2012年中考数学复习考点解密 开放探索性问题(含解析)

1. （2012浙江衢州12分）如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A （1，2），过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．抛物线y =ax 2+bx +c 经过O 、A 、C 三点． （1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），△AOB 在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S ．试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y =kx 与抛物线2422y=x +x 273交于点A （3，6）． （1）求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度； （2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE =∠BED =∠AOD ．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？3.（2012江苏苏州10分）如图，已知抛物线()211by=x b+1x+444-（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C .⑴点B 的坐标为 ▲ ，点C 的坐标为 ▲ （用含b 的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.4.（2012福建龙岩）在平面直角坐标系xoy 中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点A （－1，0）．（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B （ ， ）、C （ ， ）；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中∠EDF =90°，∠DEF =60°），把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ． 此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M ．①设AE =x ，当x 为何值时，△OCE ∽△OBC ； ②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形，若存在，请求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．xyPOC BA5. （2012湖北荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=13，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．6.（2012湖南永州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．7. （2012四川广安）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ⊥x 轴于点B ，AB =3，tan ∠AOB =34，将△OAB 绕着原点O 逆时针旋转90°，得到△OA 1B 1；再将△OA 1B 1绕着线段OB 1的中点旋转180°，得到△OA 2B 1，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点B 、B 1、A 2． （1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P 在什么位置时，△PBB 1的面积最大？求出这时点P 的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q ，使点Q 到线段BB 1的距离为22？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8. （2012四川德阳）在平面直角坐标xOy 中，（如图）正方形OABC 的边长为4，边OA 在x 轴的正半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，点D 是OC 的中点，BE ⊥DB 交x 轴于点E .⑴求经过点D 、B 、E 的抛物线的解析式；⑵将∠DBE 绕点B 旋转一定的角度后，边BE 交线段OA 于点F ，边BD 交y 轴于点G ，交⑴中的抛物线于M （不与点B 重合），如果点M 的横坐标为512，那么结论OF =21DG 能成立吗？请说明理由. ⑶过⑵中的点F 的直线交射线CB 于点P ，交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q ，且使△PFE 为等腰三角形，求Q 点的坐标.9. （2012青海西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，O 在x 轴的正半轴上，已知A (0，4)、C (5，0)．作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接CD ，过点D 作DE ⊥CD 交OA 于点E ． (1)求点D 的坐标； (2)求证：△ADE ≌△BCD ；(3)抛物线y ＝ 4 5x 2－ 245x ＋4经过点A 、C ，连接AC ．探索：若点P 是x 轴下方抛物线上一动点，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点M ．是否存在点P ，使线段MP 的长度有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2012四川绵阳）如图1，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，二次函数y =ax 2+16x +c 的图象F 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于M 点，其中B （-3，0），M （0，-1）。

2012年中考数学二轮复习考点解密 规律探索性问题第一部分 讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。

这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。

其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。

所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。

二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。

三．考点精讲考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。

例1. 有一组数：13,25579,,101726L ，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为 ．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可．解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+；272411741⨯-=+； 219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+． 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1．例2（2010广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)， 由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________；(3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n Λ [])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n Λ )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n Λ[])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n Λ)3)(2)(1(41+++=n n n n ． 解：（1）∵1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝31(10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440． （2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a , 那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空） 你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。

开放探究型问题一、选择题1、（2012年中考数学新编及改编题试卷）图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图。

已知； 甲的路线为：A →C →B 。

乙的路线为：A →D →E →F →B ，其中E 为AB 的中点。

丙的路线为：A →G →H →K →B ，其中H 在AB 上，且AH>HB 。

若符号「→」表示「直线前进」，则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据， 则三人行进路线长度的大小关系为（ ）(A) 甲=乙=丙 (B) 甲<乙<丙 (C) 乙<丙<甲 (D )丙<乙<甲 二、填空题1. （2012年江苏南通三模）一元二次方程有一根为1，此方程可以是 ▲ （写出一个即可）. 答案：x 2-x=0等.2. （2012年江苏南通三模）小明、小亮各有一段长为40cm 的铁丝，将将铁丝首尾相连围成一个长方形．（1）请问他俩围成长方形一定全等吗？（2）如果围成的长方形一定全等，则长方形的长和宽分别是多少？如果围成的长方形不一定全等，请再添加一个条件，使得他俩围成的长方形全等，并求出长方形的长和宽（写出解题过程）． 答案：24．（1）不一定 （2）略3、（盐城地区2011～2012学年度适应性训练）如图，已知抛物线y =x 2+bx +c 经过点(0，-3)，请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间．你所确定的b 的值是 ▲ （写出一个值即可）．CDG50︒F60︒70︒50︒ 60︒70︒ 50︒ 60︒70︒ 50︒60︒70︒ 50︒ 60︒70︒ K图(1)图(2)图(3)-331O yx答案如-1，0(不惟一，在-2＜b ＜2内取值均可）三、解答题1、(2012年香坊区一模) (本题l0分)已知：在∆ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 上一点，PC=2PB,连接AP ，作∠APD=∠B 交AB 于点D 。

2012年中考数学二轮复习考点解密 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上，∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y 点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为m y x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4． 故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D.（1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG ·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

