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所以
T T T (T T T ) T (2) 1 (1)
(2) (2) 1n 1,n1
( 2 ) T (1) 12
是有限个Givens矩阵的乘积.
证毕
例设 x (3,4,5)T , 用Givens变换化x 与 e1
同方向的向量.
解 对x 构造
T12
(c,
s)
:
c
3 5
,
s
4 5
,
T12 x (5,0,5)T
1 2
1 6
1 3
1 2
1
6
1
3
则有
0
Q
TT
1
2
1
2
2 6
1 6
1 6
1 3 1
3
1
3
A=QR
2
R
1 2
1 2
3
1
6
6
2
3
三 . Householder矩阵和Householder变换
定义 设单位列向量 u Rn , 称
H I 2uuT 为Householder矩阵（初等反射矩阵），由 Householder矩阵确定的线性变换称为 Householder变换. 性质：（1） H T H ； H T H I
1 H
1
1
2 3
111
1
1
1
1 3
1 2 2
2 1 2
2
2
1
则
Hx 3e1
定理 Givens矩阵是两个Householder矩阵 的乘积.
证 对Givens矩阵 Tij , 取单位向量
u (0,,0,sin ,0,,0,cos ,0,0)T
4
4
i
j
得Householder矩阵 H u I 2uuT
得 Tx x z.
证
对于向量x
，存在
T
(1)
T T T (1) (1)
(1)
1n 1,n1
12
使得 T x (1) x e1; 对于向量z ，存在
T T T T (2)
(2) (2)
(2)
1n 1,n1
12
使得 T z (2) e1 ，于是有 T x (1) x e1 x T (2) z
解 令 a1 (1,2,1)T , a2 (2,1,2)T , a3 (2,2,1)T
正交化可得
b1 a1 (1,2,1)T b2 a2 b1 (1,1,1)T
b3
a3
1 3
b2
7 6
b1
(1 ,0, 2
1)T 2
构造矩阵
Q
1
6 2
1
3 1
1 2
0
6 3
1 6
1 3
1 2
1
cos
2
sin
2
sin
cos
2
2
1
再取单位向量
v (0,,0, sin 3 ,0,,0, cos 3 ,0,0)T
4
4
得Householder矩阵
Hv I 2vvT
1
cos 3
sin 3
2
2
sin 3
cos 3
2
2
直接计算可得
Tij H u H v
证 设A 的n 个列向量依次为 a1, a2 , , an. 因为A 非奇异，所以n 个列向量线性无关，按 Schmidt 正交化方法正交化，得到n 个标准正交 列向量 q1, q2 , , qn.
对 a1, a2 , , an. 的正交化可得
b1 a1 b2 a2 k21b1 bn an k b n,n1 n1 kn1b1
3
,
,
n
)
T
再对T12x 构造Givens矩阵T13(c,s)：
c
12
2 2
,s
3
12
2 2
2 3
12
2 2
2 3
则
T13 (T12 x)
12
2 2
2 3
,0,0,
4
,
,
n
T
如此继续下去，最后对 T1,n1 T12 x 构造矩阵 T1n
c
12 12
2 n1
2 n
,
s
n
12
2 n
则
T1n T1,n1 T12 x
H ，使得 Hx x z.
证 当 x x z 时，取单位列向量u 满足 uT x 0, 则有
Hx (I 2uuT )x x 2u(uT x) x x z 当 x x z 时，取 u x x z
x xz
则有
x x zx x zT
Hx I 2
x xz2
x
x
2x
x
1
, u
6
1
1
3
1 1
1 2 2
H1
I
2uuT
1 3
2 2
1 2
2 1
9 48 15
H1A 0 9 3
0 12 9
对 A(1) 的第1列，构造Householder矩阵
b(2) 9 , 12
b(2)
b(2)
e1
6
1 , 2
u
1 1 5 2
H2
当
2 i
2 j
0
时，选取
c i ,s j
i2
2 j
2 i
2 j
则有
i
2 i
2 j
,
j
0
定理 设 x (1,2 , ,n )T O ，则存在
有限个Givens矩阵的乘积，记作T ，使得
Tx x e1
证 若 1 0 ，取 c
1
,s
12
2 2
2
12
2 2
则
T12 x (
12
2 2
,0,
23
a(2) 2n
T2 A(1)
0
0
A( 2 )
第n-1步：由 det A(n2) 0 知， A(n2) 的第1列
b (a , a ) 0 (n1)
(n2)
(n2) T
n1,n1 n,n1
存在有限个Givens
矩阵的乘积，记作 Tn1，使得
T b b e (n1) n 1
( n1) 1
6
R
6
则有 A=QR
3
1 2
1
1 1
7
6 1
3
1
6 3
7
6 1
3
1 2
定理 设A 是 m n 实（复）矩阵，且
其n 个列线性无关，则A 有分解 A=QR，其中
Q 是 m m 实（复）矩阵，且满足 QT Q I
(Q H Q I )
R
=
R1 0
，其中
R1
为n阶
正线上三
证 第1步：由 det A 0 知，A 的第1列 b(1) (a11, a21,, an1)T 0 存在有限个Givens
矩阵的乘积，记作 T1 ，使得
T1b (1) b (1) e1 (e1 R n )
令
a (1) 11
b (1)
,
则有
(1)
(1)
a a 11
12
a (1) 1n
T1
性质1 Givens矩阵是正交矩阵，且有
Tij (c, s) 1 Tij (c, s) T Tij (c,s), det Tij (c, s) 1
性质2 设
x (1, 2 , , n )T , y Tij x 1, 2 , , n T 则有
i ci s j , j si c j , k k (k i, j)
1
Householder 方法：
定理 任何实非奇异矩阵 A (aij )nn 可
通过左乘有限个Householder 矩阵化为上三角矩
阵. 证 只需证
Ini
H
i
是Householder矩阵.
因为 Ini
Hi
I n i
o o
Ii
2
o
uuT
O
In
2
u
OT
uT In 2vvT
角阵。
二. Givens矩阵和Givens变换
定义 设实数c 与s 满足 c 2 s 2 1 ，称
1
1
c
s
i
1
Tij
1
s
c 1
j
i
j
1
为Givens矩阵（初等旋转矩阵），亦可记作 Tij Tij (c, s) 由Givens矩阵确定的变换称为
Givens变换（初等旋转变换）.
A
0
0
A(1)
第2步：由 det A(1) 0 知，A(1) 的第1列
b(2)
(a(1) 22
,
a(1) 32
,,
a(1) n2
)T
0
存在有限个Givens
矩阵的乘积，记作 T2 ，使得
T2b (2) b (2) e1 (e1 R n1 )
令
a(2) 22
b(2)
,
则有
(2)
(2)
a a 22
b(1) (0,1,1)T
0 1 0
1
T12 1
0
0 ,
T12b(1)
0
0 0 1
1
T13
1
2 0 1
2
0 1 0
1
2 0 1
2
,
T13 (T12b(1) )
