北航 矩阵论 课件 2.3
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矩阵论第一章第二节PPT课件
分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
矩阵论简明教程整理全PPT课件
i 1, 2, , s; j 1, 2, , r
4、转置与共轭转置
A11 A12
设
A
A21
A22
As1 As2
A1r
A2r
,
则AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
Asr
A1Tr A2Tr
AsT1 AsT2
AsTr
第10页/共188页
AH
A1H1 A1H2
A2H1 A2H2
ei
e
H j
E ei , ej , k
第45页/共188页
Remark
det E u, v, det In uvH det 1 vHu
1 vHu (由n Im AB m In BA 得到）
第46页/共188页
四、其他特殊矩阵
1幂零矩阵：Ak 0, k : 某正整数; 2幂等矩阵：A2 A; 3实对称正定矩阵：
1、加法，减法
若A
aij
,B
mn
bij
,则
mn
A B aij bij mn
2、数乘
若A
aij
, C,
mn
则 A
aij
mn
3、乘法
第5页/共188页
若A
aij
,B
mr
bij
,则
rn
AB cij mn , 其中cij ai1b1 j ai2b2 j
定义2
设A Cnn , 若A满足 AH A AAH I ,
则称A为酉矩阵.
第35页/共188页
三、初等矩阵 1、定义 定义3
单位矩阵I经一次初等变换而得到的矩阵称为 初等矩阵.
有以下三类初等矩阵：
课件 矩阵论
6
证
对于数组
k 1
,L ,
km
,
因为
k 1
y 1
+L+
km
ym
=
(
x 1
,L,
x
n
)(
k1α
1
+L+
kmα m
)
=θ
等价于 k1α1 + L + kmα m = θ , 所以结论成立.
四、基变换与坐标变换
1．基变换：设线性空间V
n
的基(Ⅰ)为
x 1
,L,
xn
,
基(Ⅱ)为
y 1
,L,
yn
,
则
y 1
=
cx 11 1
⊆
S 2
∀b ∈
S 2
⇒
b∈
S 1
,
即S 2
⊆
S 1
交：
S 1
I
S 2
=
{a
a
∈
S 1
且
a∈
S2 }
并：
S 1
U
S 2
=
{a
a
∈
S 1
或
a
∈
S 2
}
和： S 1
+
S 2
=
{a
=
a 1
+
a 2
a 1
∈
S 1
,
a 2
∈
S 2
}
例1
S 1
=
{A
=
a 11
a21
0
a
22
ai j ∈ R}
S 2
=
{A
矩阵论ppt
a
则称方阵范数 A 与向量范数 x a 是相容的.
4 February 2018 河北科技大学
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矩阵论
性质:
（1 ） P n n 上的每一个方阵范数,在 P n 上都存在与它 相容的向量范数;
（2 ） P n n 上任意两种方阵范数 A a , A b 都是等价的, 即 存 在 两 个 与 A 无 关 的 正 的 常 数 C1 , C2 , 使 得 对
证
矩阵论
j H n n H n
1 H n
j 1
j 1 i 1
4 February 2018
河北科技大学
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矩阵论
注 （1 ） F - 范数的优点之一是矩阵乘以酉矩阵U 之 后 F -范数不变，即: UA F A F AU F . 事实上:
H A ( A A); （3） 2
nn
n n Cc ,则
列模和最大者
行模和最大者
H
H
( A A) 是 A A 的最大特征值
2
（4） A
F
a
j 1 i 1
n
m
ij
tr A A ;
H
F -范数
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矩阵论
矩阵序列的极限计算具有以下性质:
设 Am 和 Bm 为两个 n阶矩阵序列
lim Am A ,则对 Cnn 中任何方阵范数 ， Am 有界； （1 ） 如果 m
南航《矩阵论》线线性映射与性变换省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
第2章 线性映射与线性变换
❖ 掌握线性映射定义 ❖ 熟练掌握特征值、特征向量定义和性质， ❖ 掌握矩阵可对角化条件 ❖ 了解酉空间概念 ❖ 掌握酉空间与实内积空间异同。
1/72
教学目
在讨论线性空间同构时，我们考虑是一个 保持向量加法和数量乘法一一对应. 我们常称 两线性空间之间保持加法和数量乘法映射为线性 映射(比同构映射少了一一对应条件)
求C特征多项式
48/72
解记
00 1 0 di 0 1
ai ai1 ai1
0 0 1 a1
对di按第一行展开,有 di=di-1+ai , i1
由上式逐次递推得
dn=|I-A|=dn-1+an=(dn-2+an-1)+an=2(dn-3+an-2) +an-1+an=…=n+a1n-1+a2n-2+…an-1+an
求 在自然基底 1, 2 , 3 下矩阵.
