北航矩阵理论2014-2015(B)期末考试试卷及解答.doc

矩阵论复习题1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。

证明: 充分性：A 与B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似 必要性:A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1A RBR -=11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。

因此A 与B 的特征值相同。

#2 作出下列矩阵的奇异值分解10(1)A 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2TC A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应故263 2 6 32210263 2 203 2 6 3220063 2 20 33HA ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 0101022200A 001 2202022022H⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.求下列矩阵A 的满秩分解123002111021A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭112211001230010,021110102111001230010,021101100001001230=010021-11-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则33B A ≥.证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。

二、设 A∈ 8×8，且 λ I − A 等价于准对角阵
diag
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣λ
2 −1 0
1 ⎤ ⎡λ +1 λ + 2⎥⎦ , ⎢⎣λ −1
0⎤ λ −1⎥⎦
,(λ
+
2)2
,
λ
+
2,
1,
1⎫⎪⎬⎪⎭
(1)试求 λ I − A 的初等因子，不变因子；Smith 标准形(3)写出 A 的最小多项式及 Jordan 形.
四、证明：1）、 因为 A+ = A，故 A3 = A 所以 秩A=秩A3 ≤ 秩A2 ≤ 秩A，所以 秩A2 = 秩A
2）、由 A3 − A = 0，故 λ3 − λ 将 A 零化，且 λ3 − λ = 0无重根， A 可对角化。
3）、 A 的特征根为 1、-1 和 0，而 秩A=r 。故非零特根个数为（对角线非零元素的个数为 r）
附加题证明：令 B = A( AT A)−1 AT ，则 BT = B 为实对称矩阵，且 B2 = B
从而 BT B 与 B 由相同的特征值，且 B 的正奇异值就是 B 的正特征值。λ2 −1 = λ(λ −1) 是
B 的 零 化 式 。 故 B 的 最 大 特 征 值 为 1 （ 否 则 B 为 零 矩 阵 ， 从 而 A = 0 ， 矛 盾 ）， 所 以 B = B的最大奇异值= 1 = 1
3⎤ 2⎥⎦
.（1）计算
e
At
;
（2）试求
f
∞
A=
n=0
n +1 n!
A2
+
A
n
.
八、 A∈ n×n. 证明 lim Am = 0 ⇔ ρ ( A) < 1. m→∞

阵
G
为
(2, 2) (2, t + 1) (2, t 2 − 1) 2 (t + 1, 2) (t + 1, t + 1) (t + 1, t − 1) (t 2 − 1, 2) (t 2 − 1, t + 1) (t 2 − 1, t 2 − 1)
1 ∫−1 4dt 1 = ∫ 2*(t + 1)dt −1 1 ∫ 2*(t 2 − 1)dt −1 −8 4 8 3 10 −4 = 4 3 3 −8 −4 16 3 15 3
2
x ' −1 0 x 1 = + y ' 0 2 y −1 求多项式 P(x)经此仿射变换所得到的曲线，变换后的曲线是什么曲线？ 解：(1)由平面的四个点我们可得如下方程。
a0 + a1 *1 + a2 *12 = 0 2 −1 a0 + a1 *(−1) + a2 *(−1) = 2 1 a0 + a1 * 2 + a2 * 2 = a + a *(−3) + a *(−3) 2 = 2 2 0 1
∫ ∫ ∫
1 −1 1
1
−1
2*(t + 1)dt
−1
(t 2 + 2t + 1)dt
(t + 1) *(t 2 − 1)dt
1 2 ∫−1 (t + 1) *(t − 1)dt 1 2 2 t dt t ( 1) *( 1) − − ∫−1
∫
1
−1
2*(t 2 − 1)dt

