2012年中考数学二轮复习考点解密 开放探索性问题(含解析)

1. （2012浙江衢州12分）如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A （1，2），过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．抛物线y =ax 2+bx +c 经过O 、A 、C 三点． （1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），△AOB 在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S ．试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y =kx 与抛物线2422y=x +x 273交于点A （3，6）． （1）求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度； （2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE =∠BED =∠AOD ．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？3.（2012江苏苏州10分）如图，已知抛物线()211by=x b+1x+444-（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C .⑴点B 的坐标为 ▲ ，点C 的坐标为 ▲ （用含b 的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.4.（2012福建龙岩）在平面直角坐标系xoy 中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点A （－1，0）．（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B （ ， ）、C （ ， ）；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中∠EDF =90°，∠DEF =60°），把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ． 此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M ．①设AE =x ，当x 为何值时，△OCE ∽△OBC ； ②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形，若存在，请求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．xyPOC BA5. （2012湖北荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=13，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．6.（2012湖南永州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．7. （2012四川广安）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ⊥x 轴于点B ，AB =3，tan ∠AOB =34，将△OAB 绕着原点O 逆时针旋转90°，得到△OA 1B 1；再将△OA 1B 1绕着线段OB 1的中点旋转180°，得到△OA 2B 1，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点B 、B 1、A 2． （1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P 在什么位置时，△PBB 1的面积最大？求出这时点P 的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q ，使点Q 到线段BB 1的距离为22？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8. （2012四川德阳）在平面直角坐标xOy 中，（如图）正方形OABC 的边长为4，边OA 在x 轴的正半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，点D 是OC 的中点，BE ⊥DB 交x 轴于点E .⑴求经过点D 、B 、E 的抛物线的解析式；⑵将∠DBE 绕点B 旋转一定的角度后，边BE 交线段OA 于点F ，边BD 交y 轴于点G ，交⑴中的抛物线于M （不与点B 重合），如果点M 的横坐标为512，那么结论OF =21DG 能成立吗？请说明理由. ⑶过⑵中的点F 的直线交射线CB 于点P ，交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q ，且使△PFE 为等腰三角形，求Q 点的坐标.9. （2012青海西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，O 在x 轴的正半轴上，已知A (0，4)、C (5，0)．作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接CD ，过点D 作DE ⊥CD 交OA 于点E ． (1)求点D 的坐标； (2)求证：△ADE ≌△BCD ；(3)抛物线y ＝ 4 5x 2－ 245x ＋4经过点A 、C ，连接AC ．探索：若点P 是x 轴下方抛物线上一动点，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点M ．是否存在点P ，使线段MP 的长度有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2012四川绵阳）如图1，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，二次函数y =ax 2+16x +c 的图象F 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于M 点，其中B （-3，0），M （0，-1）。

2012年中考数学二轮复习考点解密 规律探索性问题第一部分 讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。

这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。

其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。

所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。

三．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。

例1. 有一组数：13,25579,,101726L ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为 ．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+；272411741⨯-=+； 219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+． 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2（2010广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________；(3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n Λ [])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n Λ )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n Λ[])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n Λ)3)(2)(1(41+++=n n n n ． 解：（1）∵1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝31(10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440． （2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a , 那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空） 你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。

2012年中考数学二轮复习考点解密选择题解题方法第一部分讲解部分一．专题诠释选择题是各地中考必考题型之一，2011年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～12题，这说明选择题有它不可替代的重要性.选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.二．解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.三．考点精讲考点一：直接法从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。

运用此种方法解题需要扎实的数学基础.例1．（2011•广西省柳州市）九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（）A．17人B．21人C．25人D．37人分析：设这两种实验都做对的有x人，根据九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人可列方程求解．解：设这两种实验都做对的有x人，（40﹣x）+（31﹣x）+x+4=50，x=25．故都做对的有25人．故选C．评注：本题考查理解题意的能力，关键是以人数做为等量关系构造方程直接求解．考点二：特例法运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。

1 1A. —-B.—3”-1 3”解析:设正方形ARCD的边长为x,CiDi= Di B =x,故3x=l, x=—；同理，3A2B2C2D2的边长为一—, .. ,故可32n个正方形A”B”C”D”的边长是丄.3”解答：选B.点评：本题是规律探究性问题，解从较简单的特例入手，从中探究出再用得到的规律解答问题即可•本了等腰直角三角形的性质以及学生题的能力•解题的关键是求正D.1n+2则AG=正方形猜想第题时先规律，题考查分析问AiBiCiDi（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）四十五章开放探索型问题（2012山东日照，12, 3分）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形0AB中，作内接正方形AiBQDi；在等腰直角三角形OAR中，作内接正方形A减GD”在等腰直角三角形0A战中，作内接正方形A战Cd；……；依次作下去，则第n个正方形A”B”C”D”的边长是（）（2012河北省25, 10分）如图14, A（-5,0）, B（-3,0）,点C在y轴的正半轴上，ZCB0=45° , CD/7 AB, ZCDA=90°，点P从点Q （4,0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t秒，（1）求点C的坐标；（2）当ZBCP= 15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的OP随点P的运动而变化，当OP与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切时，求t的值。

【解析】在直角三角形BCO中，ZCB0=45°0B=3,可得0C=3,因此点C的坐标为（0,3）；（2）ZBCP= 15°,只是提及到了角的大小，没有说明点P的位置，因此分两种情况考虑：点P 在点B 的左侧和右侧；（3）0P与四边形ABCD的边（或边所在直线）相切，而四边形有四条边，肯定不能与A0相切，所以要分三种情况考虑。

【答案】解（1） VZBC0=ZCB0=45° .,.0C=0B=3又•••点C在y轴的正半轴上，.•.点C的坐标为（0,3）..............................（2）当点P在点B右侧时，如图2.若ZBCP=15°,得ZPC0=30°,故0P=0Ctan30°=也此时/ = 4 + V3 ................................................................... 4分当点P在点B左侧时，如图3,由.ZBCP=15°得ZPC0=60°12 拓展1581 C 1-mx- S ACBD =-nx故P0=0Ctan60o=3 屈,此时t=4+3 舲•••t的值为4+舲或4+3 V3 （3）由题意知，若。

开放探究型问题一、选择题1、（2012年中考数学新编及改编题试卷）图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图。

已知； 甲的路线为：A →C →B 。

乙的路线为：A →D →E →F →B ，其中E 为AB 的中点。

丙的路线为：A →G →H →K →B ，其中H 在AB 上，且AH>HB 。

若符号「→」表示「直线前进」，则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据， 则三人行进路线长度的大小关系为（ ）(A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲 二、填空题1. （2012年江苏南通三模）一元二次方程有一根为1，此方程可以是 ▲ （写出一个即可）. 答案：x 2-x=0等.2. （2012年江苏南通三模）小明、小亮各有一段长为40cm 的铁丝，将将铁丝首尾相连围成一个长方形．（1）请问他俩围成长方形一定全等吗？（2）如果围成的长方形一定全等，则长方形的长和宽分别是多少？如果围成的长方形不一定全等，请再添加一个条件，使得他俩围成的长方形全等，并求出长方形的长和宽（写出解题过程）． 答案：24．（1）不一定 （2）略3、（盐城地区2011～2012学年度适应性训练）如图，已知抛物线y =x 2+bx +c 经过点(0，-3)，请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b 的值是 ▲ （写出一个值即可）．CDG50︒F60︒70︒50︒ 60︒70︒ 50︒ 60︒70︒ 50︒60︒70︒ 50︒ 60︒70︒ K图(1)图(2)图(3)-331O yx答案如-1，0(不惟一，在-2＜b ＜2内取值均可）三、解答题1、(2012年香坊区一模) (本题l0分)已知：在∆ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 上一点，PC=2PB,连接AP ，作∠APD=∠B 交AB 于点D 。

