开放探索性问题之一

专题选讲 探索性、开放性问题[窍门点击]探索性课题学习是新课程倡导的旨在培养学生创新意识和实践能力的学习方式.此类问题综合性强,内涵丰富,其结论与题设之间的跨度大,探索性问题形式多样、解法新颖，解答时需要灵活与综合地运用基础知识、基本技能和数学思想方法去探索条件、结论及其内在联系，有利于考查学生的思维品质与创造性解决问题的能力，因此近几年的高考中几乎每年都考，特别是有望得高分的学生一定要关注这类题型.探索性问题常见的几类题型有:①填空题中的开放题;②试验、猜想、归纳型；③条件探索型；④结论不确定型（如是否存在型）.探索性问题的解答,应突出数学思想方法,如等价转化、数形结合、分析法、待定系数、数学归纳法、反证法、换元法、分类讨论等方法的使用，解出的结果一定要结合题目的各种条件加以检验才能下结论.[范例解剖]例1．以椭圆x 2+a 2y 2=a 2(a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，试问：这样的直角三角形是否存在？若存在，最多有几个？若不存在说明理由. [点评]:这个探索性问题是属于结论不定型,首先要 利用已知的各种信息直觉猜想一下是否存在,借助图形,不难判断这样的等腰直角三角形一定存在,过C 点作两条倾斜角为450和1350的直线交椭圆于A,B 两点,则三 角形ABC 就是满足条件的三角形,探究的主要问题就变成是有几个这样的三角形,[略解]:假设存在A,B 使得ABC 是等腰直角三角形,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则CA CB ⋅=0, 即(x 1,y 1-1)⋅(x 2,y 2-1)=0, x 1x 2+y 1y 2-y 1-y 2+1=0.设CA 的直线方程是y=kx+1,将直线方程代入椭圆方程得:(a 2k 2+1)x 2+2a 2kx=0所以x 1=2222a k a k 1-+, x 2=2222a k a k-+,又y 1y 2-y 1-y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1- k(x 1+x 2)-2= k 2x 1x 2-1, 代入得(k-1)[k 2-(a 2-1)k+1]=0(*)① 当,k=1, k 2-(a 2-1)k+1=0无实数解;②当时,解为k=1;③当时,方程(*)除了有k=1外,方程 k 2-(a 2-1)k+1=0有两个不等的实根,故方程(*)共有三个根,综上所述,最多有三个等腰直角三角形.例2．已知{a n }满足：(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1),a 2=6,b n =n+a n (n N).（1）写出数列{b n }的前4项；（2）求出{b n }的通项公式（写出推理过程）；（3）是否存在非零常数p,q使数列{qpn a n +}成等差数列？若存在，试举出一个实例；若不存在，说明理由.[略解](1)由(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1),a 2=6得:a 1=1,a 2=6,a 3=15,a 4=28.b 1=2,b 2=8,b 3=18, b 4=32.(2) 猜想:b n =2n 2,a n =2n 2-n.用数学归纳法证明(略).(3)此问是探索性问题. 假设存在非零常数p,q 使数列{qpn a n +}成等差数列. 为了求出p,q,取数列的前三项即:321a 2a a 2p q p q 3p q=++++. 所以121152p q p q 3p q=++++,解得p+2q=0. 这里得到的仅仅是{q pn a n +}为等差数列的必要条件,要想说明{q pn a n +}是否等差数列,还需进一步验证这一条件是否是充分条件.当p=-2q 时, n 1a p(n 1)q +++-q pn a n +=-1q .这表明{q pn a n +}是一个以-1q为公差的等差数列. 所以存在非零常数p,q 使数列{q pn a n +}成等差数列.如p=-2,q=1就是其中的一个.[点评]:①一般所要探索命题成立的条件是充要条件,但是经常立刻找到充要条件是比较困难的,因此就要退一步,先假定结论成立,找出必要条件,再验证充分性.②此题如果注意到等差数列的通项是一次函数,也可立刻找到结论的充要条件. {qpn a n +}是等差数列⇔qpn a n +=kn+b ⇔a n =(kn+b)(pn+q) ⇔2n 2-n=pkn 2+(kq+bp)n+bq 对任意大于0的自然数恒成立⇔pk 2kq bp 1bq 0=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩解得p+2q=0.这个结果是充要条件,就不必验证.法二:第(2)问:求b n 的通项也可用待定系数法,利用递推关系先求出a n 的通项,再解出b n 的通项. 由(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1)得(n-1)[a n+1-(n+1)]=(n+1)(a n -n),设 c n =(a n -n),则(n-1)c n+1=(n+1)c n ,用逐项作商累乘的方法得:c n =2n 2-2n,则a n =2n 2-n.而b n =n+a n =2n 2.这样推理就不用数学归纳法证明了.例3.已知a,b,c,d ∈[0,1],M=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d),N=1-a-b-c-d,试比较M,N 的大小,你能由此得出一个一般的结论吗?若能得出将结论证明,若不能得出请举出反例.[略解]:先考查两个的情形(1-a)(1-b)=1-a-b+ab1-a-b ≥1-a-b,当且仅当a,b 中至少有一个为0时等号成立.则(1-a)(1-b)(1-c)≥(1-a-b)(1-c)= 1-a-b-c+c(a+b) ≥1-a-b-c,当且仅当a,b,c 中至少有一个为0时等号成立.则(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) ≥(1-a-b-c)(1-d)= 1-a-b-c-d+d(a+b+c) ≥1-a-b-c-d,当且仅当a,b,c,d 中至少有一个为0时等号成立.可以猜想一般的结论是(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ) ≥1-a 1-a 2-…-a n ,可以用数学归纳法证明(略).[点评]:本题探索的特点是将多元的问题化归为二元问题,再进行迁移和推广,体现了探索过程的由特殊到一般、由具体到抽象、由少元到多元的特点.例4．已知函数F(x)=kx 2∈R).（1）是否存在实数对(m,k)同时满足以下条件:①F(x)取最大值时x 的值与G(x)取最小值时x 的值相等;②k 为整数.(2)将满足条件①的实数对(m,k)的集合记为A,设B={222(m,k)k (m 1)r ,r 0+-≤>},求使A ⊆B 的r 的取值范围.[略解](1)假设存在实数对(m,k)满足条件,则有当x=k,k<0时,F(x)取得最大值,当x=k 时, G(x)取最小值,所以k 0k k Z <⎧=⎪∈⎪⎩,又4+2m-m 2=5-(m-1)2,所以0≤k 2, 则k又k 为整数,k<0所以k=-1,所以满足条件的实数对有两个(-1,-1)和(-1,3).(2)由题意22(m 1)r -≤,则22max (m 1)]r -≤,22(m 1)(m 1)-=-,设θ,θ∈[0,π],则原式θ+5cos 2θ=-( sin θ-10)2+214, 所以,r 2≥214,r的取值范围是,)2+∞. [点评]:此题的关键是探索x 取何值时, F(x)取最大值且G(x)取最小值,这里隐含k 的正负号的考虑,另外在含有两个以上字母的方程、不等式的混合问题中,将变量分离,用其中的一个变量的范围(或其最值)确定另一个变量的范围,不等号的方向要明确. 例5.已知直线ax-y=1与双曲线x 2-2y 2=1相交于P 、Q 两点.(1)是否存在整数a,使得PQ =(2)是否存在实数a, 使得以PQ 为直径的圆过原点O.[略解](1)假设存在整数a,使得PQ =设直线与双曲线的交点坐标分别为P （x 1,y 1）,Q(x 2,y 2), 联立22ax y 1x 2y 1-=⎧⎨-=⎩消去y 得：(1-2a 2)x 2+4ax-3=0. 则1221224a x x 12a 3x x 12a ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪⋅=-⎪-⎩且△=4(3-2a 2)>0.所以PQ ==,所以212a =-,解得a=1或a=-1,两个都满足△>0, 所以存在整数a=1或-1,使得PQ =.(2) 以PQ 为直径的圆过原点O 等价于PQ 的中点M 到O 点的距离等于1PQ 2, 又M(222a 1,2a 12a 1--),则22222a 1()()2a 12a 1+=--222232a (1a )(12a )-+⋅-. 解得a 2=-2,所以不存在实数a, 使得以PQ 为直径的圆过原点O.[点评]:在考查直线与圆锥曲线的位置关系中,与弦长有关的问题要熟练使用弦长公式,并注意韦达定理的使用,和判别式的隐含条件,和中点有关的问题注意中点坐标的使用.此外这类问题都需要将直线和曲线联立,消元等过程,这样烦琐的计算一定要有耐心和毅力.[习题精选]1.正四面体内有一个与其各面都相切的球,过一条高和侧棱作一截面,则节目，截面的大致图形是(A B C D2.如图,在三棱锥A-BCD,E 在棱AB 上,F 在棱CD 上,并使A E C F EB F D==λ(λ>0),设α为异面直线EF 与AC 所成的角,β为异面直线EF 与BD 所成的角,则α+β的值是( ) CA.6πB.4πC.2π D.与λ有关的变量 3.已知函数y=f(x),x ∈R,f(0)≠0,且对于任意的实数x 1,x 2都有f(x 1)+f(x 2)=2f(12x x 2+)f (⋅12x x 2-),则此函数为( )B A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性不定4.如图,圆锥高SO,AB 为底面圆O 的直径,A ’B 为弦,∠ASB=α,∠A ’SB=β,当α与β满足( )条件时,△A ’SB 的面积大于△ASB 的面积. DA. α>2π B. α+β>π C. α<2π且α+β<π D.α>2π且α+β>π 5. 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物于A 、B 两点，若线段AF 、BF的长分别为m , n ，则n m mn +等于（ ）D A ．a 21 B ．a 41 C ．2a D ．4a 6. 函数)(x f 对任意实数x 都有)1()(+<x f x f ，那么（ ）CA ．)(x f 是增函数B ．)(x f 没有单调减区间C ．)(x f 可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间D ．)(x f 没有单调增区间7.定义在R 上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,)+∞上的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(a)-f(-b)> g(b)-g(-a); ③f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).其中正确的是是 .①②8.由下列各式1>12;1+12+13>1; 1+12+13+14+15+16+17>32;1+12+13…+115>2…,你能得出一般的结论吗?是 .1+12+13…+n 1n 212>-. A B CD E F9.已知椭圆22x y 143+=,F 1,F 2是焦点,问椭圆上是否存在点M,使M 到左准线的距离d 是1MF 和2MF 的比例中项?解:若椭圆上存在满足条件的点,则有121212MF MF 4MF e dd MF MF ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⋅⎪⎩,解得d=85,但椭圆的左准线方程x=-4,左顶点是(-2,0),即椭圆上的点到左准线的最近距离为2,而d=85<2,不可能. 不存在点M,使M 到左准线的距离d 是1MF 和2MF 的比例中项.10. 某产品中有15只正品，5只次品，每次取1只测试，取后不放回，直到5只次品全部测出为止，求经过10次测试，5只次品全部被发现的概率。

