苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2全册教学案

苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2全册教学案目录1.1.1导数的概念平均变化率1.1.2瞬时变化率--导数1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和差积商的导数1.2.3简单复合函数的导数1.3.1单调性1.3.2极大值与极小值1.3.3最大值与最小值1.4导数在实际生活中的应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5定积分的概念1.5.3微积分基本定理第一章导数及其应用章末小结知识整合与阶段检测2.1.1导数的概念第2课时类比推理2.1.1导数的概念第一课时归纳推理2.1.2导数的运算演绎推理2.1.3导数在研究函数中的作用推理案例赏析2.2.1合情推理与演绎推理直接证明2.2.2间接证明2.3数学归纳法第1课时利用数学归纳法证明等式不等式问题2.3数学归纳法第2课时利用数学归纳法证明几何整除等问题第二章推理与证明章末小结知识整合与阶段检测3.1数系的扩充3.2复数的四则运算第2课时复数的乘方与除法运算3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算3.3复数的几何意义第三章数系的扩充与复数的引入章末小结知识整合与阶段检测1．1.1 平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)．问题1：若旅游者从A 点爬到B 点，则自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？ 提示：Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0.问题2：如何用Δx 和Δy 来刻画山路的陡峭程度？ 提示：对于山坡AB ，可用ΔyΔx 来近似刻画山路的陡峭程度．问题3：试想Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0的几何意义是什么？提示：Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0表示直线AB 的斜率．问题4：从A 到B ，从A 到C ，两者的Δy Δx 相同吗？ΔyΔx 的值与山路的陡峭程度有什么关系？提示：不相同.ΔyΔx的值越大，山路越陡峭．1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在[x 1，x 2]上有意义； (2)在式子f x 2－f x 1x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)在平均变化率中，当x 1取定值后，x 2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x 2取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．[例1] (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率．[思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率． [精解详析] (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为：f－f 2.1－2＝2＋－2＋0.1＝12.3.(2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g －－g －－－－＝－－2]－－－2]－－－＝－－－－1＋2＝3.[一点通] 求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量x 2－x 1； 第二步：求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)； 第三步：求平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1.1．函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率是________． 解析：函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率为g－g 4－2＝－3×4－－4－2＝－12＋62＝－3.答案：－32.如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f－f －1－－＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f－f2－0＝3－322＝34.答案：：(1)12 (2)343．本例条件不变，分别计算f (x )与g (x )在区间[1,2]上的平均变化率，并比较变化率的大小． 解：(1)f－f 2－1＝3×22＋2－2＋2－1＝9.(2)g－g 2－1＝3×2－2－－2－1＝3.f (x )比g (x )在[1,2]上的平均变化率大．[例2] t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．[思路点拨] 求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值． [精解详析] 物体在[1,1＋Δt ]内的平均速度为S＋Δt －S＋Δt －1＝＋Δt ＋1－1＋1Δt＝2＋Δt －2Δt＝2＋Δt －22＋Δt ＋2Δt2＋Δt ＋2＝12＋Δt ＋2(m/s)．即物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度为12＋Δt ＋ 2m/s.[一点通] 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．4．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________． 解析：∵S ＝πr 2，∴圆的半径r 从0.1变化到0.3时， 圆的面积S 的平均变化率为S－S0.3－0.1＝π×0.32－π×0.120.2＝0.4π.答案：0.4π5．在F 1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t (单位：s)存在函数关系S ＝10t ＋5t 2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？解：赛车在[20,20.1]上的平均速度为S－S20.1－20＝＋5×20.12－＋5×20220.1－20＝21.050.1＝210.5(m/s)．[例3] 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？[思路点拨] 要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论．[精解详析] 在t 0处s 1(t 0)＝s 2(t 0)， 但s 1t 0－s 1t 0－Δt Δt <s 2t 0－s 2t 0－ΔtΔt，所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大．[一点通] 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．6.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是________．解析：v 1＝s t 1－s t 0t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s t 2－s t 1t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s t 3－s t 2t 3－t 2＝k BC ，由图象知：k OA <k AB <k BC ， 所以v 3>v 2>v 1. 答案：v 3>v 2>v 17．A 、B 两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W 1(t )、W 2(t )分别表示A 、B 两机关的用电量与时间第t 天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号)①两机关节能效果一样好；②A 机关比B 机关节能效果好；③A 机关在[0，t 0]上的用电平均变化率比B 机关在[0，t 0]上的用电平均变化率大； ④A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大． 