2012年中考数学压轴题专题九开放探索问题试题特点《数学课程标准》把逐步形成数学创新意识列为学习目标，各地中考数学命题为了实现这个目标也都做了有益的尝试，例如出现了不少别具创意、独特新颖的开放探索型试题．这类试题不仅能考查观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力，而且把解题的过程变成了探究规律、发现规律的过程，因此，在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．所谓的开放探索型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，从结构特征上看主要分为三类：条件开放、策略开放、结论开放．开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求考生进行多方面、多角度、多层次探索．方式趋势开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题，开放题是中考题多样化和时代发展要求的产物，单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发创造性．开放性试题能为考生提供更大的解决问题的空间，在解题途径方面也是多样的，这样的试题有利于考生发挥水平，有利于考生创新意识的培养．热点解析一、条件开放与探索探索条件型问题是指问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的题目．解答探求条件型问题的思路是，从所给结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，并进行逻辑证明，从而寻找出满足结论的条件．【题1】如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？(3)根据(2)【思路】点C在线段BD上运动，图形中有两个直角三角形，AC，CE分别为Rt△ABC，Rt△CDE的斜边，所要求的问题是两条线段之和最短，在直角三角形中借助勾股定理表示出斜边的长．求AC＋CE的最小值的问题，如果从代数式中来求解，难度太大，不妨观察图形，将其转化为“两点之间线段最短”问题．【解答】(2)当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小．(3)如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C．AE的长即为代数过点A 作AF ∥BD 交ED 的延长线于点F ，得矩形ABDF ，则AB ＝DF ＝2，AF ＝BD＝8．所以AE 1313．【失分点】利用勾股定理，错点．【反思】本题由勾股定理得出线段的长，并用二次根式表示，结合图形发现AC ＋CE 的最小值即是线段AE 的长．比较困难的是第(3)问，类比第(1)问的代数式，画出图形，求出线段的长．运用了数形结合思想．【牛刀小试】1．如图3，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB ＝DC ，AD ＝2，BC ＝4，延长BC 到E ，使CE ＝AD ．(1)写出图中所有与△DCE 全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由．(2)探究当等腰梯形ABCD 的高DF 是多少时，对角线AC 与BD 互相垂直？请回答并说明理由．2．（2010随州）已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)顶点为C(1，1)，且过原点O ．过抛物线上一点P(x ，y )向直线y ＝54作垂线，垂足为M ，连接FM(如图4)． (1)求字母a ，b ，c 的值． (2)在直线x ＝1上有一点F （1，34），求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形．二、策略开放与探索策略开放性问题，一般指解题方法不唯一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于突破常规，积极发散思维，优化解题方案和过程，【题2】 (2011德州)●观察计算当a ＝5，b ＝3时，2a b +与_______．当a ＝4，b ＝4时，2a b +与_______． ●探究证明如图5所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝a ．BD ＝b ．(1)分别用a 、b 表示线段OC ，CD ；(2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b +_______． ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．【思路】 (2)利用△ACD ∽△CBD ，对应边成比例计算CD ．【解答】●观察计算：2a b +2a b + ●探究证明：(1)∵AB ＝AD ＋BD ＝20C ，∴OC ＝2a b + ∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠A ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ．∴△ACD ∽△CBD ．∴AD CD CD BD=，即CD 2＝AD ·BD ＝ab ，∴CD(2)当a ＝b 时，OC ＝CD ，2a b +a ≠b 时，OC>CD ，2a b +●结论归纳：2a b +●实践应用设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x米，设镜框周长为x 米，则124l x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭． 当x ＝1x，即x ＝1（米）时，镜框周长最小． 此时四边形为正方形时，周长最小为4米，【失分点】 不能直接利用射影定理得到CD 2＝AD ·BD ＝ab ．【反思】本题的实质是把相关代数式转化为(a －b )2，利用非负数的性质求解，即()20a b -≥．【题3】用厚纸剪四个大小与形状完全相同的直角三角形，形状如图6所示，然后拼拼摆摆（不能重叠），使得组成的图形中有正方形．请尽量多设计几个符合要求的不同的图形，并说明在哪种情况下正方形的面积最大．【思路】按要求动手剪四个这样的直角三角形，拼一拼，美丽的图形就诞 生了，再考虑面积．注意正方形的面积是边长的平方．【解答】图7中各图均符合要求，其中图7(3)中外围正方形的面积最大，边长为直角三角形的两条直角边之和．【失分点】最大的正方形边长为直角三角形两直角边的和，而不是斜边．【反思】图形的设计注意设计的要求，一定要出现正方形，要想面积最大，就要使正方形的边长尽可能地大．【牛刀小试】3．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2－5x ＋6＝0．(1)请用文字语言概括你的发现：______________________________________________________________________(2)一般地，对于关于x 的方程x 2＋p x ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝_______，x 1x 2＝_______(3)运用以上发现，解决下面的问题：①已知一元二次方程x 2－2x －7＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )．A ．－2B ．2C ．－7D ．7②已知x 1，x 2是方程2x 2－x －3＝0的两根，试求(1＋x 1)(1＋x 2)和2212x x 的值．三、结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力．【题4】在一块长16 m ，宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．(2)你还有其他的设计方案吗？请画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．【思路】在小芳的设计方案中，可以求出四周的面积是否占总面积的一半．当然本题要用方程的思想说明理由，因此，我们不妨假设四周面积已经占总面积的一半，建立方程，求出四周小路的宽度，与条件中的1m 进行比较，【解答】(1)不符合．设小路宽度均为x m ，根据题意得()()116212216122x x --=⨯⨯， 解这个方程得x 1＝2，x 2＝12．但x 2＝12不符合题意，应舍去，∴x ＝2．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m ．(2)答案不唯一．例如：【失分点】设计的图形中未标明数据或作必要的说明．【反思】数学来源于生活又服务于生活，数学学习中应更多地培养应用数学的观念．本题图形的方案设计具有较大的开放性，应根据设计要求，合理想象，对于求解过程有简有繁，在此设计中抓住“花园所占面积为荒地面积的一半”，可以有许多美妙设计，图11是部分设计．上述设计的图案中有的不需要解方程，只须利用几何图形的对称性质．【题5】张明、王成两位同学八年级10次数学单元自我检测的成绩（成绩均为整数，且个位数为0）分别如图12所示：(1)根据上图中提供的数据填写下表：(2)如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的同学是_______．(3)根据图表信息，请你对这两位同学各提一条不超过20个字的学习建议．【思路】这是一道统计计算题，从图中获取有关信息，计算表中所需补充的统计量，同时会从图中把握识别优秀学生的标准，并对两同学提出合理化建议．可由样本平均数公式、方差公式直接代入数据求出，在平均数相同的条件下，可利用方差判断“优生”问题，方差越小，波动越小，成绩就稳定．【解答】(1)根据样本平均数、方差公式、中位数、众数的定义可以求出，张明的成绩从低到高排列为：70，70，70，80，80，80，80，90，90，90，从而张明的中位数为80．王成同学的平均成绩也为80分，中位数为85，众数为90．(2)若将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则10次单元自我检测成绩中，张明同学仅有3次成绩达到优秀，而王成同学有5次成绩达到优秀．因此，优秀率高的同学应是王成．(3)尽管王成同学的优秀率高，但他的成绩不稳定（方差大）．而张明同学虽然优秀率比不上王成同学，但他的考试成绩相对稳定．根据两同学10次检测的成绩看，发现他们各有所长，也各有所短，我认为王成的学习要持之以恒，保持稳定，张明同学的学习还需加一把劲，提高优秀率．【失分点】成绩优秀的应包括90分．【反思】通过这个问题的解答，我们深刻地体会到，并不是像很多同学认为的，方差越小就越好，应该具体问题具体分析．【题6】（2010临沂）如图13 (1)，已知矩形ABCD，点C是边DE的中点，且AB ＝2AD．(1)判断△ABC的形状，并说明理由．