2012年中考数学二轮复习考点解密开放探索性问题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1：（2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．解：若四边形ABCD的对角线相等，则由AB=DC，AD=BC可得．△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等．评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2：（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为．分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵一次函数的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3：（2010•玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：先连接BE，再过D作DF∥BE交BC于F，可构造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=BC，等量减等量差相等，可证AE=CF，利用SAS可证三角形全等．解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE与△CDF．理由：∵平行四边形ABCD，AE=ED，∴在△ABE与△CDF中，AB=CD，∠EAB=∠FCD，又∵DE∥BF，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴DE=BF，又AD=BC，∴AD﹣DE=BC﹣BF，即AE=CF，∴△ABE≌△CDF．（答案不唯一，也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程．分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，根据题意得1800 x ·90%=1800x+4解得x=36 经检验x=36是原方程的根∴x+4=40答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？设1班有x人，则根据题意得1800 x +4=180090x%解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根∴90x % =45答：1班有50人，2班有45人．评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．（二）探究型问题考点五：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目．例5：（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求E FE G的值．分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI ≌Rt△GEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，∴EF=EG；（2）成立．证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH，∴EF=EG；（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°，∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴,N E C E E M C E A D C A A BC A==，∴N E E M A DA B=，即N E A D b E MA Ba==，∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°， ∴∠GEM=∠FEN ， ∵∠GME=∠FNE=90°， ∴△GME ∽△FNE ， ∴E F E N E G E M =，∴E F b E Ga=．评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．考点六：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目． 例6：（2011福建省三明市）在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1．将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF （如图①）． （1）当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合（如图②），求PC 的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答： ①tan ∠PEF 的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点经过的路线长．分析：（1）由勾股定理求PB ，利用互余关系证明△APB ∽△DCP ，利用相似比求PC ；（2）tan ∠PEF 的值不变．过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ，同（1）的方法证明△APB ∽△DCP ，得相似比P F G F P EA P==21=2，再利用锐角三角函数的定义求值；（3）如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF 的中点O 1，O 2，连接O 1O 2，线段O 1O 2即为线段EF 的中点经过的路线长，也就是△BPC 的中位线． 解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠D =90°，AP =1，CD =AB =2，则PB ∴∠ABP +∠APB =90°， 又∵∠BPC =90°， ∴∠APB +∠DPC =90°， ∴∠ABP =∠DPC ， ∴△APB ∽△DCP ，∴A P PBC DP C=即12PC=∴PC（2）tan ∠PEF 的值不变．理由：过F 作FG ⊥AD ，垂足为G ， 则四边形ABFG 是矩形， ∴∠A =∠PFG =90°，GF =AB =2， ∴∠AEP +∠APE =90°， 又∵∠EPF =90°， ∴∠APE +∠GPF =90°， ∴∠AEP =∠GPF ， ∴△APE ∽△GPF ， ∴P F G F P EA P==21=2，∴Rt △EPF 中，tan ∠PEF =P F P E=2，∴tan ∠PEF 的值不变；（3）线段EF ．评注：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．考点七：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例7：（2011四川成都）设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…,2211=1(1)n S nn +++设...S =+S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．分析：由222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n nn n n nS n ，求n S ，得出一般规律．解：∵222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n nn n n nS n ，∴1111)1(1)1(+-+=+++=n nn n n n S n ，∴1111312112111+-+++-++-+=n nS111+-+=n n 1211)1(22++=+-+=n n n n n故答案为：122++n n n评注：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由S n 变形，得出一般规律，寻找抵消规律．考点八：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．例8：（2011辽宁大连）如图15，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． （1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）利用待定系数法求解；（2）若想求Q 点坐标，Q 到MB 的距离应该等于P 到MB 的距离，所以Q 点应该在经过P 点且平行于BM 的直线上，或者在这条直线关于BM 对称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，其与抛物线的交点即为所求Q 点；（3）设出R 点坐标，分别用其横坐标表示出△RPM 与△RMB 的面积，利用相等列出方程即可求出R 点坐标．解：（1）322++-=x x y（2）∵4)1(2+--=x y ∴P （1，4）BC ：3+-=x y ，M （1，2）P （1，4）；PB ：62+-=x y ， 当PQ ∥BC 时： 设PQ 1：b x y +-=∵P （1，4）在直线PQ 上b +-=14；5=b ∴PQ 1：5+-=x y⎩⎨⎧++-=+-=3252x x y x y 解得⎩⎨⎧==4111y x ，⎩⎨⎧==3222y x∴1Q ：（2，3）；将PQ 向下平移4个单位得到1+-=x y⎩⎨⎧++-=+-=3212x x y x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=2171217311y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=2171217311y x∴2Q ：（2173-，2171+-）；3Q ：（2173+，2171--）xx ，322++-x x ） ∵P （1，4），M （1，2）∴ 224=-=PM()11221-=-⨯⨯=∆x x S P Q Rx x x x x RN 3)3()32(22+-=+--++-=()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR∵x x x 312+-=- 解得121+=x ，122+-=x （舍） ∴当12+=x 时，24)121(2=+-+-=y∴R （12+，2）x评注：求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割．四、真题演练1．（2011山东潍坊）一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当0x 时．y 随x 的增大而减小，这个函数解析式为_______________ (写出一个即可) 2．（2011山西）如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一．个．条件：___________ _______________________，可使它成为矩形．3．（2011•泰州）“一根弹簧原长10cm ，在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）．”王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是： （只需写出1个）．3．（4．（2011广西百色）已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点．（1）请你在下列条件①DM =CN ，②OM =ON ，③MN 是△OCD 的中位线，④MN ∥AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形．（第14题）D第二部分练习部分1．（2011•贺州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：y=﹣x（答案不唯一）．分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．解答：解：2．（2011•湖南张家界）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC 与△DEF相似，则需添加的一个条件是（写出一种情况即可）．分析：解答：解：则需添加的一个条件是：BC：EF=2：1．∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，∵BC：EF=2：1．∴△ABC∽△DEF．故答案为：．3．（2010江苏连云港中考题）若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可)4．（2011广东湛江）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BC=EF，∠1 _______（填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，可以是 _______（只需写出一个）5．（2011福建省漳州市，19,8分）如图，∠B =∠D ，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE ，并证明． （1）添加的条件是 ； （2）证明：6．（2010浙江杭州中考题）给出下列命题：命题1． 点(1,1)是直线y ＝ x 与双曲线y ＝ x1的一个交点;命题2． 点(2,4)是直线y ＝ 2x 与双曲线y ＝ x 8的一个交点; 命题3． 点(3,9)是直线y ＝ 3x 与双曲线y ＝ x27的一个交点;… … ．（1）请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数); （2）证明你猜想的命题n 是正确的．7．（2011•德州）●观察计算当a=5，b=3时，2a b +．当a=4，b=4时，2a b +2a b +．●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD=a ，BD=b ． （1）分别用a ，b 表示线段OC ，CD ；（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）． ●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b +2a b +．●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．8．（2011浙江绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况•探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与的DB 大小关系．请你直接写出结论：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．★“真题演练”参考答案★1．【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．【答案】符合题意的函数解析式可以是y= 2x，y=-x+3，y=-x2+5等，（本题答案不唯一）故答案为：y=2x，y=-x+3，y=-x2+5等．2．【分析】：由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°；由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC＝BD．【答案】∠ABC＝90°（或AC＝BD等）3．解：根据弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）可以得到：当x=1时，弹簧总长为10.5cm，当x=2时，弹簧总长为11cm，…∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ， 故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ．4．解：（1）选择①DM =CN ；（2）证明：∵AD =BC ，∠ADM =∠BCN ，DM =CN ∴△AND ≌△BCN ，∴AM =BN ，由OD =OC 知OM =ON ， ∴OCON ODOM =∴MN ∥CD ∥AB ，且MN ≠AB ∴四边形ABNM 是等腰梯形．★“练习部分”参考答案★1．【分析】设此正比例函数的解析式为y=kx （k≠0）， ∵此正比例函数的图象经过二、四象限， ∴k ＜0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=﹣x （答案不唯一）． 【答案】故答案为：y=﹣x （答案不唯一）．2．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．【答案】BC ：EF=2：13．【分析】由于这个方程有实数根，因此⊿＝()22241212b a m m -=--=-≥0，即m 2≥12．【答案】答案不唯一，所填写的数值只要满足m 2≥12即可，如4等4．【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△ABC ≌△DEF ，已知∠1=∠2，BC=EF ，则只需补充AC=FD 或∠BAC=∠FED 都可，答案不唯一． 【答案】解：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角故填：不是．添加AC=FD 或∠BAC=∠FED 后可分别根据SAS 、AAS 判定△ABC ≌△DEF ， 故答案为：AC=FD ，答案不唯一．5．解：（1）添加的条件是：AB =AD ，答案不唯一； （2）证明：在△ABC 和△ADE 中， ∠B =∠D ， AB =AD ， ∠A =∠A ，∴△ABC ≌△ADE ．6．(1)命题n ；点(n , n 2) 是直线y = nx 与双曲线y =xn3的一个交点(n 是正整数)．(2)把 ⎩⎨⎧==2ny nx 代入y = nx ，左边= n 2，右边= n ·n = n 2，∵左边=右边，∴点(n ，n 2)在直线上． 同理可证：点(n ，n 2)在双曲线上， ∴点(n ，n 2)是直线y = nx 与双曲线y = xn3的一个交点，命题正确．7．解：●观察计算：2a b +，2a b +．●探究证明：（1）∵AB=AD+BD=2OC ， ∴OC=2a b +.∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB=90°．∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD ．∴△ACD ∽△CBD ．（4分） ∴A D C D C DB D=．即CD 2=AD•BD=ab ，∴（5分）（2）当a=b 时，OC=CD ，2a b +a≠b 时，OC ＞CD ，2a b +＞．●结论归纳：2a b +≥．●实践应用设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x米，设镜框周长为l 米，则12()l x x=+≥=4.当x=1x，即x=1（米）时，镜框周长最小．此时四边形为正方形时，周长最小为4米．8．解：（1）故答案为：=． （2）故答案为：=．证明：在等边△ABC 中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC ， ∵EF ∥BC ，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC ， ∴AE=AF=EF ， ∴AB ﹣AE=AC ﹣AF ， 即BE=CF ，∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°， ∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°， ∵ED=EC ，∴∠EDB=∠ECB，∴∠BED=∠FCE，∴△DBE≌△EFC，∴DB=EF，∴AE=BD．（3）答：CD的长是1或3．。