解析：由图可知，在t ＝0时，W 1(0)>W 2(0)， 当t ＝t 0时，W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 所以W 1t 0－W 1t 0<W 2t 0－W 2t 0，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0>⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0.故只有②正确． 答案：②1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差． (2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点． 2．一次函数的平均变化率一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率为f n －f m n －m ＝kn ＋b －km ＋bn －m＝k .由上述计算可知，一次函数y ＝kx ＋b ，在区间[m ，n ]上的变化率与m ，n 的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数．3．平均变化率的几何意义 (1)平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．(一)]一、填空题1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________． 解析：f－f 1.1－1＝2－－2－1.1－1＝0.210.1＝2.1. 答案：2.12．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________．解析：f b －f ab －a＝b ＋－a ＋b －a＝b －ab －a＝2.答案：23．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________． 解析：c－c 70－30＝0.90－0.9840＝－0.002.答案：－0.0024.如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t 0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t 0到t 1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)．解析：由图可知，在[0，t 0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t 0，t 1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度．答案：等于 大于5．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 解析：a 3＋－3＋a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21. 解之得a ＝4或a ＝－5. 又∵a >1，∴a ＝4. 答案：4 二、解答题6．已知函数f (x )＝2x 2＋1.求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率． 解：函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率为2×2.012＋1－2×22－12.01－2＝8.02.7．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小． 解：在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π；在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sinπ3π2－π3＝－3π.∵2－3<1，∴3π>－3π，∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为－3π，故在0到π6之间的平均变化率较大．8．已知气球的表面积S (单位：cm 2)与半径r (单位：cm)之间的函数关系是S (r )＝4πr 2.求： (1)气球表面积S 由10 cm 2膨胀到20 cm 2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；(2)气球表面积S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时的平均膨胀率． 解：根据函数的增量来证明．由S (r )＝4πr 2，r >0，把r 表示成表面积S 的函数：r (S )＝12ππS .(1)当S 由10 cm 2膨胀到20 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝20－10＝10(cm 2)，气球半径的增量Δr ＝r (20)－r (10)＝12π(20π－10π)≈0.37(cm)．所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.3710＝0.037.(2)当S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝12π(40π－30π)≈0.239(cm 2)．所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.23910＝0.023 9.1．1.2 瞬时变化率——导数如图P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)，P 的坐标为(x 0，y 0)．问题1：当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置． 问题2：割线PP n 斜率是什么？ 提示：割线PP n 的斜率是k n ＝f x n －f x 0x n －x 0.问题3：割线PP n 的斜率与过点P 的切线PT 的斜率k 有什么关系呢？ 提示：当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率． 问题4：能否求得过点P 的切线PT 的斜率？ 提示：能．1．割线设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线． 2．切线随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线.一质点的运动方程为S ＝8－3t 2，其中S 表示位移，t 表示时间． 问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？ 提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－＋Δt 2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt .问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.1．平均速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率S t 0＋Δt －S t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．3．瞬时加速度一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率v t 0＋Δt －v t 0Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．2．导数的几何意义导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称f (x )的导数．(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程． 2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．P5][例1] 已知曲线y ＝x ＋x 上的一点A ⎝ ⎭⎪⎫2，2，用切线斜率定义求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f＋Δx －fΔx，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．