2012年中考数学压轴题专题九开放探索问题试题特点《数学课程标准》把逐步形成数学创新意识列为学习目标，各地中考数学命题为了实现这个目标也都做了有益的尝试，例如出现了不少别具创意、独特新颖的开放探索型试题．这类试题不仅能考查观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力，而且把解题的过程变成了探究规律、发现规律的过程，因此，在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．所谓的开放探索型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，从结构特征上看主要分为三类：条件开放、策略开放、结论开放．开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求考生进行多方面、多角度、多层次探索．方式趋势开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题，开放题是中考题多样化和时代发展要求的产物，单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发创造性．开放性试题能为考生提供更大的解决问题的空间，在解题途径方面也是多样的，这样的试题有利于考生发挥水平，有利于考生创新意识的培养．热点解析一、条件开放与探索探索条件型问题是指问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的题目．解答探求条件型问题的思路是，从所给结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，并进行逻辑证明，从而寻找出满足结论的条件．【题1】如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？(3)根据(2)【思路】点C在线段BD上运动，图形中有两个直角三角形，AC，CE分别为Rt△ABC，Rt△CDE的斜边，所要求的问题是两条线段之和最短，在直角三角形中借助勾股定理表示出斜边的长．求AC＋CE的最小值的问题，如果从代数式中来求解，难度太大，不妨观察图形，将其转化为“两点之间线段最短”问题．【解答】(2)当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小．(3)如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C．AE的长即为代数过点A 作AF ∥BD 交ED 的延长线于点F ，得矩形ABDF ，则AB ＝DF ＝2，AF ＝BD＝8．所以AE 1313．【失分点】利用勾股定理，错点．【反思】本题由勾股定理得出线段的长，并用二次根式表示，结合图形发现AC ＋CE 的最小值即是线段AE 的长．比较困难的是第(3)问，类比第(1)问的代数式，画出图形，求出线段的长．运用了数形结合思想．【牛刀小试】1．如图3，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB ＝DC ，AD ＝2，BC ＝4，延长BC 到E ，使CE ＝AD ．(1)写出图中所有与△DCE 全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由．(2)探究当等腰梯形ABCD 的高DF 是多少时，对角线AC 与BD 互相垂直？请回答并说明理由．2．（2010随州）已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)顶点为C(1，1)，且过原点O ．过抛物线上一点P(x ，y )向直线y ＝54作垂线，垂足为M ，连接FM(如图4)． (1)求字母a ，b ，c 的值． (2)在直线x ＝1上有一点F （1，34），求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形．二、策略开放与探索策略开放性问题，一般指解题方法不唯一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于突破常规，积极发散思维，优化解题方案和过程，【题2】 (2011德州)●观察计算当a ＝5，b ＝3时，2a b +与_______．当a ＝4，b ＝4时，2a b +与_______． ●探究证明如图5所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝a ．BD ＝b ．(1)分别用a 、b 表示线段OC ，CD ；(2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b +_______． ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．【思路】 (2)利用△ACD ∽△CBD ，对应边成比例计算CD ．【解答】●观察计算：2a b +2a b + ●探究证明：(1)∵AB ＝AD ＋BD ＝20C ，∴OC ＝2a b + ∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠A ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ．∴△ACD ∽△CBD ．∴AD CD CD BD=，即CD 2＝AD ·BD ＝ab ，∴CD(2)当a ＝b 时，OC ＝CD ，2a b +a ≠b 时，OC>CD ，2a b +●结论归纳：2a b +●实践应用设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x米，设镜框周长为x 米，则124l x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭． 当x ＝1x，即x ＝1（米）时，镜框周长最小． 此时四边形为正方形时，周长最小为4米，【失分点】 不能直接利用射影定理得到CD 2＝AD ·BD ＝ab ．【反思】本题的实质是把相关代数式转化为(a －b )2，利用非负数的性质求解，即()20a b -≥．【题3】用厚纸剪四个大小与形状完全相同的直角三角形，形状如图6所示，然后拼拼摆摆（不能重叠），使得组成的图形中有正方形．请尽量多设计几个符合要求的不同的图形，并说明在哪种情况下正方形的面积最大．【思路】按要求动手剪四个这样的直角三角形，拼一拼，美丽的图形就诞 生了，再考虑面积．注意正方形的面积是边长的平方．【解答】图7中各图均符合要求，其中图7(3)中外围正方形的面积最大，边长为直角三角形的两条直角边之和．【失分点】最大的正方形边长为直角三角形两直角边的和，而不是斜边．【反思】图形的设计注意设计的要求，一定要出现正方形，要想面积最大，就要使正方形的边长尽可能地大．【牛刀小试】3．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2－5x ＋6＝0．(1)请用文字语言概括你的发现：______________________________________________________________________(2)一般地，对于关于x 的方程x 2＋p x ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝_______，x 1x 2＝_______(3)运用以上发现，解决下面的问题：①已知一元二次方程x 2－2x －7＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )．A ．－2B ．2C ．－7D ．7②已知x 1，x 2是方程2x 2－x －3＝0的两根，试求(1＋x 1)(1＋x 2)和2212x x 的值．三、结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力．【题4】在一块长16 m ，宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．(2)你还有其他的设计方案吗？请画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．【思路】在小芳的设计方案中，可以求出四周的面积是否占总面积的一半．当然本题要用方程的思想说明理由，因此，我们不妨假设四周面积已经占总面积的一半，建立方程，求出四周小路的宽度，与条件中的1m 进行比较，【解答】(1)不符合．设小路宽度均为x m ，根据题意得()()116212216122x x --=⨯⨯， 解这个方程得x 1＝2，x 2＝12．但x 2＝12不符合题意，应舍去，∴x ＝2．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m ．(2)答案不唯一．例如：【失分点】设计的图形中未标明数据或作必要的说明．【反思】数学来源于生活又服务于生活，数学学习中应更多地培养应用数学的观念．本题图形的方案设计具有较大的开放性，应根据设计要求，合理想象，对于求解过程有简有繁，在此设计中抓住“花园所占面积为荒地面积的一半”，可以有许多美妙设计，图11是部分设计．上述设计的图案中有的不需要解方程，只须利用几何图形的对称性质．【题5】张明、王成两位同学八年级10次数学单元自我检测的成绩（成绩均为整数，且个位数为0）分别如图12所示：(1)根据上图中提供的数据填写下表：(2)如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的同学是_______．(3)根据图表信息，请你对这两位同学各提一条不超过20个字的学习建议．【思路】这是一道统计计算题，从图中获取有关信息，计算表中所需补充的统计量，同时会从图中把握识别优秀学生的标准，并对两同学提出合理化建议．可由样本平均数公式、方差公式直接代入数据求出，在平均数相同的条件下，可利用方差判断“优生”问题，方差越小，波动越小，成绩就稳定．【解答】(1)根据样本平均数、方差公式、中位数、众数的定义可以求出，张明的成绩从低到高排列为：70，70，70，80，80，80，80，90，90，90，从而张明的中位数为80．王成同学的平均成绩也为80分，中位数为85，众数为90．(2)若将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则10次单元自我检测成绩中，张明同学仅有3次成绩达到优秀，而王成同学有5次成绩达到优秀．因此，优秀率高的同学应是王成．(3)尽管王成同学的优秀率高，但他的成绩不稳定（方差大）．而张明同学虽然优秀率比不上王成同学，但他的考试成绩相对稳定．根据两同学10次检测的成绩看，发现他们各有所长，也各有所短，我认为王成的学习要持之以恒，保持稳定，张明同学的学习还需加一把劲，提高优秀率．【失分点】成绩优秀的应包括90分．【反思】通过这个问题的解答，我们深刻地体会到，并不是像很多同学认为的，方差越小就越好，应该具体问题具体分析．【题6】（2010临沂）如图13 (1)，已知矩形ABCD，点C是边DE的中点，且AB ＝2AD．(1)判断△ABC的形状，并说明理由．