矩阵分析与计算--05-矩阵分解-02-Schur、SVD

矩阵的奇异值分解及其实际应用矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种重要的矩阵分解方法，它在数据处理、信号处理、图像处理、自然语言处理等领域有广泛的应用。

一、SVD的定义和原理SVD是一种矩阵分解方法，把一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即：$A=U\Sigma V^T$其中，$A$为一个$m\times n$的矩阵，$U$为$m\times m$的酉矩阵，$\Sigma$为$m\times n$的对角矩阵，$V$为$n\times n$的酉矩阵，$T$表示转置。

$\Sigma$中的对角元素称为奇异值，是矩阵$A$的奇异值分解中的核心。

$\Sigma$中的奇异值按从大到小的顺序排列，它们可以用来表示原始矩阵$A$的主要特征。

在一些情况下，我们只需要保留前$k$个最大的奇异值对应的列向量组成的$\Sigma$和对应的$U$、$V$矩阵，即可以得到一个$k$维的近似矩阵，这种方法称为截断奇异值分解。

SVD的原理可以利用矩阵的特征值和特征向量的概念来解释。

对于一个$n\times n$的矩阵$A$，它可以表示为：$A=Q\Lambda Q^{-1}$其中，$Q$为特征向量矩阵，$\Lambda$为特征值矩阵，这里我们假设$A$是对称矩阵。

SVD可以看做是对非对称矩阵的特征值和特征向量的推广，它把矩阵$A$分解为$U\Sigma V^T$，其中，$U$矩阵的列向量为$AA^T$的特征向量，$V$矩阵的列向量为$A^TA$的特征向量，而$\Sigma$则由$AA^T$和$A^TA$的特征值的平方根构成。

二、SVD的应用SVD在数据处理、信号处理、图像处理、自然语言处理等领域都有广泛的应用。

1、数据处理在数据分析和数据挖掘中，我们常常需要对数据进行降维，以便于可视化和分析。

SVD可以对数据进行降维，并且保留了数据的主要特征。

例如，我们可以利用SVD对用户-物品评分矩阵进行降维，得到一个低维的用户-主题矩阵和一个低维的主题-物品矩阵，从而实现推荐系统。

《线性代数与矩阵分析》课程小论文矩阵分解及其应用学生姓名：******专业：*******学号：*******指导教师：********2015年12月Little Paper about the Course of "Linear Algebra and MatrixAnalysis"Matrix Decomposition and its ApplicationCandidate:******Major:*********StudentID:******Supervisor:******12,2015中文摘要将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。

本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。

矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。

因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。

关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用AbstractMany particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition.Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application目录中文摘要 (1)ABSTRACT (1)1 绪论 (1)2 矩阵分解的常用方法 (1)2.1矩阵的等价分解 (1)2.2矩阵的三角分解 (2)2.2.1 矩阵的三角分解 (2)2.2.2 矩阵的正三角分解 (2)2.3矩阵的谱分解 (5)2.3.1 单纯形矩阵的谱分解 (5)2.3.2 正规矩阵与酉对角化 (6)2.3.3 正规矩阵的谱分解 (6)2.4矩阵的奇异值分解 (7)2.4.1 矩阵的奇异值分解（SVD分解） (7)2.5矩阵的FITTING分解 (7)3矩阵分解的理论应用 (8)3.1矩阵等价分解的理论应用 (8)3.2矩阵三角分解的理论应用 (8)3.3矩阵奇异值分解的理论应用 (9)4 矩阵分解在递推系统辨识中的应用 (10)4.1递推系统辨识中的困难 (10)4.1.1 病态问题 (10)4.1.2 效率和计算量问题 (10)4.2QR分解的实现方法 (11)4.2.1 GIVENS变换 (13)4.3递推算法 (13)5 结论 (18)6 参考文献 (18)1 绪论矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。

矩阵的分解矩阵的分解是一种数学方法，它把复杂的矩阵拆分成几个简单的子矩阵，以便能更好地理解和解决特定矩阵问题。

矩阵分解也可以用来提高现有计算机算法的效率。

它是一种重要的数学工具，常用于机器学习，信号处理，图像处理，信息论，控制工程，统计学，优化，数值分析，科学计算等。

矩阵分解可以把大的矩阵分解成小的子矩阵，以便更容易理解特定的矩阵问题。

典型的矩阵分解方法包括LU 分解，QR分解，SVD分解，Cholesky分解，Schur分解，病态分解，矩阵分解等。

LU分解是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的过程。

这种分解可以用于解决特定的线性方程组，以及求解矩阵的逆。

一般来说，LU分解具有非常高的计算效率，而且它不需要很多内存来存储矩阵。

QR分解是把一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的过程。

这种分解可以用来求解矩阵的特征值和特征向量，以及求解线性方程组。

QR分解是一种非常有用的分解形式，因为它可以使用稠密矩阵和稀疏矩阵的快速算法。

SVD(奇异值分解)是将一个矩阵分解成两个正交矩阵和一个对角矩阵的过程。

SVD分解可以用来解决矩阵的秩、特征值、特征向量以及正交正则化问题。

一般来说，SVD 分解是一种非常有效的矩阵分解方法，并且它可以用来提高现有的计算机算法的效率。

Cholesky分解是一种分解矩阵的方法，它可以将一个对称正定矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

