量子力学第二章波函数和方程.
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第二章1.波函数/平面波:(1)频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。
(2)如果,粒子受到随时间或位置变化的力场作用,他的动量和能量不再是常量,这时的粒子就不能用平面波来描写。
在一般情况下,我们用一个复函数表示描写粒子的波,并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态:不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释: (1)粒子衍射试验中,如果入射电子流的强度很大,则照片上很快就会出现衍射图样;如果入射电子流强度很小,电子一个一个的从晶体表面上反射,开始它们看起来是毫无规则的散布着,随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。
由此可见,实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果,或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。
(2)波恩提出了统计解释,即:波函数在空间中某一点的强度(振幅绝对值的平方)和该点找到粒子的概率成比例,按照这种解释,描写粒子的波乃是概率波。
4.几率密度: 在t 时刻r 点,单位体积内找到粒子的几率是: ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积: 由于粒子在空间总要出现(不讨论粒子产生和湮灭情况), 所以在全空间找到粒子的几率应为一,即: C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为: C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。
故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。
7.归一化: C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ= 1 (波函数乘以一个常数以后,并不改变空间各点找到粒子的概率,不改变波函数的状态) C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ,并以Ψ表示所得函数: Ψ(x,y,z,t)=C ½Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在(x,y,z )点附近单位体积内找到粒子的概率密度是: ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2故把(1)式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。
量子力学专题二:波函数和薛定谔方程一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实(了解)1、波动性:物质波(matter wave )——de Broglie (1923年)p h =λ实验:黑体辐射2、粒子性:光量子(light quantum )——Einstein (1905年)hE =ν 实验:光电效应二、波函数的标准化条件(熟练掌握)1、有限性:A 、在有限空间中,找到粒子的概率是有限值,即有=⎰ψψτ*d 有限值有限空间 B 、在全空间中,找到粒子的概率是有限值,即有=⎰ψψτ*d 有限值 全空间 2、连续性:波函数ψ及其各阶微商连续;3、单值性:2ψ是单值函数(注意:不是说ψ是单值!)三、波函数的统计诠释(深入理解) 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率;2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数(注意:我们关心的只是相对概率);四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义(理解)1、态叠加原理:设1ψ,2ψ是描述体系的态,则2211ψψψC C +=也是体系的一个态。
其中,1C 、2C 是任意复常数。
2、两种表象下的平面波的形式:A 、坐标表象中r d e p r r p i 3/2/3)()2(1)( •⎰=ϕπψ B 、动量表象中p d e r p r p i 3/2/3)()2(1)( •-⎰=ψπϕ 注意:2/3)2( π是热力学中,Maxwell速率分布的一个常数,也可以使原子物理中,一个相空间的大小!五、Schrodinger Equation (1926年)1、Schrodinger Equation 的建立过程(熟练掌握)ψψH ti ˆ=∂∂ 其中,V T H ˆˆˆ+=。
2、定态薛定谔方程,定态与非定态波函数的意义及相关联系(深入了解)A 、定态:若某一初始时刻(0=t )体系处于某一能量本征态)()0,(r r E ψψ=,则/)(),(iEt E e r t r -=ψψ说描述的态,叫做定态(stationary state );B 、非定态:由不同能量能量本征态线性叠加而形成的态,叫做非定态(nonstationary state )。
第一章 绪论1.1.由黑体辐射公式导出维恩位移定律:C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。
证明:由普朗克黑体辐射公式:由普朗克黑体辐射公式:n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=, 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ,令kT hc x l =,再由0=l r l d d ,得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ,即得97.4=kT hc m l ,将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2.在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解:010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=,求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
波长。
解:010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ,123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件,求:利用玻尔—索末菲量子化条件,求: (1)一维谐振子的能量。
)一维谐振子的能量。
(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
)在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ,玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ,求动能的量子化间隔E D ,并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
的热运动能量相比较。
解:(1)方法1:谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动,轨道为椭圆,两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==,相空间面积为,相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以,能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2:一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ,其解为,其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ,动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ,则相积分为,则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw , ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222, ,2,1,0=n (2)设磁场垂直于电子运动方向,受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学课后习题详解 第二章波 函数和薛定谔方程2.1证明在定态中,几率流与时间无关。
证:对于定态,可令)]r ()r ()r ()r ([m 2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m2i J e )r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----)()(, 可见t J 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度:ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解:分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψr J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见,r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充:设ikx e x =)(ψ,粒子的位置几率分布如何?这个波函数能否归一化?∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。