解：
(1) (1,0,0) (1,0,1) ( 2 ) (0,1,0) (0,1,1) ( 3 ) (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0
(
1
,
2
,
3
)
(
1
,
2
,
3
)
0 1
1 1
0 0
28/72
29/72
30/72
例2.3.2 在线性空间 R3中，线性变换 定义以下：
(1 ) (2 )
(5, 0, 3) (0, 1,6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求在标准基 1, 2 , 3 下矩阵.
❖ 掌握线性映射定义 ❖ 熟练掌握特征值、特征向量定义和性质， ❖ 掌握矩阵可对角化条件 ❖ 了解酉空间概念 ❖ 掌握酉空间与实内积空间异同。
1/72
教学目
在讨论线性空间同构时，我们考虑是一个 保持向量加法和数量乘法一一对应. 我们常称 两线性空间之间保持加法和数量乘法映射为线性 映射(比同构映射少了一一对应条件)
求C特征多项式
48/72
解记
00 1 0 di 0 1
ai ai1 ai1
0 0 1 a1
对di按第一行展开,有 di=di-1+ai , i1
由上式逐次递推得
dn=|I-A|=dn-1+an=(dn-2+an-1)+an=2(dn-3+an-2) +an-1+an=…=n+a1n-1+a2n-2+…an-1+an
求 在自然基底 1, 2 , 3 下矩阵.
解：
(1) (1,0,0) (1,0,1) ( 2 ) (0,1,0) (0,1,1) ( 3 ) (0,0,1) (0,0,0)
1 0 0
(
1
,
2
,
3
)
(
1
,
2
,
3
)
0 1
1 1
0 0
28/72
29/72
30/72
例2.3.2 在线性空间 R3中，线性变换 定义以下：
(1 ) (2 )
(5, 0, 3) (0, 1,6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求在标准基 1, 2 , 3 下矩阵.
北航硕士研究生矩阵理论2.2 正规矩阵及Schur分解
类似地，可证第二个结论.
证毕
二、正规矩阵 推论1 设A是一个正规矩阵, 则与 A酉相似的矩阵一定 是正规矩阵. 推论2 设 A是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, 则A必为 对角矩阵.
推论3 实对称矩阵正交相似对角矩阵.
推论4 设 T 是欧式空间 Vn的对称变换，则 在 Vn中存在标准正交基 y1 , y2 ,, yn ，使 T 在该 基下的矩阵为对角矩阵.
二、正规矩阵 现在将 X 1 单位化, 得到一个单位向量
i 2 2 1 , , 3 3 3
对于特征值
T
(9iI A) X 0
求得其一个基础解系
2 9i 解线性方程组
T
X 2 i, 1/ 2,1
将其单位化得到一个单位向量
二、正规矩阵
对于特征值 3
(U R) A(UR) B
因此
1
U AU RBR
H
1
一、Schur引理
n n 推论： A R 且A的特征值均为实数，则存在正交矩阵Q，使得
1 2 T Q AQ 0
n
即任一实方阵正交相似于一个上三角阵，其主对角元为A的特征值.