Cholesky分解可以用来解决线性方程组、估计最小二乘解、求解矩阵的特征值等。

Cholesky分解的计算效率很高，并且它可以用来提高现有的计算机算法的效率。

Schur分解则是将一个实矩阵分解成一个可逆矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

Schur分解可以用来解决矩阵的特征值和特征向量问题，以及求解线性方程组。

Schur分解也可以用来提高现有计算机算法的效率。

病态分解是将一个矩阵分解成一个低秩的正交矩阵和一个正定矩阵的乘积的过程。

矩阵分解矩阵分解矩阵分解是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三⾓分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种.矩阵的三⾓分解、正交三⾓分解、满秩分解将矩阵分解为形式⽐较简单或性质⽐较熟悉的⼀些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、⾏列式、特征值及奇异值等. 另⼀⽅⾯, 构造分解式的⽅法和过程也能够为某些数值计算⽅法的建⽴提供了理论依据. 接下来就讨论⼀下矩阵的三⾓分解.1 矩阵的三⾓分解1.1 矩阵的三⾓分解基本概念与定理定义1.1[]5设m n∈和上三⾓矩L C?A C?∈,如果存在下三⾓矩阵m n阵n m∈, 使得A=LU, 则称A可作三⾓分解或LU分解.U C?定义1.2设A为对称正定矩阵, D为⾏列式不为零的任意对⾓矩阵,则T=成⽴：A A=, U为⼀个单位上三⾓矩阵, 且有A LDU1) 如果L是单位下三⾓矩阵, D是对⾓矩阵, U是单位上三⾓矩阵, 则称分解D=为LD U分解.A L U2) 如果L=LD是下三⾓矩阵, ⽽U是单位上三⾓矩阵, 则称三⾓分解A LUCrout分解;= 为克劳特()3) 如果U DU是单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵, 则称三⾓=分解A LUDoolittle分解;= 为杜利特()U --=== , 称为不带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解;5) 如果12L D L = , 12D U U= , 则1122A LD U LD D U LU=== , 由于T UL = , 则T A LL= , 称为带平⽅根的乔累斯基()Cholesky 分解. 定理 1.1 n阶⾮奇异矩阵A可作三⾓分解的充要条件是k 0A ≠()1,2,,1k n =- ,这⾥A k为A 的k 阶顺序主⼦阵, 以下同.证明必要性. 设⾮奇异矩阵A 有三⾓分解A L U=, 将其写成分块形式k12k122122212222A L 0U =A A 0U kA U L L这⾥A k ,k L 和k U 分别为A, L和U 的k 阶顺序主⼦阵. ⾸先由0⽽L 0k ≠,U 0k ≠; 因此A =L U0kkk ≠()1,2,,1k n =-.充分性. 对阶数n 作数学归纳法. 当n=1时, 1A =（11a ）=（1）（11a ）,结论成⽴. 设对n k =结论成⽴, 即k =k k A L U , 其中k L 和k U 分别是下三⾓矩阵和上三⾓矩阵. 若k 0A ≠,则由kA =L k k U 易知L k 和k U 可逆. 现证当1n k =+时结论也成⽴, 事实上-1k k k k1TT 1T 1-1k+1,1k 1,1k k k A c 0c A =10c kkk T kk k k k k L U L r a r U a r U L +--+++??= ? ?-.由归纳法原理知A 可作三⾓分解.定理 1.1 给出了⾮奇异矩阵可作三⾓分解的充要条件, 由于不满⾜定理1.1的条件, 所以它不能作三⾓分解. 但110000110011211011202A ?????????? ?===.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三⾓分解未必要满⾜定理1.1的条件.⾸先指出,⼀个⽅阵的三⾓分解不是唯⼀的, 从上⾯定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三⾓分解,其实,⽅阵的三⾓分解有⽆穷多, 这是因为如果D 是⾏列式不为零的任意对⾓矩阵, 有1()()A LU C D D U LU-== ,其中,LU 也分别是下、上三⾓矩阵, 从⽽A LU = 也使A 的⼀个三⾓分解. 因D 的任意性, 所以三⾓分解不唯⼀. 这就是A 的分解式不唯⼀性问题, 需规范化三⾓分解.定理 1.2 （LD U 基本定理）设A 为n 阶⽅阵,则A 可以唯⼀地分解为A =LD U(1.1)的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式k 0A ≠()1,2,,1k n =- .其中L,U分别是单位下、上三⾓矩阵, D是对⾓矩阵D=diag ()12,,,n d d d ,1k k k A d A -=()1,2,,kn = , 01A =.证明充分性. 若k 0A ≠()1,2,,1k n =- , 则由定理1.1, 即实现⼀个杜利特分解A LU= , 其中L 为单位下三⾓矩阵, U 为上三⾓矩阵,记1112122==()()()()()()1111112122222n n n nn a a a a a a ??=()n A , 因为()u 0i ii ii a ≡≠()1,2,,1i n =- .下⾯分两种情况讨论：1) 若A ⾮奇异,由式(1)有n ?=()()() 121122n nn a a a =A ≠, 所以()n nn nna u =≠,这时令()()()()121122diag n nn D a a a = , 则() ()()1121122111,,,n nn D diag a a a -??= ?.LD D U LDU -=== (1.2)是A 的⼀个LD U 分解.2)若A 奇异,则()u 0i iiii a ≡=,此时令()()()12111221,1(,,,,0)n n n D diag a a a ---= ,()()()()121n-111221,1,,,n n n D diag a a a ---= , α=()1n1u,,,Tn u n - ,则10n T UU α-??≡ =1111110=DU 0001n n n n T T U D U D α------,因此不论哪种情况, 只要k0A ≠()1,2,,1k n =- , 总存在⼀个LD U分解式(1.1),1a kk k kk k A d A -==()1,2,,1kn =- ,01A =.均⾮奇异.若还存在另⼀个LD U 分解111A L D U =, 这⾥1L ,1D , 1U 也⾮奇异,于是有111L D U L D U =(1.3)上式两端左乘以11L -以及右乘以1U -和1D -, 得111111L L D U U D---=, (1.4)但式(1.4)左端是单位下三⾓矩阵, 右端是单位上三⾓矩阵, 所以都应该是单位阵, 因此1LL I-=,1111D U UDI--=,即1L L =,111--=. 由后⼀个等式类似地可得11U UI-=,11D D I-=,即有1U U=,1D D=.2) 若A 奇异, 则式(1.3)可写成分块形式1111100001000110001T T T T T L D U L D U ααββ= ? ? ? ? ? ???????????, 其中1L, 1L 是1n -阶单位下三⾓阵; U , 1U 是1n -阶上三⾓阵; D,1D 是1n -阶对⾓阵; α, 1α,β, 1β是1n -维列向量. 由此得出111111=D U D DUD ααββαββα???? ? ???, 其中1L, 1D , 1U 和L ,D, U均⾮奇异, 类似于前⾯的推理, 可得1L =L ,1D =D , 1U =U ,1=αα,T T1=ββ.必要性. 假定A 有⼀个唯⼀的LD U 分解, 写成分块的形式便是1111A 00=0101n n n n T T nn n x D L U ya d αβ----,(1.5)其中1n L -,1D n -, 1n U -, 1n A -分别是L,A的1n -阶顺序主⼦矩阵;x , y, α,β为1n -维列向量. 由式(1.5)有下⾯的矩阵⽅程:1111n n n n A L D U ----=, (1.6)11TTn n yD U β--=,(1.7)11n n x L D α--=, (1.8)1Tnn n na D d βα-=+. (1.9)否则, 若10n A -=, 则由式(1.6)有111110n n n n n A L D U D -----===.于是有1110n n n L D D ---==, 即11n n L D --奇异. 那么对于⾮其次线性⽅程组(1.8)有⽆穷多⾮零解, 不妨设有α', 使11n n L D x α--'=, ⽽α'=α.同理, 因11n n D U --奇异, ()1111TTT n n n n L D U D ----=也奇异,故有ββ'≠, 使11TTn n U D yβ--=, 或11TTn n D U yn nn n d a D βα-'''=-, 则有1111000101n n n n T T nn nA x D L U y a d αβ----'= ? ? ? ?'',这与A 的LD U 分解的唯⼀性⽭盾, 因此10n A -≠.考察1n -阶顺序主⼦矩阵1n A -由式(1.6)写成分块形式, 同样有2222n n n n A L D U ----=. 由于10n D -≠, 所以20n D -≠, 可得222220n n n n n A L D U D -----==≠, 从⽽20n A -≠. 依此类推可得0k A ≠()1,2,,1k n =- .综上所述, 定理证明完毕.推论 1[]3 设A 是n 阶⽅阵, 则A 可惟⼀进⾏杜利特分解的充分必要条件是A 的前1n -个顺序主⼦式11110k k k kka a A a a =≠,1,2,,1k n =- , 其中L 为单位上三⾓矩阵, 即有11121212223132121111n nnn n n n n u u u l u u l l A u l l l -=并且若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件可换为: A的各阶顺序主⼦式全不为零, 即:0k A ≠,1,2,,k n = .推论 2[]3 n 阶⽅阵A 可惟⼀地进⾏克劳特分解111212122212111n nn n nnl u u ll u A LUl l l==的充要条件为11110k k k kka a A a a =≠, 1,2,,1k n =- .若A 为奇异矩阵, 则0nn l =, 若A 为⾮奇异矩阵, 则充要条件也可换为0k A ≠, 1,2,,k n = .定理 1.3[]3 设A 为对称正定矩阵, 则A 可惟⼀地分解为T A LDL =, 其中L 为下三⾓矩阵, D 为对⾓矩阵, 且对⾓元素是L 对⾓线元素的倒数. 即2212n n nnl l l L l l l ?? ?=, 1122111nn l l D l ?? ? ? ? ?=. 其中11/j ijij ik jk kkk l a l l l -==-∑,1,2,,ni = , 1,2,,j i = .。

线性代数中的矩阵分解方法矩阵分解方法是线性代数中的关键概念之一，它通过将一个矩阵分解为多个简化的矩阵形式，从而简化计算和分析。

在本文中，我们将介绍线性代数中常见的矩阵分解方法，并讨论它们的应用和优势。

一、LU分解LU分解是将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。

通过LU分解，我们可以方便地求解线性方程组，计算逆矩阵等操作。

LU分解的过程可以通过高斯消元法来实现，如下所示：[ A ] = [ L ] [ U ]其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ L ]是下三角矩阵，[ U ]是上三角矩阵。

二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的过程。

QR分解广泛应用于最小二乘拟合、信号处理和图像处理等领域。

QR分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来实现，如下所示：[ A ] = [ Q ] [ R ]其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ Q ]是正交矩阵，[ R ]是上三角矩阵。

三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和一个正交矩阵V的过程。

SVD广泛应用于图像压缩、降噪和数据降维等领域。

奇异值分解的过程可以通过特征值分解和奇异值分解算法来实现，如下所示：[ A ] = [ U ] [ Σ ] [ V ]^T其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ U ]是正交矩阵，[ Σ ]是对角矩阵，[ V ]是正交矩阵。