开放探索性问题归类分析“学好数学是创新思维的载体”．由于开放探索性问题对考查学生思维能力和创造能力有积极作用，对于促进数学课程改革，数学知识教学的创新都有重要的导向作用．它既可以考查学生的创新意识和综合素质，又能促进教师转变教学观念，改进教学方法，加强学生创新能力的培养，因此开放探索性问题在中考中越来越受到重视．这种题型的最大特点是条件和结论的不确定性，不唯一性，使得解题的方法与答案呈现多样性，通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放与探索，条件与结论都开放与探索及方案设计，解题策略的开放等．1.条件开放与探索给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一，这样的问题是条件开放性问题，解决这类问题的一般思路是：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析． 例1.已知直线l 把口ABCD 分成两部分，要使这两部分面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是——（只需填上一个你认为合适的条件）．【分析】要把口ABCD 的面积分为面积相等的两部分，这样的直线很多，它们有一个共同特点，都要经过对角线的交点.【答案】对角线所在直线（答案不唯一，只要该直线过对角线交点即可）．【点拨】此题的关键是确定对角线的交点．2.结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求探求者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题，它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散思维和应用所学基础知识的能力． 解决这类问题的一般思路是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论．例2.在平面直角坐标系中，给定以下五点A （-2，0），B （1，0），C （4，0），D （-2，29），E （0，-6），从这五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y 轴的直线为对称轴，我们约定：把经过三点A 、E 、B 的抛物线表示为抛物线AEB ，如图.(1)符合条件的抛物线有几条？不求关系式，请用约定的方法一一表示出来；(2)在(1)中是否存在这样一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线及直线的关系式；若不存在，请说明理由．【分析】(1)通过观察图形，确定出符合条件的抛物线，再代入点的坐标验证．(2)先通过猜想，得到结论，再通过计算求出该抛物线的关系式及直线的关系式．用解方程组的方法确定两图象是否有交点，从而得出结论．【解】．（l ）符合条件的抛物线还有五条：①抛物线AEC ；②抛物线EBC ；③抛物线DEB ；④抛物线DEC ；⑤抛物线DBC(2)在(1)中存在抛物线DBC.设y ＝ax 2＋bx ＋c ，把D(-2,29),B(1,0),C(4,0)代入，求得 145412+-=x x y .过A 、E 两点的直线y=kx ＋b ，把A （-2，0）、E(0，-6)代入得，y ＝-3x-6，假设两图象相交，则-3x-6 =145412+-=x x y ,Δ<0,∴两图象不相交，所以存在． 【点拨】分别用三点式或两点式求其关系式．3.条件结论都开放与探索此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件是应该有什么结论．通过这一思维活动揭示事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．例3.某七年级学生做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样： “甲、乙两地相距40 km ，摩托车的速度为45 km/h ，汽车的速度为35 km/h ，■（后面一段矩形黑框是被墨水污染了…无法辨认的文字）”．请你将这道题补充完整，并列方程解答．【分析】由已知条件可知，此题可补充为相遇问题或追及问题，问题都是求时间、若补充为相遇问题，可设摩托车经xh 相遇，(45+35)x=40,x=0.5；若补充为追及问题，可设经xh 追上汽车，(45 -35)x =40,x=4.【解】摩托车和汽车分别从甲、乙两地相向而行，则经过几小时后能相遇？设经过xh 相遇，列方程得(45十35)x=40，x=0.5.答：经过0.5 h 相遇．【点拨】此例题要仔细阅读题目中的已知部分，领会命题者的意图，结合问题情景，进行合理补充，然后解答，注意条件与结论不唯一.。

