初中数学专题复习专题复习开放型探索型问题(1)

中考冲刺：创新、开放与探究型问题【中考展望】所谓开放探索型问题指的是有些数学问题的条件、结论或解决方法不确定或不唯一，需要根据题目的特点进行分析、探索，从而确定出符合要求的答案(一个、多个或所有答案)或探索出解决问题的多种方法．由于开放探究型问题对考查学生思维能力和创造能力有积极的作用，是近几年中考命题的一个热点．通常这类题目有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放和探索，条件与结论都开放与探索及方案设计、命题组合型、问题开放型等．【方法点拨】由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．【典型例题】类型一、探索规律例1．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，C1B=CB，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014，最少经过（）次操作．A．7 B．6 C．5 D．4举一反三：【变式】如图，△A1A2A3，△A4A5A5，△A7A8A9，…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为 .类型二、条件开放型、结论开放型例2．在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2）．（1）若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标：；（2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，请写出一组满足条件的点B、点C的坐标： .举一反三：【变式】在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为(2，2)．(1)若底边BC在x轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：________________；设点B，点C的坐标分别为(m，0)，(n，0)，你认为m，n应满足怎样的条件？(2)若底边BC的两个端点分别在x轴，y轴上，请写出一组满足条件的点B，点C的坐标：______________；设点B，点C的坐标分别为(m，0)，(0，n)，你认为m，n应满足怎样的条件?类型三、条件和结论都开放的问题例3．如图(1)，四边形ABCD中，AD与BC不平行，现给出三个条件：①∠CAB＝∠DBA，②AC＝BD，③AD＝BC．请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出ABCD是等腰梯形，并加以证明(只需证明一种情况)．举一反三：【变式】如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．（2）△MNK的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）类型四、动态探究型例4．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求EFEG的值．【思路点拨】（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．举一反三：【变式1】已知：如图(a)，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm／s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)(0＜t＜2)，解答下列问题：(1)当t为何值时，PQ∥BC?(2)设△AQP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值．若不存在，说明理由；(4)如图(b)，连接PC，并把△POC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．举一反三：【变式2】如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE. ①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.ED CBA类型五、创新型例5．先阅读下列材料，然后解答问题：从A B C ，，三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作2332C 321⨯==⨯．一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作：(1)(1)C (1)321n m m m m n n n --+=-⨯⨯⨯例从7个元素中选5个元素，共有5776543C 2154321⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有 种．【巩固练习】一、选择题1.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有1个空心小圆圈，第②个图形中一共有6个空心小圆圈，第③个图形中一共有13个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中空心圆圈的个数为（）A．61 B．63 C．76 D．782．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D 重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（）A．512532⨯B．69352⨯C．614532⨯D．711352⨯3．下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是( ) A．495 B．497 C．501 D．5034.如图，一个3×2的矩形（即长为3，宽为2）可以用两种不同方式分割成3或6个边长是正整数的小正方形，即：小正方形的个数最多是6个，最少是3个．（1）一个5×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 个，最少是 个； （2）一个7×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是 个，最少是 个； （3）一个（2n+1）×2的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是 个；最少是 个．（n 是正整数）5. 一园林设计师要使用长度为4L 的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O 点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大．(1)使图①花圃面积为最大时R －r 的值为 ，以及此时花圃面积为 ，其中R 、r 分别为大圆和小圆的半径；(2)若L ＝160 m ，r ＝10 m ，使图面积为最大时的θ值为 ．6．如图所示，已知△ABC 的面积1ABC S =△，在图(a)中，若11112AA BB CC AB BC CA ===，则11114A B C S =△； 在图(b)中，若22213AA BB CC AB BC CA ===，则222A B C 13S =△；在图(c)，若33314AA BB CC AB BC CA ===，则333716A B C S =△．…按此规律，若88819AA BB CC AB BC CA ===，则888A B C S =△________．7．（2016•丹东模拟）已知，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．（l）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CE，②CE=BC﹣CD；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点O在线段BC的反向延长线上时，且点A、E分别在直线BC的两侧，点F是DE的中点，连接AF、CF，其他条件不变，请判断△ACF的形状，并说明理由．8.如图(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE，CD相交于点O．(1)①如图(a)，求证：△ADC≌△ABE；②探究：图(a)中，∠BOC＝________；图(b)中，∠BOC＝________；图(c)中，∠BOC＝________；(2)如图(d)，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE，CD的延长相交于点O．①猜想：图(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示)②根据图(d)证明你的猜想．9. 如图(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P(P 不与B，C重合)，连接DP，作射线．PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．(1)试确定CP＝3时，点E的位置；(2)若设CP＝x(x＞0)，BE＝y(y＞0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围．10. 点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC＝k·AB．连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F．(1)如图(a)，当k＝1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成证明．(2)如图(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．。