[精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫2＋12＝－Δx＋Δx＋Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2Δx ＋Δx ＋Δx Δx＝－1＋Δx＋1.当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于34，即点A 处的切线的斜率是34.(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．1．曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为________． 解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，－12＋Δx 2－2，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－12＋Δx 2－2＋52Δx＝－12Δx －1.当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12x 2－2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－52处的切线的斜率为－1.答案：－12．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4＋2Δx .当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4，因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)3．已知曲线y ＝3x 2－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2－(1＋Δx ))， 则k AB ＝＋Δx2－＋Δx －2－Δx＝5＋3Δx ，当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.[例2] 一质点按规律S (t )s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．[思路点拨] 先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解．[精解详析] 因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以ΔS Δt ＝4a ＋a Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于4a .所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s. 故4a ＝8，即a ＝2.[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝3Δt －4Δt －(Δt )2＝－Δt －(Δt )2， 所以ΔS Δt ＝－Δt －Δt 2Δt＝－1－Δt .当Δt 无限趋近于0时，ΔSΔt 无限趋近于常数－1.故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－15．如果一个物体的运动方程S (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，0≤t <3，29＋t －2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解：当t ＝1时，S (t )＝t 2＋2， 则ΔS Δt＝S＋Δt －SΔt＝＋Δt 2＋2－3Δt＝2＋Δt ，当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，∴S (t )＝29＋3(t －3)2＝3t 2－18t ＋56， ∴ΔS Δt＝＋Δt2－＋Δt ＋56－3×42＋18×4－56Δt＝3Δt 2＋6·Δt Δt＝3·Δt ＋6，∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔSΔt →6，所以v (4)＝6.[例3] 已知f (x )＝x 2－(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． [精解详析] (1)因为Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx2－3－2－Δx＝4＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝fa ＋Δx －f aΔx＝a ＋Δx2－3－a 2－Δx＝2a ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx；(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．解析：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1x，∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝Δx21＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx→0， 即y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.答案：07．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f＋Δx －fΔx＝a＋Δx ＋4－a －4Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ，即a ＝2. 答案：28．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：f＋Δx －fΔx＝＋Δx2－＋Δx ＋15－2－7×6＋Δx＝5Δx ＋Δx 2Δx＝5＋Δx .当x →6时，即Δx →0，平均变化率趋近于5，所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5℃.1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．2．f ′(x 0)与f ′(x )的异同(二)]一、填空题1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.答案：－62．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为________．解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，ΔyΔx ＝－3，则Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝－3.故f (x )在x ＝2处的导数为－3. 答案：－33．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.答案：34．曲线f (x )＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为________． 解析：∵f＋Δx －fΔx＝12＋Δx2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2Δx＝12Δx 2＋Δx Δx ＝12Δx ＋1.∴当Δx 无限趋近于0时，f＋Δx －fΔx无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.∴切线的倾斜角为π4.答案：π45．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)，则该曲线在P 点处的切线方程为________． 解析：∵y ＝2ax 2＋1过点P (a ，3)， ∴3＝2a 2＋1，即a 2＝1.又∵a ≥0，∴a ＝1，即y ＝2x 2＋1. ∴P (1,3)． 又Δy Δx＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx2＋1－2×12－1Δx＝4＋2Δx .∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于常数4， ∴f ′(1)＝4，即切线的斜率为4. 由点斜式可得切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0. 答案：4x －y －1＝0 二、 解答题6．已知质点运动方程是S (t )＝12gt 2＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．