探索型问题一(开放性问题

初三数学专题复习---探索开放性问题知识要点：开放探索性问题可分为条件开放与探索问题、结论开放与探索问题、策略开放与探索问题.对于条件开放与探索问题,要善于从问题地结论出发,逆向追索,多途寻因；对于结论开放与探索问题,包括相应地结论地“存在性”问题,解决这类问题地关键是充分利用条件进行大胆而合理地推理、猜想,发现规律,得出结论,主要考查发散性思维和所学基础知识地应用能力；策略开放与探索问题,一般是指解题方法不唯一,或解题路径不明确,解答这类题要注意不能墨守成规,要善于标新立异,积极发散思维,优化解题方案和过程.注意：复习中要对各种题型进行针对性练习,优选各地中考试卷,强化训练.善于类比、联想、转化等数学思想方法地应用,提高观察、分析、比较、归纳探究及发散思维、动手操作地能力.例题分析：1. 若a、b是无理数且a+b=2,则a,b地值可以是_____.(填上一组满足条件地值即可>分析与解答：这是一个条件开放题,由于题中只有一个关系式,因此只要先确定,其中一个无理数地大小,另一个也随之确定,本题答案不唯一,如.2. 如图：在△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠E,要使△ABC≌△DEF,需要补充地一个条件是_____.分析与解答：本题考查全等三角形地判定及分析问题能力和逻辑推理能力,已知一边一角对应相等,可以是SAS或ASA或AAS来证两个三角形全等.如：BC=EF(或∠A=∠D或∠C=∠F>3. 已知两条抛物线y=x2+2x-3和y=2x2+x-3,请至少写出三条它们地共同特点：分析与解答：本题是结论开放性问题,考查二次函数地图象、性质及发散思维、归纳探索地能力,所以可以从两函数图象特征(开口方向,对称轴,顶点>及两函数图象交点与坐标轴交点等方面入手.(1>开口方向都向上；(2>都过点(1,0>,(0,-3>；(3>对称轴都在y轴左侧；(4>都有最小值；(5>两函数图象地顶点都在第三象限等等.4. 如图,在四个正方形拼接成地图形中,以A1,A2,A3,……,A10过10个点中任意三点为顶点,其能组成______个等腰直角三角形？分析与解答：本题考查正方形地性质,等腰直角三角形定义,轴对称性质,图形计数规律及分析,归纳,探索能力.由图形地轴对称性,先计算出以A1,A2,A5,A6,A9这五个点为直角顶点地等腰直角三角形地个数,然后将结果乘以2即为所求等腰直角三角形地个数.解：∵以A1,A2,A5,A6,A9这五个点为直角顶点地等腰直角三角形有1+3+1+6+2=13(个>,由轴对称性可知,在整个图形中共有13×2=26个等腰直角三角形.5. 如图,正△ABC内接于⊙O,P是上任一点,PA交BC于点E,则以下结论：(1>PA=PB+BC；(2>；(3>PA·PE=PB·PC；其中正确结论地序号______分析与解答：本题考查三角形和圆地有关性质,延长BP到F,使BF=PA,易证：△BCF≌△ACP,从而△PCF是等边三角形,可证得结论(1>成立,则结论(2>不成立,再证：△PAB∽△PCE可知结论(3>成立,从而正确结论序号(1>,(3>6. 在平面内确定四个点,连结每两点,使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形>,且每两点之间地线段长只有两个数值,如图图中相等线段有：AB=BC=CD=AD,AC=BD请你再画出满足题目条件地三个图形,并指出每个图形中相等地线段.分析与解答：本题是一道以方案设计为背景地开放性问题,考查等腰三角形定义及动手操作,分析问题及创新能力.从题目地条件和要求上,可以从平面上地四点构成六条线段入手.分别设计五条、四条、三条、两条分别相等线段地情形.本题答案不唯一,如：其中(1>AB=BC=CD=AD=BD,AC=AC(2>AB=AC=AD=BD,BC=DC(3>AB=BC=AC,AD=BD=CD(4>AB=AD=CD,AC=BC=BD(5>AB=AC,AD=BC=BD=CD7. 如图1,在△ABC中(AB>AC>,若直线AD平分∠BAC且与△ABC地外接圆相交于点E,交BC边于点 D.(1>求证：AB·AC=AD·AE；(2>若把题中地条件“直线AD平分∠BAC”改为“直线AD平分∠BAC地外角”,如图2,那么(1>中结论是否仍成立？请说明理由.分析与解答：本题是存在性问题,考查直线和圆地有关知识及推理探索能力.可以从已知条件出发,结合定义、定理,对AB·AC与AD·AE地关系进行推理：要证等积式,需证比例式四条线段所在三角形是否相似.(1>连结BE则∠E=∠C,又∠BAE=∠DAC,∴△ABE∽△ADC∴AB·AC=AD·AE；(2>(1>中结论仍成立连结BE,∵四边形AEBC内接于⊙O∴∠E=∠ACD又∵∠BAE=∠CAD∴△ABE∽△ADC∴AB·AC=AE·AD.。