(2)保持图(1)中的△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图13 (2)中的位置（垂线段AD，BE在直线MN的同侧）．试探究线段AD，BE，DE长度之间有什么关系，并给予证明．(3)保持图13(2)中的△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图13 (3)中的位置（垂线段AD，BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD，BE，DE长度之间有什么关系，并给予证明．【思路】通过观察和分析条件，很容易找到图中全等的三角形，从而引导我们去发现线段AD，BE，DE之间的数量关系．【解答】(1)△ABC是等腰直角三角形．【失分点】判断△ABC 的形状要从边（是否相等，有几条边等）和角（是否有直角）两方面．容易因考虑不全面而失分．【反思】在解决新问题时，我们要学会从已经解决的问题中总结解决问题的方法和规律．【题7】正方形ABCD 与正方形CEFG 的位置如图15所示，点G 在线段CD 或CD 的延长线上．分别连接BD ，BF ，FD ，得到△BF D ．(1)在图15①～③中，若正方形CEFG 的边长分别为1，3，4，且正方形ABCD 的边长均为3，请通过计算填写下表：(2)若正方形CEFG 的边长为a ，正方形ABCD 的边长为b ，猜想S △BFD 的大小，并结合图15③说明你的猜想．【思路】(1)三角形的面积可以通过S △BFD ＝S △BCD ＋S 梯形CEFD －S △BEF 来求，利用这种特殊到一般的关系得到一般规律．(2)连接CF ，由正方形性质可知∠DBC ＝∠FCE ＝45°，∴BD ∥CF ．∴△BFD 与△BCD 的BD 边上的高相等．∴S △BFD ＝S △BCD ＝12b 2．也可根据关系式S △BFD ＝S △BCD ＋S 梯形CEFD －S △BEF 来求得S △BFD 的大小．【解答】(1)(2)猜想S △BFD ＝12b 2【失分点】 由(1)的结论，猜出S △BFD 的大小不变，但不能猜到是12b 2． 【反思】本题是综合考查几何说明推理能力的题目，要求能从复杂的图形背景中找到与所求的三角形有关的其他图形之间的关系，同时利用正方形、三角形的有关性质得出结论，同时本题是一题多解的题目，可以很好地考查思维的多样性和深刻性．【题8】张师傅在铺地板时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图17(1)．然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图17 (2)，中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分）．假设长方形的长为y ，宽为x ，且y >x ．(1)请你求出图17(1)中y 与x 的函数关系式．(2)求出图17(2)中y 与x 的函数关系式．(3)在图17(3)中作出两个函数的图象，写出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义．(4)根据以上讨论完成下表，观察x 与y 的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼出类似图(1)和图(2)的图形？说出你的理由．【思路】图17 (1)和图17 (2)暗示了对边相等或者整体面积等于部分面积之和．“对边相等”或者“整体面积等于部分面积之和”均蕴含等量关系，可列方程，“能否拼出类似图(1)和图(2)的图形”要看能否满足相应的函数关系式．(3)交点坐标为(3，5)．实际意义解答不唯一．如：①瓷砖的长为5，宽为3时，能围成图17(1)，图17(2)的图形，②当瓷砖的长为5，宽为3时，围成图17(2)的正方形中的小正方形边长为1．(4)能否拼图，请同学们自行验证．【失分点】通过分析，得出长方形的长与宽满足的函数关系y＝53 x．【反思】读出图示信息，把实际问题转换成数学问题，是解题的关键，【题9=a>b>0，是否存在满足此式的整数对(a，b)?若存在这样的整数对，请求出来．故存在满足该条件的整数对，它们分别是(656，369)，(1025，164)，(1476，41)．【失分点】只是通过试探，找到一两个满足条件的数对，而不能找出全部．【反思】探究存在性型问题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在的问题，它有结论存在和结论不存在两种情形．解答这类问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出矛盾，则否定先前假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论．【题10】如图18，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ＝5，AD ＝4，BC ＝10．点E 在下底边BC 上，点F 在腰AB 上．(1)若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积．(2)是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由．(3)是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由．【思路】 分别过点A 作AK ⊥BC 于点K ，过点F 作FG ⊥BC 于点G （图19），由勾股定理得到AK ＝4，而△BGF ∽△BKA ，得GF BF KA BA =，进而求得FG ＝125x-×4，最终求得△BEF 的面积．【解答】(1)由已知条件易得，梯形周长为24，高为4，面积为28． 过点F 作FG ⊥BC 于G ，过点A 作AK ⊥BC 于K ．则可得，FG ＝125x-×4． 所以S △BEF ＝12BE ·FG ＝222455x x -+ (7≤x ≤10)． (2)存在． 由(1)得222455x x -+＝14，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝5（不合题意，舍去），所以存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE ＝7． (3)不存在，假设存在，显然有S △BEF ：S 多边形AFECD ＝1：2，(BE ＋BF)：(AF ＋AD ＋DC) ＝1：2．则有221628553x x -+=，整理．得3x 2－24x ＋70＝0，此时的求根公式中的b 2－4a c ＝576－840<0，所以不存在这样的实数x ．即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分．【失分点】想不到把“能否”分的问题转化为方程是否有解的问题．【反思】对于存在型问题，可根据题意，先假定所要求的结果存在，再结合相关性质予以推算论证．如能推得结果且符合题意，则假设成立，结果存在；否则，则所要求的结果不存在．求解本题时应注意：一是要能正确确定x 的取值范围；二是在求得x 2＝5时，并不满足7≤x ≤10，应舍去；三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性．【牛刀小试】4．（2011徐州）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝a cm ，∠B ＝30°，动点P 以1 cm/s 的速度从点B 出发，沿折线B －A －C 运动到点C 时停止运动．设点P 出发x s 时，△PBC 的面积为y cm 2．已知y 和x 的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：(1)试判断△DOE 的形状，并说明理由； (2)当口为何值时，△DOE 和△ABC 相似？5．（2010黄冈）如图21．一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边所在的直线重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由．6．如图22，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为(－6，－4)．(1)画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°得到的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ，点N 的对应点为B ，点H 的对应点为C ）． (2)求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．(3)截取CE ＝OF ＝AG ＝m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．面积S 是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．(4)在(3)的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况？若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．7．（2010福州）如图23(1)，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16x 2＋bx ＋c 过O ，A 两点．(1)求该抛物线的解析式．(2)若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由．(3)如图23(2)．在(2)的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆，过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点（点P与点C不重合）．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．解题策略应该说，“背题型”、“记套路”的方式并不适合于开放探究类试题的学习．此类题的解答要注意“三断”：判断——判断解题方向，推断——合情、逻辑两种推理，果断——大胆放弃、当转则转；解题的三想：回想、联想、猜想，及化静为动、转换角度、逆向思维、数形结合、分类讨论、问题分解，等等．参考答案1．(1)△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE．(2)DF＝32．(1)a＝－1，b＝2，c＝0．(2)略3．填表略．(1)两根之和，等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商．(2)－p，q．(3)B，0，13 44．(1)△DOE是等腰三角形．5．AE＝EF．6．(1)利用中心对称性质，画出梯形OABC．A(0，4)，B(6，4)，C(8，0)．(2)y＝－14x2＋32x＋4．(3)S＝m2－8m＋28(0<m<4)．不存在(4)当m＝2时，BE＝BG．7．(1)y＝16x2－56x (2)在该抛物线上．(3)O1P的解析式为y＝－43253+点Q。