an 1 2an 2 (a , a , 1 2 nan n
, an ) (分解不唯一) ( 4 分)
a1 2a2
nan trA
A2 (trA) A 0
A100 ( )99 A (a1 nan )99 A.
(2)可知 f ( A) 的谱公式为 f ( A) f (1 )G1 f (2 )G2 ,（且 G1 , G2 同上）, 令 f ( x) sin x f (7) sin 7, f (2) sin 2 得 sin A 的谱分解为
4 4 5 4 1 sin A (sin 7)G1 (sin 2)G2 sin 7 1 sin 2 9 9 5 5 5 4
(3) 由 (e A ) {e7 , e 2 } 谱半径 (e A ) e7 由 (esin A ) {esin 7 , e sin 2 } 行列式 det(esin A ) esin 7 sin 2
2
1 1 1 1 四、 （15 分）设 A 1 2 3 , b 2 ， 0 0 0 0


1 n 1 n 2
n (A 2 ) 为收敛
( 4 分)
以下的六、七题中只需任选一题：
4
六、(15 分)(1) 设矩阵 A 最小式 m( x) ( x 2) 2 且 f ( A) 收敛，推导 f ( A) 的广谱 计算公式。解(1)由 ( A 2)2 0 与台乐公式 f ( A) 0 可得公式
(3)求谱半径 (e A ) 与行列式 det(esin A ) ．(4)：求 ln( I A ) ?

2 3 4 A 4 6 8 6 7 8 。 一（20 分） （1）设
2010 ~ 2011 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
（i）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值； （ii）求 A 的行列式因子，不变因子和初等因子； （iii）写出 A 的 Jordan 标准形；
1 A* A2 A* （3）证明： n 。
1 1 1 1 A 0 0 0 0 四、 （20 分）已知矩阵
（1）求矩阵 A 的 QR 分解；
1 2 0 1 b 1 1 2 1 ，向量 ，
（2）计算 A ；
17 6 14 60 A , B 45 16 3 13 ，试问 A 和 B 是否相似？并说明 （2）设
原因。
2 1 A 1 2 3 1 ，求 A 1 ， A 2 ， A ， A F ； 二（20 分） （1）设

（3）用广义逆判断方程组 Ax b 是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、 （20 分）
（1）设矩阵
问当 t 满足什么条件时, A B 成立？
5 3 2 0 1 A 3 2 t , B 1 1 2 t 2 2 0 .5 t
五（20 分）设
A ( a ij )
为 n 阶 Hermite 矩阵，证明：
3
存在唯一 Hermite 矩阵 B 使得 A B ；
2
（2）
（3） 如果 A 0 ，则 tr ( A)tr ( A ) n 。
1
如果 A 0 ，则 tr ( A ) (tr ( A)) ；
2

2021.1.11北京航空航天大学矩阵理论2班试题（带答案） 姓名： 学号：一．（10分）判断与选择 1. 设A=()ij n n a ⨯的特征值是1,,n λλ，则221,1||||.nnk ijk i j aλ==≤∑∑ ( √ )2. ||•是矩阵范数，I 是单位矩阵，则有可能|I|<1. ( × )3. 设n A C n ⨯∈满足2A =A ，则()()tr A r A =. ( √ )4. 若齐次线性方程组A =0(A C ,C )m n n x x ⨯∈∈其中有唯一解，则H A A 是正定矩阵. ( √ )5. 设120A=,=003a B b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,张量积A B ⊗的全部特征值是2,3a b . ( × )6. 设A 是Hermite 幂等矩阵，则A +=A. ( √ )7. 若0H A AX =，则有可能0AX ≠ （ × ）8. 若B 是列满秩(高阵), C 是行满秩, 则1()+-=H H B B B B 且+H H -1C =C (CC ) （ √ ）9. 正确的张量积公式为__(a)___ (a)H H H ()A B A B ⊗=⊗；(b) H H H ()B A A B ⊗=⊗10. 齐次方程0AX =通解公式为:__(a)__ (a) X ()Y I A A -=-; (b) X ()Y I AA -=-二．（39分）填空1.若A BC =是满秩分解(高低分解)，则A C B +++=，也即()BC C B +++-= 0 .2. 若2阶方阵A 的特征多项式21x x =++，则2A A I ++= 0 .3. 设111561011A=0841111065⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，则lim kk A →∞=__0___，矩阵幂级数1k k A ∞=∑___收敛____。