四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个特征向量矩阵P和一个特征值对角矩阵D的过程。

特征值分解广泛应用于谱分析、动力系统和量子力学等领域。

特征值分解的过程可以通过求解特征值和特征向量来实现，如下所示：[ A ] = [ P ] [ D ] [ P ]^(-1)其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ P ]是特征向量矩阵，[ D ]是特征值对角矩阵。

五、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积的过程。

矩阵奇异值分解具体计算过程解释说明以及概述1. 引言1.1 概述矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种重要的矩阵分解方法，广泛应用于数据降维、图像处理、推荐系统和信号处理等领域。

通过将一个矩阵分解为三个独特的部分，即原始矩阵的奇异向量和奇异值，SVD 可以提供有关原始数据的宝贵信息。

本文旨在详细介绍矩阵奇异值分解的具体计算过程，并对其应用领域以及算法优化和改进方向进行探讨。

首先，我们将给出该方法的定义和基本原理，并描述其计算方法和数学推导。

接着，我们将深入探究矩阵奇异值分解在图像压缩与降维、推荐系统和数据挖掘以及信号处理和模式识别等方面的应用。

然后，我们将讨论近似求解算法、加速技术以及大规模矩阵奇异值分解算法的最新进展。

最后，我们还将探索结合其他矩阵分解技术发展方向。

1.2 文章结构本文共包含五个主要部分。

第一部分是引言，主要概述了本文的目的和结构。

第二部分将详细介绍矩阵奇异值分解的具体计算过程，包括定义、基本原理、计算方法和数学推导。

第三部分将解释说明矩阵奇异值分解在不同领域中的应用，如图像压缩与降维、推荐系统和数据挖掘以及信号处理和模式识别。

第四部分将讨论矩阵奇异值分解算法的优化和改进方向，包括近似求解算法、加速技术以及结合其他矩阵分解技术的发展方向。

最后一部分是结论，总结文章的主要内容和贡献，并对未来研究方向进行展望。

1.3 目的本文旨在通过详细讲解矩阵奇异值分解的具体计算过程，深入理解其原理和应用，并探讨其改进方向。

通过对该方法进行全面系统地介绍，希望能够增加读者对矩阵奇异值分解有关知识的了解，并为相关领域的研究者提供参考和启示。

同时，本文也为后续相关领域深入研究和应用提供了理论基础和开发方向。

2. 矩阵奇异值分解具体计算过程2.1 矩阵奇异值分解定义和基本原理矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种常用的矩阵分解方法。

§9. 矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。

由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。

这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。

一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。

将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。

首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。

定义1 如果(1,2,,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,1;∈<=-ij a C R i j i n1,2,),=++j i i n 则上三角矩阵11121222000⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。

定义2如果(1,2,,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,1;∈>=-ij a C R i j i n1,2,),=++j i i n 则下三角矩阵11212212000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a L a a a称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。

定理1设,⨯∈n nnA C 则A 可唯一地分解为 1=A U R其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为2=A LU其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。

机器学习SVD矩阵分解算法，对矩阵做拆分，然后呢？今天是机器学习专题第28篇文章，我们来聊聊SVD算法。

SVD的英文全称是Singular Value Decomposition，翻译过来是奇异值分解。

这其实是一种线性代数算法，用来对矩阵进行拆分。

拆分之后可以提取出关键信息，从而降低原数据的规模。

因此广泛利用在各个领域当中，例如信号处理、金融领域、统计领域。

在机器学习当中也有很多领域用到了这个算法，比如推荐系统、搜索引擎以及数据压缩等等。

SVD简介我们假设原始数据集矩阵D是一个mxn的矩阵，那么利用SVD 算法，我们可以将它分解成三个部分：这三个矩阵当中U是一个m x n的矩阵，∑是一个m x n的对角矩阵，除了对角元素全为0，对角元素为该矩阵的奇异值。

V是一个n x n的矩阵。

U和V都是酉矩阵，即满足U^TU = I, V^T V = I。

也就是它乘上它的转置等于单位对角矩阵。

我们可以看下下图，从直观上感知一下这三个矩阵。

下面我们来简单推导一下SVD的求解过程，看起来很复杂，概念也不少，但是真正求解起来却并不难。

会需要用到矩阵特征值分解的相关概念，如果不熟悉的同学可以先看下线性代数专题相关内容做个回顾：线性代数精华——讲透矩阵的初等变换与矩阵的秩首先，如果我们计算A^TA可以得到一个n x n的方阵。

对于方阵我们可以对它进行特征分解，假设得到特征值是lambda_i，特征向量是v_i，代入特征值的性质可以得到：这样的特征值和特征向量一共会有n个，我们把它所有的特征向量组合在一起，可以得到一个n x n的矩阵V。

它也就是我们SVD分解结果之后的V，所以有些书上会把它叫做右奇异向量。

同理，我们计算AA^T可以得到一个m x m的方阵，我们同样可以对他进行特征值分解，得到一个特征矩阵U。

U应该是一个m x m 的矩阵，也就是SVD公式中的U，我们可以将它称为A的左奇异向量。

U和V都有了，我们只剩下∑还没求出来了。

矩阵svd分解算法SVD全称为Singular Value Decomposition(奇异值分解)，是一种非常重要的矩阵分解方法，被广泛应用于信号处理、图像处理、机器学习等领域。

本文将介绍SVD的定义、求解方法以及应用。

一、SVD定义矩阵SVD分解，指将一个复矩阵A分解成如下的形式：A = UΣV^T其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值，通常用σ1 ≥ σ2 ≥ … ≥ σr > 0来表示。

二、SVD求解方法下面我们针对mxn的矩阵A，讲述一下SVD的求解步骤。

1. 首先求A^T·A的特征值和特征向量，设A^T·A的特征值为λ1, λ2, …, λm，对应的特征向量为v1, v2, …, vm 。

其中λ1≥λ2≥…≥λr>0。

2. 接着我们对v1, v2, …, vm进行标准化。

3. 将标准化后的v1, v2, …, vm组成正交矩阵V，即：V=[v1, v2, …, vm]。

特别的，当A为实矩阵时，可得到实特征向量和实奇异值，此时V 是一个正交矩阵。

4. 由于λ1, λ2, …, λr是A^T·A的非负特征值，我们可以得到A^T·A的奇异值：σ1=√λ1, σ2=√λ2, …, σr=√λr。

并将非零奇异值按照从大到小降序排列。

5. 求解奇异值对应的左奇异向量，设A^T·A的第i大特征值对应的特征向量为vi，i=1,2,...,r。

则A的左奇异向量为：ui=1/σi·Avi，i=1,2,...,r。

将u1, u2, …, ur组成正交矩阵U，即：U=[u1, u2, …, ur]。

特别的，当A为实矩阵时，可得到实左奇异向量。

6. 当m>n时，需要计算A·A^T的右奇异向量。

根据定义可得：vi=1/σi·A^Tui，i=1,2,...,r。

这些向量也组成了一个正交矩阵V，将它们作为A的右奇异向量。

矩阵分解的条件有多种，具体取决于所选择的分解方法。

以下是几种常见矩阵分解方法的条件：
1. 奇异值分解（SVD）：一个矩阵A可以被分解为U S V^T的形式，其中U和V是酉矩阵，S 是对角矩阵，对角线上的元素是A的奇异值，且按降序排列。