2012届二轮复习中考数学专题复习(一）:规律探索性问题1中考数学专题复习（一）：规律探索性问题一、课标要求1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般，从而得出规律.2.反演推理法(反证法),即假设结论成立,根据假设进行推理,看是推导出矛盾还是能与已知条件一致. 二、课前热身１．观察下列图形，则第ｎ个图形中三角形的个数是（)A ．2２n +B.44n +C .44n -D ．4n2.把一张纸片剪成４块，再从所得的纸片中任取若干块,每块又剪成4块,像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。

那么20０７，2008,2009,2010这四个数中____＿_＿_＿＿__＿_可能是剪出的纸片数。

3.有一列数１２3425101７--,,,,…，那么第７个数是. 4．如图,在△AＢC 中，∠A ＝α．∠ABＣ与∠ACD 的平分线交于点A1，得∠A 1；∠A1BC 与∠A1CD 的平分线相交于点 A 2，得∠A 2；……;∠A 2008BC 与∠Ａ200８CＤ的平分线相交于点Ａ２０09，得∠A2009 ．∠A ２０09= ．三．典型例题例1．观察算式：221.4１35-=⨯;222．5２3７-=⨯；22３.63３9-=⨯224.74311-=⨯;…………则第n（n 是正整数)个等式为_____＿__.例2．(２0０9年益阳市）如图是一组有规律的图案，第1个图案由４个基础图形组成,第2个图案由７个基础图形组成，……,第ｎ(n 是正整数）个图案中由个基础图形组成.－Ｂ ACD第6题图A １Ａ２(1)(２)(3)……第二轮复习资料第1个第2个第3个例３.如图,图①是一块边长为1,周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的2１）后,得图③，④,…,记第n (n ≥3) 块纸板的周长为Pｎ,则Ｐn-P n-1=.四、练习1.观察下面的一列单项式:x ,22x-，３4ｘ,48ｘ－,…根据你发现的规律，第７个单项式为；第n个单项式为２.观察下列一组数:21,43,6５,８7,……,它们是按一定规律排列的. 那么这一组数的第k个数是．4已知２1（123...)（1)ｎa n ｎ＝=+,,,，记1１2(１)b a ＝-,2１22(1)(1)b a ａ=-－,…,12２(1)（1)..．（1）n n b ａａa=－－-,则通过计算推测出n b 的表达式ｎｂ=__＿____.(用含n的代数式表示) 五、课外作业1．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去,则第n 个图形需要黑色棋子的个数是．2.如图，用黑白两种颜色的正方形纸片,按黑色纸片数逐渐加１的规律拼成一列图案: ⑴第4个图案中有白色纸片___________张;⑵第n 个图案台有白色纸片____＿＿＿_＿__张．…①②③第1个第2个第3个……3．如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④,…,是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字,按照这种规律,第5个“广”字中的棋子个数是_____＿＿＿,第ｎ个“广”字中的棋子个数是_____＿__4.一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据５9，12１６,2１２5，3２36,…中得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律,写出第n (n ≥1）个数据是＿_＿_＿______．5．(2009年抚顺市)观察下列图形(每幅图中最小.．的三角形都是全等的）,请写出第n个图中最小..的三角形的个数有个.6. (２0０９年梅州市）如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个，第2幅图中有３个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个,第n幅图中共有个.7．观察图中一列有规律的数,然后在“?”处填上一个合适的数,这个数是____＿_＿_＿_____．８．如图,A 1A 2B 是直角三角形,且A 1A 2＝A 2Ｂ＝a ，Ａ2A3⊥A１B，垂足为Ａ３,A 3A 4⊥Ａ2Ｂ,垂足为Ａ4,A 4A５⊥Ａ３Ｂ，垂足为 A 5，……，Ａn＋１Aｎ+２⊥AｎＢ，垂足为Ａn ＋2,则线段A n ＋1A n＋２(n为自然数)的长为().第1个图第2个图第３个图第4个图…(1)第2幅第３幅第n 幅Ａ2A 4A 6２4 15 ８35 48（A )ｎ)2(ａ(B(C ) 2a （D）2n a9.如图所示，直线y＝x +１与y轴相交于点Ａ1,以ＯA 1为边作正方形OA 1B１Ｃ1,记作第一个正方形;然后延长C 1B 1与直线y =x +1相交于点A2，再以Ｃ1Ａ2为边作正方形C１A２B 2Ｃ2,记作第二个正方形；同样延长C 2Ｂ2与直线ｙ＝x ＋1相交于点Ａ３，再以Ｃ2A 3为边作正方形C 2A ３Ｂ3C 3,记作第三个正方形;…依此类推，则第个正方形的边长为＿_＿____＿＿＿_＿_＿__.1０.学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案,每增加一个菱形图案，纹饰60°．(1)若d ＝26，则该纹饰要２31个菱形图案，求纹饰的长度L；（2）当d =２0时,若保持（1)中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案?11.如图所示，已知：点(０0)A ，,B ，(01)C ,在ABC △内依次作等边三角形,使一边在x 轴上,另一个顶点在ＢC 边上,作出的等边三角形分别是第1个11ＡA B△,第2个1２2B A B △，第3个2３3B A B △,…，则第n 个等边三角形的边长等于．１2．如图,AD 是⊙O 的直径.(1）如图①,垂直于AD 的两条弦Ｂ1C 1，Ｂ2C ２把圆周4等分，则∠B 1的度数是,∠B 2的度数是；（2）如图②,垂直于AＤ的三条弦Ｂ1C 1，B 2C2，B 3Ｃ3把圆周６等分,分别求∠B 1,∠B 2,∠B ３的度数;(3）如图③，垂直于AD 的n 条弦B 1C１，B 2C ２,Ｂ３C 3,…，B n Cｎ把圆周2n 等分,请你用含n 的代数式表示∠Ｂｎ的度数(只需直接写出答案）．13．如图所示,在△ABC中,D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC,如图①，然后将△ADE 绕A点顺时针旋转一定角度,得到图②,然后将BD 、ＣE 分别延长至M、Ｎ，使ＤM ＝２1BD ,EN ＝2１CＥ，得到图③,请解答下列问题：(１）若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，ＢＤ与CE 的数量关系是____＿_＿____＿____;②在图③中，猜想AM与ＡN 的数量关系、∠ＭＡN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB ＝k ·AC （k ＞１)，按上述操作方法,得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想,不必证明.图①ＢC 2图②n B n图③2012届福建鲁科版学海导航新课标高中总复习第1轮物理第15章第2课时原子核与放射性核能波与粒子1原子结构原子核（选考)２原子核与放射性核能波与粒子第十五章一、天然放射现象1．天然放射现象:某些元素放射某些射线的现象称为天然放射现象,这些元素称．2．三种射线的本质:α射线是,β射线是，γ射线是.自发地放射性元素氦核流电子流光子流二、原子核的衰变1.定义:原子核自发地放出某种粒子而转变为的变化叫原子核的.2．分类(１)α衰变:同时放出γ射线.(2)β衰变:同时放出γ射线.新核衰变3.半衰期(1)定义：放射性元素的原子核有发生衰变需要的时间.（2)半衰期的大小由放射性元素的原子核内部本身的因素决定,跟原子所处的．(如压强、温度等）或(如单质或化合物)无关．4．放射性同位素有些原子的原子核电荷数,但质量数，这样一些具有相同核电荷数和不同中子数的原子互称为同位素.半数物理状态化学状态相同不同三、核能 1.核力:间的相互作用力叫做核力，它是短程力.2.质量亏损:原子核在核反应前后的.3.质能方程(１)方程:.(2)物理意义:物体的质量和能量间有一定联系,即物体具有的能量与其质量成正比.当物体的能量增加或减小ΔE,它的质量也会相应地减少或增加Δm,ΔE与Δm的关系是ΔE＝Δｍc2．核子质量之差Ｅ=mc２4.获得核能的方式（1)重核裂变:重核俘获一个中子后分裂成两个(或多个)中等质量核的反应过程.重核裂变的同时放出几个中子，并释放出大量核能．如:. 应用:原子弹、原子核反应堆(2）轻核聚变:某些轻核结合成质量较大的核的反应过程,同时释放出大量的核能.要想使氘核和氚核结合成氦核,必须达到几百万度以上的高温,因此裂变反应又叫反应.如:．应用：氢弹热核四、光电效应 1.金属在光（包括不可见光)的照射下,发射出的现象叫光电效应．发射出来的电子叫光电子．2.光电效应规律(１)任何一种金属都有一个极限频率ν0,只有入射光的频率νν0时，才能产生光电效应.电子大于（2)光电子的最大初动能与入射光的强度，只随着入射光的频率增大而.(3)入射光照到金属上时,光电子的发射几乎是瞬时的,一般不超过1０-９s．(4)在发生光电效应时，光电流的强度与入射光的强度成正比.无关增大五、康普顿效应X射线散射时，部分散射光的波长变长，波长改变的多少与散射角有关,这种现象称为康普顿效应.六、波粒二象性光具有波粒二象性,光子既有粒子的特征,又有波的特征.实物粒子（原子、质子、中子、电子等)也具有波粒二象性.粒子能量E=hν.粒子动量p= .应用质量数和电荷数守恒，进行核反应方程和核反应类型的判断在原子核的核反应过程中遵循质量数守恒和电荷数守恒,在很多情况下，可以作为判断反应方程是否正确的依据.在匀强磁场中有一个原来静止的放射性同位素，它所放射的粒子与反冲核的径迹在磁场中是两个内切圆，圆的半径之比是７∶1，如图１5-２－1所示，那么的衰变方程是( )A．B. Ｃ. D．图15－2-1原来静止的放射性同位素，发生放射性衰变时所放射出的粒子与反冲核的径迹在磁场中是两个内切圆,说明放射出的粒子与反冲核是异性的带电粒子，由此可以判断所发生的衰变是放出负粒子的衰变，轨道圆的半径为ｒ= ,而静止的原子核衰变的过程中两个粒子的动量大小相等,半径与带电量成反比，由此可以确定，本题的正确答案为C.本题中根据两个内切圆来判断粒子的种类，要用到动量守恒定律和判断洛伦兹力方向的左手定则，所以，在核反应中，有时也要综合利用其他部分的物理知识进行求解.变式训练1：原子序数大于83的所有元素,都能自发地放出射线,这些射线共有三种：α射线、β射线和γ射线.下列说法中正确的是()Ａ．原子核每放出一个α粒子,原子序数减少４B．原子核每放出一个α粒子，原子序数增加4Ｃ．原子核每放出一个β粒子,原子序数减少1D.原子核每放出一个β粒子，原子序数增加1解析:由于a粒子是氦的原子核，内部有２个质子和2个中子，原子序数为2，核子数为４．而b粒子是电子，质子数和中子数为0，原子序数为0,所以，原子核每放出一个a粒子,被ａ粒子带走２个质子，原子序数减少２, 而原子核每放出一个ｂ粒子，原子核内将有一个中子转化为一个质子并产生一个电子,产生的电子放出了,但原子核内增加了一个质子,原子序数增加1，正确答案为D.近年来科学家在超重元素的探测方面取得了重大进展.科学家们在观察某两个重离子结合成超重元素的反应时,发现所生成的超重元素的核经过6次α衰变后成为,由此可以判定该超重元素的原子序数和质量数依次是()A.124，259Ｂ.124，265C.１12,265D.112，27７直接利用核衰变过程中质量数守恒和电荷数守恒来进行计算.核衰变方程为Ｚ＝100+12=112,A=253+２4=277,答案D正确.这是一个多次衰变的问题，反应物只能根据最后的产物和两个守恒定律来确定,注意:多次衰变问题可以在一个核反应方程中体现出来.变式训练２：(20１0.全国卷Ⅰ)原子核经放射性衰变①变为原子核，继而经放射性衰变②变为原子核，再经放射性衰变③变为原子核.放射性衰变①、②和③依次为（) A.ａ衰变、b衰变和b衰变Ｂ.b衰变、b衰变和a衰变C．b衰变、a衰变和b衰变Ｄ.ａ衰变、b衰变和ａ衰变答案:A利用质能方程和质量亏损,计算核反应过程中释放核能的大小.根据不同的题设条件和不同的核反应特征,归纳几种计算方法.（１)根据爱因斯坦的质能方程，用核子结合成原子核时质量亏损(Δm)的千克数乘以真空中光速的平方(ｃ=3×108m／s),即ΔＥ=Δmｃ2.(2)根据1原子质量单位(ｕ)相当于931.５兆电子伏(MeV)能量，用核子结合成原子核时质量亏损的原子质量单位乘以９3１.5ＭeV．(3)能的转化和守恒定律.已知氘核质量为２.0136ｕ,中子质量为1.0０８７u，核的质量为3.0１5０ｕ.(1）写出两氘核聚变成的核反应方程;(2)计算上述核反应中释放的核能;(３)若两氘核以相等的动能0．35MｅV做对心碰撞即可发生上述核反应,且释放的核能全部转化为机械能,则反应中生成的核和中子的动能各是多少?（1)应用质量数守恒和电荷数守恒不难写出核反应方程为(2）由题给条件可求出质量亏损为Δm＝２.0136ｕ×２-(3.015０+1．０087）ｕ。

