北航研究生矩阵理论(张绍飞、赵迪)课后参考答案

1.按通常矩阵的加法及数与矩阵的乘法，下列数域F 上方阵集合是否构成F 上的线性空间：（1）全体形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a-a 0的二阶方阵的集合； （2）全体n 阶对称（或反对称、上三角）矩阵的集合； （3）{|0,}n n V X AX X F ⨯==∈（A 为给定的n 阶方阵）.解：（1）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b a-a 0α⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222a 0b a β⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3330b a a γ ①αββα+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+111222212121222111b a -a 0a 00a 0b a -a 0b a b b a a a a b a ②)(0b a -a 0000a 0b a -a 0)(323232111321321321333212121333222111γβαγβα++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++b b a a a a b b b a a a a a a b a a b b a a a a b a a b a③存在零向量V ∈0，使得对每个V a ∈，a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+111111b a -a 00000b a -a 00④对每个V a ∈，存在负向量a -,使得0b -a a -0b a -a 0)(111111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+a a再令F y x ∈,⑤αα)(b a -a 0xyb xya -xya 0yb ya -ya 0b a -a 0)(111111111111xy xy x y x y x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ⑥αα=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111b a -a 011⑦βαβαx x b a xb xb xa xa xa xa b b a a a a x b a x x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+222111212121212121222111a 0b a -a 000a 0b a -a 0)(⑧ya xa yb xb yaxa ya xa y x y x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+111111*********yb ya -ya 0xb xa -xa 00b a -a 0)()(α所以全体形如⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a -a 0的二阶方阵的集合构成F 上的线性空间。

Q −1 AQ = Q −1 A(α 1 , α 2 ," , α n )
= Q −1 ( Aα 1 , Aα 2 ,", Aα n ) = Q −1 (λα 1 ,",∗,∗,∗) = λ1Q −1α 1 , (∗), ", (∗) ∴ ⎛ ⎛ λ1 ⎞⎛#⎞ ⎛#⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟⎜#⎟ ⎜#⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ " ⎜ ⎟ ⎟ # # # ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟⎜#⎟ ⎜#⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ 记 ⎛ λ1 =⎜ ⎜0 为⎝ ⎟ A1 ⎟ ⎠
(*) ⎞ ⎟
⎛ f ( A1 ) ⎜ ⎜ （2） f ( A) = ⎜ ⎜ ⎜ O ⎝
(*)
相似关系：A∽B， （P-1AP = B）
则：
存在可逆矩阵P
（1）(P-1AP)k = P-1AkP， （k=0,1,2,…） （2）f(P-1AP) = P-1f(A)P，f(x)为多项式
许尔公式（schur） ：每个复方阵，A = (aij)n×n 都相似于上三角形。
注： （1）若 A ∽ B（相似） ，则 A、B 有相同特征值 λ1,…,λn
可引入记号：谱集 σ ( A) = {λ1 , λ 2 ," , λn } （全体特征值，含重复） ∴A ∽ B ⇒ σ ( A) = σ (B ) （2）A ∽ B ⇒ λI − A = λI − B = (λ − λ1 )(λ − λ2 )" (λ − λn ) ，特征多项式 ∵ P −1 AP = B ⇒ λI − A = P −1 (λI − A)P = λI − B
(∗)⎞
⇒ P −1 f ( A)P = f P −1 AP = f (B ) = 0 （引理）

#3-16:设若A,BHmn,且A正定,试证:AB与BA的特 征值都是实数. 证2:由定理3.9.1,PAP*=E,则 PABP-1=PAP*(P*)-1BP-1=(P-1)*BP-1=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数.又 因BA的非零特征值与AB的非零特征值完全相 同,故BA的特征值也都是实数. 证3:det(E-AB)=det(A(A-1-B)) =det A det(A-1-B)=0. 但det A >0,A-1正定和det(A-1-B)=0的根全为实 数(见例3.9.1的相关证明)
xa
i 1 j 1
n
n
i ij
yj
xa x ya
i ij j i j i j
n
n
n
n
i ij
yj
习题3-3(1)
#3-3(1):已知A= ,试求UUnn使U*AU=R为 上三角矩阵. 解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值. 显然,1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵 V=(1,2,3),2=(1,0,0)T,3=(0,0,1)T,则 V*AV=
习题3-19设A是正定Hermite矩阵且 AUnn,则A=E
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*) 其中1,…,n是A的特征值的任意排列. A 是正定蕴含 i>0,i=1,…,n AUnn 蕴含|i|=1,i=1,…,n 因此 i=1,i=1,…,n ∴ A=Udiag(1,…,n)U*=UEU*=UU*=E.
习题3-14
#3-14:若AHnn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).

求矩阵的Jordan标准形与变换矩阵 求矩阵的Jordan标准形与变换矩阵 Jordan
由行列式因子定不变因子和初等因子:( :(参看 ①由行列式因子定不变因子和初等因子:(参看 0 λ − 2 0 第二章有关定义及结果). ).如 第二章有关定义及结果).如 λE-A= −1 λ −1 −1 )=λ行列式因子:D 行列式因子:D1(λ)=1; D2(λ)=λ-2;
第六章 矩阵函数
•矩阵函数一般定义:矩阵函数是从Cm×n到Cu×v的一 矩阵函数一般定义:矩阵函数是从C 个对应规则f:C 使对每个x 个对应规则f:Cm×n→Cu×v,使对每个x∈Cm×n,都 对应于唯一 f(x)∈ 唯一的 对应于唯一的f(x)∈Cu×v. 例如:det:C ,det(A)∈ 例如:det:Cn×n→C1×1,∀A∈Cn×n,det(A)∈C1×1; ,f(A)=2Af:Cn×n→Cn×n,∀A∈Cn×n,f(A)=2A-E∈Cn×n. 矩阵函数的概念十分广泛, •矩阵函数的概念十分广泛,其应用也相应地十分 广泛. 广泛. 我们仅限于讨论从C •我们仅限于讨论从Cn×n到自身的函数 f:Cn×n→Cn×n. 特别更限于最简单的矩阵多项式函数和由矩阵 矩阵多项式函数和由 特别更限于最简单的矩阵多项式函数和由矩阵 幂级数定义的矩阵函数. 幂级数定义的矩阵函数.
0 1 1 1 0 0 1 0 −1
. P -1=
0 1 0 1 −1 1 0 1 − 1
2 0 0 2 0 0 0 A − 2E = 1 1 1 − 2 = 1 −1 1 1 −1 3 2 1 −1 1 0 0 x = 1 , ( A − 2E)x = 1 1 1 1 0 z = 0 , ( A − 2E)z = 1 −1 1 0 00 −1 1 1 = 0 −1 1 1 0 0 1 −1 1 0 = 0 −1 1 −1