Q AQ Q AQ diag{1 ,
T 1
, n }
二、正规矩阵
证明： A为正规矩阵，存在酉矩阵U，使得
U AU diag{1 ,
H
, n }
, n }
共轭转置有
U H AU diag{1 ,
所以 i i (i 1, , n) 由的Schur引理可得，存在正交矩阵Q，使得
i 3 2 Q 1 ,2 ,3 3 2 3 2i 3 1 3 2 3 2i 3 2 3 1 3
北京航空航天大学线性代数第二章25初等矩阵和初等变换
此即到矩阵A的简化阶梯形矩阵. 如果再对 A的简化阶梯形作列的 初等变换,可得矩阵A的标准形
线性代数
1 0 A 0 0
3 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 c2 ( 3) c1 0 0
线性代数
1 0 r1 2 r2 1 1 ( )r , 12 r 0 2 0
3
4
3 0 6 3 0 1 2 1 0 0 1 3 0 0 0 1
3 0 0 0 0 1 0 0 0 15 0 5 1 3 0 1
3 2 2 1 0 1 2 1 0 0 2 6 0 0 1 9
线性代数
1 1 r4 r3 0 2 0 0
3 2 2 1 0 1 2 1 0 0 2 6 0 0 0 12
这就是矩阵 A的阶梯形. 再对其进行初等 行变换 1 3 2 2 1 2 1 0 0 1 A 0 0 0 2 6 0 0 0 0 12
化为阶梯形和简化阶梯形.
线性代数
解
3 2 2 1 1 0 1 2 1 r1 r 2 0 A 2 6 4 5 7 1 3 4 0 5
1 0 r3 ( 2 ) r1 r4+r1 0 0
Ps P2 P 1 AQ 1Q2 Qt B
若记P=Ps …P2P1，Q=Q1Q2…Qt ，则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵，于 是得到以下推论。
线性代数
推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P 与n阶可逆矩阵 Q ,使得
PAQ B
矩阵论PPT
条件是 A为正规矩阵.
• 有关正规阵的4个性质: 推论1: Hermite矩阵的特征值均为实数, 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数.
推论2: 实对称矩阵的特征值均为实数, 实反对称矩 阵的特征值为零或纯虚数.
推论3: 设 A C nn是正规矩阵, 是 A 的特征值, x 是对应 的特征向量, 则 是 AH 的特征值, AH 的 对应 的特征向量仍为 x .
第一章：矩阵的相似变换
§1. 1 特征值与特征向量
• 有关定义回顾: 特征值; 特征向量; 特征矩阵; 特征多项式.
• 矩阵的特征值与特征向量的性质. 定理1.1: 设 i 是 A C nn 的 ri 重特征值, 对应 i
有 si 个线性无关的特征向量, 则: 1 si r i 简言之: 矩阵特征值的几何重数小于或等于其代
定理 1.21: 设 A, B C nn.
(1) 若 A是酉矩阵, 则 A1也是酉矩阵. (2) 若 A, B是酉矩阵, 则 AB也是酉矩阵.
(3) 若 A是酉矩阵, 则 det A 1
(4) A是酉矩阵的充要条件是: 它的 n 个列向量是两
两正交的单位向量.
§1. 6 酉相似下的标准形
定理 1.22 (Schur): 设 A C nn , 则 A 可酉相似于上 三角矩阵 T , 即存在 n 阶酉矩阵 U , 使得
(研究生课程)
高等工程数学
教师: 李晓东
• 课程主要内容：
矩阵论：矩阵的相似变换；向量范数与矩阵范数 的理论及应用；矩阵分析及应用；矩阵的各种分 解方法等。 泛函分析：距离空间；赋范空间与Banach空间； 内积空间与Hilbert空间等。
• 主要参考书目：
1．徐仲等著，《矩阵论简明教程》，科学出 版 社，2007。 2．姚泽清等著，《应用泛函分析》，科学出版 社，2008。
• 有关正规阵的4个性质: 推论1: Hermite矩阵的特征值均为实数, 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数.
推论2: 实对称矩阵的特征值均为实数, 实反对称矩 阵的特征值为零或纯虚数.
推论3: 设 A C nn是正规矩阵, 是 A 的特征值, x 是对应 的特征向量, 则 是 AH 的特征值, AH 的 对应 的特征向量仍为 x .