中考数学复习专题第二讲开放探究型问题【要点梳理】开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．【学法指导】三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．【考点解析】条件开放型问题（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．（ 5分）理由：∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．结论开放型问题（2017广西河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE ⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB=BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AB=BC．存在开放型问题（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．综合开放型问题（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E 是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，，∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．【真题训练】训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．参考答案：训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【考点】L9：菱形的判定；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=√3OA，OD=√3OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=√3AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，{AO=BO∠AOC′=∠BOD′OC′=OD′，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=√3AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=√3OA，OD=√3OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴OBOA =OD′OC′=√3，∴△AOC′∽△BOD′，∴BD′AC′=OBOA=√3，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=√3AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．。

中考数学二轮复习：探索性问题六．探索性问题一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论,需要经过推断、补充、并加以证明的问题.其典型特点是不确定性.主要包括(1)条件探索型，(2)结论探索型，(3)存在性探索型等.条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。

探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。

探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。

题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。

解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。

解题时应注意知识的综合运用。

二、理解掌握例一、已知：（如图）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的条件是_____（只填一个）.(答案：∠ABP=∠C,或∠ABC=∠APC,或AB2=APAC)说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。

例二、如图，☉O与☉O1外切于点T，AB为其外公切线，PT为内公切线，AB与PT相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(本题将按正确答案的难易程度评分)结论1: PA=PB=PT 结论2:AT⊥BT.(或AT2+BT2=AB2) 结论3: ∠BAT=∠TBO1 结论4: ∠OTA=∠PTB结论5:∠APT=∠BO1T 结论6:∠BPT=∠AOT结论7:ΔOAT∽ΔPBT 结论8:ΔAPT∽ΔBO1T 设OT=R, O1T=r, 结论9:PT2=Rr结论10: AB=2√Rr 结论11:S梯形AOO1B=(R+r)√Rr结论12:以AB为直径的☉P必定与直线OO1相切于T 点.说明：你还能得出其它的结论吗？试试看。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题58：开放探究型问题一、选择题二、填空题1. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=2x+6-的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是▲ （只写出符合条件的一个即可）．【答案】5yx=（答案不唯一）。