初三数学总复习专题复习：探索开放问题的复习一、题型解读传统的解答题和证明题||，其条件和结论都是由题目明确给出的||，我们可以“由因导果”或“执果索因”||。

开放探究型问题||，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的||，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点||，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性||，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、条件结论都开放等．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论||，没有固定的形式和方法||，要求我们认真收集和处理问题的信息||，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动||，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．题型涉及选择、填空和解答．二、解题策略开放性、操作性、探索性和综合性是此类问题的明显特征||。

这类题目形式新颖||，涉及的基础知识和基本技能十分广泛||，解答过程中有较多的创造性和探索性||，解答方法灵活多变||，既需要扎实的基础知识和基本技能||，又需要具备一定的数学能力||，以及思维的创造性和良好的个性品质||。

由于题型灵活、综合性强、结构独特等||，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路||，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括||，从特殊到一般||，从而得出规律．2．反演推理法（反证法）||，即假设结论成立||，根据假设进行推理||，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不唯一确定||，难以统一解答时||，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏||，分门别类加以讨论求解||，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法||，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略||，因而具体操作时||，应更注重数学思想方法的综合运用．三、呈现形式（一）开放型问题1.条件开放型：条件开放题是指结论给定||，条件未知或不全||，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件||，即从题目的结论出发||，逆向追索||，逐步探求．例1.（17西城二模26）学习了《平行四边形》一章以后||，小东根据学习平行四边形的经验||，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．以下是小东的探究过程||，请补充完整：（1）在四边形ABCD 中||，对角线AC 与BD 相交于点O ．若AB ∥CD ||，补充下列条件中能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是；（写出一个你认为正确选项的序号即可）； （A ）BC ＝AD （B ）∠BAD =∠BCD （C ） AO ＝CO ||，（2）将（1）中的命题用文字语言表述为：①命题1；②画出图形||，并写出命题1的证明过程；（3）小东进一步探究发现：若一个四边形ABCD 的三个顶点A||，B||，C 的位置如图所示||，且这个四边形满足CD =AB ||，∠B =∠D ||，但四边形ABCD 不是平行四边形||，画出符合题意的四边形 ABCD ||，进而小东发现：命题2“一组对边相等||，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．例2.（17海淀一模29）在平面直角坐标系xOy 中||，若P ||，Q 为某个菱形相邻．．图．1．的．两个顶点||，且该菱形的两条对角线分别与x 轴||，y 轴平行||，则称该菱形为点P ||，Q 的“相关菱形”．图1为点P ||，Q 的“相关菱形”的一个示意图．已知点A 的坐标为（1||，4）||，点B 的坐标为（b ||，0）||，（1）若b =3||，则R （1-||，0）||，S （5||，4）||，T （6||，4）中能够成为点A ||，B 的“相关菱形”顶点的是；（2）若点A ||，B 的“相关菱形”为正方形||，求b 的值；（3）B 的半径为2||，点C 的坐标为（2||，4）．若B 上存在点M ||，在线段AC 上存在点N ||，使点M ||，N 的“相关菱形”为正方形||，请直接写出b 的取值范围．2.结论开放型：给出问题的条件||，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性||，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征||，进行猜想、类比、联想、归纳||，透彻分析出给定条件下可能存在的结论||，然后经过论证作出取舍．例3.（17年北京中考12）写出一个比3大且比4小的无理数.例4.（16年北京中考12）下图中四边形均为矩形||，根据图形||，写出一个正确的等式：______________________.例5.（16年西城一模13）已知函数满足下列两个条件：①当0x >时||，y 随x 的增大而增大；②它的图象经过点（1||，2）||，请写出一个符合上述条件的函数的表达式 ． Q P y x O 图1例6.（16年北京中考20）关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=有两个不相等的实数根||。

开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。

中考数学复习专题讲座三：开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。

三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1（义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定。

810360专题：开放型。

分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB等）；解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵∴△BDF≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2（宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行线的判定与性质。

初中数学开放探究题的类型及解题策略数学是一门需要探究和思考的学科，其中开放性探究题更加强调学生自主探究和思考的能力。

下面将介绍几种常见的开放性探究题类型以及解题策略。

1. 探究型问题探究型问题需要学生根据所给条件进行推理和验证，最终得出结论。

这类问题往往需要学生进行多个实验或思考多个可能性，因此策略包括：1）充分利用已知条件，画图或列式子进行推导；2）从多个角度思考问题，可能会有多个解决方法；3）用反证法或递归法进行验证，避免一时心急导致得出错误结论。