A可以被分解的充分必要条件是A是方阵，且其奇异值非零。

2. QR分解：一个矩阵A可以被分解为Q R^T的形式，其中Q是酉矩阵，R是上三角矩阵。

A 可以被分解的充分必要条件是A是方阵，且其所有的特征值均非零。

3. Schmidt正交化：一个矩阵A可以被分解为P H^T的形式，其中P是正交矩阵，H是实对称矩阵。

A可以被分解的充分必要条件是A是方阵，且其所有的特征值均非零。

4. Givens变换：一个矩阵A可以被分解为一系列Givens变换的组合，每个Givens变换都是一个上/下三角矩阵的乘法。

A可以被分解的充分必要条件是A是方阵，且其所有的特征值均非零。

请注意，这些条件是充分必要条件，即满足这些条件的矩阵一定可以被成功分解，但反过来并不一定成立。

此外，对于某些特定的矩阵分解方法，可能还有一些额外的限制条件。

矩阵理论中的SVD分解在矩阵理论中，SVD分解是一种重要的矩阵分解方法。

SVD分解是矩阵分析和数据分析中的基本概念之一，被广泛应用于数据挖掘、信号处理、优化等领域。

本文将对SVD分解的原理、应用以及优化方法进行阐述。

一、SVD分解的原理SVD分解全称为奇异值分解（Singular Value Decomposition），它是一种将任意矩阵分解成三个部分的方法：左奇异矩阵U、右奇异矩阵V和奇异值矩阵Σ。

对于一个m*n的矩阵A来说，其SVD分解的形式为：A=UΣV^T其中U是m*m的左奇异矩阵，V是n*n的右奇异矩阵，Σ是m*n的奇异值矩阵，^T表示转置矩阵。

具体地讲，奇异值分解可以通过以下步骤实现：1. 对矩阵A的转置矩阵A^T*A进行特征值分解，得到特征值和特征向量；2. 将得到的特征值进行排序，并将对应的特征向量排列成矩阵Σ；3. 对特征值最大的k个特征向量进行选取，组成左奇异矩阵U；4. 将左奇异矩阵U分别与矩阵A和矩阵A^T相乘，得到右奇异矩阵V和奇异值矩阵Σ。

二、SVD分解的应用1. 数据压缩SVD分解可以将高维数据压缩成低维数据，从而节约存储空间和计算资源。

这种压缩方式可以应用于图像压缩、声音压缩等领域。

2. 数据挖掘在数据挖掘中，SVD分解可以用来寻找数据中的模式和关联性，从而帮助用户挖掘隐藏在数据中的信息。

对于大规模数据的处理，SVD分解可以通过分布式计算等方法实现高效处理。

3. 推荐系统SVD分解在推荐系统中有广泛的应用，可以通过分析用户对产品的评分和评价来预测用户的喜好和行为。

许多著名的在线商店和视频网站都采用了SVD分解算法来提高用户体验和销售额。

三、SVD分解的优化在实际应用中，SVD分解遇到了许多问题，例如在大规模数据处理中，算法效率过低；在数据稀疏或噪声干扰较大时，分解结果不准确等。

为了解决这些问题，研究者们提出了许多SVD分解的优化方法。

1. 基于随机化的SVD分解基于随机化的SVD分解是一种全新的分解方式，它通过随机采样的方式，构建出可靠的奇异值近似，并且时间复杂度与数据规模基本无关。

矩阵svd分解算法矩阵SVD分解算法是一种常用的矩阵分解方法。

SVD代表奇异值分解，在现代数学和计算机科学中具有广泛的应用。

矩阵SVD分解算法是一种将矩阵分解成若干个特征向量和特征值的方法，可以用于矩阵压缩、信号处理、图像处理、语音处理等领域。

下面将具体介绍矩阵SVD分解算法的实现过程。

1.矩阵的奇异值分解假设有一个矩阵A，形式如下：A=U∑V*其中，U是一个m×m的酉矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，对角线上的元素称为奇异值，用σ1,σ2,...,σr表示，U的列向量称为左奇异向量，V的列向量称为右奇异向量。

*代表矩阵的共轭转置，也称为伴随矩阵。

2.矩阵的分解接下来我们将具体介绍矩阵SVD分解算法的实现过程。

（1）创建矩阵A，假设A是一个m×n的矩阵。

（2）求出矩阵A*A的特征向量和特征值，得到特征向量矩阵U 和特征值矩阵Σ。

（3）求出矩阵AA*的特征向量和特征值，得到特征向量矩阵V和特征值矩阵Σ。

（4）对Σ矩阵进行对角化处理，即将对角线上的元素按照降序排列。

（5）将U矩阵的各列按照Σ的降序排列，得到左奇异向量矩阵U1。

（6）将V矩阵的各列按照Σ的降序排列，得到右奇异向量矩阵V1。

（7）根据A=U1ΣV1*的形式，得到分解后的矩阵A。

3.矩阵的压缩矩阵SVD分解算法可以用于矩阵压缩。

假设A是一个m×n的矩阵，我们可以将其分解成A=U1Σ1V1*的形式，然后只保留其中的前k 个奇异值和对应的左奇异向量和右奇异向量，得到一个压缩后的矩阵Ak=UkΣkVk*，其中Uk、Σk、Vk*分别是U1、Σ1、V1*的前k列。