（填“收敛”或者“发散”）4. A 是n 阶方阵, 则行列式()det()A tr A e e =,且A A e e -= I .5. 已知0t -t001cos sin , =-10-sin cos tA t t A e et t ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2=tA e cos2sin 2-sin 2cos2t t t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 6. 设A 为方阵，且1||A ||1<. 则220()k k I A A ∞=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ I .7.设A 是n 阶可逆矩阵，O 是n 阶零矩阵，则O A O O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伪逆是___-1O O O A ⎛⎫⎪⎝⎭____。

N1 = L1(2L1 −1) 、N2 = L2 (2L2 −1) 、N3 = L3 (2L3 −1)
N4 = 4L1 ⋅ L2 、 N5 = 4L2 ⋅ L3 、 N6 = 4L3 ⋅ L1
2 (x2,y2)
5
3 (x3,y3)
4 6
题8图
q
1(x1,y1) x
在三角形的 142 边上 L3=0，所以
1
2、图示 3 结点三角形单元，厚度为 t，弹性模量为 E，泊松 2
比ν=0，试求：插值函数矩阵 N，应变矩阵 B，应力矩阵 S，
a
单元刚度矩阵 Ke。
解：3 结点三角形单元的插值函数 Ni、Nj、Nm 形式如下：
3
a
1
Ni
=
1 2∆
(ai
+ bi x
+
ci y)
(i, j, m)
题2图
其中
1 xi 2∆ = 1 xj
N1 = L1(2L1 −1) N2 = L2 (2L2 −1) N3 = L3 (2L3 −1)
N4 = 4L1 ⋅ L2
N5 = 4L2 ⋅ L3
N6 = 4L3 ⋅ L1
∴
∑ Ni = L1(2L1 −1) + L2 (2L2 −1) + L3 (2L3 −1) + 4L1 ⋅ L2 + 4L2 ⋅ L3 + 4L3 ⋅ L1
3
4、试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系：
x = xi Li + x j Lj + xm Lm y = yi Li + y j Lj + ym Lm
证明：三角形的面积坐标如下：
Li
=

北航数字电路期末试题及答案数字电子技术基础（A卷）解答下列问题（共40分，每小题5分）1. 十进制数X = 117，其ASCII码表示为： _________________ 。

在8位机器中，［X］补= _______________ ，［-X］补= ________________ 。

2. 已知逻辑函数：F A C B C A（B CD），直接用反演规则写出其反函数和对偶函数。

3. 用卡诺图化简逻辑函数F m4(0,6,7,12,14)d4(1,2,8,101315)4. 用OC门驱动发光二极管电路如图，若V F=2V, |F=20mA试完善电路并计算电阻R=?5. 画出图示电路的输出波形A AB ----------- & 0——■ YE nC6.主-从JK 触发器，已知CP J 、K 信号波形如图示，画出输出波形（初始状态为 0）分析函数F AB ABC 所组成的电路存在何种险象。

8.图示电路中触发器：建立时间t su = 20ns ， 保持时间t h = 5ns ，传输迟延时间t pdcp-Q,/Q = 30ns ， 门 G 迟延 t pd G = 10ns ， 时钟脉冲F max = ?逻辑函数F （A,B,C ） ABC BC AC （本题共CPKQJ 7.14分，每小题7分）1. 用3-8译码器及适当门电路实现。

2.用“四选一”数据选择器及适当门电路实现三.分析下列电路所实现的逻辑功能（本题共16分，每小题8分）1.由2-5-10进制异步计数器构成的电路。

CP2.由74LS163构成计数器电路四.某同步时序系统的原始状态表如图示（本题 15分）1. 用隐含表法化简；2. 自然序编码；3. 用JK 触发器及适当门设计电路;4. 检查是否可以自启动。

