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。

自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。

对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。

自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。

总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。

第二讲 绪论课的主要目的是让同学们了解结构化学的大概情况，并在学习方法和重视程度上有所准备。

下面讲些预备知识。

第二章 量子力学基础知识 关于经典物理学，我们早有基础，为什么有了经典物理后还要有量子力学呢？2.1 量子力学的提出2.1.1 经典物理学的困难 经典物理学包括牛顿力学以及在电磁光热等方面建立起的电学、磁学、电磁学、电动力学、光学和热力学等一些学科，这些学科早在19世纪就比较成熟了，到了19世纪末就建立了完整的体系，对于当时所有的宏观物理现象，都可以进行解释，甚至连哈雷彗星多少年可以回归一次，都可以精确地计算出来，所以当时有很多科学家尤其是物理学家认为：物理学的大厦已经建成了，后辈物理学家只要作一些修修补补的工作就行了，如焦耳劝普朗克改行，开尔文在20世纪新年献词中讲到"在清朗洁净的的物理太空中，还只剩下两朵乌云，一朵是麦克尔逊的实验，一朵是黑体辐射，到了20世纪初又发现了光电效应和氢原子光谱等难以用经典物理学解释的现象。

2.1.2 氢原子光谱与波尔学说 光谱：光之谱线，类歌谱。

当用电弧、电火花灼热物质时，即发射谱线 特征谱线 进行元素分析。

H原子光谱是线状光谱，无法用经典物理学来解释。

按经典物理学，H原子核外电子的运动为带电体的圆周运动，应不断有辐射能放出，即为连续光谱，另外应不断放出能量。

最终电子运动不足以克服核的吸引能而掉于核上，这均与实验事实不符合。

1913年丹麦年仅28岁的波尔提出了学说解释，1922年获得诺贝尔奖。

波尔学说的基本要点：(1) 电子于核外只能在某些特许的轨道上运动，且不吸放E（不吸放能量，能量不会降低，则电子不会掉在核上）。

(2)只有在不同的轨道间跃迁时才吸放能量，且有（E不连续，υ不连续，λ不连续 线性光谱） 此假说对H光谱得到了满意的解释。

对别的有误差，说明这种圆形轨道理论没有普遍意义，后来又提出了索莫菲椭圆形轨道理论，结果还是没有普遍意义，这就说明要很好地解决微观世界的问题，必须完全摆脱经典物理的束缚，去建立新的学说，而随后发展起来的量子力学就是这样一种学说。

大学物理量子力学总结‎大学物理量子力学总‎结‎篇一：‎大学物理下必考15‎量子物理知识点总结‎15.1 量子‎物理学的诞生—普朗克‎量子假设一、‎黑体辐射物体由其温‎度所决定的电磁辐射称‎为热辐射。

物体辐射的‎本领越大，吸收的本领‎也越大，反之亦然。

能‎够全部吸收各种波长的‎辐射能而完全不发生反‎射和透射的物体称为黑‎体。

二、普朗‎克的量子假设：‎1. 组成腔壁的原‎子、分子可视为带电的‎一维线性谐振子，谐振‎子能够与周围的电磁场‎交换能量。

‎2. 每个谐振子的能‎量不是任意的数值, ‎频率为ν的谐振子，其‎能量只能为hν, 2‎hν, …分立值，‎其中n = 1,2‎,3…，h =‎6.626×10 ‎–。

3. ‎当谐振子从一个能量状‎态变化到另一个状态时‎,辐射和吸收的能量‎是hν的整数倍。

1‎5.2 光电效‎应爱因斯坦光量子理‎论一、光电效‎应的实验规律金属及‎其化合物在光照射下发‎射电子的现象称为光电‎效应。

逸出的电子为光‎电子，所测电流为光电‎流。

截止频率：‎对一定金属，只有‎入射光的频率大于某一‎频率ν0时, 电子才‎能从该金属表面逸出，‎这个频率叫红限。

遏‎制电压：当外‎加电压为零时，光电‎流不为零。

因为从阴‎极发出的光电子具有一‎定的初动能，它可以克‎服减速电场而到达阳极‎。

当外加电压反向并达‎到一定值时，光电流为‎零，此时电压称为遏制‎电压。

1 mvm2‎?eU2二‎、爱因斯坦光子假说和‎光电效应方程‎1. 光子假说一束‎光是一束以光速运动的‎粒子流，这些粒子称为‎光子；频率为v 的‎每一个光子所具有的能‎量为??h?, 它不‎能再分割，只能整个地‎被吸收或产生出来。