解：ΔS Δt＝S ＋Δt －SΔt＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12g ＋Δt2＋＋Δt －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12g ·42＋2×4－1Δt＝12g Δt 2＋4g ·Δt ＋2·ΔtΔt＝12g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔSΔt →4g ＋2，∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，所以，质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程． 解：∵＋Δx2－＋Δx ＋2－2－4×1＋Δx＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋3·Δx ，∴当Δx →0时，2＋3·Δx →2，∴f ′(1)＝2， 所以直线的斜率为2，所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切．求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵Δy Δx＝x 0＋Δx 3－x 0＋Δx 2＋3－x 30－2x 2＋Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0. ∴当Δx →0时，Δy Δx →3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0，由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，∴a ＝12127，当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．1.2.1 常见函数的导数已知函数(1)f (x )＝c ，(2)f (x )＝x ，(3)f (x )＝x 2， (4)f (x )＝1x，(5)f (x )＝x .问题1：函数f (x )＝x 的导数是什么？ 提示：∵Δy Δx＝fx ＋Δx －f x Δx ＝x ＋Δx －xΔx＝1，∴当Δx →0时，ΔyΔx →1，即x ′＝1.问题2：函数f (x )＝1x的导数是什么？提示：∵Δy Δx ＝fx ＋Δx －f x Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx＝x －x ＋Δx x x ＋Δx Δx ＝－1x 2＋x ·Δx，∴当Δx →0时，Δy Δx →－1x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x .1．(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2．C ′＝0(C 为常数)； 3．(x )′＝1； 4．(x 2)′＝2x ； 5．(x 3)′＝3x 2； 6.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x2；7．(x )′＝12x.1．(x α)′＝αxα－1(α为常数)；2．(a x)′＝a xln_a (a >0，且a ≠1)；3．(log a x )′＝1xlog a e ＝1x ln a(a >0，且a ≠1)； 4．(e x )′＝e x； 5．(ln x )′＝1x；6．(sin x )′＝cos_x ； 7．(cos x )′＝－sin_x .函数f (x )＝log a x 的导数公式为f ′(x )＝(log a x )′＝1x ln a，当a ＝e 时，上述公式就变形为(ln x )′＝1x，即f (x )＝ln x 是函数f (x )＝log a x 当a ＝e 时的特殊情况．类似地，还有f (x )＝a x 与f (x )＝e x .P7][例1] (1)y ＝x 8； (2)y ＝1x3；(3)y ＝x x ； (4)y ＝log 2x .[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 8)′＝8x 7； (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3·x －4＝－3x4；(3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32·x 12＝3x2；(4)y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时应根据所给函数的特征，恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的导数是________．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x2．下列结论中不正确的是________． ①若y ＝3，则y ′＝0； ②⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3； ③⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x ； ④若y ＝x ，则y ′＝1.解析：①正确；②sin π3＝32，而(32)′＝0，不正确；对于③，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝(－x －12)′＝12x －32＝12x x ，正确；④正确．答案：②3．求下列函数的导函数． (1)y ＝10x；(2)y ＝log 12x ；(3)y ＝4x 3；(4)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.解：(1)y ′＝(10x )′＝10xln 10； (2)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2；(3)∵y ＝4x 3＝x 34，∴y ′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(4)∵y ＝(sin x 2＋cos x2)2－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x2＋cos 2x2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .[例2] 求函数f (x )＝16x 5在x ＝1处的导数．[思路点拨] 先求导函数，再求导数值． [精解详析] ∵f (x )＝16x 5＝x －56，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －56′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －116，∴f ′(1)＝－56.[一点通] 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．4．若函数f (x )＝3x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(3x )′＝(x 13)′＝13x －23，∴f ′(1)＝13.答案：135．若函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 解析：∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x . ∴f ′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：1 6．已知f (x )＝1n x且f ′(1)＝－12，求n .解：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n x ′＝(x －1n )′＝－1n x －1n －1＝－1n x －n ＋1n ，∴f ′(1)＝－1n，由f ′(1)＝－12得－1n ＝－12，得n ＝2.[例3] 已知曲线方程y ＝x (1)曲线在点A (1,1)处的切线方程；(2)过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．[思路点拨] (1)点A 在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B 点不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．