(2)保持图(1)中的△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图13 (2)中的位置（垂线段AD，BE在直线MN的同侧）．试探究线段AD，BE，DE长度之间有什么关系，并给予证明．(3)保持图13(2)中的△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图13 (3)中的位置（垂线段AD，BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD，BE，DE长度之间有什么关系，并给予证明．【思路】通过观察和分析条件，很容易找到图中全等的三角形，从而引导我们去发现线段AD，BE，DE之间的数量关系．【解答】(1)△ABC是等腰直角三角形．【失分点】判断△ABC 的形状要从边（是否相等，有几条边等）和角（是否有直角）两方面．容易因考虑不全面而失分．【反思】在解决新问题时，我们要学会从已经解决的问题中总结解决问题的方法和规律．【题7】正方形ABCD 与正方形CEFG 的位置如图15所示，点G 在线段CD 或CD 的延长线上．分别连接BD ，BF ，FD ，得到△BF D ．(1)在图15①～③中，若正方形CEFG 的边长分别为1，3，4，且正方形ABCD 的边长均为3，请通过计算填写下表：(2)若正方形CEFG 的边长为a ，正方形ABCD 的边长为b ，猜想S △BFD 的大小，并结合图15③说明你的猜想．【思路】(1)三角形的面积可以通过S △BFD ＝S △BCD ＋S 梯形CEFD －S △BEF 来求，利用这种特殊到一般的关系得到一般规律．(2)连接CF ，由正方形性质可知∠DBC ＝∠FCE ＝45°，∴BD ∥CF ．∴△BFD 与△BCD 的BD 边上的高相等．∴S △BFD ＝S △BCD ＝12b 2．也可根据关系式S △BFD ＝S △BCD ＋S 梯形CEFD －S △BEF 来求得S △BFD 的大小．【解答】(1)(2)猜想S △BFD ＝12b 2【失分点】 由(1)的结论，猜出S △BFD 的大小不变，但不能猜到是12b 2． 【反思】本题是综合考查几何说明推理能力的题目，要求能从复杂的图形背景中找到与所求的三角形有关的其他图形之间的关系，同时利用正方形、三角形的有关性质得出结论，同时本题是一题多解的题目，可以很好地考查思维的多样性和深刻性．【题8】张师傅在铺地板时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图17(1)．然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图17 (2)，中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分）．假设长方形的长为y ，宽为x ，且y >x ．(1)请你求出图17(1)中y 与x 的函数关系式．(2)求出图17(2)中y 与x 的函数关系式．(3)在图17(3)中作出两个函数的图象，写出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义．(4)根据以上讨论完成下表，观察x 与y 的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼出类似图(1)和图(2)的图形？说出你的理由．【思路】图17 (1)和图17 (2)暗示了对边相等或者整体面积等于部分面积之和．“对边相等”或者“整体面积等于部分面积之和”均蕴含等量关系，可列方程，“能否拼出类似图(1)和图(2)的图形”要看能否满足相应的函数关系式．(3)交点坐标为(3，5)．实际意义解答不唯一．如：①瓷砖的长为5，宽为3时，能围成图17(1)，图17(2)的图形，②当瓷砖的长为5，宽为3时，围成图17(2)的正方形中的小正方形边长为1．(4)能否拼图，请同学们自行验证．【失分点】通过分析，得出长方形的长与宽满足的函数关系y＝53 x．【反思】读出图示信息，把实际问题转换成数学问题，是解题的关键，【题9=a>b>0，是否存在满足此式的整数对(a，b)?若存在这样的整数对，请求出来．故存在满足该条件的整数对，它们分别是(656，369)，(1025，164)，(1476，41)．【失分点】只是通过试探，找到一两个满足条件的数对，而不能找出全部．【反思】探究存在性型问题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在的问题，它有结论存在和结论不存在两种情形．解答这类问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出矛盾，则否定先前假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论．【题10】如图18，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ＝5，AD ＝4，BC ＝10．点E 在下底边BC 上，点F 在腰AB 上．(1)若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积．(2)是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由．(3)是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由．【思路】 分别过点A 作AK ⊥BC 于点K ，过点F 作FG ⊥BC 于点G （图19），由勾股定理得到AK ＝4，而△BGF ∽△BKA ，得GF BF KA BA =，进而求得FG ＝125x-×4，最终求得△BEF 的面积．【解答】(1)由已知条件易得，梯形周长为24，高为4，面积为28． 过点F 作FG ⊥BC 于G ，过点A 作AK ⊥BC 于K ．则可得，FG ＝125x-×4． 所以S △BEF ＝12BE ·FG ＝222455x x -+ (7≤x ≤10)． (2)存在． 由(1)得222455x x -+＝14，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝5（不合题意，舍去），所以存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE ＝7． (3)不存在，假设存在，显然有S △BEF ：S 多边形AFECD ＝1：2，(BE ＋BF)：(AF ＋AD ＋DC) ＝1：2．则有221628553x x -+=，整理．得3x 2－24x ＋70＝0，此时的求根公式中的b 2－4a c ＝576－840<0，所以不存在这样的实数x ．即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分．【失分点】想不到把“能否”分的问题转化为方程是否有解的问题．【反思】对于存在型问题，可根据题意，先假定所要求的结果存在，再结合相关性质予以推算论证．如能推得结果且符合题意，则假设成立，结果存在；否则，则所要求的结果不存在．求解本题时应注意：一是要能正确确定x 的取值范围；二是在求得x 2＝5时，并不满足7≤x ≤10，应舍去；三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性．【牛刀小试】4．（2011徐州）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝a cm ，∠B ＝30°，动点P 以1 cm/s 的速度从点B 出发，沿折线B －A －C 运动到点C 时停止运动．设点P 出发x s 时，△PBC 的面积为y cm 2．已知y 和x 的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：(1)试判断△DOE 的形状，并说明理由； (2)当口为何值时，△DOE 和△ABC 相似？5．（2010黄冈）如图21．一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边所在的直线重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由．6．如图22，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为(－6，－4)．(1)画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°得到的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ，点N 的对应点为B ，点H 的对应点为C ）． (2)求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．(3)截取CE ＝OF ＝AG ＝m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．面积S 是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．(4)在(3)的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况？若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．7．（2010福州）如图23(1)，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16x 2＋bx ＋c 过O ，A 两点．(1)求该抛物线的解析式．(2)若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由．(3)如图23(2)．在(2)的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆，过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点（点P与点C不重合）．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．解题策略应该说，“背题型”、“记套路”的方式并不适合于开放探究类试题的学习．此类题的解答要注意“三断”：判断——判断解题方向，推断——合情、逻辑两种推理，果断——大胆放弃、当转则转；解题的三想：回想、联想、猜想，及化静为动、转换角度、逆向思维、数形结合、分类讨论、问题分解，等等．参考答案1．(1)△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE．(2)DF＝32．(1)a＝－1，b＝2，c＝0．(2)略3．填表略．(1)两根之和，等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商．(2)－p，q．(3)B，0，13 44．(1)△DOE是等腰三角形．5．AE＝EF．6．(1)利用中心对称性质，画出梯形OABC．A(0，4)，B(6，4)，C(8，0)．(2)y＝－14x2＋32x＋4．(3)S＝m2－8m＋28(0<m<4)．不存在(4)当m＝2时，BE＝BG．7．(1)y＝16x2－56x (2)在该抛物线上．(3)O1P的解析式为y＝－43253+点Q。