专题选讲 探索性、开放性问题[窍门点击]探索性课题学习是新课程倡导的旨在培养学生创新意识和实践能力的学习方式.此类问题综合性强,内涵丰富,其结论与题设之间的跨度大,探索性问题形式多样、解法新颖，解答时需要灵活与综合地运用基础知识、基本技能和数学思想方法去探索条件、结论及其内在联系，有利于考查学生的思维品质与创造性解决问题的能力，因此近几年的高考中几乎每年都考，特别是有望得高分的学生一定要关注这类题型.探索性问题常见的几类题型有:①填空题中的开放题;②试验、猜想、归纳型；③条件探索型；④结论不确定型（如是否存在型）.探索性问题的解答,应突出数学思想方法,如等价转化、数形结合、分析法、待定系数、数学归纳法、反证法、换元法、分类讨论等方法的使用，解出的结果一定要结合题目的各种条件加以检验才能下结论.[范例解剖]例1．以椭圆x 2+a 2y 2=a 2(a>1)的一个顶点C （0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，试问：这样的直角三角形是否存在？若存在，最多有几个？若不存在说明理由. [点评]:这个探索性问题是属于结论不定型,首先要 利用已知的各种信息直觉猜想一下是否存在,借助图形,不难判断这样的等腰直角三角形一定存在,过C 点作两条倾斜角为450和1350的直线交椭圆于A,B 两点,则三 角形ABC 就是满足条件的三角形,探究的主要问题就变成是有几个这样的三角形,[略解]:假设存在A,B 使得ABC 是等腰直角三角形,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则CA CB ⋅=0, 即(x 1,y 1-1)⋅(x 2,y 2-1)=0, x 1x 2+y 1y 2-y 1-y 2+1=0.设CA 的直线方程是y=kx+1,将直线方程代入椭圆方程得:(a 2k 2+1)x 2+2a 2kx=0所以x 1=2222a k a k 1-+, x 2=2222a k a k-+,又y 1y 2-y 1-y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1- k(x 1+x 2)-2= k 2x 1x 2-1, 代入得(k-1)[k 2-(a 2-1)k+1]=0(*)① 当,k=1, k 2-(a 2-1)k+1=0无实数解;②当时,解为k=1;③当时,方程(*)除了有k=1外,方程 k 2-(a 2-1)k+1=0有两个不等的实根,故方程(*)共有三个根,综上所述,最多有三个等腰直角三角形.例2．已知{a n }满足：(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1),a 2=6,b n =n+a n (n N).（1）写出数列{b n }的前4项；（2）求出{b n }的通项公式（写出推理过程）；（3）是否存在非零常数p,q使数列{qpn a n +}成等差数列？若存在，试举出一个实例；若不存在，说明理由.[略解](1)由(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1),a 2=6得:a 1=1,a 2=6,a 3=15,a 4=28.b 1=2,b 2=8,b 3=18, b 4=32.(2) 猜想:b n =2n 2,a n =2n 2-n.用数学归纳法证明(略).(3)此问是探索性问题. 假设存在非零常数p,q 使数列{qpn a n +}成等差数列. 为了求出p,q,取数列的前三项即:321a 2a a 2p q p q 3p q=++++. 所以121152p q p q 3p q=++++,解得p+2q=0. 这里得到的仅仅是{q pn a n +}为等差数列的必要条件,要想说明{q pn a n +}是否等差数列,还需进一步验证这一条件是否是充分条件.当p=-2q 时, n 1a p(n 1)q +++-q pn a n +=-1q .这表明{q pn a n +}是一个以-1q为公差的等差数列. 所以存在非零常数p,q 使数列{q pn a n +}成等差数列.如p=-2,q=1就是其中的一个.[点评]:①一般所要探索命题成立的条件是充要条件,但是经常立刻找到充要条件是比较困难的,因此就要退一步,先假定结论成立,找出必要条件,再验证充分性.②此题如果注意到等差数列的通项是一次函数,也可立刻找到结论的充要条件. {qpn a n +}是等差数列⇔qpn a n +=kn+b ⇔a n =(kn+b)(pn+q) ⇔2n 2-n=pkn 2+(kq+bp)n+bq 对任意大于0的自然数恒成立⇔pk 2kq bp 1bq 0=⎧⎪+=-⎨⎪=⎩解得p+2q=0.这个结果是充要条件,就不必验证.法二:第(2)问:求b n 的通项也可用待定系数法,利用递推关系先求出a n 的通项,再解出b n 的通项. 由(n-1)a n+1=(n+1)(a n -1)得(n-1)[a n+1-(n+1)]=(n+1)(a n -n),设 c n =(a n -n),则(n-1)c n+1=(n+1)c n ,用逐项作商累乘的方法得:c n =2n 2-2n,则a n =2n 2-n.而b n =n+a n =2n 2.这样推理就不用数学归纳法证明了.例3.