[精解详析] (1)y ′＝2x ，当x ＝1时，y ′＝2，故过点A (1,1)的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)∵B (3,5)不在曲线y ＝x 2上，∴可设过B (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线与曲线的切点为(x 0，y 0)． ∵y ′＝2x ，∴当x ＝x 0时，y ′＝2x 0.故切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)． 又∵直线过B (3,5)点， ∴5－x 20＝2x 0(3－x 0)． 即x 20－6x 0＋5＝0. 解得x 0＝1或x 0＝5.故切线方程为2x －y －1＝0或10x －y －25＝0. [一点通](1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： ①求曲线在点P 处的切线方程，P 为切点，在曲线上；②求过点P 与曲线相切的直线方程，P 不一定为切点，不一定在曲线上． (2)求曲线上某点(x 0，y 0)处的切线方程的步骤： ①求出f ′(x 0)，即切线斜率； ②写出切线的点斜式方程； ③化简切线方程．(3)求过点P 与曲线相切的直线方程的步骤： ①设出切点坐标为(x 0，y 0)；②写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)； ③代入点P 的坐标，求出方程．7．已知直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝ln x 相切，则a 的值为________．解析：设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，由题意得1x 0＝1，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,0)，把点P 的坐标代入直线y ＝x ＋a ，得a ＝－1.答案：－18．求曲线y ＝2x 2－1的斜率为4的切线的方程．解：设切点为P (x 0，y 0)，y ′＝4x ，由题意知，当x ＝x 0时，y ′＝4x 0＝4， 所以x 0＝1.当x 0＝1时， y 0＝1，∴切点P 的坐标为(1,1)． 故所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.1．对公式y ＝x n的理解：(1)y ＝x n中，x 为自变量，n 为常数；(2)它的导数等于指数n 与自变量的(n －1)次幂的乘积．公式中n ∈Q ，对n ∈R 也成立． 2．在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一要注意函数的变化，二要注意符号的变化． (2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1xlog a e 和(a x )′＝a xln a 的记忆就较难，特别是两个常数log a e 与ln a 很容易混淆．(三)]一、填空题1．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是________． 解析：∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4.∴α＝4. 答案：42．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1x 20＝－4.所以x 0＝±12，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 3．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合方程f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数公式可知f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0. 解之得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－134．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x ln a ，∴f ′(1)＝1ln a＝－1. ∴ln a ＝－1，即a ＝1e .答案：1e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，知x 0＝e.∴k ＝1e .答案：1e二、解答题6．求下列函数的导数． (1)y ＝lg 2； (2)y ＝2x；(3)y ＝x 2x；(4)y ＝2cos 2x2－1.解：(1)y ′＝(lg 2)′＝0； (2)y ′＝(2x )′＝2xln 2； (3)y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . 7．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 解：∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则当x ＝x 0时，y ′＝2x 0.又∵PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，∴k ＝2x 0＝1， 即x 0＝12，所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， ∴所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.8．求曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2解得交点为(1,1)．∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2， ∴曲线y ＝1x在(1,1)处的切线方程为y －1＝－x ＋1，即y ＝－x ＋2.又y ′＝(x 2)′＝2x ，∴曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.y ＝－x ＋2与y ＝2x －1和x 轴的交点分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. ∴所求面积S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.1．2.2 函数的和、差、积、商的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )、g (x )的导数分别是什么？ 提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：若Q (x )＝x ＋1x，则Q (x )的导数是什么？提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x x ＋Δx， ∴ΔyΔx ＝1－1xx ＋Δx.当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于1－1x 2，∴Q ′(x )＝1－1x2.问题3：Q (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有什么关系？ 提示：Q ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )．导数的运算法则设两个函数分别为f (x )和g (x )，则 (1)[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )； (2)[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )； (3)[Cf (x )]′＝Cf (x )′(C 为常数)；(4)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gxg 2x(g (x )≠0)．1．对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f n ′(x )．2．对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及(5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fxg x这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．P9][例1] (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x；(3)y ＝cos x x；(4)y ＝x tan x .