‎2. 光电效‎应方程根据能量守恒‎定律, 当金属中一个‎电子从入射光中吸收一‎个光子后，获得能量h‎v，如果hv 大于‎该金属的电子逸出功A‎，这个电子就能从金‎属中逸出，并且有 1‎上式为爱因斯坦光电‎效应方程，式中mvm‎2为光电子的最大初动‎能。

解：赖曼系是高能态向1=n 能级跃迁所辐射的电磁波（紫外光），光谱频率为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2/2111n Rc cλν， ,5,4,3,2/=n 最大波长满足最小波长满足2 处于第3激发态的氢原子跃迁回低能态时，可以发出的可见光谱线有多少条？请画出跃迁能级图。

解：可见光是高能级向2=n 能级跃迁得到的巴尔末系。

第3激发态是4=n 。

由4=n 向2=n 的跃迁，共有两个： 由34=→=n n 后，再由23=→=n n 即eV E E h 55.2241=-=ν 可见，谱线有两条。

3 复色光（光子能量分别为eV 16.2、eV 40.2、eV 51.1、eV 89.1）射向处于2=n 的能级的氢原子群。

问：哪一种光子能被吸收？说明原因。

解：光子的能量只有刚好等于氢原子某两个能级之差时，光子才能被吸收所以只有eV E E E 89.1)4.3(51.1231=---=-=∆的光子能够被2=n 的能级的氢原子所吸收，氢原子吸收一个光子后，跃迁到eV E 51.13-=（3=n ）的能级上。

4 欲使氢原子能发射巴耳末系中波长为nm 28.656的谱线，计算最少要给基态氢原子提供的能量。

（里德伯常数R ＝1.096776×107m －1）解：由巴尔末公式可得，发射nm 28.656的谱线是从23=→=n n 能级跃迁得到的， 因此，氢原子至少应该被激发到eV E 51.13-=（3=n ）的能级上。

所以要给基态氢原子提供的能量为： 5 请叙述泡利不相容原理。

答：不可能有两个电子处于相同的状态，即不可能有两个电子具有相同的4个量子数),,,(s l m m l n 。

6 基态原子中电子的排列遵循什么原理。

答：泡利不相容原理和能量最小原理。

7 什么叫做能级简并？举例说明。

答：有若干不同的电子状态（波函数），处于相同的能级，这就是能级简并。

例如，氢原子中，原子处于n 能级，但还有1,,2,1,0-=n l 个不同的轨道角动量。

高等量子力学总结 理论物理 张四平 学号：２２０１２０９２２０６１第一章 希尔伯特空间1、矢量空间，同类的许多数学对象（实数，复数，数组）在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算：加法，数乘，内积。