由于大部分的信息都被包含在前面的奇异值中，所以只保留前面的奇异值和对应的奇异向量，就能够实现对矩阵的有效压缩。

总之，矩阵SVD分解算法是一种重要的矩阵分解方法，可用于矩阵压缩、信号处理、图像处理、语音处理等领域。

SVD的分解过程包括特征向量和特征值的求解及对角化，求解过程较为复杂，但实现后可以大幅度提高矩阵计算的效率和精度。

矩阵分析第四章 矩阵分解§4.1: 矩阵的满秩分解 §4.2: 矩阵的正交三角分解 §4.3: 矩阵的奇异值分解 §4.4: 矩阵的极分解 §4.5: 矩阵的谱分解矩阵分解前言矩阵分解定义: 将一个已知矩阵表示为另一些较为简单或 较为熟悉的矩阵的积(或和)的过程称为矩阵分解. 例:(1)对任意n阶正规矩阵A,存在酉阵U∈Un×n使 A=Udiag(λ1,…,λn)U*, 其中λ1,…,λn为A的所有特征值的任一排列. (2)对任意n阶正定矩阵A,存在可逆阵Q∈Cnn×n使A=Q*Q,或存 在唯一正定阵B使A=BB. 矩阵分解意义:有利于研究已知的矩阵. 例如,利用正定阵A的平方根B为正定阵可证: 对任意Hermite阵H,AH或HA都有实特征值.1( AH∼(A1/2)-1AHA1/2=A1/2HA1/2∈Hn×n )2初等变换与初等矩阵(p73)三类初等变换: (行(列)变换←→左(右)乘) (1)将矩阵A的两行互换等价于用第一类初等矩阵P(i,j)左 乘A; (2)将矩阵A的第i行乘以k≠0等价于用第二类初等矩阵 P(i(k))=diag(1,…,1,k,1,…,1)左乘A. (3)将矩阵A的第j行乘以k≠0后再加到第i行等价于左乘第 三类初等矩阵P(i,j(k)).P (i , j ) =⎛1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 1 1 1 0 1 1初等变换与初等矩阵举例⎛1 ⎞⎛ 1 4 7 ⎞ ⎛ 1 4 7 ⎞ ⎜ 0 1 ⎟⎜ 2 5 8 ⎟ = ⎜ 3 6 9 ⎟ ; ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 ⎟⎜ 3 6 9 ⎟ ⎜ 2 5 8 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 4 7⎞⎛1 ⎞ ⎛ 1 7 4⎞ ⎜ 2 5 8⎟⎜ 0 1⎟ = ⎜ 2 8 5⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 6 9⎟⎜ 1 0⎟ ⎜ 3 9 6⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛1 ⎞⎛1 4 7⎞ ⎛ 1 4 7 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0.2 ⎟ ⎜ 2 5 8 ⎟ = ⎜ 0.4 1 1.6 ⎟ ; ⎜ ⎜ 1⎟⎜ 3 6 9 ⎟ ⎜ 3 6 9 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛1 4 7⎞⎛1 ⎞ ⎛ 1 4 7 / 9⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 5 8⎟⎜ 1 ⎟ = ⎜ 2 5 8/9⎟ ⎜ 3 6 9⎟⎜ 1/ 9 ⎟ ⎜ 3 6 1 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠---- i ---- j⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1⎠P (i , j ( k )) =⎛1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝1k 1⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ---⎟ ⎟ ⎟ ---⎟ ⎟ ⎟ 1⎠i j3⎛1 ⎞⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −4 1 ⎟ ⎜ 4 5 6 ⎟ = ⎜ 0 −3 −6 ⎟ ; ⎜ 1⎟⎜ 7 8 9⎟ ⎜ 7 8 9 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠−3 ⎞ ⎛ 1 2 0 ⎞ ⎛ 1 2 3⎞⎛1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 5 6⎟⎜ 1 ⎟ = ⎜ 4 5 −6 ⎟ ⎜7 8 9⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ 7 8 −12 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠4初等变换与初等矩阵的性质3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). 将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变换等价 于左(右)乘A以可逆矩阵Pr…P1(P1…Pr). 可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的行(列)是A 的行(列)的任意排列; 可适当选第三类初等矩阵 P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j)元变为0; 可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k使P(i(k))A的非 零(i,i)元变为1. 存在初等矩阵的乘积P和Q,使PAQ= ,其中r=rankA.初等变换与初等矩阵的性质续命题:设A∈Crm×n前r列线性无关,则用初等行变换可把A变为⎛ Er ⎜ ⎝ 0 ⎛1 ⎜ ⎜ D⎞ ⎜ = ⎜ ⎟ 0 ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 * * * * *⎞ ⎟ *⎟ *⎟ ⎟ *⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠一般地,∀A∈Crm×n都存在m,n阶可逆阵P和Q使PAQ=5证:因前r列线性无关,故用第一类初等矩阵左乘可使A的 (1,1)元≠0. 再用第二类初等矩阵左乘可使a11=1; 最后用若干第三类初等矩阵左乘可使A的第一列=e1. 因前2列线性无关,故新的第2列与e1线性无关且≠0, 故用第一类行变换可使(2,2)元≠0,…可使A的第2列=e2. ….可使A的第r列=er.此时空白处必为0元.安徽大学 章权兵1矩阵分析§4.1: 矩阵的满秩分解⎛ 1 ⎜ A = ⎜ −2 ⎜ 0 ⎝ 0 0 0 0⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ , 没 有 P ∈ C 33 × 3 使 P A = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎠ ⎝0 0 0 0⎞⎛1 ⎟⎜ 1⎟⎜0 0⎟⎜0 ⎠⎝ 0 0 1 0⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ −2 0⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ 0 1 0 0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎠1⎞ ⎟ ⎟. 0⎟ ⎠定义:对任意矩阵A∈Crm×n,A=BC 称为A的一个满秩分 解,如果B∈Crm×r,C∈Crr×n. 例:⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜0 ⎝ 1 2 1 2 3 1 3 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜1 − 1⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ 1⎞ ⎟⎛ 1 2 ⎟⎜ ⎜0 1 ⎟⎝ ⎠ ⎛1 4 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜1 ⎟ 1 1 − 1⎠ ⎜ ⎝0 0 1 2⎞ ⎟⎛ 1 3 ⎟⎜ ⎜0 1 ⎟⎝ ⎠ −1 0 1 1 5 ⎞ ⎟ − 1⎟ ⎠⎛ 1 ⎜ A P ( 2, 3) = ⎜ − 2 ⎜ 0 ⎝⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 0.5 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PAQ = P (2,1(0.5)) AP (2, 3) = ⎜ 0.5 1 0 ⎟ ⎜ −2 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 1⎟⎜ 0 0 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠m=3,n=4,r=2. 注:可能存在不仅是常数差别的两个实质不同的满 秩分解.矩阵满秩分解的存在定理定理4.1.1:任意矩阵A∈Crm×n,都有满秩分解: A=BC,B∈Crm×r,C∈Crr×n. 证:由初等矩阵性质知: 存在可逆阵P∈Cmm×m和Q∈Cnn×n,使 PAQ= 从而 A⎛ Er ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 ⎞ ⎛ Er ⎟=⎜ 0⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ ⎛ Er ⎞ -1 ⎜ ⎟ ( E r =P ⎝ 0 ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ (E r ⎠ 0)存在定理中矩阵B,C的决定对于A的前r列线性无关的情形:⎛E PA = ⎜ r ⎝ 0 D ⎞ ⎛ Er ⎞ = (Er 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ D)⎛E A = P −1 ⎜ r ⎝ 0D⎞ Er ⎞ −1 ⎛ ⎟= P ⎜ ⎟ (Er 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠D ) = BC其中0)⎛E ⎞ B = P −1 ⎜ r ⎟ ; C = ( Er ⎝0⎠D)Q-10)= BC,⎛ 其中B=P-1 ⎜Er ⎞ ⎜ 0 ⎟ ,C= ⎟ ⎝ ⎠(ErQ-1满足所要求的条件.C是PA的前r行(即所有非0行)组成的矩阵, B和C的秩显然都是r.10矩阵B的进一步决定对于A的前r列线性无关的情形: 要求PA的前r列化为(Er,0)T,故有 B=P-1(Er,0)T ⇒ PB=(Er,0)T=PA1, 其中,A1为A前r列组成的子矩阵,由此推出B=A1. (参看P.183-184定理的证明及例4.1.1,例4.1.2) 对下例,A的第1,3两列也线性无关. 令A1为A第1,3两列组成的子矩阵,并将A的第1,3 两列化为(E2,0)T,C为所得矩阵的前2行. 