第一章：矩阵的相似变换
§1. 1 特征值与特征向量
• 有关定义回顾: 特征值; 特征向量; 特征矩阵; 特征多项式.
• 矩阵的特征值与特征向量的性质. 定理1.1: 设 i 是 A C nn 的 ri 重特征值, 对应 i
有 si 个线性无关的特征向量, 则: 1 si r i 简言之: 矩阵特征值的几何重数小于或等于其代
定理 1.21: 设 A, B C nn.
(1) 若 A是酉矩阵, 则 A1也是酉矩阵. (2) 若 A, B是酉矩阵, 则 AB也是酉矩阵.
(3) 若 A是酉矩阵, 则 det A 1
(4) A是酉矩阵的充要条件是: 它的 n 个列向量是两
两正交的单位向量.
§1. 6 酉相似下的标准形
定理 1.22 (Schur): 设 A C nn , 则 A 可酉相似于上 三角矩阵 T , 即存在 n 阶酉矩阵 U , 使得
(研究生课程)
高等工程数学
教师: 李晓东
• 课程主要内容：
矩阵论：矩阵的相似变换；向量范数与矩阵范数 的理论及应用；矩阵分析及应用；矩阵的各种分 解方法等。 泛函分析：距离空间；赋范空间与Banach空间； 内积空间与Hilbert空间等。
• 主要参考书目：
1．徐仲等著，《矩阵论简明教程》，科学出 版 社，2007。 2．姚泽清等著，《应用泛函分析》，科学出版 社，2008。
矩阵论课件
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。
如果V满足[如下8条性质，分两类]（I）在V中定义一个“加法”运∈时，有唯一的和算，即当x,y V+∈（封闭性），且加法运算x y V满足下列性质（1）结合律()()++=++；x y z x y z（2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =；（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。
则有()x x +-= o 。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律()+=+；k x y kx ky（6）分配律()+=+；k l x kx lx（7）结合律()()=；k lx kl x=；（8）恒等律1x x [数域中一定有1]则称V为数域K上的线性空间。
注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。
（2）两种运算、八条性质数域K中的运算是具体的四则运算，而V中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。
（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。
唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。
北航矩阵论 ppt课件
所以A =0 ,即 (0I-A) =0, 0，(*)
从而|0I-A|=0.故引入下列定义:
N (T ) {x V | Tx },
R(T ) Im(T ) {y W | y Tx,x V}.
易验证N(T)为V的子空间，R(T)为W的子空间，称N(T) 及R(T)为T的核空间和像空间.并称dimN(T)为T的零度 (或亏)，dimR(T)为T的秩，一般有以下定理：
PPT课件
11
定理4 V W dimV dimW.
推论1：任一实(复)n维线性空间均与Rn (Cn )同构. 推论2：dimL(V,W)=dimFnm nm. 特别的, dimL(V，V)=n2. 推论3: 设dimV=n,T L(V，V),T的矩阵为A Fnn ,
令N(A)={ F n|A 0},R(A)={ F n| =A , F n},
定义：称A为T在基 e1, …,en在下的矩阵简称A为T 的矩阵.
如果取定V的一组基，对于任意的V上的线性变 换T，则唯一确定一个矩阵A，反之如何？
定理2：设 dimV n, e1, , en为V的一组基，任取 A=(aij )nn F nn ,则有且仅有一个线性变换T L(V ,V ), 使其矩阵恰为A.
例2 伸缩变换：取定k 0,令 T： R3 R3， Tx=kx,x R3. T将R3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2）,x (x1, x2 )
令
cos
Tx=T(
x1
,
x2
)
(
x1,Leabharlann x2)
sin
sin
从而|0I-A|=0.故引入下列定义:
N (T ) {x V | Tx },
R(T ) Im(T ) {y W | y Tx,x V}.
易验证N(T)为V的子空间，R(T)为W的子空间，称N(T) 及R(T)为T的核空间和像空间.并称dimN(T)为T的零度 (或亏)，dimR(T)为T的秩，一般有以下定理：
PPT课件
11
定理4 V W dimV dimW.