数字电子技术基础（A 卷）、填空题（本大题共 22 分）3、（本小题4分）逻辑函数F(A D)(A B)AD BD 的反演式为A oA 1八选一数据选择器 A 2D 0D 1D 2 D 3 D 4D 5D 6 D 7— -------------------- 1 ”3分）由集成异步计数器 74LS290构成图示电路，该电路实现的是1、（本小题 3分）十进制数 126,对应8421BCD 码 ，二进制数 ，十六进制2、（本小题2分）二进制负整数 -011011，补码表示为;反码表示为为 __4、（本小题2分）三输入端TTL 与非门如图所示，图中 A 点的电位为F 点的电位为5、（本小题F3分）八选一数据选择器电路如图，该电路实现的逻辑函数是 F=1 A B/0 A/1 B C/0 A/0 C C/0 B/0 DE/0 D/1 EC/0D/0& （本小题进制计数器。

08对1、生产系统空间组织的工艺专业化原则最适合于多品种小批量生产。

错2、以NPV和NPVR评价两个投资方案，NPV大的方案，NPAVR一定也大，因而评价结论一定一致。

错3、马斯洛提出的“需求层次理论”，最高层次的需求是尊重需求。

该理论将需求分为五种，像阶梯一样从低到高，按层次逐级递升，分别为：生理上的需求，安全上的需求，情感和归属的需求，尊重的需求，自我实现的需求。

另外两种需要：求知需要和审美需要。

这两种需要未被列入到他的需求层次排列中，他认为这二者应居于尊重需求与自我实现需求之间。

还讨论了需要层次理论的价值与应用等。

错4、某种商品的需求价格弹性为– 1.2。

现欲提高其价格，预计以后总收入将会提高。

错5、当决策的状态空间有两个或两个以上，且各状态发生的概率已知，此时面对的决策问题从状态分析，是不确定性决策。

1、按决策范围分为战略决策、战术决策和业务决策；（三者相辅相成，构成紧密联系，不可分割的整体，是指导与被指导的关系。

地位不同，特点不同）战略：指直接关系到组织的生存和发展，涉及组织全局的长远性的、方向性的决策。

风险大。

一般需要长时间才可看出决策结果，所需解决问题复杂，环境变动较大，并不过分依赖数学模式和技术，定性定量并重，对决策者的洞察力和判断力要求高。

战术：又称管理决策。

是组织内部范围贯彻执行的决策，属于战略决策过程的具体决策。

不直接决定组织命运，但会影响组织目标的实现和工作销量的高低。

业务：又称执行性决策。

是日常工作中为了提高生产效率，工作效率所做的决策。

涉及范围小，只对局部产生影响。

2、按决策性质分为程序化决策和非程序化决策；程序化：经常重复发生，能按原已规定的程序、处理方法和标准进行的决策。

非程序化：管理中首次出现的或偶然出现的非重复性的决策。

无先例可循，随机性和偶然性大。

3、按决策主体分为个人决策和群体决策；个人：在最后选定决策方案是，由最高领导最终做出决定的一种决策形式。

（决策迅速，责任明确，充分发挥领导个人的主观能动性）群体：两个或以上的决策群体所做出的决策。

则
T1
A
0
4
1 ；对于 b(2) (4,3)T ,构造 T2 使 T2b(2) b(2) e2
0 3 2
4 / 5 3 / 5 4 1 5 2
T2
3
/
5
4
/
5
,
T2
3
2
0
1
0 1 0
0 4/5 3/5
所以， T
I 0
0 T2
T1
4 3
/ /
5 5
0 0
3/5
3 )T 3
由 a3 (2, 0, 2)T ，有
12
a3
(a3, b1) (b1, b1)
b1
(a3, b2 ) (b2 , b2 )
b2
(2, 0, 2)
14 26
(3,1, 4)T
13 24
(10 , 14 , 4 )T 13 13 13
0T
13
故
k31
7 13
，
k32
1 2
3 26
i 2
1 i
6
3
0
2i 1 6 3
R
b1
b2
1
i 2
1
2
2
i 2
0
b3
0
1 0
i 3 1
0 0
3 6
0
1
2
i
6
2
3
2 0 0
1
30
1
3
2
6
3 3
1
对
P
中对应
Q1 的列向量做单位化得
P
2
1
2
3