则不难看出也有 A=BC和B=A1.求矩阵满秩分解的初等变换方法再以A= ⎜ 1 ⎜⎛1 1 2 3 ⎞ ⎟ 2 3 2 ⎟ 为例作说明如下: ⎜ 0 1 1 −1⎟ ⎝ ⎠①用初等行变换把A前两列变为(E2 0)T⎛1 1 2 3 ⎞ ⎛1 1 2 3 ⎞ ⎛1 0 1 4 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛1 0 1 4 ⎞ ⎜ 1 2 3 2 ⎟ → ⎜ 0 1 1 −1 ⎟ → ⎜ 0 1 1 −1⎟ = ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ 0 1 1 −1⎟ ⎠ ⎜ 0 1 1 −1 ⎟ ⎜ 0 1 1 −1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a1 a2 ②用初等行变换把A的1,3两列变为(E2 0)T ⎛1 1 2 3 ⎞ ⎛1 1 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜1 2 3 2 ⎟ → ⎜0 1 1 ⎜ 0 1 1 −1 ⎟ ⎜ 0 1 1 ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎞ ⎛ 1 −1 0 5 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 −1 0 5 ⎞ −1 ⎟ → ⎜ 0 1 1 − 1 ⎟ = ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 1 −1 ⎠ −1 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠a1 a3安徽大学 章权兵2矩阵分析关于矩阵满秩分解的注矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满秩分 解的因式矩阵之间存在密切关系(见定理4.1.2). A∈Crm×n ⇒ r=rank A ≤ min{m,n} A的秩等于它的行秩,列秩或行列式秩. A的行(列)秩是它的行(列)最大线性无关组的行 (列)数;A的行列式秩是其非0子式的最大阶数. A=BC ⇒ rank A≤rank B 且 rank A≤rank C rank A=rank A*13引理4.3.1引理4.3.1:对任意矩阵A∈Crm×n有 rank(AA*)=rank(A*A)=rank A*=rank A=r. 证:因方程组Ax=0的解空间维数等于n-rank A, (*) 故为了证明 rank(A*A)=rank A 只须证明下列两个方程组有相同的解空间即可 Ax=0 ⑴ ⑵ A*Ax=0 显然,x满足⑴ ⇒ x满足⑵. x满足⑵ ⇒ x*A*Ax=0,即(Ax,Ax)=0 ⇒ Ax=0,即x满足⑴. 注:利用A的任意性以A*代A由(*)得 rank A=rank A*=rank((A*)*A*)=rank(AA*)同一矩阵两个满秩分解间的关系定理4.1.2:若A=BC=B1C1均为A∈Crm×n 的满秩分解, 则存在θ∈Crr×r,使得B=B1θ,C=θ-1C1. 证:若A=BC=B1C1,则BCC*=B1C1C*. 由p.190引理4.3.1知:rank(CC*)=rank C=r, 从而 CC*∈Crr×r为可逆矩阵,且满足B=B1C1C*(CC*)-1. 由上式推出r≥rank(C1C*)≥rank B=r,即rank(C1C*)=r. 进而 θ=C1C*(CC*)-1∈Crr×r,满足B=B1θ. 同理可证 C=(B*B)-1B*B1C1=θ′C1,θ′∈Crr×r. 因此,BC=B1C1 ⇒ B1θθ′C1=B1C1 ⇒ B1*B1θθ′C1C1* = B1*B1C1C1* 引理4.3.1 ⇒ θθ′=E ⇒ θ′=θ-1定理4.1.2的补充命题:设A=B1C1为A∈Crm×n的满秩分解, 则A=BC是A的满秩分解,当且仅当 ∃θ∈Crr×r, B=B1θ,C=θ-1C1. 证: 必要性由定理4.1.2给出. 充分性. 若存在θ使(*)成立,则B,C给出A的满秩分解： BC=B1C1=A. (*)§4.2: 矩阵的正交三角分解满秩矩阵的分解 行(列)满秩矩阵的分解 一般矩阵的分解满秩矩阵的正交三角分解定理4.2.1:∀A∈Cnn×n都可唯一地分解为A=UR(或A=LU),其中 U∈Un×n,R(L)为正线上(或下)三角矩阵. 证:(存在性)令A=(α1, … ,αn),则α1, … ,αn线性无关, 用Schmidt方法从α1, … ,αn得标准正交组ν1,…,νn满足⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪α ⎩α 1 = C 11ν 11αn2= C 21ν1+ C 22 ν22∀i,Cii=‖βi‖>0n= C n 1ν+ Cn2ν+ ... + C nn νC 21 C 22于是其中,U=(ν1,…,νn)为酉矩阵,R为正线上三角矩阵.⎛ C 11 ⎜ A= (α 1 ,..., α n ) = (ν 1 ,..., ν n ) ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝C n1 ⎞ ⎟ C n2 ⎟ ⎟ ⎟ C nn ⎟ ⎠=UR,安徽大学 章权兵3矩阵分析β1=α1 , β2=α2-((α2,β1)/(β1,β1))β1 , β3=α3-((α3,β1)/(β1,β1))β1-((α3,β2)/(β2,β2))β2 , . . . νi=(1/‖βi‖)βi, βi=‖βi‖νi, i=1,2,… α1=β1=‖β1‖ν1; C11=‖β1‖>0 α2=((α2,β1)/(β1,β1))β1+β2=C21ν1+‖β2‖ν2;C22=‖β2‖>0正交三角分解唯一性证明定理4.2.1:∀A∈Cnn×n都可唯一地分解为A=UR(或A=LU), 其中U∈Un×n,R(L)为正线上三角矩阵. (唯一性) 设还有U′∈Un×n和正线上三角矩阵R′使A=U′R′. 则有 UR=U′R′ ⇒ U′*U = R′R-1 = W 矩阵 W=U′*U∈Un×n,且W=R′R-1 仍然是正线上三角矩阵. (正线上三角阵的逆和积仍是正线上三角阵) 于是,由p.162的引理3.9.1知 W=E. 即 (U′)*U=R′R-1=E. 由此式立即推出:U=U′E=U′ & R′=ER=R. 得证唯一性.α3=C31ν1+C32ν2+‖β3‖ν3; . . .C33=‖β3‖>0正交三角分解下三角情形的证明定理4.2.1:∀A∈Cnn×n都可唯一地分解为A=LU,其中 U∈Un×n,L为正线下三角矩阵. 证: ∀A∈Cnn×n ⇒ AT∈Cnn×n. 存在唯一的U′∈Un×n和正线上三角矩阵R,使AT=U′R. 于是A=(AT)T=(U′R)T=RTU′T=LU, 其中,U=U′T∈Un×n,L=RT为正线下三角矩阵.列(行)满秩矩阵的正交三角分解定理4.2.2:∀A∈Crm×r(Crr×n)都可唯一地分解为A=UR (A=LU), 其中U∈Urm×r(Urr×n),R(L)为r阶正上线(下)三角矩阵. (定理4.2.1为m=n=r时的特例) 证:(存在性)令A=(α1, … ,αr),则α1, … ,αr线性无关, 用Schmidt方法求得标正组ν1,…,νr满足⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪α ⎩αr2α 1 = C 1 1ν 1 = C 2 1ν 1 + C 2 2ν22∀i,Cii>0.r= C r 1ν 1 + C r 2ν+ . . . + C r rν因此A=UR,其中U=(ν1,…,νr)∈Urm×r, R=⎛ C 11 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝C 21 C 22C r1 ⎞ ⎟ Cr2 ⎟ ⎟ ⎟ C rr ⎠定理4.2.2唯一性证明定理4.2.2: ∀A∈Crm×r都可唯一地分解为A=UR,其中 U∈Urm×r,R为r阶正线上三角矩阵. (唯一性) 设还有U′∈Urm×r和正线上三角矩阵R′∈Cr×r 使A=U′R′. 则有 R*R=A*A=(R′)*R′, 于是由定理3.9.1⑹,A*A是正定Hermite矩阵. 故A*A可唯一地表示为乘积R*R,其中R为正线上三角阵. 因此必有R=R′. 进而,由UR=U′R′给出U=U′,得证唯一性.一般矩阵的正交三角分解定理4.2.3:∀A∈Crm×n可分解为A=U1R1L2U2,其中U1∈Urm×r, U2∈Urr×n,R1和L2分别为r阶正线上三角和下三角矩阵. 证:由矩阵的满秩分解知: 存在列满秩矩阵B和行满秩矩阵C使A=BC. 存在U1∈Urm×r和r阶正上线上三角矩阵R1使得B=U1R1. 存在r阶正线下三角矩阵L2和U2∈Urr×n使得C=L2U2. 从而A=U1R1L2U2满足条件.安徽大学 章权兵4矩阵分析用UR(LU)分解方法解方程组例4.2.1:用UR(LU)方法解方程组 Ax=b (*) − 2 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ 其中 ⎛ − 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 1 A = ⎜ 1 ⎜ ⎜ 2 ⎝ 1 1 − 1 − 1 0 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟, b = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎠ ⎝ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠§4.3: 矩阵的奇异值分解引理4.3.1:对任意矩阵A∈Crm×n有 rank(AA*)=rank(A*A)=rank A*=rank A=r. 引理4.3.2: ∀A∈Cm×n,AA*∈Cm×m 与 A*A∈Cn×n 均为 半正定Hermite矩阵. 证:由(A*A)*=A*A 和 ∀x∈Cn,x*A*Ax=(Ax,Ax)≥0 得证:A*A∈Cn×n 为半正定Hermite矩阵. 同理可证: AA*∈Cm×m 为半正定Hermite矩阵.解:令A=(α1,α2,α3),易见α1,α2,α3线性无关, 用Schmidt方法得标准正交组ν1,ν2,ν3如教本所示. 则A=UR,R为正线上三角矩阵,U=(ν1,ν2,ν3)∈U34×3 于是 R=U*A,代入(*)式得 URx=b ⇒ Rx=U*b ⇒ x=R-1U*b 最后求得 x=(-5/2,-1/2,3)T.AA*∈Cm×m与A*A∈Cn×n的特征值定理4.3.1: ∀A∈Cm×n, AA*∈Cm×m与A*A∈Cn×n的非零特 征值(正特征值)全同. 证法1:不难验证下列矩阵等式:⎛ AA* 0 ⎞⎛ Em A ⎞ ⎛ AA* ⎜ * ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎜ A 0 ⎟⎜ En ⎟ ⎜ A* ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎝⎜ 因S= ⎜ ⎝ ⎛ Em定理4.3.1的另一证法证法2:设λ≠0是AA*的非零特征值: AA*x=λx, λ≠0,x≠0 则 A*x≠0, A*A(A*x)=λ(A*x) 所以λ也是A*A的非零特征值. 