例：θ+ψ=ψ+θ；ψ+θ=0 即：ψ=-θ（存在逆元）（ψa ）b=ψ（ab ）ψ（a+b ）=ψa+ψb（ψ，θ）=（θ，ψ）*（ψ，θa ）=（ψ，θ）a矢量的空间性质：零矢量唯一；逆元唯一；ψ（-1）=-ψ；（θ+ψx ）=θx+ψx ；2、正交矢量：（ψ，θ）=0； 模方：|ψ||ψ|=（ψ，ψ）；schwarts 不等式：|（ψ，ψ）|≤|ψ||ψ|；三角不等式：|ψ+θ|≤|ψ|+|θ|；3、基矢n 维空间中有限个矢量集合；一个线性无关的矢量的集合（完全集）；正交归一的完全集； 对于同一矢量，左右因子不同，dirac 符号：<ψ|θ>=（ψ，θ）右矢量满足：|ψ>+|θ>=|θ>+|ψ>；|ψ>+|0>=|ψ>;|ψ>*1=|ψ>；（|ψ>+|θ>）*a=|ψ>a+|θ>a<ψ|θ>≥0；4、算符：|ψ>=A|ψ>； A （|ψ>+|θ>）=A|ψ>+A|θ>；线性算符的性质：定义域是个右矢空间，值域也是个右矢空间；定义域是有限维，值域也是 小于等于这个维数；零算符：0|ψ>=|0>；单位算符：I |ψ>=|ψ>；算符：A|ψ>=|θ>；逆算符：A -1|θ>=|ψ>；<θ|=<A ψ|=<ψ|A+（A+为A 的伴算符）；若A 有逆，则（A+）-1 =(A -1)+；5、等距算符：定义：U+U=I ；性质：U+U=I ；<U θ|U ψ>=<θ|ψ> ；|U ψ|=|ψ|；6、幺正算符：定义：U+U=UU+=I 或U+=U-1；投影算符：|ψ><ψ|（厄米算符）；7、本证矢和本证值：A|ψi>=a|ψi> （i=1，...s ）{|ψi>}(本证子空间，s 重简并)；厄米算 符A 的本证矢量：不简并的正交，S 重简并的本证矢量构成一个s 维的子空间，与其他的本证 矢量正交；完全性；正交性；定理：有限维空间中，厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集；定理：当且仅当两个厄米算符对易时，他们有一组共同的本证矢量完全集；8、表象理论：基矢：厄米算符完备组K={P ，H ，...，}.基矢选他们共同的本证矢，K|i>=ki|i>；相似变换：存在幺正矩阵U ：B=U -1AU ，A ，B 相似.trA=trB ，detB=detU+detA ，detA=detB ；任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵；L 表象：{|εi>} ∑|εi><εi|=1K 表象：{|να>} ∑|να><να|=1|να>= ∑|εi>Ui α|εi>= ∑|να>U αi-1 Ψα = ∑U αi -1ψiΨi = ∑Ui α ψαA αβ=∑∑U αi -1AijUj βAij=∑∑Ui αA αβU βj -1第二章 量子力学基本原理1、基本原理：原理1：描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个复数因子的两个矢 量描写同一状态.原理2:1.描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符.2.物理量所能取得值是相应 的本征值.3.物理量A 在状态|ψ>中取各值ai 的概率，与态矢量|ψ>安A 的归一化本证矢量 {|ai>}的展开式|ai>的系数复平方成正比.原理3.微观系统中的每个粒子的直角坐标下的位置算符Xi （i=1.2.3）与相应正则动量有下 列对易关系:[Xi,Xj]=0 [Pi,Pj]=0[Xi,Pj]=i(h/2π)ζij而不同粒子间的所有算符均相互对易.原理4.微观状态|ψ(t)>随时间变化的规律是薛定谔方程.原理5.描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，是对称的，或是反对称的， 服从前者的粒子是波色子，服从后者的粒子是费米子.2、哈密顿算符不显含时间t 是能量算符.|ψ(t)>=|ψ>f(t).H|ψi>=Ei|ψi>定态薛定谔方程能量值确定.态矢量为：|ψi(t)>=|i>exp （-iEit/h ）.含时间的H 对应薛定谔方程的解为：|ψ(t)>=∑|i> Ci exp （-iEit/h ）.为各定态矢量的叠加 .若已知初态|ψ0>=∑|i> Ci则 |ψ(t)>=∑|i><i|ψ0>exp （-iE0t/h ）.第三章 量子力学的基本概念和方法1、一个电子具有自旋角动量S ，s 沿着空间中某一固定方向，只有两个可能的投影值：Sz=+ /2 或Sz=- /2；电子磁矩：u=-g （e/2mc ）s电子在外磁场中B 中又相互作用能量：H=-u*B2、自旋的矩阵表示：Sz=+ /2 -> α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01 Sz=- /2 -> β=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 电子的自旋态：|ψ(t)>|ψ(t)>=C1(t)α+C2(t)β<ψ(t)|=C1*(t)α-1+C2*(t)β-1电子的自旋态只能有两个（朝上或朝下）.3、相继stern-Gerlach 实验说明：一般的说，测量必定要改变微观客体状态，当加第二个装置 