数学高考综合能力题选讲29条件开放的探索性问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测探索性问题的明显特征是问题本身具有开放性及问题解决的过程中带有较强的探索性．对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．范例选讲例1．在四棱锥P ABCD -中，四条侧棱长都相等，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，AB CD >．为保证顶点P 在底面ABCD 所在平面上的射影O 在梯形ABCD 的外部，那么梯形ABCD 需满足条件___________________（填上你认为正确的一个条件即可）．讲解： 条件给我们以启示．由于四条侧棱长都相等，所以，顶点P 在底面ABCD 上的射影O 到梯形ABCD 四个顶点的距离相等．即梯形ABCD 有外接圆，且外接圆的圆心就是O ．显然梯形ABCD 必须为等腰梯形．再看结论．结论要求这个射影在梯形的外部，事实上，我们只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可．显然，点B 、C 应该在过A 的直径AE 的同侧．不难发现，ACB ∆应该为钝角三角形．故当90ACB ∠>︒（且AC>BC ）时可满足条件．其余等价的或类似的条件可以随读者想象．点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．例2．老师给出一个函数()y f x =，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于x R ∈，都有()()11f x f x +=-；A乙：在(,0]-∞上函数递减； 丙：在()0,+∞上函数递增； 丁：()0f 不是函数的最小值．如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数：____________．讲解：首先看甲的话，所谓“对于x R ∈，都有()()11f x f x +=-”，其含义即为：函数()f x 的图像关于直线1x =对称．数形结合，不难发现：甲与丙的话相矛盾．（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可． 如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，则需要认识到：所谓函数在(,0]-∞上单调递减，并不是说函数()f x 的单调递减区间只有(,0]-∞．考虑到关于直线1x =的对称性，我们不妨构造函数，使之在(,1]-∞上单调递减，这样，既不与乙的话矛盾，也满足丁所说的性质．如()()21f x x =-即可．如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数，则分段函数是必然的选择．如()1, 0, 0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩． 点评：本题考查学生对于函数性质的理解和掌握．思考这样的问题，常常需要从熟悉的函数（一次、二次、反比例函数，指数、对数、三角函数等）入手，另外，分段函数往往是解决问题的关键．例3．对任意函数()f x ，x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：① 输入数据0x D ∈，经数列发生器输出()10x f x =； ② 若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出()21x f x =，并依此规律继续下去．现定义()421x f x x -=+． （Ⅰ）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项；（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列{}n x ，试求输入的初始数据0x 的值；（Ⅲ）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围．（Ⅳ）是否存在0x ，当输入数据0x 时，该数列发生器产生一个各项均为负数的的无穷数列．讲解：（Ⅰ）对于函数()421x f x x -=+，()(),11,D =-∞-⋃-+∞． 若04965x =，代入计算可得：123111,,1195x x x ===-，故产生的数列{}n x 只有三项．（Ⅱ）要使数列发生器产生一个无穷的常数数列，实际上是对于任意的正整数n ，都应该有1n n x x +=．又()1n n x f x +=421n n x x -=+．所以，只需令()f x x =． 解得： 1 2x x ==或．由于题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列”的一个充分条件，所以，令01x =（或2）即可．此时必有1n n x x +=＝1（或2）．事实上，相对于本题来讲，01x =（或2）是产生“无穷常数数列”的充要条件（这是因为函数()421x f x x -=+是一一对应）．如果把函数换成()2322x x f x x+-=，请读者思考：有多少个满足条件的初值0x ？（Ⅲ）要使得对任意正整数n ，均有1n n x x +<，我们不妨先探索上述结论成立的一个必要条件．即1121421x x x x -<=+． 事实上，不等式421x x x -<+的解为1x <-或12x <<．（＊） 所以，11x <-或112x <<．下面我们来研究这个条件是否充分． 当11x <-时，12114264411x x x x -==->++，所以，虽然有12x x <，但此时324x x <<，显然不符合题意．当112x <<时，由上可知：12x x <，且不难求得212x <<，以此类推，可知，必有：对任意正整数n ，均有1n n x x +<成立．综上所述，112x <<．由()10x f x =及（＊），不难得知：0x 的取值范围为()1,2． （Ⅳ）要求使得()0n x <∈任取n N 成立的初值0x ．实质上是执果索因．令0n x <，则由()1n n x f x -=不难解得1112n x --<<． 又由()12n n x f x --=，可解得：21557n x -<<．由此我们知道，如果0n x <，则必有21557n x -<<．即n x 与2n x -不可能同时小于0．故在本题的规则下，不可能产生各项均为负数的数列{}n x ．点评：本题为条件探索型问题，执果索因，恰当运用分析法，寻找使结论成立的充分条件是解决这类问题的常用方法．高考真题1．（1998年全国高考）如图, 在直四棱柱A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件__________时, 有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上一种你认为正确的一种条件即可, 不必考虑所有可能的情形.)2．（2002上海春季高考）设曲线1C 和2C 的方程分别为()1,0F x y =和()2,0F x y =，则点()12,P a b C C ∉⋂的一个充分条件为_____________________．3．（2002年上海高考）命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥．4．（2000年全国高考18题）略．[答案与提示：1．满足AC ⊥BD 的任一条件均可； 2．()1,0F a b ≠／()2,0F a b ≠，A 1 D 1B 1C 1A DB C／()1,0F a b ≠且()2,0F a b ≠／12C C ⋂=∅／1P C ∉等； 3．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……]；（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．1．（2000年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的底面ABCD是菱形，且CB C 1∠=BCD ∠= 60．（I ）证明：C C 1⊥BD ；（II ）假定CD=2，C C 1=23，记面BD C 1为α，面CBD 为β，求二面角 βα--BD 的平面角的余弦值； （III ）当1CC CD的值为多少时，能使⊥C A 1平面BD C 1？请给出证明．。