习题4.21．分别写出下列矩阵的盖尔圆盘，并画出图。

（2）123624612123624612⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；（5）10.10.20.30.530.10.210.310.50.20.30.14⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪--⎝⎭。

解：（2）该矩阵的4个盖尔圆为：1234:111,:420,:39,:1212;G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤如下图所示（5）该矩阵的盖尔圆为：1234:10.6,:30.8,:1 1.8,:40.6G z G z G z G z -≤-≤+≤+≤6．设矩阵11111111444444441211121155555555,11311131666666661113111477777777⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B 。

证明：谱半径()1ρ<A ，而()1ρ=B 。

证明：矩阵A 的盖尔圆为123413231133:,:,:,:44552277A A A A G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤如下图所示,只能判断()1ρ≤A取1000010000100005/4⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭D 令11111444512145552511326661555532828287-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C DAD C 的盖尔圆为12341721417315:,:,:,:410525215728C C C C G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤C 的盖尔圆如下图所示:由上图可知，C 的盖尔圆都落在x =1的左边，且圆心都在y 轴右侧,所以其特征值模都小于1，又因为A 与C 的特征值相等，所以A 的特征值模都小于1，即()1ρ<A 。

B 的盖尔圆为123413231143:,:,:,:44552277B B B B G z G z G z G z -≤-≤-≤-≤B 的盖尔圆如下图所示由B 的盖尔圆的分布可知B 的特征值模均小于等于1，即()1ρ≤B ，而B 有特征向量()1,1,1,1T，对应特征值为1，故()1ρ=B 。

2017－2018 学年第一学期期末试卷学号姓名任课教师成绩考试日期：2018年 1 月23日考试科目：《矩阵理论》（B）注意事项：1、考试8个题目共9页2、考试时间120分钟题目：一、（本题 21 分）二、（本题 10 分）三、（本题 10 分）四、（本题 10 分）五、（本题 15 分）六、（本题 12 分）七、（本题 12 分）八、（本题 10 分）1. （21分）填空（1）A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1111111111111111, A 的满秩分解为( ).（2）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i i 20021，则A + = ( ).（3）设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011021010, 则 A 的Jordan 标准型J = ( ).（4）设q m q p n m C D C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,, 则矩阵方程D AXB =相容的充要条件是( ).（5）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛432321210, 则 ||A||1 = ( ), ||A||∞= ( ), ||A||F = ( ).（6）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200120012, k 为正整数，则A k =( ).（7）设三阶矩阵A 的特征值为-1,0,1. 则矩阵A e sin 的行列式是（ ）.2．（10分）设 T 是线性空间3R 上的线性变换，它在3R 中基321,,ααα下的矩阵表示是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=512301321A . （1）求T 在基321321211,,αααβααβαβ++=+==下的矩阵表示. （2）求T 在基321,,ααα下的核与值域.3．(10分) 设A = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.06.06.02.0, 求证矩阵幂级数∑∞=12k kA k 收敛并求和.4．（10分） 设 A = ⎪⎪⎭⎝-110, 求A 的奇异值分解.5．（15分）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎝--5334y x的二重特征值2=λ有两个线性无关的特征向量. （1）求y x ,.（2）求可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵.（3）求A 的谱分解表达式.6．（12分）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----354113211101，b =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-333.（1）用满秩分解求+A . （2）判断方程组Ax = b 是否有解. （3）求Ax = b 的极小范数解或极小最小二乘解.7．(12分) (1) 设n n R A ⨯∈. 证明A 为实对称矩阵当且仅当A 的特征值n λλ,,1Λ为实数，且存在正交矩阵n n R Q ⨯∈，使得},,{1n T diag AQ Q λλΛ=.(2) 设k n n m C B C A ⨯⨯∈∈,, R(A)与R(AB) 分别表示A 与AB 的值域. 证明: R(A)=R(AB)的充分必要条件是存在矩阵,n k C D ⨯∈使得ABD=A.8．（10分）设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----222132021，求e At ..。