第27讲开放与探究考点•方法•破译⒈中考对开放与探究的考察旨在检测学生的开放与探究能力．教师应重视学生的发散思维各归纳、猜想及推理能力；⒉开放与探究类中考考题主要有：规律探究、条件探究、几何关系探究、特殊——一般结论的论证探究；经典•考题•赏析【例1】一组按一定规律排列的式子：－a2,5811,,234a a a-…，（a≠0）则第n个式子是（n为正整数）．【解法指导】探求代数规律一定要先转化为同类，再从每部分去找规律．本题先要将第1个式子化为分数形式：－21a．每一个式子都满足①分母就是个数；②符号奇为负、偶为正；③分子是以a为底，个数的3倍少1为指数的幂．则第n个式子可表示为（－1）n•31nan-．【变式题组】⒈观察下列一组数：1357,,,,2468…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数的第k个数是．⒉观察下面的一列单项式：x，－2x2，4x3，－8x4，…根据你发现的规律，第7个单项式为；第n个单项式为．⒊图是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s＝（用n的代数式表示s）n＝1 n＝2 n＝3⒋为了求1+22+23+…+22008，可令Ｓ＝1+22+23+…+22008，则2S ＝22+23+24…+22009，因此2S －S ＝22009－1，所以1+22+23+…+22008＝22009－1仿照以上推理计算出1+52+53+…+52009的值是（ ）A ．52009－1B ．52010－1C ．52009＋1D ．2010514－【例2】观察下列各式：111(1)1323=-⨯，1111()35235=-⨯，1111()57257=-⨯，…，根据观察计算：()111113355721(21)n n ++++⨯⨯⨯-+…＝ ．（n 为正整数） 【解法指导】本题先要探求第n 个式子与n 的关系．左边是算式最后一项()121(21)n n -+，右边是12与左边拆开式子112121n n --+之积．即第n 个等式为()121(21)n n -+＝12（112121n n --+）． 则()111113355721(21)n n ++++⨯⨯⨯-+…＝11(1)23-+111()235-+…+111()22121n n --+＝11242n -+【变式题组】 ⒌已知a n =21(1)n + (n =1,2,3,...)，记b 1=2(1-a 1),b 2=2(1-a 1)(1-a 2),...，b n =2(1-a 1)(1-a 2) (1)a n ）,则通过计算推测出b n = ．（用含n 的代数式表示） ⒍观察下列等式：1×12＝1－12，2×23＝2－23，3×34＝3－34，… ⑴猜想并写出第n 个等式；⑵证明你写出的等式的正确．【例3】如下图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．【解法指导】本题先要审请题意，从第2幅图开始每个图中菱形有大、小两类．再探究大菱形个数为n ,小菱形个数为n －1．所以第n 幅图中有（2n －1）个．本题答案为：7，2n －1．【变式题组】⒎如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．⒏观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个．⒐如图，菱形ABCD 的对角线长分别为a 、b ,以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1,然后再以矩形A 1B 1C 1D 1各边的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2,…，如此下去．则得到四边形A 2009B 2009C 2009D 2009的面积为含a 、b 的代数式表示为 ．……第1幅第2幅第3幅第n 幅第1个图形第2个图形 第3个图形第4个图形第1个 第2个 第3个⒑如图，边长为1的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，连结对角线，以AC 为边作第二个菱形ACC 1D 1,使∠D 1AC ＝60°；连结AC 1,再以AC 1为边作第三个菱形AC 1C 2D 2,使∠D 2AC 1＝60°；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为 ．【例4】观察数表，根据表中数的排列规律，则字母A 所表示的数是 ．【解法指导】本题找规律要从三个方面入手：①符号；②数字；③与相邻数的关系．每行从左到右数奇数个为正，偶数个为负；绝对值等于上一行左右最接近的两数绝对值之和．则字母A 所表示的数是－10．【变式题组】⒒正整数按图的规律排列．请写出第20行、第21列的数字是 ．⒓将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ） A ．（11，3） B ．（3，11） C ．（11，9） D ．（9，11）第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 2 5 10 17 ……第二行 4 3 6 1118 ……第三行 9 8 7 12 19 ……第四行 16 15 14 13 20 ……第五行 25 24 23 22 21 …… ……第11题图13 2456 10 9 87 ……第一排……第二排 ……第三排 ……第四排 第12题图 第9题图第10题图1 1－1 1 －2 1 1 －3 3 －1 1 －4 6 －4 11 －5 10 A 5 －1 1 －6 15 －20 15 －6 1例4图【例5】已知：如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，点P 是腰DC 上的一个动点（P 与D 、C 不重合），点E 、F 、G 分别是线段BC 、PC 、BP 的中点．⑴试探索四边形EFPG 的形状，并说明理由；⑵若∠A ＝120°，AD ＝2，DC ＝4，当PC 为何值时，四边形EFPG 是矩形？并加以说明．【解法指导】解：⑴四边形EFPG 是平行四边形．理由：∵点E 、F 分别是BC 、PC 的中点，∴EF ∥BP ．同理可证EG ∥PC ，∴四边形EFPG 是平行四边形． ⑵方法一：当PC ＝3时，四边形EFPG 是矩形．证明:延长BA 、CD 交于点M ．∵AD ∥BC ，AB ＝CD ，∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝∠C ＝60°．∴∠M ＝60°．∴△BCM 是等边三角形．∵∠MAD ＝180°－120°＝60°，∴AD ＝DM ＝2．∴CM ＝DM ＋CD ＝2＋4＝6．∵PC ＝3，∴MP ＝3，∴MP＝PC ，∴BP ⊥CM ，即∠BPC ＝90°．∵AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°．∵AB ＝CD ，∴∠C ＝∠ABC ＝60°．∴∠PBC ＝30°且△BCM 是等边三角形．∴∠ABP ＝∠PBC ＝30°，∴PC ＝PM ＝21CM ． 同方法一，可得CM ＝DM ＋CD ＝2＋4＝6，PC ＝6×21＝3．即当PC ＝3时，四边形EFPG 是矩形．【变式题组】⒔如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AC ＝20，两条对角线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形OBB 1C ，对角线相交于点A 1，再心A 1B 1、A 1C 为边作第2个平行四边形A 1B 1C 1C ，对角线相交于点O 1；再以O 1B 1、O 1C 1为邻边作第3个平行四边形O 1B 1B 2C 1…依次类推．⑴求矩形ABCD 的面积；⑵求第1个平行四边形OBB 1C 、第2个平行四边形A 1B 1C 1C 和第6个平行四边形的面积．1 22⒕已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），易证S △DEF ＋S △CEF ＝21S △ABC ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【例6】如图①，四边形 ABCD 是正方形,点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ,BF ⊥AG 于点F ．⑴求证：DE －BF ＝EF ．⑵当点G 为BC 中点时，试探究线段EF 与GF 之间的数量关系，并说明理由．⑶若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变，请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．【解法指导】本题是结论探究题，①、②两个图形中的结论可能变化，但全等、相似的结论不变．⑴证明：∵四边形ABCD 是正方形，BF ⊥AG ，DE ⊥AG ，∴DA ＝AB ,∠BAF ＋∠DAE ＝∠DAE ＋∠ADE ＝90°，∴∠BAF ＝∠ADE ,∴△ABF ≌△DAE ∴BF ＝AE ,AF ＝DE ∴DE －BF ＝AF －AE ＝EF ⑵EF ＝2FG 理由如下：∵AB ⊥BC ,BF ⊥AG ,AB ＝2BG ∴△AFB ∽△ABG ∴FGBFBF AF BF AB ===2 ∴AF ＝2BF ，BF ＝2FG 由⑴知，AE ＝BF ,∴EF ＝BF ＝2FG ⑶如图，DE ＋BF ＝EF 【变式题组】⒖四边形ABCD 是正方形，⑴如图1，点G 是BC 边上任意一点（不与B 、C 两点重合），连接AG ，作BF ⊥AG 于点F ，DE ⊥AG 于点E ．求证：△ABF ≌△DAE ；⑵在⑴中，线段EF 与AF 、BF 的等量关系是 （直接写出结论即可，不需要证明）； ⑶如图2，点G 是CD 边上任意一点（不与C 、D两点重合），连接AG ，作BF ⊥AG 于点F ，DE ⊥AG 于点E ，那么图中全等三角形是 ，线段EF 与AF 、BF的等量关系是 （直接写出结论即可，不需要证明）．图1 图2B① ②图1 图2演练巩固•反馈提高⒈观察下列等式： ⒈42－12＝3×5； ⒉52－22＝3×7； ⒊62－32＝3×9； ⒋72－42＝3×11； ……则第n （n 是正整数）个等式为 ．⒉如图，已知Rt △ABC ，D 1是斜边AB 的中点，过D1作D 1E 1⊥AC 于E 1,连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2,连结BE 2交CD 1于D 3;过D 3作D 3E ，…，如此继续，可以依次得到点D 4,D 5,…D n ，分别记△BD 1E 1,△BD 2E 2,△BD 3E 3,…△BD n E n 的面积分别为S 1,S 2,S 3,…S n ．则S n ＝ S △ABC （用含n 的代数式表示）．