Gx 测量Sx 时，原来关于Sz 的信息消失，一个电子的自旋要么按Sx 分解，要么按Sz 分解，电子不能同时具有Sz 和Sx.4、pauli 矩阵算符ζx 和ζy 之间不对易，S=（ /2）ζζx = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ζy = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00i i ζz = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 对易关系：ζ*ζ=ζ 或 S*S=S Sz=mz极化矢量：<ζ>=P=<ψ(t)|ζ|ψ(t)>P^2=Px^2+Py^2+Pz^2=1；<ζp >=Px<ζx>+Py<ζy>+Pz<ζz>；P 标志了自旋S 的指向；电子自旋的量子本质表现与P 矢量始终存在着起伏，用均方偏差度量：<(Δζj )^2> = <(ζj-ζi )^2> = 1-<ζj >^25、分离谱：A|α> =a|α>； <α|α’>=δαα’; ∑|α><α|=1;连续谱：ξ|ξ’>=ξ’|ξ’> ； <ξ|ξ’> = δ（ξ’-ξ’’）； ⎰d ξ’|ξ’><ξ’| = 1；6、sxhrodinger 图景：态矢 |ψ(t)>含t ，基矢|x>不含t ；Heisenberg 图景：态矢 |ψ(t)>不含t ，基矢|x>含t ；一般：H=p^2/2m+V;<x|V|x ’> = V （x ）<x|x ’> = V(x)δ（x-x ’）；<x|p^2/2m|x ’> = ⎰dp<x|p>(p^2/2m)<p|x ’>态矢：跟表象无关，跟图景有关；包函数：与表象有关，与图景无关（此为态矢在基矢上的投影）；7、基态|0>：基态波函数：ψ0（x ） = <x|0>；第一激发态|1> = a+|0>: ψ1（x ） = <x ’|1>；第n 激发态： ψn （x ） = <x ’|n>；8、<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ 1/4|<[A,B]>|^2 ;对于任意的态矢：|α>=ΔA|>|β>=ΔB|>；<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ |（ΔA ，ΔB ）|^2；9、谐振子不确定关系：基态：<(Δx^2)><(Δp^2)> = ^2/4；激发态： <(Δx^2)><(Δp^2)> =（n+1/2）^2 ^2;10、相干态：也是谐振子的量子态与经典粒子运动最为接近.相干态不是N 的本正态，但有确定的粒子数；不同本证值的相干态一般不正交；虽不正交，但有完备性；全部的相干态，过完备性；11、压缩态：算符：S(r)为幺正算符；在正则变换下：保持了对易关系：[b,b+]=[a,a+]=1;真空态：|0,r>= S(r)|0>；一般压缩态：|z,r>= D （z ）S （r ）|0>；12、经典力学到量子力学：薛定谔表述形成（波动力学），重视描述粒子的波粒二象性运动的波函数，服从薛定谔方程；heisenberg 矩阵力学，重视可观测量，算符；dirac 和feyman 路径积分，着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系，重视传播函数 或传播子的作用.基本思想：一个粒子在某一时刻的运动情况决定于他们的过去或一切历史；在复z 平面上，半经为1/2的圆，面积为1*pi/4，相干态；在复z 平面上的椭圆，面积1*pi/4 测量精度在I 上提高了，在另一个方向降低了，压缩态；第四章 对称性和角动量1、力学量成算符：{A,B}--->1/i [A,B]；[F ，H]--->F 为守恒量；F 的一个守恒性必与体系的不可观测量的对称性变换直接联系；定态间的跃迁定则；分离对 称性；每个定态波函数必有严格的对称性；无限自由度的量子场论：H 中某一连续对称性在 真空有破坏，真空存在简并，但实际上对称也存在，表现为一个无质量的标量粒子； 2、F （r ，p ）的平均值:<F> = <ψ(r)|F |ψ(r)>;3、态的无限小转动：自旋为零：|ψ’(r)> = |ψ(R -1r)>=ψ(x+y δθ,y-x δθ,z )R(n,δθ) = 1-i δθ*L*n/ ; L 是标量场无穷小生成元；自旋为1/2的粒子波函数：波函数为二分量的旋量：1/2)(x (x1/2)(r)(r)(r)-ϕ+ϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕϕ=φ2121； Φ’(r)=(1-i δθ( /2ζz+Lz ))Φ(r)/转动算符：(1-i δθ( /2ζz+Lz ))/ ；任意轴：R （n ，δθ）= 1-（i δθ/ ）n （（ /2）δ+I ）；粒子的总角动量：J= /2δ+L ，J 是旋量场的无限小生成元；4、角动量算符的一般性质：j^2=jx^2+jy^2+jz^2;[j^2,ji] = 0;[jz,j]=i j;[j+,j-] = 2 jz;5、标量算符：F=RFR -1 -- 转动不变；6、若态|ψ>在Rz 的作用下不变，则Rz|ψ> = exp （-i