【考点】开放型问题，反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】设反比例函数的解析式为：kyx=，联立y=2x+6-和kyx=，得k2x+6x-=，即22x6x+k0-=∵一次函数y=2x+6-与反比例函数kyx=图象无公共点，∴△＜0，即268k0< --（），解得k＞9 2。

∴只要选择一个大于92的k值即可。

如k=5，这个反比例函数的表达式是5yx=（答案不唯一）。

2. （2012广东湛江4分）请写出一个二元一次方程组▲ ，使它的解是x=2y=1⎧⎨-⎩．【答案】x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。

【考点】二元一次方程的解。

【分析】根据二元一次方程解的定义，围绕x=2y=1⎧⎨-⎩列一组等式，例如：由x＋y=2＋（－1）=1得方程x＋y=1；由x－y=2－（－1）=3得方程x－y=3；由x＋2y=2＋2（－1）=0得方程x＋2y=0；由2x＋y=4＋（－1）=3得方程2x＋y=3；等等，任取两个组成方程组即可，如x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。

3. （2012广东梅州3分）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是▲ （写出符合题意的两个图形即可）【答案】正方形、菱形（答案不唯一）。

【考点】平行投影。

【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行。

所以，在同一时刻，这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形，例如，正方形、菱形（答案不唯一）。

4. （2012浙江衢州4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式▲ ．【答案】1y=x-（答案不唯一）。

2012年中考数学二轮复习考点解密怎样解选择题Ⅰ、专题精讲：选择题是中考试题中必有的固定题型，它具有考查面宽、解法灵活、评分客观等特点．选择题一般由题干（题没）和选择支（选项）组成．如果题干不是完全陈述句，那么题干加上正确的选择支，就构成了一个真命题；而题干加上错误的选择支，构成的是假命题，错误的选择支也叫干扰支，解选择题的过程就是通过分析、判断、推理用除干扰支，得出正确选项的过程.选择题的解法一般有七种：1．直接求解对照法：直接根据选择题的题设，通过计算、推理、判断得出正确选项．2．排除法：有些选择题可以根据题设条件和有关知识，从4个答案中，排除3个答案，根据答案的唯一性，从而确定正确的答案，这种方法也称为剔除法或淘汰法或筛选法．3．特殊值法：根据命题条件．’选择题中所研究的量可以在某个范围内任意取值，这时可以取满足条件的一个或若干特殊值代人进行检验，从而得出正确答案．4．作图法：有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的直观性从中找出正确答案．这种应用“数形结合”来解数学选择题的方法，我们称之为“作图法”．5．验证法：直接将各选择支中的结论代人题设条件进行检验，从而选出符合题意的答案．6．定义法：运用相关的定义、概念、定理、公理等内容，作出正确选择的一种方法．7．综合法：为了对选择题迅速、正确地作出判断，有时需要综合运用前面介绍的几种方法．解选择题的原则是既要注意题目特点，充分应用供选择的答案所提供的信息，又要有效地排除错误答案可能造成的于抗，须注意以下几点：（1）要认真审题；（2）要大胆猜想；（3）要小心验证；（4）先易后难，先简后繁．Ⅱ、典型例题剖析【例1】若半径为3，5的两个圆相切，则它们的圆心距为（）A．2 B．8 C．2或8 D．1或4解：C 点拨：本题可采用“直接求解对照法”．两圆相切分为内切和外切，当两圆内切时，它们的圆心距为：5—3=2，当两圆外切时，它们的圆心距为：3+5=8．【例2】如图3－4－1所示，对a 、b 、c 三种物体的重量判断正确的是（ ）A ．a ＜cB ．a ＜bC ．a ＞cD ．b ＜c解：C 点拨：根据图形可知：2a=3b ，2b=3c ，所以a ＞b ，b ＞c ．因此a ＞c ，所以选择C ．【例3】已知一次函数y=kx －k ，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限；B ．第一、二、四象限C 第二、三、四象限；D ．第一、三、四象限解：B 点拨：本题可采用“定义法”．因为y 随x 的增大而减小，所以k ＜0．因此必过第二、四象限，而－k ＞0．所以图象与y 轴相交在正半轴上，所以图象过第一、二、四象限.【例4】下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）2.2 .x A y x B y -=--= 2.4 .2C y xD y x =-=- 解：B 点拨：本题可采用“定义法”分别计算每个自变量x 的取值范围，A ．x ≤2；B ．x ≥2；C ．－2≤x ≤2；D ．x ＞2．通过比较选择B ．【例5】某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，图3－4－2表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间函数关系的图象，则用电阻R 表示电流I 的函数解析式为（ ）A 、R I 6=B 、R I 6-=；C 、R I 3=D 、RI 2= 解：本可用定义法，选A.【例6】在△ABC 中，∠C=90°，如果tanA=512，那么sinB 的值等于（ ） 512512. . . .1313125A B C D 解：B 点拨：本题可用“特殊值”法，在△ABC 中，∠C=90°，故选B ．【例7】在345,2,8y a a ） A ．1个 B ．2个 C ．3个·D ．4个解： B 点拨：对照最简二次根式应满足的两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开方的因数或因式，运用“定义法”可知，此题只有45a 与2y 是最简二次根式，故选B ．Ⅲ、同步跟踪配套试（30分 25分钟）一、选择题（每题3分，共30分）：1．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B=60°，AC=6，则△ABC 的外接圆的半径为（ ）A ．2 3B ．3 3C ． 3D ．32．若x ＜－1，则012,,x x x --的大小关系是（ ）A ．012x x x -->>B ．120x x x -->>；C ．021x x x -->>D ．210x x x -->>3．在△ABC 中，AB=24，AC=18．D 是 AC 上一点，AD=12，在AB 上取一点 E ，使得以 A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE 的长为（ ）．A ．16B ．14C ．16或 14D ．16或 94．若函数y=28(3)m m x --是正比例函数，则常数m 的值是（ ）A ．－7B ．±7C ．士3D ．－35．如图3－4－3所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）A ． 带①去B ．带②去C ．带③去D ．带①和②去6、已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图3－4－4所示，则函数y=ax ＋b 的图象只可能是图3－4－5中的（ ）7．一个圆台形物体的上底面积是下底面积的1/4，如图3－4－6所示放在桌面上，对桌面的压强是200帕，翻转过来对桌面的压强是（ ）A ．50帕B ．80帕C ．600帕D ．800帕8．⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3＜OM ＜5D ．4＜OM ＜59．若二次函数y=ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2，（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1，x 2时，函数值为（ ）A ．a ＋cB ．a －cC ．－cD ．c10 如果212,3,35b a b a b a a b -+=≠≠+-且则的值为（ ） A 、0 B 、15 C 、－ 15D ．没有意义 Ⅳ、同步跟踪巩固试题（10分 60分钟）一、选择题（每题4分，共100分）1．若3222x x x x +=-+，则x 的取值范围是（ ）A 、x<0B 、x ≥－2C 、－2≤x ≤0D －2＜x ＜02．若22114,x x x x+=+则的值是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．153．如图3－4－7所示，四个平面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）4．如果水位下降5m ，记作－5m ，那么水位上升2m ，记作（ ）A ．3mB ．7mC ．2mD ．－7m5．已知数轴上的A 点到原点的距离为3，那么在数轴上到点A 的距离为2的点所表示的数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列说法中正确的是（ ）A ．绝对值最小的实数是零;B ．实数a 的倒数是1a;C ．两个无理数的和、差、积、商仍是无理数;D ．一个数平方根和它本身相等，这个数是0或17、将1021(),(2),(3)6---这三个数按从小到大的顺序排列正确的结果是（ ） 01210211.(2)()(3) .()(2)(3)66A B ---<<-<-<-;20102111.(3)(2)() .(2)(3)()66C D ---<-<-<-< 8．下列因式分解错误的是（ ）A. 32228122(46)a a a a a a -+=-=;B. 256(2)(3)x x x x -+=--;C. 22()()()a b c a b c a b c --=-+--;D. 22422(1)a a a -+-=-+9．一条信息可通过图3－4－8的网络线由上 (A 点）往下向各站点传送．例如要将信息传到b 2点可由经a 1的站点送达，也可由经出的站点送达，共有两条传送途径，则信息由A 到达山的不同途径共有（ ）A ．3条B ．4条C ．6条D ．12条10. 如图3－4－9所示，在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2+(a+c ）x+c 与一次函数y=ax+c 的大致图象正确的是（ ）11. 如图 3－4－10所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=4，△ABC 的面积为2，则 tanA+tanB 等于（ ）A 、45B 、52C 、165D 、4 12. 关于x ，y 的二元一次方程组59x y k x y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x ＋3y=6的解，则k 的值是（ ）3344. . . .4433A B C D -- 13. 如图3－4－11所示，在同心圆中，。