推论1：任一实(复)n维线性空间均与Rn (Cn )同构. 推论2：dimL(V,W)=dimFnm nm. 特别的, dimL(V，V)=n2. 推论3: 设dimV=n,T L(V，V),T的矩阵为A Fnn ,
令N(A)={ F n|A 0},R(A)={ F n| =A , F n},
定义：称A为T在基 e1, …,en在下的矩阵简称A为T 的矩阵.
如果取定V的一组基，对于任意的V上的线性变 换T，则唯一确定一个矩阵A，反之如何？
定理2：设 dimV n, e1, , en为V的一组基，任取 A=(aij )nn F nn ,则有且仅有一个线性变换T L(V ,V ), 使其矩阵恰为A.
例2 伸缩变换：取定k 0,令 T： R3 R3， Tx=kx,x R3. T将R3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2）,x (x1, x2 )
令
cos
Tx=T(
x1
,
x2
)
(
x1,Leabharlann x2)
sin
sin
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取
k1
A
初等 行变换
B(
Hermite形）
G O
，G
Crn r
k2
kr ，则 GP Ir
因为 A=FG，所以F=AP.
证毕
例
求矩阵
A
0 2
0 1
1 1
的满秩分解
2i i 0
r 1
1 2
0
解 A 0 0 1
0
0
0
所以
0 A 2
2i
1 1 0
1 0
1 2 0
10
例 设 A1与A2 都是 m n 矩阵，证明
rankF1 rankF2 rankA1 rankA2
(2) 若B 中第i 行的第一个非零元素1 在第 ki
列(i 1,2,, r)，则 k1 k2 kr ;
（3）B中的 k1, k2 , , kr 列为单位矩阵Im 的前r 列.
那么就称B 为Hermiter标准形（行最简形）.
0
0
B
0
0
0
01 000
000
0 01
000
0
0
01
则有
P1
F
S
,
F
C mr r
,
S
C m(m r ) mr
A P1B F S G FG
O
由于 A FG (FD)(D 1G) F~G~
证毕 ，所以
满秩分解不唯一.
证明 设 A (1, n ) i m (i 1, , n) 因为 r(A) r ，故 span(1, n ) R(A) 是一个r维空间，任取一基 h1, , hr ，令
则 1, n与 1, n 具有完全一致的线性
关系。
定义 以n 阶单位矩阵 In 的n 个列向量
e1, e2 ,, en 为列构成的n 阶矩阵
P e j1 , e j2 ,, e jn
称为置换矩阵，其中 j1, j2 ,, jn 是 1,2,, n
的一个排列.
例如，矩阵
0 0 1 0
P
e3
,
2.3 矩阵的满秩分解
定义
设
A
C mn r
(r
0)
，如果存在矩
阵
F
C mr r
和
G
C rn r
，使得
A=FG
则称为矩阵A 的满秩分解.
定理 设
A
C mn r
(r
0)
，则A 有满秩
分解.
证
A
初 等 行变换
B(阶梯形）
G O
，G
Crn r
即 存在可逆矩阵P，使得 PA=B 或 A P1B 将 P1 分块为
e4
,
e1,
e2
0 1
0 0
0 0
1 0
0 1 0 0
定理 设 ACrmn (r 0) 的Hermite 标
准形为B ，那么，在A 的满秩分解中，可取F
为A 的 k1, k 2 , , k r 列构成的 m r 矩阵，G为B 的前r 行构成的 r n 矩阵.
P e , e , , e 证 因为Leabharlann 0 0 (k1 )
(k2 )
(kr )
1 0 1 2
0
1
0
3
0 0 0 0
1 1 0 2
0
0
1
3
0 0 0 0
引理1 设 A mr n，则可通过限次初等行变换，将A 化为其对应的H标准型B。
引理2 设 A
mn r
，B为其对应的H标准型，设
A (1, n ) B (1, n )
rankA1 A2 rankA1 rankA2
证 如果 A1=O或A2=O, 则结论成立.