δ）|ψ>；假定体系在变换Q 下具有对称性，|ψ>=Q|ψ>，则保持几率不变，运动规律不变； 总之：量子力学中一个不可观测量的对称性变换往往联系于一个可观测量的守恒性；7、将体系沿x 轴平移一无限小距离，体系具有平移不变性：[Px （ε），H] = 0；ψ’(x) = Dx （ε）ψ(x)=ψ(x-ε)；体系沿时间平移一无限小量η：|ψ’(t)> = D （η）|ψ(x)>=|ψ(t+η)>；ψ(x,t)=ψ(x)exp(-iEt);8、本证态：ψ（-x ） = ψ（x ） 偶宇称态ψ（-x ） = -ψ（x ） 奇宇称态宇称本征值：pi=（-1）l变换方式：主动式：坐标系不动，算符动；被动式，算符不动，坐标系反向；P*X ---> 标量P*S ---> 赝标量9、支配运动的H 在空间反演中是标量，可能含有的项是：P^2，L*S,P*X ；不可有的项：P*S(赝标量);宇称守恒在强相互作用下，电磁相互作用中有充分的实验支持；则在弱相互作用下有赝标量项，宇称不再守恒；原子核自旋S 在低温下沿外磁场固定方向排列，测量这种“极化核”β衰变时放出电子对S 方向存在一定角分布；10、实算符，时间反演不变：THT -1=T -1 TXT -1=X ；虚算符：TPT -1= - P TJT -1= - J ；第五章 量子力学中的相位1、经典物理中：H ，A, θ(四维矢量),代替E,B （二阶反对称张量）；量子物理中：A, θ,代替E,B 为本质上的需求；规范变换： A ’=A + ▽Λ（x ）；若要要求薛定谔方程在此变换下不变，否则物理规律就变了，就要求波函数做相应变化： Ψ’（x ）= Ψ（x ）exp[Λ（x ）iq/ c ]；薛定谔方程在定域规范变化下的不变性，是一种对称性，根据波函数的几率解释，这一变换 不影响可观测量；2、A--B 效应--->A 比B 更基本；因为表达了量子力学的相位差；确切的说不是相位， 而是相位因子： )dx A cie (⎰-μμ exp ； 才为描述电磁场最恰当的量，在物理上既不丢失信息，也不会附加非物理（不确定）信息， 称此因子为规范场的不可积相位因子. 在磁场中：总的波函数：)'x )d 'x (A exp()'x ()'x (c ie (0)1→→→→→⎰+ϕ=ϕ ，相位差改变了φc e ， 称：φ=ce AB S （AB 相）； 在电场中：总的波函数：t)(x,)dt't)),x (A -)t x,(A (cic -exp(t),x (t),x ((0)20102(0)1ϕ⎰+ϕ=ϕ→→→→ ， φ=ce AB S --- 规范不变 AB 相不依赖于速度等力学量，属于几何相，也是拓扑相；3、在超导体圆柱磁通量是量子化的，且磁通量的值为e 2c ，后来，N.Byers 和杨指出这是超导 体内形成copper 对的结果；copper 对波函数是单值的，有： n 2s d s ⋅π=⋅∇⎰→Γ，即相角沿Γ走一圈回到原处，值只能变化n 2π.4、Berry 相：量子力学的量可分为两类：随时间变化的快变量；随时间变化的慢变量； 方法：现将慢变量固定，解决快变量，然后让慢变量变化，得到正确的解； e )(i (t)t 0n (t)R n,|))dt'(t'i -(ν→>⎰ε=ϕexp t 其中,e i (t)ν为Berry 相因子；。

第二章习题解答p.522.1.证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i )(m 2i J e )r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i**Et iEt i**Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见tJ 与无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikrer er -==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解：分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0 r mr k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m i J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψrJ 1 与同向。

表示向外传播的球面波。

r mr k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m 2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ 可见，rJ 与2反向。

表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设ikxex =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。

其相对位置几率分布函数为12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。