⒊如图，网格中的每个四边形都是菱形，如果格点三角形ABC 的面积为S ，按照如图所示方式得到的格点三角形A 1B 1C 1的面积是7S ，格点三角形A 2B 2C 2的面积是19S ，那么格点三角形A 3B 3C 3的面积为 ．⒋如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为21的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的21）后，得图③，④，…，记第n （n ≥3）块纸板的周长为P n ，则P n －P n-1＝ ．① ② ③ ④…1第2题图 3B 3B 2B 1B A 3A 2A 1AC C 1 C 2 C 3第3题图⒌将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第二个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第6个图形有 个小圆．⒍已知：等边△ABC 的边长为a ，探究⑴：如图1，过等边△ABC 的顶点A 、B 、C 依次作AB 、BC 、CA 的垂线围成△MNG ，求证：△MNG 是等边三角形且MN ＝3a ；探究⑵：在等边△ABC 内取一点O ，过点O 分别作OD ⊥AB 、OE ⊥BC 、OF ⊥CA ，垂足分别为点D 、E 、F ．① 如图2，若点O 是△ABC 的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．OD ＋OE ＋OF ＝23a ；结论2．AD ＋BE ＋CF ＝a 23；② 如图3，若点O 是等边△ABC 内任意一点，则上述结论1、2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形NC(图1) (图2) (图3) (图4)⒎如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则∠BME ＝∠CNE (不需证明)．（温馨提示：在图1中，连结BD ，取BD 的中点H ,连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理，证明HE ＝HF ，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME ＝∠CNE ．）问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF ，分别交DC 、AB 于点M 、N ，判断△OMN 的形状，请直接写出结论； 问题二：如图3，在△ABC 中，AC ＞AB ，D 点在AC 上，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长．与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC ＝60°，连结GD ，判断△AGD 的形状并证明．E D N M AF H FA C EB DG AD CE F培优升级•奥赛检测⒈已知：等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，如图1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连结AD，则有AD∥BC，⑴若将等腰Rt△ABC改为正△ABC，如图2所示，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连结AD．上述结论还成立吗？答（成立或者AD∥BC）⑵若△ABC为任意等腰三角形，AB＝AC，如图3,E为AB上任一点，△DEC∽△ABC，连结AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答：（AD∥BC）⑶请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明．图1 图2图3⒉在图（1）至图（3）中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF 和CDHN都是正方形，AE的中点是M．⑴如图（1），点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM ＝MH，FM⊥MH;⑵将图（1）中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图（2），求证：△FMH是等腰直角三角形；⑶将图（2）中的CE缩短到图（3）的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）E⒊如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝21BD ，EN ＝21CE ，得到图③，请解答下列问题： ⑴若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是 ； ③ 在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想； ⑵若AB ＝k •AC （k ＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．①②③④⒋已知∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝3,AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足ABADPC PQ （如图1所示）． ⑴当AD ＝2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长； ⑵在图1中，连结AP ．当AD ＝23时，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，PBCAPQ S S △△＝y,其中S △APQ 表示△APQ 的面积，S △PBC 表示△PBC 的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；⑶当AD ＜AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小．图2BC PD A Q C PD A B(Q) Q BA DP C图1 图3⒌如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：⑴如果AB＝AC，∠BAC＝90°,①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．②当点D在线段BC延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？⑵如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．⑶若AC＝42，BC＝3，在⑵的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．图甲图乙图丙⒍已知AB ＝AC ，DB ＝DE ，∠BAC ＝∠BDE ＝α．⑴若α＝60°（如图1）探究线段AD 与CE 的数量关系，并加以证明； ⑵若α＝120°，并且点D 在线段AB 上，（如图2）则线段AD 与CE 的数量关系为 （直接写出答案）；⑶探究线段AD 与CE 的数量关系（如图3），并加以证明．⒎（武汉）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝nAC ，CD ⊥AB 于点D ，点P 是AB 边上一动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ．⑴若n ＝2，则BFCE＝ ； ⑵当n ＝3时，连EF 、DF ，求DFEF的值； ⑶当n ＝ 时，332 DF EF (直接写出结果，不需证明)．B图1图2图3CE BDAADE CBADC⒏如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ,点O 是AC 边上一点，连接OB 交AD 于F ，OE ⊥OB 交BC 边于点E ．⑴求证：△ABF ∽△COE ;⑵当O 为AC 边中点，AB AC ＝2时，如图2，求OE OF的值； ⑶当O 为AC 边中点，AB AC ＝n 时，请直接写出OEOF的值．图1图2⒐已知：△ABC 的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ．⑴如图1，若△ABC 为锐角三角形，且∠ABC ＝45°，过点F 作FG ∥BC ，交直线AB 于点G ，求证：FG ＋DC ＝AD ；⑵如图2，若∠ABC ＝135°，过点F 作FG ∥BC ，交直线AB 于点G ，则FG 、DC 、AD 之间满足的数量关系是 ；⑶在⑵的条件下，若AG ＝25，DC ＝3，将一个45°角的顶点与点B 重合并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于M 、N 两点（如图3），连接CF ，线段CF 分别与线段BM 、线段BN 相交于P 、Q 两点，若NG ＝23，求线段PQ 的长．图2图1图3⒑已知Rt△ABC中，AB＝AC，在Rt△ADE中，AD＝DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM,⑴若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM＝DM且BM⊥DM；⑵如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．、①②⒒如图甲，在平面直角坐标第中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF ＝90°，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）． ⑴若m =n 时，如图乙，求证：EF ＝AE ；⑵若m ≠n 时，如图丙，试问边OB 上是否存在点E ，使得EF ＝AE ?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；⑶若m =tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF ＝（t ＋1）AE 成立？并求出点E 的坐标．甲乙⒓如图，在△ABC 和△PQD 中，AC ＝kBC ，DP ＝kDQ ，∠C ＝∠PDQ ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，点P 在直线BC 上，连结EQ 交PC 于点H ．猜想线段EH 与AC 的数量关系，并证明你的猜想．HCEADPB。