同理可证： A*A的任一非零特征值也是AA*的非零特征值.AA* A⎞ ⎛ Em A ⎞⎛ 0 ⎟=⎜ ⎟⎜ En ⎟⎜ A* A* A ⎟ ⎜ ⎠⎝ ⎠ ⎝0 ⎞ ⎟ A* A⎟ ⎠0 ⎞ −1 0 ⎞ ⎛ AA * 0 ⎞ A⎞ ⎛ 0 ⎛ 0 ⎟ = S⎜ * ⎜ ⎜ ⎟S ~ ⎜ * ⎜ ⎟ ⎟ * ⎟ * ⎟ En ⎟ 可逆,故 ⎜ A* 0 ⎟ ⎝ A A A⎠ ⎝ A A A⎠ ⎠ ⎠ ⎝ *)=0与det(λE-A*A)=0有相同非零解, 从而det(λE-AA得证AA*与A*A有相同的非零特征值.奇异值的概念定义4.3.1:∀A∈Crm×n,AA*∈Cm×m或A*A∈Cn×n 的正特征 值的算术平方根称为A的正奇异值(简称奇异值, 共有r个记为 α1,…,αr). 例:求A= ⎜ − 1 ⎜⎜ 0 ⎝ ⎛ 1 0⎞ ⎟ 1⎟∈ C 0⎟ ⎠3× 2 2正规矩阵的奇异值定理4.3.2:正规矩阵的奇异值是其非零特征值的模. 证:设A为正规矩阵,则有U∈Un×n使 A=Udiag(λ1, … ,λn)U* A*=Udiag(λ 1 ,..., λ n )U* 从而 AA*=Udiag(|λ1|2, … ,|λn|2)U* 得证A的正奇异值是A的非零特征值的模.的奇异值.解: A*A=⎜ −1 ⎜⎝⎛2−1⎞ ⎟ 1⎟ ⎠,det(λE-A)=λ2-3λ+1的两个根:(3±√5)/2 均为正, A的奇异值为:α1=((3+√5)/2)1/2;α2=((3-√5)/2)1/2. 例4.3.1:见P.191.安徽大学 章权兵5矩阵分析矩阵的酉等价关系定义:设A,B∈Cm×n,若有S∈Cmm×m,T∈Cnn×n 使B=SAT,则称B 与A等价;若有U∈Um×m,V∈Un×n使B=UAV,则称B与A酉等价. 不难证明Cm×n中的等价或酉等价关系R是等价关系. ∀A∈Cm×n,ARA：A=EmAEn (ARB⇒BRA)： A=UBV⇒B=U*AV*,U*∈Um×m,V*∈Un×n (ARB & BRC⇒ARC)：A=UBV & B=U′CV′⇒A=UU′CV′V 注1: A与B酉等价当且仅当它们有相同的奇异值. 注2: ∀A∈Cm×n的酉等价类中有一个最简单形状的矩阵 (见定理4.3.3). ( A∈Crm×n等价于diag(Er,0)=PAQ )奇异值分解定理1定理4.3.3:令α1,…,αr为A∈Crm×n的全部正奇异值; ∆=diag(α1,…,αr),则有U∈Um×m,V∈Un×n使 U*AV= ⎜ 0 ⎜⎛ ∆ 0⎞ ⎟ =D∈C m×n r 0⎟ ⎝ ⎠(*)U满足U*AA*U是对角矩阵,V满足V*A*AV是对角矩阵. ( A=UDV*称为A的奇异值分解式) 证: 因AA*为m阶半正定矩阵,故有U∈Um×m使⎛ ∆2 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎝ ⎠ 分块U=(U1,U2),则U1∈Urm×r,U2∈Um-rm×(m-r)U*AA*U=diag(α12,…,αr2,0,…0)= ⎜ 0 ⎜对角阵 次酉阵奇异值分解定理1续⎛ ∆2 ⎜ ⎝ 0 ⎛ U1* ⎞ ⎛ U1* AA *U1 U1* AA *U 2 ⎞ 0 ⎞ ⎛ U1* ⎞ ⎟ ⎟ = ⎜ * ⎟ AA *(U1 , U 2 ) = ⎜ * ⎟ ( AA *U1 , AA *U 2 ) = ⎜ * * U2 ⎠ 0 ⎠ ⎝U 2 ⎠ ⎝ ⎝ U 2 AA *U1 U 2 AA *U 2 ⎠奇异值分解定理1续令 V1=(v1,…,vr),则v1,…,vr为标准正交组. 将此标正组扩大为Cn的标正基:v1,…,vr,vr+1,…,vn, 令V=(v1,…,vn)=(V1,V2)∈Un×n,其中V2=(vr+1,…,vn). 易见 0=V1*V2=∆-1U1*AV2 ⇒ U1*AV2=0 综合以上得⎛ U * AV U 1* AV2 ⎞ ⎛U * ⎞ ⎟ U * AV = ⎜ 1* ⎟ A(V1 , V2 ) = ⎜ 1* 1 ⎜ U AV U * AV ⎟ ⎜U ⎟ 2 2⎠ ⎝ 2 1 ⎝ 2⎠ ⎛ U * AA * U 1∆−1 =⎜ 1 ⎜ 0 ⎝ 0 ⎞ ⎛ ∆2 ∆−1 ⎟=⎜ 0⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ 0⎞ ⎛ ∆ 0⎞ ⎟=⎜ ⎟ 0⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎠ ⎠ ⎝比较(1,1)块得 ∆2=U1*AA*U1 比较(2,2)块得 0=U2*AA*U2=(U2*A)(U2*A)* ⇒ U2*A=0. ( ∀M∈Cm×n,MM*=0 ⇒ 0=tr(MM*)=Σ2 i,j|mij|⇒ ∀i,j,mij=0 ⇒ M=0 ) 令 V1=A*U1∆-1∈Cn×r 则 V1*V1=∆-1U1*AA*U1∆-1=∆-1∆2∆-1=E ⇒ V1∈Urn×r奇异值分解定理2定理4.3.4:令α1,…,αr为A∈Crm×n的全部正奇异值; ∆=diag(α1,…,αr),则有U1∈Urm×r,V1∈Urn×r 使 A=U1ΔV1 . 证:由定理4.3.3直接推出⎛∆ A = U ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0 0 ⎞ ⎟V ⎟ ⎠*关于奇异值分解定理的注(1)定理4.3.3的证明同时给出了因子矩阵U,V的求法. (U(V)是使AA*(A*A)酉相似对角化的变换矩阵) (2)矩阵U,V的列分别是AA*,A*A的对应特征向量. 证: 只证U(类似可证V). U*AA*U=diag(λ1,…,λm),λi为AA*的特征值. 令 U=(u1,…,um), 则 (AA*u1,…,AA*um)=AA*(u1,…,um) =(u1,…,um)diag(λ1,…,λm) =(λ1u1,…,λmum) ⇒ ∀i,AA*ui=λiui A*A=VD*U*UDV*=Vdiag(λ1,…,λm)V* ⇒ ∀i,A*Avi=λivi= (U 1 , U2⎛∆ )⎜ ⎜ 0 ⎝0 0⎞ ⎛ V 1* ⎟⎜ * ⎟⎜ V ⎠⎝ 2⎞ ⎟ ⎟ ⎠⎛V * ⎞ = (U 1∆ , 0 )⎜ 1* ⎟ = U 1∆ V1* ⎜V ⎟ ⎝ 2⎠安徽大学 章权兵6矩阵分析奇异值分解例1例4.3.1: 求 A=⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 2⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎠奇异值分解例2例:求 A= 解: AA* =⎛1 ⎜ ⎜2 ⎝ 0 0 0⎞ ⎟ 0⎟ ⎠的奇异值分解式.的奇异值分解式.解: AA*=diag(5,0,0),σ(AA*)={5,0,0},Δ=(√5). U1∈U13×1是AA*对应于5的单位特征向量x=(1,0,0)T,U=E3. V1=A*U1∆-1= ⎜ ⎜⎛1 ⎝2 0 0 ⎛1⎞ 0 ⎞⎜ ⎟ ⎟⎜ 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠⎜ ⎟ ⎝0⎠⎛1 ⎜ ⎜2 ⎝2⎞ * ⎟ 4 ⎟ ,σ(AA )={5,0},r=1,Δ=(√5). ⎠U1∈U12×1是AA*对应于5的单位特征向量x=(1/√5,2/√5)T V1=A*U1∆-1 = ⎜ 0⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ 2⎞ ⎟⎛ 0 ⎟⎜ ⎜ 0 ⎟⎝ ⎠1 5 2 5( )=1 51 5⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠, V=1 5⎛1 ⎜ ⎜2 ⎝− 2⎞ ⎟ 1 ⎟ ⎠⎞ ⎟ ⎟ ⎠( )=1 51 5⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝2⎞ ⎛1⎞ ⎟⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜2⎟ 0 ⎟⎝ ⎠ ⎜ 0 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠所以A的奇异值分解式是 A=UDV*= ⎜ 0 ⎜⎝0 ⎛1 ⎜ 0 1 0 0⎞⎛ 5 ⎜ 0⎟⎜ 0 ⎟ 1⎟⎜ 0 ⎠⎝ 0⎞ ⎟⎛ 0⎟⎜ 0⎟⎝ ⎠1 5 −2 5 1 2 5⎛1⎞ ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜0⎟ 5 ⎠ ⎜0⎟ ⎝ ⎠( 5 )(1 52 5)=U1∆ V 1*所以A的奇异值分解式是 ⎛ 15 * = ⎜ A = U1ΔV1 ⎜ 2 ⎝ 5⎞ ⎟( ⎟ ⎠5 ) (1, 0 , 0 )§4.4: 矩阵的极分解定义:令A∈Cn×n,A=HU或A=UH称为A的极分解式,如果 U∈Un×n,H∈Cn×n 是半正定Hermite矩阵. 特例: n=1时,由复数的指数表示式 a=ρeiθ 有 A=(a)=(ρ)(eiθ)=HU, H=(ρ)是半正定Hermite矩阵,U=(eiθ)是酉矩阵. 下面的定理证明： 矩阵的极分解式存在并且是唯一的.满秩方阵的极分解定理4.4.1: ∀A∈Cnn×n,存在U∈Un×n 和n阶正定Hermite矩阵 H1,H2 使 A=H1U (H12=AA*,即H1=√(AA*))或 A=UH2;并且这 样的分解式是唯一的. 证: 由定理3.9.1和定理3.9.4, 正定Hermite矩阵A*A存在唯一正定矩阵H2=(A*A)1/2. 令U=AH2-1, 则 U*U=(AH2-1)*AH2-1 =H2-1A*AH2-1=H2-1H22H2-1=E, 从而U∈Un×n使A=UH2;因H2可逆且唯一,故U也唯一. ( 另一半的证明: A=UH2=UH2U*U=H1U, H1=UH2U*为正定Hermite矩阵. AA*=H1UU*H1=H12 & H1为正定Hermite阵 ⇒ H1唯一. )非满秩方阵的极分解定理4.4.2: ∀A∈Crn×n,存在U∈Un×n和唯一n阶秩r半正定 Hermite矩阵H1,H2使A=H1U (H12=AA*,即H1=√(AA*)) 或 A=UH2 (即H2=√(A*A)). 证:存在性 由奇异值分解定理有U1,V∈Un×n使A=U1DV*, D=diag(α1,…,αr,0,…,0). 令H1=U1DU1*,H2=VDV*,U=U1V*,则H1,H2,U满足要求 A=U1DU1*U1V*=H1U; A=U1V*VDV*=UH2. 唯一性 若A=H1U,则AA*=H12 ⇒H1=(AA*)1/2唯一. 注:也可用上述方法证明定理4.4.1. 思考:定理4.4.2中U是否唯一? 不一定唯一! 没有U=AH2-1矩阵极分解的一个经典应用定理4.4.3: ∀A∈Cn×n 为正规矩阵当且仅当存在 U,U′∈Un×n和(同一个)n阶半正定Hermite矩阵H使 A=HU=U′H. 证:必要性 设A*A=AA*.由定理4.4.2,存在U∈Un×n和n 阶半正定Hermite矩阵H1,H′使A=H1U=UH′. 因此 H1=(AA*)1/2=(A*A)1/2 =H′. (AA*=H1UU*H1=(H1)2,A*A=H′U*UH′=(H′)2) 充分性 设A=HU=U′H. 则 AA*=HU(HU)*=H2 , A*A=(U′H)*U′H=H2 =AA*安徽大学 章权兵7。