例说开放型与探索型问题随着以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，高校需要既具备扎实的数学基础知识和基本技能，又具有发现问题、探究能力和解决问题能力、创新精神和实践能力的人才。

高考作为选拔性考试，应该偏重于能力测验，特别是能力倾向测验，主要考查学生是否具有在未来的学习或工作中成功的可能性。

因此，它着重反映的不是人们的实践和认识活动的经验以及这些经验所必须符合的条件，而是考生认知活动过程本身。

根据《考试大纲》的要求，研究型、探究型、开放型试题正逐步步入考卷。

这些新型试题的来源是多样化的，可以是某些结果的推广和深入，也可以是不同数学内容的联系和对比，还可以是发现和探索对自己来说是新的数学结论等，这些类型的试题没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所有的结论予以证明。

其难度大、要求高，是训练和考察创新精神、数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型，下面通过几例加以说明：例1：是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立？并证明你的结论。

分析：本题考查考生利用已知条件归纳、推测、探索的能力。

考查考生对数学归纳法的理解程度。

本题没有把结论完全给出，而是用“是否存在”让考生寻求结论，也就是对待定系数a,b,c 探索求解，来确定系数a,b,c而后加以证明。

例2：已知双曲线的左右焦点分别为左准线为 ,问是否在双曲线左半支上存在一点 ,使是到的距离与的比例中项?若存在，则求出点坐标，若不存在，说明理由。

分析：本题是属于已知条件判断是否存在的探索性问题，解这类题的一般方法是：先假设结论存在，然后沿“执果索因”的思路进行推理，若推出合理的结果，则可判定结论成立，若推出矛盾，则结论不成立，本题解答如下：解：假设在双曲线左半支上存在一点 ,使得又故这样的点不存在。

例3：有一公共汽车路线，从起点站（第一站）到终点站（第m 站），共有m个车站，一辆车从起点出发，如果每一站上车的乘客中在后面各站恰有两位下车，设这辆车从第n 站开始出发时车上的乘客为，乘客每乘一站的票价为0.05元。

开放探究性问题教学目标：1、通过观察、探究等活动，理解探索性数学问题中的三大类型，并体会解题策略；2、能根据相对应的解题策略解决探索性问题。

教学重点：条件开放型、结论开放型、综合开放型的探索问题教学难点：对各种探索型问题策略的理解学法指导：通过由因导果，顺向推理或实行猜测、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存有的结论，然后经过论证作出取舍．教学过程：类型1 条件开放型问题【例1】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从以下四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC⊥BD中，使□ABCD为正方形（如图），现有以下四种选法，选两个作为补充条件，你认为其中错误的选项是（）A. ①②B.②③C. ①③D. ②④白板显例如题后，学生读题，思考，小组交流，典型发言。

[跟踪训练]已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：_____________或者_____________．（2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE＝∠B，求证：EF是⊙O的切线.学生独立完成，在小组内交流，然后代表小组展示成果。

类型2 结论开放型问题单纯探索结论型【例2】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，对称轴为直线x=1．写出至少3个符合题意的结论。

白板显例如题后，学生读题，思考，小组交流，典型发言。

结论多样开放型【例3】（正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点，若△PBE是等腰三角形，则腰长为_______________.存有探索结论型【例4】如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB相交于A（﹣3，0），B（0，3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C的坐标；（3）探究在抛物线上是否存有点P，使得△APB的面积等于3？若存有，求出点P的坐标；若不存有，请说明理由．类型3 综合开放型问题【例5】如图，点D、E在△ABC的边BC上，连接AD、AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD ＝CE．以上面三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成一个真命题，并实行证明。

高考数学开放性问题数学开放性问题以其形式新颖、解法别致的特点逐渐成为高考的一类热点问题。

这类题型主要有条件开放、结论开放、条件与结论同时开放，从应用看有规律性探索型和存在性探索型。

对于这类题型，在解答时思维较灵活，有时要从条件探求结论，而且结论又不唯一；有时要从结论出发逆向探求条件，而且条件不唯一；有时要根据题意自己去探求条件和结论，而且两者都不是唯一的情形。

此类问题的知识覆盖面较广，综合性强，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所得出的结论予以证明，难度大，要求高，有利于培养和考查学生的创新思维能力。

一、条件开放，结论确定题型例1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件______时，有A1C⊥B1D1。

（注：填上一种你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形。

）分析：这是一道探索条件型且答案不唯一的开放题，需要执果索因，答案较多。

此题主要考查四棱柱的性质、三垂线性质定理等，由于只要求填出使结论成立的充分条件，条件放得宽，难度不大。

根据直四棱柱的性质，A1C⊥B1D1与AC⊥BD互为充要条件，故答案可以是AC⊥BD、底面四边形ABCD为正方形、底面四边形ABCD为菱形等之一即可。

点评：这类题型要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力。

二、条件确定，结论开放题型例2.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____（只需写出一个可能的值）。