2012年中考数学二轮复习考点解密 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）． 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ． 点A ，B 在一次函数图象上，∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是.121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为m y x=．点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A、B、C、D的坐标。

【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（－4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角。

以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D.（1）求直线l的解析式；（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙O2第一次与⊙O2相切时，直线l也恰好与⊙O2第一次相切，求直线l平移的速度；（3）将⊙O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O2的直径，过点A作⊙O2的切线，切⊙O2于另一点F，连结A O2、FG，那么FG·A O2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

2012年中考数学二轮复习考点解密探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定地条件或无明确地结论，需要经过推断，补充并加以证明地题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件地题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定地前提下，需探索发现某种数学关系是否存在地题目．探索型问题具有较强地综合性，因而解决此类问题用到了所学过地整个初中数学知识．经常用到地知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式地求法（图象及其性质）、直角三角形地性质、四边形（特殊）地性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形地某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题地主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识地复习，又要加强变式训练和数学思想方法地研究，切实提高分析问题、解决问题地能力．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图2－6－1，已知抛物线地顶点为A(O，1)，矩形CDEF地顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线地解析式；(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A地一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴地垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR地形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点地三角形和以点Q、R、M为顶点地三角形相似，若存在，请找出M点地位置；若不存在，请说明理由．⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2). 设抛物线地解析式为2y ax bx c =++． 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2).得1242242xa b c a b c=⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩解得1,0,14a b c ===∴此抛物线地解析式为2114y x =+方法二：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB ＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4. ∴C 点坐标为(一2，2).根据题意可设抛物线解析式为2y ax c =+. 其过点A(0，1)和C(-2．2)124c a c=⎧⎨=+⎩解得1,14a c == 此抛物线解析式为2114y x =+(2)解：①过点B 作BN BS ⊥，垂足为N ．∵P 点在抛物线y=214x +l 上．可设P 点坐标为21(,1)4a a +．∴PS ＝2114a +，OB ＝NS ＝2，BN＝a .∴PN=PS —NS=2114a -在Rt PNB 中．PB 2＝222222211(1)(1)44PN BN a a a +=-+=+∴PB ＝PS ＝2114a +②根据①同理可知BQ ＝QR. ∴12∠=∠， 又∵13∠=∠， ∴23∠=∠，同理∠SBP ＝∠B ∴2523180∠+∠=︒∴5390∠+∠=︒∴90SBR ∠=︒. ∴△SBR 为直角三角形． ③方法一：设,PS b QR c ==，∵由①知PS ＝PB ＝b ．QR QB c ==，PQ b c =+.∴222()()SR b c b c =+--∴SR =假设存在点M ．且MS ＝x ，别MR＝x .若使△PSM ∽△MRQ ，则有b x=即20x bc -+=∴12x x =∴SR ＝∴M 为SR 地中点. 若使△PSM ∽△QRM ，则有b x =.∴x =.∴1MR x c QB ROMS x b BP OS ==-===. ∴M 点即为原点O.综上所述，当点M 为SR 地中点时．∆PSM ∽ΔMRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽∆MRQ ．方法二：若以P 、S 、M 为顶点地三角形与以Q 、M 、R 为顶点三角形相似， ∵90PSM MRQ ∠=∠=︒，∴有∆PSM ∽∆MRQ 和∆PSM ∽△QRM 两种情况.当∆PSM ∽∆MRQ 时．∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM ． 由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR ＝90°.∴90PMQ ∠=︒. 取PQ 中点为N ．连结MN ．则MN ＝12PQ=1()2QR PS +．∴MN 为直角梯形SRQP 地中位线,∴点M 为SR 地中点当△PSM ∽△QRM 时，RM QR QBMS PS BP ==.又RM RO MS OS=，即M 点与O 点重合.∴点M 为原点O.综上所述，当点M 为SR 地中点时，∆PSM ∽△MRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽△QRM.点拨：通过对图形地观察可以看出C 、F 是一对关于y 轴地对称点，所以（1）地关键是求出其中一个点地坐标就可以应用三点式或 y=ax 2+c 型即可．而对于点 P 既然在抛物线上，所以就可以得到它地坐标为（a ，14 a 2+1）．这样再过点B 作BN ⊥PS ．得出地几何图形求出PB 、PS 地大小．最后一问地关键是要找出△PSM 与△MRQ 相似地条件．【例2】探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点．（1）请写出图2－6－4中，面积相等地各对三角形；（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有________与△ABC 地面积相等．理由是：_________________.解决问题：如图 2－6－5所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包地一块土地地示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示地形状，但承包土地与开垦荒地地分界小路（2－6－6中折线CDE ）还保留着；张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边地土地面积与承包时地一样多，右边地土地面积与开垦地荒地面积一样多．请你用有关地几何知识，按张大爷地要求设计出修路方案（不计分界小路与直路地占地面积）．（1）写出设计方案．并画出相应地图形； （2）说明方案设计理由．解：探究规律：（l ）△ABC 和△ABP ，△AOC 和△ BOP 、△CPA 和△CPB ．（2）△ABP ；因为平行线间地距离相等，所以无论点P 在m 上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们地面积总相等．解决问题：⑴画法如图2－6－7所示．连接EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路位置．⑵设EF交CD于点H，由上面得到地结论可知：SΔECF=SΔECD，SΔHCF=SΔEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN．点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边地问题要用前边地结论去一做，所以要连接EC，过D作DF∥EC，再运用同底等高地三角形地面积相等．【例3】如图2－6－8所示，已知抛物线地顶点为M（2，－4），且过点A(－1,5)，连结AM交x轴于点B．⑴求这条抛物线地解析式；⑵求点B地坐标；⑶设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上地动点，连结PO，以P为顶点、PQ为腰地等腰三角形地另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴地垂线交直线AM于点R，连结PR．设面PQR地面积为S．求S与x之间地函数解析式；⑷在上述动点P（x，y）中，是否存在使SΔPQR=2地点？若存在，求点P地坐标；若不存在，说明理由．解：（1）因为抛物线地顶点为M（2，－4）所以可设抛物线地解析式为y=（x－2）2－4．因为这条抛物线过点A（－1，5）所以5=a(－1－2)2－4．解得a=1．所以所求抛物线地解析式为y=（x—2）2－4（2）设直线AM地解析式为y=kx+ b．