中考数学复习专题第二讲开放探究型问题【要点梳理】开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．【学法指导】三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．【考点解析】条件开放型问题（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．（ 5分）理由：∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．结论开放型问题（2017广西河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE ⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB=BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AB=BC．存在开放型问题（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．综合开放型问题（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E 是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，，∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．【真题训练】训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．参考答案：训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【考点】L9：菱形的判定；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=√3OA，OD=√3OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=√3AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，{AO=BO∠AOC′=∠BOD′OC′=OD′，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=√3AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=√3OA，OD=√3OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴OBOA =OD′OC′=√3，∴△AOC′∽△BOD′，∴BD′AC′=OBOA=√3，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=√3AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．。

2012中考冲刺班辅导资料专题三----探索、开放、创新型试题1、【专题精讲】近年来全国各地中考试题中频频出现探索型问题，这类问题由于没有明确的结论，要求考生通过自己的观察、联想、分析、比较、归纳、概括来发现解题条件或结论或结论成立的条件，因而对考生的能力要求较高。

开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。

观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力重要的内容，学习中应重视并应用.探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．一. 常见的问题的类型：1. 条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。

2. 结论探索型——给定条件，但无明确结论或结论不惟一。

3. 存在探索型——在一定条件下，需探索发现某种数学关系是否存在。

4. 规律探索型——发现数学对象所具有的规律性与不变性的题目。

二. 常用的解题切入点：由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．2、【典例精析】中考探索性试题的几种类型探索性问题的试题是指给出一列数、一列等式、一列图形的前几项，然后让我们通过归纳加工、猜想，推出一般的结论，或者是给出一个图形，要求我们探索图形成立的条件、变化图形的不变的规律性。

中考数学二轮复习考点解密开放探索性问题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1：（2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．解：若四边形ABCD的对角线相等，则由AB=DC，AD=BC可得．△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等．评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2：（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为．分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵一次函数的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3：（2010•玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：先连接BE，再过D作DF∥BE交BC于F，可构造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=BC，等量减等量差相等，可证AE=CF，利用SAS可证三角形全等．解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE 与△CDF．理由：∵平行四边形ABCD，AE=ED，∴在△ABE与△CDF中，AB=CD，∠EAB=∠FCD，又∵DE∥BF，DF∥BE，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE=BF ，又AD=BC ，∴AD ﹣DE=BC ﹣BF ，即AE=CF ，∴△ABE ≌△CDF ．（答案不唯一，也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程． 分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x 元，则2班人均捐款（x +4）元，根据题意得1800x ·90%=1800x +4解得x =36 经检验x =36是原方程的根∴x +4=40答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？设1班有x 人，则根据题意得1800x+4=180090x%解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根∴90x % =45答：1班有50人，2班有45人．评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．（二）探究型问题考点五：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目．例5：（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求错误！未找到引用源。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题58：开放探究型问题一、选择题二、填空题1. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=2x+6-的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是▲ （只写出符合条件的一个即可）．【答案】5yx=（答案不唯一）。

【考点】开放型问题，反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】设反比例函数的解析式为：kyx=，联立y=2x+6-和kyx=，得k2x+6x-=，即22x6x+k0-=∵一次函数y=2x+6-与反比例函数kyx=图象无公共点，∴△＜0，即268k0< --（），解得k＞9 2。

∴只要选择一个大于92的k值即可。

如k=5，这个反比例函数的表达式是5yx=（答案不唯一）。

2. （2012广东湛江4分）请写出一个二元一次方程组▲ ，使它的解是x=2y=1⎧⎨-⎩．【答案】x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。

【考点】二元一次方程的解。

【分析】根据二元一次方程解的定义，围绕x=2y=1⎧⎨-⎩列一组等式，例如：由x＋y=2＋（－1）=1得方程x＋y=1；由x－y=2－（－1）=3得方程x－y=3；由x＋2y=2＋2（－1）=0得方程x＋2y=0；由2x＋y=4＋（－1）=3得方程2x＋y=3；等等，任取两个组成方程组即可，如x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。