分析：这类题我们常以答案的多少去衡量题目开放度的大小。

此题的实质是构造满足条件的四面体，它们的体积分别是或或，则所求结论为三个答案中任一个。

点评：这类题型要求我们根据条件去探索结论然后论证，有利于培养和考查学生的发散思维能力。

三、条件、结论同时开放的题型例3.设α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥β。

第39讲开放与探索型问题类型一条件开放与探索型问题例1(1)四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有()A．3种B．4种C．5种D．6种【解后感悟】判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理．解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件．(2)(2016·河北)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A．1个B．2个C．3个D．3个以上【解后感悟】本题运用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识的开放性问题，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形．1．(1)请举反例说明“对于任意实数x，x2＋5x＋5的值总是正数”是假命题，你举的反例是x＝(写出一个x的值即可)．(2)(2015·无锡)某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款元．类型二结论开放与探索型问题例2(2016·绍兴)如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2cm，BC＝5cm，如图，量得第四根木条CD＝5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由；(2)若固定一根木条AB不动，AB＝2cm，量得木条CD＝5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．【解后感悟】此题是动态开放探究型问题，通过画图转化为所求的图形，利用全等三角形、二元一次方程组和三角形三边关系解决问题．2．(2015·丽水)如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有()A．3种B．6种C．8种D．12种3．(2015·台州)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是(填序号)．类型三条件、结论开放与探索型问题例3(2015·绍兴)正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG＝α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．(1)若α＝0°，则DF＝BF，请加以证明；(2)试画一个图形(即反例)，说明(1)中命题的逆命题是假命题；(3)对于(1)中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．【解后感悟】本题通过条件的改变寻求新的结论，从特殊到一般来探求问题即α＝0°的情况，再逆命题的探究，以及补充一个条件后能使该命题为真命题的探究．逐步画图来解决问题．4．(2015·南京)如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF、∠CFE 的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证MNQP是菱形，只要证MN＝NQ，由已知条件________，MN∥EF－－故只要证GM＝FQ，即证△MGE ≌△QFH，易证________，________，故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，________，即可得证．类型四过程开放与探索型问题例4(1)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连结EF，AG.求证：EF＝FG.(2)如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的长．【解后感悟】本题是几何综合题，通过观察、比较、分析、综合及猜想，运用正方形、全等三角形、等腰直角三角形以及勾股定理等几何图形的性质，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．5．(2015·河南)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连结PD、PO.(1)求证：△CDP≌△POB；(2)填空：①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为____________________；②连结OD，当∠PBA的度数为____________________时，四边形BPDO是菱形．6．(2017·绍兴)已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝____________________°，β＝____________________°；②求α，β之间的关系式；(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，说明理由【经验积累题】(2015·丽水)如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N.(1)当F 为BE 中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若AB BC ＝EF BF ＝2，求AN ND 的值； (3)若AB BC ＝EF BF＝n ，当n 为何值时，MN ∥BE?【方法与对策】本题是几何综合题，运用了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、同角的余角相等、三角形外角的性质等知识，本题三问的解题思路是一致的；即通过特殊到一般，利用全等三角形或相似三角形解决问题，这是中考常见的压轴题型．【考虑欠周，容易漏解】在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料(如图)．现找出其中的一种，测得∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，现要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形与△ABC 的其他边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径)．参考答案第39讲 开放与探索型问题【例题精析】例1 (1)①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；①③可证明△ADO ≌△CBO ，进而得到AD ＝CB ，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；①④可证明△ADO ≌△CBO ，进而得到AD ＝CB ，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；故选：B .(2)如图在OA 、OB 上截取OE ＝OF ＝OP ，作∠MPN ＝60°.∵OP 平分∠AOB ，∴∠EOP ＝∠POF ＝60°，∵OP ＝OE ＝OF ，∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，∴EP ＝OP ，∠EPO ＝∠OEP ＝∠PON ＝∠MPN ＝60°，∴∠EPM ＝∠OPN ，在△PEM 和△PON 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PEM ＝∠PON ，PE ＝PO ，∠EPM ＝∠OPN ，∴△PEM ≌△PON.