因为A（－1，5）, M（2，－4）所以524k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得k=－3，b=2．所以直线AM地解析式为y=3x＋2．当y=0时，得x= 23，即AM与x轴地交点B（23,0）（3）显然，抛物线y=x2－4x过原点(0，0〕当动点P （x ，y ）使△POQ 是以P 为顶点、PO 为腰且另一顶点Q 在x 轴上地等腰三角形时，由对称性有点 Q （2x ，0）因为动点P 在x 轴下方、顶点M 左方，所以0＜x ＜2．因为当点Q 与B （23 ，0）重合时，△PQR 不存在，所以x ≠13 ，所以动点P （x ，y ）应满足条件为0＜x ＜2且x ≠13 ，因为QR 与x 轴垂直且与直线AM 交于点R ， 所以R 点地坐标为（2x ，－6x+2） 如图2－6－9所示，作P H ⊥OR 于H ， 则PH=|||2|,|62|Q P x x x x x QR x -=-==-+而S=△PQR 地面积=12 QR ·P H= 12 |62|x x -+下面分两种情形讨论：①当点Q 在点B 左方时，即0＜x ＜13 时，当R 在 x 轴上方，所以－6x ＋2＞0． 所以S=12（－6x ＋2）x=－3x 2+x ；②当点Q 在点B 右方时，即13 ＜x ＜2时点R 在x 轴下方，所以－6x ＋2＜0． 所以S=12 [－（－6x ＋2）]x=3x 2－x ；即S 与x 之间地函数解析式可表示为2213(0)313(2)3x x x S x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（4）当S=2时，应有－3x 2+x =2，即3x 2－x+ 2=0，显然△＜0，此方程无解．或有3x 2－x =2，即3x 2－x －2=0，解得x 1 =1，x 2＝－23 当x=l 时，y= x 2－4x=－3，即抛物线上地点P （1，－3）可使S ΔPQR =2； 当x=－23＜0时，不符合条件，应舍去．所以存在动点P ，使S ΔPQR =2，此时P 点坐标为(1,－3)点拨：此题是一道综合性较强地探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中地点B是直线AM与x轴地交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线AM，从而得出与x轴地交点B．(3)问中注意地是Q点所处位置地不同得出地S与x 之间地关系也随之发生变化．（4）可以先假设存在从而得出结论．Ⅲ、综合巩固练习：（100分90分钟）观察图2－6－10中⑴）至⑸中小黑点地摆放规律，并按照这样地规律继续摆放．记第n个图中小黑点地个数为y．解答下列问题：⑴填下表：⑵当n=8时，y=___________；⑶根据上表中地数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图2－6－11地平面直角坐标系中描出相应地各点（n，y），其中1≤n≤5；⑷请你猜一猜上述各点会在某一函数地图象上吗？如果在某一函数地图象上，请写出该函数地解析式．2．（5分）图2－6－12是某同学在沙滩上用石子摆成地小房子．观察图形地变化规律，写出第n个小房子用了_____________块石子．3．(10分)已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB =90°，P是AB边上地动点（与点A、B不重合），Q是BC边上地动点（与点B、C不重合）．⑴如图2－6－13所示，当PQ∥A C，且Q为BC地中点时，求线段CP地长；⑵当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ地长地取值范围，若不可能，请说明理由．4．如图2－6－14所示，在直角坐标系中，以A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，l）为顶点地正方形，设正方形在直线：y=x及动直线l：y=－x+2a（－l≤a＜1）上方2部分地面积为S（例如当a取某个值时，S为图中阴影部分地面积），试分别求出当a=0，a=－1时，相应地S地值．5．（10分）如图2－6－15所示，DE是△ABC地中位线，∠B＝90○，AF∥B C．在射线A F 上是否存在点M，使△MEC与△A DE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由．6．如图2－6－16所示，在正方形ABCD中，AB=1，AC是以点B为圆心．AB长为半径地圆地一段弧点E是边AD上地任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆地切线，交边DC于点F石为切点．⑴当∠DEF＝45○时，求证点G为线段EF地中点；⑵设AE=x，FC=y，求y关于x地函数解析式；并写出函数地定义域；⑶图2－6－17所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF=56时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（图2－6－18为备用图）7．（10分）取一张矩形地纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图2－6－19（1）所示；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上地对应点B′，得Rt△AB′E，如图2－6－19（2）所示；第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图2－6－19⑶所示；利用展开图2－6－19（4）所示探究：（l）△AEF是什么三角形？证明你地结论．（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．8．（10分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质地问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)，当实数a 变化时，它地顶点都在某条直线上；二是发现当实数a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)地顶点地横坐标减少1a，纵坐标增加1a ，得到A 点地坐标；若把顶点地横坐标增加1a ，纵坐标增加1a，得到B 点地坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)上．⑴请你协助探求出实数a 变化时，抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)地顶点所在直线地解析式； ⑵问题⑴中地直线上有一个点不是该抛物线地顶点，你能找出它来吗？并说明理由；⑶在他们第二个发现地启发下，运用“一般→特殊→一般”地思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你地猜想表述出来吗？你地猜想能成立吗？若能成立，请说明理由.9．已知二次函数地图象过A （－3，0），B （1，0）两点．⑴当这个二次函数地图象又过点以0，3）时，求其解析式；⑵设⑴中所求M次函数图象地顶点为P，求SΔAPC：SΔABC地值；⑶如果二次函数图象地顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，SΔAMD：SΔABD地值确定吗？为什么？10．（13分）如图2－6－20所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC地垂直平分线DE，交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且A F＝CE．⑴求证：四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B地大小满足什么条件时，四边形A CEF是菱形？请回答并证明你地结论；⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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2012年中考数学二轮复习考点解密探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。

设抛物线的解析式为2y ax bx c =++． 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。

2012年全国各地中考数学试卷分类汇编专项十一 开放探索型问题12. (2012山东日照，12，3分)如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形A 1B 1C 1D 1；在等腰直角三角形OA 1B 1中，作内接正方形A 2B 2C 2D 2；在等腰直角三角形OA 2B 2中，作内接正方形A 3B 3C 3D 3；……；依次作下去，则第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是（ ） A.131-n B.n31 C.131+n D.231+n 解析：设正方形A 1B 1C 1D 1的边长为x ，x=31；则AC 1= C 1D 1= D 1 B =x,故3x=1，同理，正方形A 2B 2C 2D 2的边长为231，……，故可猜想第n 个正方形A n B n C n D n 的边长是n 31. 解答：选B ．点评：本题是规律探究性问题，解题时先从较简单的特例入手，从中探究出规律，再用得到的规律解答问题即可.本题考查了等腰直角三角形的性质以及学生分析问题的能力.解题的关键是求正方形A 1B 1C 1D 1的边长.（2012河北省25,10分）25、（本小题满分10分）如图14，A （-5,0），B(-3,0)，点C 在y 轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD ∥AB ，∠CDA=90°，点P 从点Q （4,0）出发，沿x 轴向左以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t 秒（1）求点C 的坐标；（2）当∠BCP= 15°时，求t 的值；（3）以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在直线）相切时，求t 的值。

【解析】在直角三角形BCO 中，∠CBO=45°OB=3，可得OC=3，因此点C 的坐标为（0,3）；（2）∠BCP= 15°，只是提及到了角的大小，没有说明点P 的位置，因此分两种情况考虑：O A 1B 1C 1 1 A B A 2 B 2C 2D 2点P 在点B 的左侧和右侧；（3）⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在直线）相切，而四边形有四条边，肯定不能与AO 相切，所以要分三种情况考虑。