[思路点拨] 结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导． [精解详析] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′ ＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x＋x 3·(e x)′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝cos x ′·x －cos x ·x ′x 2＝－x ·sin x －cos xx2＝－x sin x ＋cos x x 2.(4)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin xx －x sin x xcos 2x＝x ＋x cos xx ＋x sin 2xcos 2x＝sin x cos x ＋xcos 2x. [一点通] (1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．1．若f (x )＝13x 3＋2x ＋1，则f ′(－1)＝________.解析：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＋(2x )′＋1′＝x 2＋2，所以f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3. 答案：32．函数y ＝x (x 2＋1)的导数是________． 解析：y ′＝[x (x 2＋1)]′＝(x 3＋x )′＝3x 2＋1. 答案：3x 2＋13．求下列函数的导数：(1)y ＝ln x x ＋1－2x ；(2)y ＝sin x －cos x2cos x .解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ＋1′－(2x )′＝1xx ＋－ln xx ＋2－2xln 2 ＝1＋1x －ln x x ＋2－2xln 2＝x －x ln x ＋1x x ＋1－2xln 2.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2cos x －12′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2cos x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x 4cos 2x＝12cos 2x.[例2] 设f (x )＝a ·e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝e ，求a ，b 的值．[思路点拨] 首先求f ′(x )，然后利用条件建立a ，b 的方程组求解． [精解详析] f ′(x )＝(a ·e x)′＋(b ln x )′＝a ·e x＋b x，由f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋b ＝e ，a e－b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，所以a ，b 的值分别为1,0.[一点通] 利用导数值求解参数问题，是高考的热点问题．它比较全面地考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．4．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ， ∴f ′(－1)＝3a －6＝4，即a ＝103.答案：1035．若函数f (x )＝ex x在x ＝c (c ≠0)处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值．解：∵f (x )＝e x x ，∴f (c )＝ecc，又f ′(x )＝e x ·x －e x x2＝exx －x 2，∴f ′(c )＝ecc －c 2，依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e cc＋ecc －c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12.[例3] y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．[思路点拨] 题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此可通过解方程组来确定参数a 、b 、c 的值．[精解详析] ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过P (1,1)点， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b . ∴4a ＋b ＝1.②又曲线过Q (2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[一点通] 利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答本题常见的失误是不注意运用点Q (2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－47．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式． 解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得：x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0. 要使方程对任意x 恒成立， 则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．对复杂函数求导，一般要遵循先化简后求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．(四)]一、填空题1．(广东高考)曲线y ＝－5e x＋3 在点(0，－2) 处的切线方程为________．解析：由y ＝－5e x＋3得，y ′＝－5e x，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝02．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1.∵f ′(x 0)＝2，∴1＋ln x 0＝2， ∴x 0＝e.答案：e3．函数f (x )＝e xcos x ，x ∈[0,2π]，且f ′(x 0)＝0，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝e x cos x －e xsin x ，由f ′(x 0)＝0，得e x 0cos x 0－e x 0sin x 0＝0， ∴cos x 0＝sin x 0，即tan x 0＝1. 又∵x 0∈[0,2π]，∴x 0＝π4或5π4.答案：π4或5π44．(江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 解析：由题意y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.答案：25．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝－1x －2，∴当x ＝1时，y ′＝－1.∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝0 二、解答题6．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x ＋3x 2＋x ； (2)y ＝(1＋cos x )(2x 2＋e x)．解：(1)y ′＝(sin x ＋3x 2＋x )′＝(sin x )′＋(3x 2)′＋x ′＝cos x ＋6x ＋1. (2)y ′＝[(1＋cos x )(2x 2＋e x)]′＝(1＋cos x )′(2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(2x 2＋e x)′ ＝－sin x (2x 2＋e x )＋(1＋cos x )(4x ＋e x)＝e x(1＋cos x －sin x )－2x 2sin x ＋4x (1＋cos x )． 7．设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a >0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．解：(1)法一：由题设和基本不等式可知，。