∴PM ＝PN ，∵∠MPN ＝60°，∴△PMN 是等边三角形，∴只要∠MPN ＝60°，△PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选D . 例2 (1)相等． 理由：连结AC ，在△ACD 和△ACB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC AD ＝AB CD ＝BC，∴△ACD ≌△ACB ，∴∠B ＝∠D.(2) 设AD ＝x ，BC ＝y ，当点C 在点D 右侧时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝y ＋5x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝10，当点C 在点D 左侧时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5＋2x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝15，此时AC ＝17，CD ＝5，AD ＝8，5＋8<17，∴不合题意，∴AD ＝13cm ，BC ＝10cm .例3 (1)证明：如图1，正方形ABCD 和正方形AEFG 中，∵GF ＝EF ，AG ＝AE ，AD ＝AB ，∴DG ＝BE.又∵∠DGF ＝∠BEF ＝90°，∴△DGF ≌△BEF(SAS)．∴DF ＝BF. (2)反例图形如图2： (3)不唯一，如点F 在正方形ABCD 内，或α＜180°.例4 (1)证明：∠ABE ＝∠ADG ，AD ＝AB ，在△ABE 和△ADG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADG ，BE ＝DG ，∴△ABE ≌△ADG(SAS)，∴∠BAE ＝∠DAG ，AE ＝AG ，∴∠EAG ＝90°，在△FAE 和△FAG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠FAG ＝45°，AF ＝AF ，∴△FAE ≌△FAG(SAS)，∴EF ＝FG ；(2)如图2，过点C 作CE ⊥BC ，垂足为点C ，截取CE ，使CE ＝BM ，连结AE 、EN ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∵CE ⊥BC ，∴∠ACE ＝∠B ＝45°，在△ABM和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B ＝∠ACE ，BM ＝CE ，∴△ABM ≌△ACE(SAS)．∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠CAE.∵∠BAC ＝90°，∠MAN ＝45°，∴∠BAM ＋∠CAN ＝45°.于是，由∠BAM ＝∠CAE ，得∠MAN ＝∠EAN ＝45°.在△MAN 和△EAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AE ，∠MAN ＝∠EAN ，AN ＝AN ，∴△MAN≌△EAN(SAS)．∴MN ＝EN.在Rt △ENC 中，由勾股定理，得EN 2＝EC 2＋NC 2.∴MN 2＝BM 2＋NC 2.∵BM ＝1，CN ＝3，∴MN 2＝12＋32，∴MN ＝10.【变式拓展】1．(1)－2 (2)838或910 2.B 3.①③4.(1)∵EH 平分∠BEF ，∴∠FEH ＝12∠BEF ，∵FH 平分∠DFE ，∴∠EFH ＝12∠DFE ，∵AB ∥CD ，∴∠BEF ＋∠DFE ＝180°，∴∠FEH ＋∠EFH ＝12(∠BEF ＋∠DFE)＝12×180°＝90°，∵∠FEH ＋∠EFH ＋∠EHF ＝180°，∴∠EHF ＝180°－(∠FEH ＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，同理可得：∠EGF ＝90°，∵EG 平分∠AEF ，∴∠FEG ＝12∠AEF ，∵EH平分∠BEF ，∴∠FEH ＝12∠BEF ，∵点A 、E 、B 在同一条直线上，∴∠AEB ＝180°，即∠AEF ＋∠BEF ＝180°，∴∠FEG ＋∠FEH ＝12(∠AEF ＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH ＝90°，∴四边形EGFH 是矩形； (2)答案不唯一：由AB ∥CD ，MN ∥EF ，PQ ∥EF ，易证四边形MNQP 是平行四边形，要证▱MNQP 是菱形，只要证MN ＝NQ ，由已知条件：FG 平分∠CFE ，MN ∥EF ，故只要证GM ＝FQ ，即证△MGE ≌△QFH ，易证GE ＝FH 、∠GME ＝∠FQH.故只要证∠MGE ＝∠QFH ，易证∠MGE ＝∠GEF ，∠QFH ＝∠EFH ，∠GEF＝∠EFH ，即可得证． 5.(1)∵PC ＝PB ，D 是AC 的中点，∴DP ∥AB ，DP ＝12AB ，∴∠CPD ＝∠PBO ，∵BO ＝12AB ，∴DP ＝BO ，在△CDP 与△POB 中，⎩⎪⎨⎪⎧DP ＝BO ，∠CPD ＝∠PBO ，PC ＝PB ，∴△CDP ≌△POB(SAS)； (2)①当四边形AOPD 的AO 边上的高等于半径时有最大面积，(4÷2)×(4÷2)＝2×2＝4；②如图：∵DP ∥AB ，DP ＝BO ，∴四边形BPDO 是平行四边形，∵四边形BPDO 是菱形，∴PB ＝BO ，∵PO ＝BO ，∴PB ＝BO ＝PO ，∴∠PBA 的度数为60°.6.(1)①∵AB ＝AC ，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝60°，∵AD ＝AE ，∠ADE ＝70°，∴∠DAE ＝180°－2∠ADE ＝40°，∴α＝∠BAD ＝60°－40°＝20°，∴∠ADC ＝∠BAD ＋∠ABD ＝60°＋20°＝80°，∴β＝∠CDE ＝∠ADC －∠ADE ＝10°，故答案为：20，10；②设∠ABC ＝x ，∠AED ＝y ，∴∠ACB ＝x ，∠ADE ＝y ，在△DEC 中，y ＝β＋x ，在△ABD 中，α＋x ＝y ＋β＝β＋x ＋β，∴α＝2β； (2)存在；答案不唯一，如：①当点E 在CA 的延长线上，点D 在线段BC 上，如图1，设∠ABC ＝x ，∠ADE ＝y ，∴∠ACB ＝x ，∠AED ＝y ，在△ABD 中，x ＋α＝β－y ，在△DEC 中，x ＋y ＋β＝180°，∴α＝2β－180°，②当点E 在CA 的延长线上，点D 在CB 的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°－2β.【热点题型】【分析与解】(1)∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF.∵AB ∥CD ，∴∠MBF ＝∠CEF ，∠BMF ＝∠ECF.∴△BMF ≌△ECF ，∴MB ＝CE ，AB ＝CD ，CE ＝DE ，∴MB ＝AM.∴AM ＝CE.(2)设MB ＝a ，∵AB ∥CD ，∴△BMF ∽△ECF.∵EF BF ＝2，∴CE MB ＝2，∴CE ＝2a.∴AB ＝CD ＝2CE ＝4a ，AM ＝AB －MB ＝3a.∵AB BC ＝2，∴BC ＝AD ＝2a.∵MN ⊥MC ，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴△AMN ∽△BCM.∴AN MB ＝AM BC ，即AN a ＝3a 2a ，∴AN ＝32a ，ND ＝2a －32a ＝12a ，∴AN ND ＝32a 12a ＝3. (3)方法一：∵AB BC ＝EF FB ＝n ，设MB ＝a ，由(2)可得BC ＝2a ，CE ＝na ，AM ＝(2n －1)a.由△AMN ∽△BCM ，AN ＝12(2n －1)a ，DN ＝（2n －5）a 2，∵DH ∥AM ，DN AN ＝DH AM，DH ＝(2n －5)a ，∴HE ＝(5－n)a.∵MBEH 是平行四边形，∴(5－n)a ＝a ，∴n ＝4.方法二：∵AB BC＝EF FB＝n ，设MB ＝a ，由(2)可得BC ＝2a ：CE ＝na.当MN ∥BE 时，CM ⊥BE ，可证△MBC ∽△BCE ，∴MB BC ＝BC CE ，∴a 2a ＝2a na，∴n ＝4.【错误警示】。