矩阵的奇异值分解高等代数知识点详解矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种重要的矩阵分解方法，它在高等代数中具有广泛应用。

本文将详细介绍矩阵的奇异值分解原理、性质以及在实际问题中的应用。

一、奇异值分解的原理奇异值分解是将一个复杂的矩阵分解为三个简单矩阵的乘积，其基本原理可以用以下公式表示：A = UΣV^T在公式中，A是一个m×n的实数矩阵，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V^T是一个n×n的正交矩阵，其中^T表示转置。

二、奇异值分解的性质1.奇异值在奇异值分解中，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

奇异值是非负实数，按照大小排列，通常用σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σr来表示。

其中r是矩阵A的秩。

2.奇异向量在奇异值分解中，U的列向量称为左奇异向量，V的列向量称为右奇异向量。

左奇异向量和右奇异向量都是单位向量，且对应不同的奇异值。

3.特征值与奇异值对于一个方阵A，奇异值与它的特征值有一定的联系。

若A是一个n×n的方阵，那么它的非零奇异值是A^T × A的非零特征值的平方根。

三、奇异值分解的应用奇异值分解在数据降维、图像压缩、推荐系统等领域具有广泛的应用。

1.数据降维在高维数据分析中，经常需要将高维数据转化为低维，以便于可视化和分析。

奇异值分解可以对数据矩阵进行降维，得到矩阵的主要特征。

通过保留较大的奇异值和对应的奇异向量，可以实现对数据的有效降维。

2.图像压缩奇异值分解可以对图像进行压缩，将原始图像表示为几个主要特征的叠加。

通过保留较大的奇异值和对应的奇异向量，可以在减小图像存储空间的同时，尽可能地保留图像的主要信息。

3.推荐系统在推荐系统中，奇异值分解可以对用户-物品评分矩阵进行分解，得到用户和物品的隐含特征。

通过计算用户-物品评分的近似矩阵，可以预测用户对未评分物品的评分，从而实现个性化推荐。

矩阵分解的常用方法一、矩阵的三角分解定义：如果方阵可分解成一个下三角形矩阵L和上三角形矩阵U的的乘积，则称可作三角分解或LU分解。

定理1：高斯消元过程能够进行到底的充分必要条件是的前n-1个顺序主子式都不为零，即k ≠0，k=1，2，…，n-1。

（1）当条件（1）满足时，有L（n-1）…L（2）L（1）=U。

其中U为上三角形矩阵L（k）=lik=，i=k+1，…，n。

容易得出，detL（k）≠0（k=1，2，…，n-1），故矩阵L（k）可逆，于是有=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1U。

由于（L（K））-1是下三角形矩阵，故它们的连乘积仍然是下三角矩阵。

令L=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1=则得=LU。

即分解成一个单位下三角形矩阵L和一个上三角形矩阵U的的乘积。

二、矩阵的QR（正交三角）分解定义：如果实（复）非奇异矩阵能化成正交（酉）矩阵Q 与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即=QR，则称上式为的QR分解。

定理2：任何实的非奇异n阶矩阵可以分解成正交矩阵Q 和上三角形矩阵R的乘积，且除去相差一个对角线元素之绝对值等于1的对角矩阵D外，分解成=QR是唯一的。

矩阵QR的分解具体做法如下：令的各列向量依次为α1，α2，…，αn，由于是非奇异的，所以α1，α2，…，αn线性无关，按照施密特正交法正交化得到个标准的正交向量β1，β2，…，βn，且β=bαβ=bα+b22α2β=bα+b2nα2+…+bnnαn这里bij都是常数，且由正交化过程知bii≠0（i=1，2，…，n）写成矩阵形式有（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）β，即Q=B。

其中B=是上三角矩阵（bii≠0，i=1，2，…，n）。

显然B可逆，而且B=R-1也是上三角矩阵，由于Q的各列标准正交，所以Q 正交矩阵，从而有=QR。

三、矩阵的奇异值分解定理3 （奇异之分解定理）设是一个m×n的矩阵，且r （）=r，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得UHV=（2），其中？撞=dig（1…r），且1≥2≥…≥r≥0。