矩阵的测试题及答案一、选择题1. 矩阵A和矩阵B相乘，结果为矩阵C，若矩阵A是3x2矩阵，矩阵B是2x4矩阵，矩阵C的维度是：A. 3x2B. 3x4C. 2x4D. 4x3答案：B2. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [2 0; 0 2]D. [0 1; 1 0]答案：C3. 矩阵的转置操作会改变矩阵的：A. 行数B. 列数C. 行列式D. 秩答案：B二、填空题4. 若矩阵A的行列式为3，矩阵B是A的伴随矩阵，则矩阵B的行列式为______。

答案：95. 对于任意矩阵A，其逆矩阵A^-1与A的乘积结果是______。

答案：单位矩阵I三、简答题6. 解释什么是矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3x3矩阵的特征值和特征向量的计算方法。

答案：矩阵的特征值是指能使得线性方程组(A - λI)v = 0有非零解的标量λ，其中A是给定的矩阵，I是单位矩阵，v是非零向量，称为对应于特征值λ的特征向量。

对于一个3x3矩阵A，计算其特征值通常需要求解特征多项式det(A - λI) = 0，得到特征值λ后，将λ代入(A - λI)v = 0，求解线性方程组得到特征向量v。

四、计算题7. 给定两个矩阵A和B，其中A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算矩阵A和B的和以及A和B的乘积。

答案：矩阵A和B的和为 [6 8; 10 12]，矩阵A和B的乘积为[19 22; 43 50]。

8. 若矩阵C = [1 0; 0 1]，求矩阵C的100次幂。

答案：矩阵C的100次幂仍然是 [1 0; 0 1]，因为C是单位矩阵，其任何次幂都是其自身。

五、论述题9. 讨论矩阵的秩在解决线性方程组中的应用，并举例说明。

答案：矩阵的秩是指矩阵中线性独立行或列的最大数目。

在线性方程组中，系数矩阵的秩可以用来判断方程组的解的情况。

如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的数量，则方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解；如果系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩，则方程组有无穷多解。

矩阵期末练习题及答案例1若A 是对称矩阵，则A T -A=______。

答案：0例2若矩阵A 可逆，则（A T ）-1=____.答案：（A -1）T例3设A ，B 均为方阵，若AB =I ，则A -1=_____,B -1=______.答案：B ，A例2 矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100020100，则A -1=（ ）。

答案：⎢⎢⎢⎣⎡001 0210 ⎥⎥⎥⎦⎤-100 例3、 设A 、B 均为方阵，则下列结论正确的是（ ）。

A ．（AB ）T =A T B TB ．AA T =A T AC ．若A T =A ，则（A 2）T =A 2D ．若A T =A ，B T =B ，则（AB ）T =AB 。

答案：（C ）。

例4、 设A 是三角形矩阵，若主对角线上元素（ ），则A 可逆。

A ．全部为0B ．可以有零元素C ．不全为0D ．全不为0答案：（D ）例5、设A=⎢⎢⎢⎣⎡-342 ⎥⎥⎥⎦⎤-101，B=⎢⎣⎡-87 ⎥⎦⎤-109，求A.B 。

解：A.B=⎢⎢⎢⎣⎡-342 ⎥⎥⎥⎦⎤-101⎢⎣⎡-87 ⎥⎦⎤-109=⎢⎢⎢⎣⎡-132822 ⎥⎥⎥⎦⎤--173628例6、设A=⎢⎢⎢⎣⎡321 422 ⎥⎥⎥⎦⎤313，求A -1。