3. （2012广东梅州3分）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是▲ （写出符合题意的两个图形即可）【答案】正方形、菱形（答案不唯一）。

【考点】平行投影。

【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行。

所以，在同一时刻，这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形，例如，正方形、菱形（答案不唯一）。

4. （2012浙江衢州4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式▲ ．【答案】1y=x-（答案不唯一）。

2012年中考数学二轮复习考点解密探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定地条件或无明确地结论，需要经过推断，补充并加以证明地题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件地题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定地前提下，需探索发现某种数学关系是否存在地题目．探索型问题具有较强地综合性，因而解决此类问题用到了所学过地整个初中数学知识．经常用到地知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式地求法（图象及其性质）、直角三角形地性质、四边形（特殊）地性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形地某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题地主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识地复习，又要加强变式训练和数学思想方法地研究，切实提高分析问题、解决问题地能力．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图2－6－1，已知抛物线地顶点为A(O，1)，矩形CDEF地顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线地解析式；(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A地一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴地垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR地形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点地三角形和以点Q、R、M为顶点地三角形相似，若存在，请找出M点地位置；若不存在，请说明理由．⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2). 设抛物线地解析式为2y ax bx c =++． 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2).得1242242xa b c a b c=⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩解得1,0,14a b c ===∴此抛物线地解析式为2114y x =+方法二：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB ＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4. ∴C 点坐标为(一2，2).根据题意可设抛物线解析式为2y ax c =+. 其过点A(0，1)和C(-2．2)124c a c=⎧⎨=+⎩解得1,14a c == 此抛物线解析式为2114y x =+(2)解：①过点B 作BN BS ⊥，垂足为N ．∵P 点在抛物线y=214x +l 上．可设P 点坐标为21(,1)4a a +．∴PS ＝2114a +，OB ＝NS ＝2，BN＝a .∴PN=PS —NS=2114a -在Rt PNB 中．PB 2＝222222211(1)(1)44PN BN a a a +=-+=+∴PB ＝PS ＝2114a +②根据①同理可知BQ ＝QR. ∴12∠=∠， 又∵13∠=∠， ∴23∠=∠，同理∠SBP ＝∠B ∴2523180∠+∠=︒∴5390∠+∠=︒∴90SBR ∠=︒. ∴△SBR 为直角三角形． ③方法一：设,PS b QR c ==，∵由①知PS ＝PB ＝b ．QR QB c ==，PQ b c =+.∴222()()SR b c b c =+--∴SR =假设存在点M ．且MS ＝x ，别MR＝x .若使△PSM ∽△MRQ ，则有b x=即20x bc -+=∴12x x =∴SR ＝∴M 为SR 地中点. 若使△PSM ∽△QRM ，则有b x =.∴x =.∴1MR x c QB ROMS x b BP OS ==-===. ∴M 点即为原点O.综上所述，当点M 为SR 地中点时．∆PSM ∽ΔMRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽∆MRQ ．方法二：若以P 、S 、M 为顶点地三角形与以Q 、M 、R 为顶点三角形相似， ∵90PSM MRQ ∠=∠=︒，∴有∆PSM ∽∆MRQ 和∆PSM ∽△QRM 两种情况.当∆PSM ∽∆MRQ 时．∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM ． 由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR ＝90°.∴90PMQ ∠=︒. 取PQ 中点为N ．连结MN ．则MN ＝12PQ=1()2QR PS +．∴MN 为直角梯形SRQP 地中位线,∴点M 为SR 地中点当△PSM ∽△QRM 时，RM QR QBMS PS BP ==.又RM RO MS OS=，即M 点与O 点重合.∴点M 为原点O.综上所述，当点M 为SR 地中点时，∆PSM ∽△MRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽△QRM.点拨：通过对图形地观察可以看出C 、F 是一对关于y 轴地对称点，所以（1）地关键是求出其中一个点地坐标就可以应用三点式或 y=ax 2+c 型即可．而对于点 P 既然在抛物线上，所以就可以得到它地坐标为（a ，14 a 2+1）．这样再过点B 作BN ⊥PS ．得出地几何图形求出PB 、PS 地大小．最后一问地关键是要找出△PSM 与△MRQ 相似地条件．【例2】探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点．（1）请写出图2－6－4中，面积相等地各对三角形；（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有________与△ABC 地面积相等．理由是：_________________.解决问题：如图 2－6－5所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包地一块土地地示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示地形状，但承包土地与开垦荒地地分界小路（2－6－6中折线CDE ）还保留着；张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边地土地面积与承包时地一样多，右边地土地面积与开垦地荒地面积一样多．请你用有关地几何知识，按张大爷地要求设计出修路方案（不计分界小路与直路地占地面积）．（1）写出设计方案．并画出相应地图形； （2）说明方案设计理由．解：探究规律：（l ）△ABC 和△ABP ，△AOC 和△ BOP 、△CPA 和△CPB ．（2）△ABP ；因为平行线间地距离相等，所以无论点P 在m 上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们地面积总相等．解决问题：⑴画法如图2－6－7所示．连接EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连接EF，EF即为所求直路位置．⑵设EF交CD于点H，由上面得到地结论可知：SΔECF=SΔECD，SΔHCF=SΔEDH，所以S五边形ABCDE=S五边形ABCFE，S五边形EDCMN=S四边形EFMN．点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边地问题要用前边地结论去一做，所以要连接EC，过D作DF∥EC，再运用同底等高地三角形地面积相等．【例3】如图2－6－8所示，已知抛物线地顶点为M（2，－4），且过点A(－1,5)，连结AM交x轴于点B．⑴求这条抛物线地解析式；⑵求点B地坐标；⑶设点P（x，y）是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上地动点，连结PO，以P为顶点、PQ为腰地等腰三角形地另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴地垂线交直线AM于点R，连结PR．设面PQR地面积为S．求S与x之间地函数解析式；⑷在上述动点P（x，y）中，是否存在使SΔPQR=2地点？若存在，求点P地坐标；若不存在，说明理由．解：（1）因为抛物线地顶点为M（2，－4）所以可设抛物线地解析式为y=（x－2）2－4．因为这条抛物线过点A（－1，5）所以5=a(－1－2)2－4．解得a=1．所以所求抛物线地解析式为y=（x—2）2－4（2）设直线AM地解析式为y=kx+ b．因为A（－1，5）, M（2，－4）所以524k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得k=－3，b=2．所以直线AM地解析式为y=3x＋2．当y=0时，得x= 23，即AM与x轴地交点B（23,0）（3）显然，抛物线y=x2－4x过原点(0，0〕当动点P （x ，y ）使△POQ 是以P 为顶点、PO 为腰且另一顶点Q 在x 轴上地等腰三角形时，由对称性有点 Q （2x ，0）因为动点P 在x 轴下方、顶点M 左方，所以0＜x ＜2．因为当点Q 与B （23 ，0）重合时，△PQR 不存在，所以x ≠13 ，所以动点P （x ，y ）应满足条件为0＜x ＜2且x ≠13 ，因为QR 与x 轴垂直且与直线AM 交于点R ， 所以R 点地坐标为（2x ，－6x+2） 如图2－6－9所示，作P H ⊥OR 于H ， 则PH=|||2|,|62|Q P x x x x x QR x -=-==-+而S=△PQR 地面积=12 QR ·P H= 12 |62|x x -+下面分两种情形讨论：①当点Q 在点B 左方时，即0＜x ＜13 时，当R 在 x 轴上方，所以－6x ＋2＞0． 所以S=12（－6x ＋2）x=－3x 2+x ；②当点Q 在点B 右方时，即13 ＜x ＜2时点R 在x 轴下方，所以－6x ＋2＜0． 所以S=12 [－（－6x ＋2）]x=3x 2－x ；即S 与x 之间地函数解析式可表示为2213(0)313(2)3x x x S x x x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩（4）当S=2时，应有－3x 2+x =2，即3x 2－x+ 2=0，显然△＜0，此方程无解．