例如：（1）一个5 × 5的正方形，任取其中的9个小正方形，把它们涂黑，使得剩下的小正方形正好可以用4个3 × 3的正方形铺满，求涂黑的9个小正方形数量。

策略：画图和列式子推导，尝试多种涂黑情况。

（2）如图，在ΔABC中，AD∥BC，BE∥AC，CF∥ AB。

作EF、BF、DE交BC、CA、 AB 分别于G、H、I，求∠IHC+∠IGB的数值。

策略：画图，用已知条件推导，运用角度平分线的性质解决。

发散型问题需要学生将问题向外发散，探索问题的不同可能性和解决方法。

策略包括：1）通过改变条件或角度，寻找问题的新解法；2）考虑问题的特殊情况或边界问题；3）随时记录自己的想法，避免思路重复且可能会得到新的启示。

（1）从一张普通的2n × 2n的网格中选取n × n的一部分，使得去掉这一部分后，留下的2 × 2的方块能完全地填满这张网格。

请你找出所有这样的选法，并请说明你的思路。

策略：寻找不同的选取方法，分析可能的情况，记录可能解法。

（2）甲、乙两人摇骰子赌博，每人每次投掷一枚骰子，谁先投掷到6谁就胜利，求甲必胜策略。

策略：考虑甲可以如何控制骰子，尝试不同的思路，列出各种情况并进行分析。

应用型问题需要学生将数学知识运用到现实生活中，解决实际问题。

策略包括：1）理解问题，并用合适的数学语言进行简要描述；2）运用所学知识分析问题，寻找解决方法；3）将所得结果进行合理解释和推广应用。

第三讲 开放问题复习专题河南省中基教院研究中心 河南省实验中学题型1条件开放与探索条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出． 题型2结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力． 题型3解题方法的开放与探索策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程． （一）条件开放1.已知（x 1，y 1），(x 2，y 2)为反比例函数图象上的点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则k 的一个值可为___________（只需写出符号条件的一个．．k 的值）2.如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC ＝DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB ，则还需增加一个条件是_ _．例2图3.已知点位于第二象限，并且，为整数，写出一个．．符合上述条件的点的坐标：．4.如图，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC 上的点．（1）如果__________ ，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）；xky =()P x y ，4y x +≤x y ，P D B（2）证明你的结论．5.已知：∠MAN ＝30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心，2为半径作⊙O ，交AN 于D ，E 两点，设AD ＝x ．（1）如图（1）当x 取何值时，⊙O 与AM 相切；（2）如图（2）当x 为何值时，⊙O 与AM 相交于B ，C 两点，且∠BOC ＝90°．（二）、结论开放6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，D 为垂足．由以上两个条件可得________．(写出一个结论)解：∠1＝∠2或BD ＝DC 或△ABD ≌△ACD 等．7．如图，◎Ol 与◎O 2相交于点A 、B ，顺次连结0l 、A 、02、B 四点，得四边形01A 02B ． （1）根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验，探求图中的四边形有哪 些性质?(用文字语言写出4条性质)性质1．________________________________； 性质2．________________________________； 性质3．________________________________； 性质4．________________________________．（2）设◎O 1的半径为尺，◎O 2的半径为r (R ＞r )，0l ，02的距离为d ．当d 变化时，四边形01A 02B 的形状也会发生变化．要使四边形01A 02B 是凸四边形(把四边形的任一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形)．则d 的取值范围是____________________________。