开放探索性专题测试题（满分：100分；考试时间：100分钟）一、填空题（每小题3分，共24分）1. 在四边形ABCD 中，已知AB//CD ，请补充条件 （写一个即可），使得四边形ABCD 为平行四边形；若ABCD 是平行四边形，请补充条件 (写一个即可)，使四边形ABCD 为菱形。

2. 如图1，某校为扩大高中招生，正在施工增盖教学楼，一推土机沿北偏东54°方向的OP 工地线来回推土，它的噪声对位于O 点正东方向200米处的一教室A 已造成影响，当推土机的距O 点 米处时，推土机的噪声对教室A 影响最大。

东21EDBA（1） （2） （3）3. 在△ABC 和△ADC 中，下列三个论断：①AB=AD ；②∠BAC ＝∠DAC ；③BC=DC 将其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论写出一个真命题是 。

4. 如图2，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使结论“AB ·DE=AD ·BC ”成立，则这个条件可以是 。

5. 如图3，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内、外圆周的半径分别为2和6，则在该轴承内最多能放 颗半径均为2的滚珠。

6. 观察下列算式并填空：32-12=8×1，52-32=8×2。

①72-52=8× ；②92- 2=8×4;③2-92=8×5；④132- 2=8×6， ……通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论： _____________ （用文字语言表述）。

7. 用计算器探索：按一定规律排列的一组数：1，2，-3，2，5，-6，7……，如果从1开始依次连续选取若干个数，使它们的和大于5，那么至少要选 个数。

8. 根据指令[S ，A]（S ≥0，0°＜A ＜180°），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离S ，现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对y 轴正方向。