或有3x 2－x =2，即3x 2－x －2=0，解得x 1 =1，x 2＝－23 当x=l 时，y= x 2－4x=－3，即抛物线上地点P （1，－3）可使S ΔPQR =2； 当x=－23＜0时，不符合条件，应舍去．所以存在动点P ，使S ΔPQR =2，此时P 点坐标为(1,－3)点拨：此题是一道综合性较强地探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中地点B是直线AM与x轴地交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线AM，从而得出与x轴地交点B．(3)问中注意地是Q点所处位置地不同得出地S与x 之间地关系也随之发生变化．（4）可以先假设存在从而得出结论．Ⅲ、综合巩固练习：（100分90分钟）观察图2－6－10中⑴）至⑸中小黑点地摆放规律，并按照这样地规律继续摆放．记第n个图中小黑点地个数为y．解答下列问题：⑴填下表：⑵当n=8时，y=___________；⑶根据上表中地数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图2－6－11地平面直角坐标系中描出相应地各点（n，y），其中1≤n≤5；⑷请你猜一猜上述各点会在某一函数地图象上吗？如果在某一函数地图象上，请写出该函数地解析式．2．（5分）图2－6－12是某同学在沙滩上用石子摆成地小房子．观察图形地变化规律，写出第n个小房子用了_____________块石子．3．(10分)已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB =90°，P是AB边上地动点（与点A、B不重合），Q是BC边上地动点（与点B、C不重合）．⑴如图2－6－13所示，当PQ∥A C，且Q为BC地中点时，求线段CP地长；⑵当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ地长地取值范围，若不可能，请说明理由．4．如图2－6－14所示，在直角坐标系中，以A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D（－1，l）为顶点地正方形，设正方形在直线：y=x及动直线l：y=－x+2a（－l≤a＜1）上方2部分地面积为S（例如当a取某个值时，S为图中阴影部分地面积），试分别求出当a=0，a=－1时，相应地S地值．5．（10分）如图2－6－15所示，DE是△ABC地中位线，∠B＝90○，AF∥B C．在射线A F 上是否存在点M，使△MEC与△A DE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由．6．如图2－6－16所示，在正方形ABCD中，AB=1，AC是以点B为圆心．AB长为半径地圆地一段弧点E是边AD上地任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆地切线，交边DC于点F石为切点．⑴当∠DEF＝45○时，求证点G为线段EF地中点；⑵设AE=x，FC=y，求y关于x地函数解析式；并写出函数地定义域；⑶图2－6－17所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，当EF=56时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（图2－6－18为备用图）7．（10分）取一张矩形地纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图2－6－19（1）所示；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上地对应点B′，得Rt△AB′E，如图2－6－19（2）所示；第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图2－6－19⑶所示；利用展开图2－6－19（4）所示探究：（l）△AEF是什么三角形？证明你地结论．（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．8．（10分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质地问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)，当实数a 变化时，它地顶点都在某条直线上；二是发现当实数a 变化时，若把抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)地顶点地横坐标减少1a，纵坐标增加1a ，得到A 点地坐标；若把顶点地横坐标增加1a ，纵坐标增加1a，得到B 点地坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)上．⑴请你协助探求出实数a 变化时，抛物线y=ax 2+2x+3(a ≠0)地顶点所在直线地解析式； ⑵问题⑴中地直线上有一个点不是该抛物线地顶点，你能找出它来吗？并说明理由；⑶在他们第二个发现地启发下，运用“一般→特殊→一般”地思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你地猜想表述出来吗？你地猜想能成立吗？若能成立，请说明理由.9．已知二次函数地图象过A （－3，0），B （1，0）两点．⑴当这个二次函数地图象又过点以0，3）时，求其解析式；⑵设⑴中所求M次函数图象地顶点为P，求SΔAPC：SΔABC地值；⑶如果二次函数图象地顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，SΔAMD：SΔABD地值确定吗？为什么？10．（13分）如图2－6－20所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC地垂直平分线DE，交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且A F＝CE．⑴求证：四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B地大小满足什么条件时，四边形A CEF是菱形？请回答并证明你地结论；⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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2 012年中考数学二轮复习考点解密开放探索性问题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类.开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题.这类试题已成为近年川考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中.根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类.探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题.根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类.二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的知识覆盖而较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以耍求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答.由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律.2.反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.3.分类讨论法.当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出止确结果.4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证.以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件.解这种开放问题的一般思路是：由己知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题FI的结论岀发，逆向追索，逐步探求.例1：（2011江苏淮安）在四边形A BCD中，AB=DC, AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 _______________ .（写出一种即可）分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ ABD竺△ABCBADC竺ABCD,进而得到，ZA=ZB=ZC=ZD=90。

2012年中考数学二轮复习考点解密探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．⑴解：方法一：∵B点坐标为(0，2)，∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。

设抛物线的解析式为2y ax bx c =++． 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。

专题八 探索性问题 近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素质教育”转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。

在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。

于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。

实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。

一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探索性问题。

此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。

探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。

猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其猜想的一般性结论。

它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。

其主要体现是解答数列中等与n有关数学问题。

存在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。

解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。

代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。

分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。

此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。