解：（AE ）=⎢⎢⎢⎣⎡321 422 313 001 010 ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 222-- 653-- 321-- 010 ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022- 153-- 121-- 110- ⎥⎥⎥⎦⎤100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022 153 121 110-⎥⎥⎥⎦⎤-100→⎢⎢⎢⎣⎡001 022 100 132-- 163-- ⎥⎥⎥⎦⎤-153→⎢⎢⎢⎣⎡001 020 100 131- 163- ⎥⎥⎥⎦⎤--152→⎢⎢⎢⎣⎡001 010 100 1231- 133- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤--1252 ∴A -1=⎢⎢⎢⎣⎡1231- 133- ⎥⎥⎥⎥⎦⎤--1252例7．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA -T . 解 C BA -T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-042006⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+242216 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200210例8．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321221211A ，求1-A ． ．解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110011010001211100321010221001211)(I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→110100011010001211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110100*********011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→110100*********001 所以，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1100112121A ． 例9．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=143102010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I ，求1)(-+A I ． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+243112011A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-103210012110001011100243010112001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→115100012110001011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→115100127010001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→115100127010126001所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+-115127126)(1A I 例10、解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X . 解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10430132⎥⎦⎤⎢⎣⎡→10431111 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23101111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→23103401 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---233443321 所以，X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--212334=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12例8、证明：若A 2=I ，且AA T =I ，则A 为对称矩阵。

1 1 1 2 13 1.设 A 1 2 1 2 ， x 0 , (1)求行范数 || A || ，向量范数 || Ax || ． 0 1 2 1 2i (2)画出 A 的盖尔园 ，判断 A 是否可逆
2. (1) 设 A
1 (21) A 1 2 1 1 2 2 2 的满秩分解为 4
k k
．
(22) 备用：如果 AC , BD 有意义,则 ( A B)(C D) ( AC ) ( BD) (23) 备用：拉直公式 ABC A C T B (24) 备用： A , B 为方阵，则 AX XB C 有唯一解 A 和 B 没有公共 二.(18 分)计算下列各题
A ； ( A , 0) = 0
(9)设 A 的各列互相正交且模长为 1，则 A AH (10) A (aij ), 则 tr ( AH A) |aij | tr ( AAH ) |aij |
2 2 i, j i, j
(11) 若 tr ( A A) 0 则 A
H
(12) (正规阵性质)若 A 是上三角形正规阵，则 A 一定是
Bnn (13) 若 0
D 为正规阵， 则 D Cnn
a 0 2 1 (14) 备用： A , B , 则 A B 的特征根为 1 b 0 3
1
(15) A 0.5
A iI2 i .
令 f ( x) cos(tx)
0 cos(it ) cos(tA) cos(it )(G1 G2 ) cos(it ) I cos(it ) 0 et e t I （用Euler公式） 2

一、 （20 分） （1）特征值多项式为 f (λ ) =
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课程编号: A000003 考试日期: 2009 年 1 月 13 日
λ I − A = λ (λ + 1)2
---------------3 ----------------3 -------------6 --------------2 ---------------2
= P −1 AP 满足相容矩阵范数的四个条件。
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三、 （20 分）
（1） A 的满秩分解为 1 0 − 1 0 1 A = 0 1 0 1 0 − 1 0
A + = C T ( CC
T
-----------------5
1 4 0 1 − 4
(tr ( A))2 = (λ1 + L + λn ) 2 ≥ λ12 + L + λn2 = tr ( A2 ) 。 ---------------4
（3）因为 A > 0 ，则 A 可逆，并且 A−1 > 0 。由 I = AA−1 ，可得
n = tr ( I ) = tr ( AA−1 ) = tr ( AH A−1 ) ≤ tr ( AH A)tr ( A− H A−1 ) 2 = tr ( A2 )tr ( A−2 ) 2
由（2）知 tr ( A2 ) ≤ tr ( A), tr ( A−2 ) ≤ tr ( A−1 ) ，因此n ≤ tr ( A)tr ( A−1 ) 。 -则存在与 . 相容的向量范数 . a ，从而
| λ | x a = λ x a = Ax a ≤ A x a , | λ −1 | x a ≤ A−1 x