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rankF1 rankF2 rankA1 rankA2
取
k1
A
初等 行变换
B(
Hermite形）
G O
，G
Crn r
k2
kr ，则 GP Ir
因为 A=FG，所以F=AP.
证毕
例
求矩阵
A
0 2
0 1
1 1
的满秩分解
2i i 0
r 1
1 2
0
解 A 0 0 1
0
0
0
所以
0 A 2
2i
1 1 0
1 0
1 2 0
10
例 设 A1与A2 都是 m n 矩阵，证明
rankA1 A2 rankA1 rankA2
证 如果 A1=O或A2=O, 则结论成立.
如果 A1 O且A2 O ， 设 A1与A2的满秩分解
分别为 则有
从而有
A1 F1G1 , A2 F2G2
A1
A2
F1G1
F2G2
F1
F2
G1 G2
rank A1 A2 rank F1F2
e4
,
e1,
e2
0 1
0 0
0 0
1 0
0 1 0 0
定理 设 ACrmn (r 0) 的Hermite 标
准形为B ，那么，在A 的满秩分解中，可取F
为A 的 k1, k 2 , , k r 列构成的 m r 矩阵，G为B 的前r 行构成的 r n 矩阵.
P e , e , , e 证 因为
(2) 若B 中第i 行的第一个非零元素1 在第 ki
列(i 1,2,, r)，则 k1 k2 kr ;
（3）B中的 k1, k2 , , kr 列为单位矩阵Im 的前r 列.
那么就称B 为Hermiter标准形（行最简形）.
0
0
B
0
0
0
01 000
000
0 01
000
0
0
01
2.3 矩阵的满秩分解
定义
设
A
C mn r
(r
0)
，如果存在矩
阵
F
C mr r
和
G
C rn r
，使得
A=FG
则称为矩阵A 的满秩分解.
定理 设
A
C mn r
(r
0)
，则A 有满秩
分解.
证
A
初 等 行变换
B(阶梯形）
G O
，G
Crn r
即 存在可逆矩阵P，使得 PA=B 或 A P1B 将 P1 分块为
F (h1, , hr ) ，则 r(F) r 设
i (h1, , hr )i Fi i 1, , n A (1, n) (F1, , Fn) F(1, , n) FG
G (1, , n )
定义 设
B
C
mn r
(
r
0), 且满足：
（1）B 的前r 行中每一行至少含一个非零
元素是1，而后m-r行元素均为零；
0
0
(k1 )
(k2 )
(kr )
1 0 1 2
0
1
0
3
0 0 0 0
1 1 wenku.baidu.com 2
0
0
1
3
0 0 0 0
引理1 设 A mr n，则可通过限次初等行变换，将A 化为其对应的H标准型B。
引理2 设 A
mn r
，B为其对应的H标准型，设
A (1, n ) B (1, n )
则 1, n与 1, n 具有完全一致的线性
关系。
定义 以n 阶单位矩阵 In 的n 个列向量
e1, e2 ,, en 为列构成的n 阶矩阵
P e j1 , e j2 ,, e jn
称为置换矩阵，其中 j1, j2 ,, jn 是 1,2,, n
的一个排列.
例如，矩阵
0 0 1 0
P
e3
,
则有
P1
F
S
,
F
C mr r
,
S
C m(m r ) mr
A P1B F S G FG
O
由于 A FG (FD)(D 1G) F~G~
证毕 ，所以
满秩分解不唯一.
证明 设 A (1, n ) i m (i 1, , n) 因为 r(A) r ，故 span(1, n ) R(A) 是一个r维空间，任取一基 h1, , hr ，令