如果 A1 O且A2 O ， 设 A1与A2的满秩分解
分别为 则有
从而有
A1 F1G1 , A2 F2G2
A1
A2
F1G1
F2G2
F1
F2
G1 G2
rank A1 A2 rank F1F2
F (h1, , hr ) ，则 r(F) r 设
i (h1, , hr )i Fi i 1, , n A (1, n) (F1, , Fn) F(1, , n) FG
G (1, , n )
定义 设
B
C
mn r
(
r
0), 且满足：
（1）B 的前r 行中每一行至少含一个非零
元素是1，而后m-r行元素均为零；
k1
A
初等 行变换
B(
Hermite形）
G O
，G
Crn r
k2
kr ，则 GP Ir
因为 A=FG，所以F=AP.
证毕
例
求矩阵
A
0 2
0 1
1 1
的满秩分解
2i i 0
r 1
1 2
0
解 A 0 0 1
0
0
0
所以
0 A 2
2i
1 1 0
1 0
1 2 0
10
例 设 A1与A2 都是 m n 矩阵，证明
rankF1 rankF2 rankA1 rankA2
(2) 若B 中第i 行的第一个非零元素1 在第 ki
列(i 1,2,, r)，则 k1 k2 kr ;
（3）B中的 k1, k2 , , kr 列为单位矩阵Im 的前r 列.
那么就称B 为Hermiter标准形（行最简形）.
0
0
B
0
0
0
01 000
000
0 01
000
0
0
01
则有
P1
F
S
,
F
C mr r
,
S
C m(m r ) mr
A P1B F S G FG
O
由于 A FG (FD)(D 1G) F~G~
证毕 ，所以
满秩分解不唯一.
证明 设 A (1, n ) i m (i 1, , n) 因为 r(A) r ，故 span(1, n ) R(A) 是一个r维空间，任取一基 h1, , hr ，令
则 1, n与 1, n 具有完全一致的线性
关系。
定义 以n 阶单位矩阵 In 的n 个列向量
e1, e2 ,, en 为列构成的n 阶矩阵
P e j1 , e j2 ,, e jn
称为置换矩阵，其中 j1, j2 ,, jn 是 1,2,, n
的一个排列.
例如，矩阵
0 0 1 0
P
e3
,
2.3 矩阵的满秩分解
定义
设
A
C mn r
(r
0)
，如果存在矩
阵
F
C mr r
和
G
C rn r
，使得
A=FG
则称为矩阵A 的满秩分解.
定理 设
A
C mn r
(r
0)
，则A 有满秩
分解.
证
A
初 等 行变换
B(阶梯形）
G O
，G
Crn r
即 存在可逆矩阵P，使得 PA=B 或 A P1B 将 P1 分块为
e4
,
e1,
e2
0 1
0 0
0 0
1 0
0 1 0 0
定理 设 ACrmn (r 0) 的Hermite 标
准形为B ，那么，在A 的满秩分解中，可取F
为A 的 k1, k 2 , , k r 列构成的 m r 矩阵，G为B 的前r 行构成的 r n 矩阵.
P e , e , , e 证 因为Leabharlann 0 0 (k1 )
(k2 )
(kr )
1 0 1 2
0
1
0
3
0 0 0 0
1 1 0 2
0
0
1
3
0 0 0 0
引理1 设 A mr n，则可通过限次初等行变换，将A 化为其对应的H标准型B。
引理2 设 A
mn r
，B为其对应的H标准型，设
A (1, n ) B (1, n )
rankA1 A2 rankA1 rankA2
证 如果 A1=O或A2=O, 则结论成立.
如果 A1 O且A2 O ， 设 A1与A2的满秩分解
分别为 则有
从而有
A1 F1G1 , A2 F2G2
A1
A2
F1G1
F2G2
F1
F2
G1 G2
rank A1 A2 rank F1F2
F (h1, , hr ) ，则 r(F) r 设
i (h1, , hr )i Fi i 1, , n A (1, n) (F1, , Fn) F(1, , n) FG
G (1, , n )
定义 设
B
C
mn r
(
r
0), 且满足：
（1）B 的前r 行中每一行至少含一个非零
元素是1，而后m-r行元素均为零；