2021年中考数学複习考点解密开放探究性问题含解析第一部分讲解部分一、专题诠释开放**型问题，可分为开放型问题和**型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探究力气以及思维的发散性，但难度适中．依据其特徵大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．**型问题是指命题中缺少确定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．依据其特徵大致可分为：条件**型、结论**型、规律**型和存在性**型等四类．二、解题策略与解法精讲由于开放**型试题的学问掩盖面较大，综合性较强，机敏选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精致，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在複习时，首先对于基础学问确定要複习全面，併力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，留意各学问点之间的因果联络，选择合适的解题途径完成最终的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律． 2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,依据假设进行推理，看是推汇出冲突还是能与已知条件全都．3．分类争辩法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能消灭的状况做到既不重複也不遗漏，分门别类加以争辩求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更留意数学思想方法的综合运用．三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论动身，逆向追索，逐步探求．例1：（2021江苏淮安）在四边形abcd中，ab=dc，ad=bc.请再新增一个条件，使四边形abcd是矩形.你新增的条件是写出一种即可)分析：已知两组对边相等，假如其对角线相等可得到△abd≌△abc≌adc≌△bcd，进而得到，∠a=∠b=∠c=∠d=90°，使四边形abcd是矩形．解：若四边形abcd的对角线相等，则由ab=dc，ad=bc可得．△abd≌△abc≌adc≌△bcd，所以四边形abcd的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形abcd是矩形，故答案为：对角线相等．评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，依据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者依据条件探究相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特徵，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取捨．例2：（2021天津）已知一次函式的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函式的解析式可以为分析：先设出一次函式的解析式，再依据一次函式的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再依据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．解：设一次函式的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵一次函式的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k ＞0的一次函式）．评注：本题考查的是一次函式的性质，即一次函式y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必需认真观看与思考，将已知的资讯集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探究条件和结论，并进行证明或推断．例3：（2021玉溪）如图，在平行四边形abcd中，e是ad的中点，请新增适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：先连线be，再过d作df∥be交bc于f，可构造全等三角形△abe和△cdf．利用abcd是平行四边形，可得出两个条件，再结合de∥bf，be∥df，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得de=bf，结合ad=bc，等量减等量差相等，可证ae=cf，利用sas可证三角形全等．解：新增的条件是连线be，过d作df∥be交bc于点f，构造的全等三角形是△abe与△cdf．理由：∵平行四边形abcd，ae=ed，∴在△abe与△cdf中，ab=cd，∠eab=∠fcd，又∵de∥bf，df∥be，∴四边形bfde是平行四边形，∴de=bf，又ad=bc，∴ad﹣de=bc﹣bf，即ae=cf，∴△abe≌△cdf．（答案不唯一，也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等学问．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅供应一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4：（2021年江苏盐城中考题）某校九班级两个班各为玉树**灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你依据上述资讯，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．分析：本题的等量关係是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x元，则2班人均捐款（x+4）元，依据题意得·90%=解得x=36 经检验x=36是原方程的根x+4=40答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？设1班有x人，则依据题意得4= 解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根90x % =45答：1班有50人，2班有45人．评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求同学的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但同学简洁犯想当然的错误，叙述不够準确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应当留意防範．（二）**型问题考点五：动态探究型：此类问题结论明确，而需**发觉使结论成立的条件的题目．例5：（2021临沂）如图1，将三角板放在正方形abcd 上，使三角板的直角顶点e与正方形abcd的顶点a重合，三角扳的一边交cd于点f．另一边交cb的延长线于点g．（1）求证：ef=eg；（2）如图2，移动三角板，使顶点e始终在正方形abcd 的对角线ac上，其他条件不变，（1）中的结论是否照旧成立？若成立，请赐予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形abcd”改为“矩形abcd”，且使三角板的一边经过点b，其他条件不变，若ab=a、bc=b，求的值．分析：（1）由∠geb+∠bef=90°，∠def+∠bef=90°，可得∠def=∠geb，又由正方形的性质，可利用sas证得rt △fed≌rt△geb，则问题得证；（2）首先点e分别作bc、cd的垂线，垂足分别为h、i，然后利用sas证得rt△fei≌rt△geh，则问题得证；（3）首先过点e分别作bc、cd的垂线，垂足分别为m、n，易证得em∥ab，en∥ad，则可证得△cen∽△cad，△cem ∽△cab，又由有两角对应相等的三角形相像，证得△gme∽△fne，依据相像三角形的对应边成比例，即可求得答案．解：（1）证明：∵∠geb+∠bef=90°，∠def+∠bef=90°，∴∠def=∠geb，又∵ed=be，∴rt△fed≌rt△geb，∴ef=eg；（2）成立．证明：如图，过点e分别作bc、cd的垂线，垂足分别为h、i，则eh=ei，∠hei=90°，∵∠geh+∠hef=90°，∠ief+∠hef=90°，∴∠ief=∠geh，∴rt△fei≌rt△geh，∴ef=eg；（3）解：如图，过点e分别作bc、cd的垂线，垂足分别为m、n，则∠men=90°，∴em∥ab，en∥ad．∴△cen∽△cad，△cem∽△cab，∴，∴，即，∵∠ief+∠fem=∠gem+∠fem=90°，∴∠gem=∠fen，∵∠gme=∠fne=90°，∴△gme∽△fne，∴，∴．评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相像三角形的判定与性质．此题综合性较强，留意数形结合思想的应用．考点六：结论**型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探究发觉与之相应的结论的题目．例6：（2021福建省三明市）在矩形abcd中，点p在ad 上，ab=2，ap=1．将直角尺的顶点放在p处，直角尺的两边分别交ab，bc于点e，f，连线ef（如图①）．（1）当点e与点b重合时，点f恰好与点c重合（如图②），求pc的长；（2）**：将直尺从图②中的位置开头，绕点p顺时针旋转，当点e和点a重合时停止．在这个过程中，请你观看、猜想，并解答：①tan∠pef的值是否发生变化？请说明理由；。