已知a,b,c,d ∈[0,1],M=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d),N=1-a-b-c-d,试比较M,N 的大小,你能由此得出一个一般的结论吗?若能得出将结论证明,若不能得出请举出反例.[略解]:先考查两个的情形(1-a)(1-b)=1-a-b+ab1-a-b ≥1-a-b,当且仅当a,b 中至少有一个为0时等号成立.则(1-a)(1-b)(1-c)≥(1-a-b)(1-c)= 1-a-b-c+c(a+b) ≥1-a-b-c,当且仅当a,b,c 中至少有一个为0时等号成立.则(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) ≥(1-a-b-c)(1-d)= 1-a-b-c-d+d(a+b+c) ≥1-a-b-c-d,当且仅当a,b,c,d 中至少有一个为0时等号成立.可以猜想一般的结论是(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ) ≥1-a 1-a 2-…-a n ,可以用数学归纳法证明(略).[点评]:本题探索的特点是将多元的问题化归为二元问题,再进行迁移和推广,体现了探索过程的由特殊到一般、由具体到抽象、由少元到多元的特点.例4．已知函数F(x)=kx 2∈R).（1）是否存在实数对(m,k)同时满足以下条件:①F(x)取最大值时x 的值与G(x)取最小值时x 的值相等;②k 为整数.(2)将满足条件①的实数对(m,k)的集合记为A,设B={222(m,k)k (m 1)r ,r 0+-≤>},求使A ⊆B 的r 的取值范围.[略解](1)假设存在实数对(m,k)满足条件,则有当x=k,k<0时,F(x)取得最大值,当x=k 时, G(x)取最小值,所以k 0k k Z <⎧=⎪∈⎪⎩,又4+2m-m 2=5-(m-1)2,所以0≤k 2, 则k又k 为整数,k<0所以k=-1,所以满足条件的实数对有两个(-1,-1)和(-1,3).(2)由题意22(m 1)r -≤,则22max (m 1)]r -≤,22(m 1)(m 1)-=-,设θ,θ∈[0,π],则原式θ+5cos 2θ=-( sin θ-10)2+214, 所以,r 2≥214,r的取值范围是,)2+∞. [点评]:此题的关键是探索x 取何值时, F(x)取最大值且G(x)取最小值,这里隐含k 的正负号的考虑,另外在含有两个以上字母的方程、不等式的混合问题中,将变量分离,用其中的一个变量的范围(或其最值)确定另一个变量的范围,不等号的方向要明确. 例5.已知直线ax-y=1与双曲线x 2-2y 2=1相交于P 、Q 两点.(1)是否存在整数a,使得PQ =(2)是否存在实数a, 使得以PQ 为直径的圆过原点O.[略解](1)假设存在整数a,使得PQ =设直线与双曲线的交点坐标分别为P （x 1,y 1）,Q(x 2,y 2), 联立22ax y 1x 2y 1-=⎧⎨-=⎩消去y 得：(1-2a 2)x 2+4ax-3=0. 则1221224a x x 12a 3x x 12a ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪⋅=-⎪-⎩且△=4(3-2a 2)>0.所以PQ ==,所以212a =-,解得a=1或a=-1,两个都满足△>0, 所以存在整数a=1或-1,使得PQ =.(2) 以PQ 为直径的圆过原点O 等价于PQ 的中点M 到O 点的距离等于1PQ 2, 又M(222a 1,2a 12a 1--),则22222a 1()()2a 12a 1+=--222232a (1a )(12a )-+⋅-. 解得a 2=-2,所以不存在实数a, 使得以PQ 为直径的圆过原点O.[点评]:在考查直线与圆锥曲线的位置关系中,与弦长有关的问题要熟练使用弦长公式,并注意韦达定理的使用,和判别式的隐含条件,和中点有关的问题注意中点坐标的使用.此外这类问题都需要将直线和曲线联立,消元等过程,这样烦琐的计算一定要有耐心和毅力.[习题精选]1.正四面体内有一个与其各面都相切的球,过一条高和侧棱作一截面,则节目，截面的大致图形是(A B C D2.如图,在三棱锥A-BCD,E 在棱AB 上,F 在棱CD 上,并使A E C F EB F D==λ(λ>0),设α为异面直线EF 与AC 所成的角,β为异面直线EF 与BD 所成的角,则α+β的值是( ) CA.6πB.4πC.2π D.与λ有关的变量 3.已知函数y=f(x),x ∈R,f(0)≠0,且对于任意的实数x 1,x 2都有f(x 1)+f(x 2)=2f(12x x 2+)f (⋅12x x 2-),则此函数为( )B A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性不定4.如图,圆锥高SO,AB 为底面圆O 的直径,A ’B 为弦,∠ASB=α,∠A ’SB=β,当α与β满足( )条件时,△A ’SB 的面积大于△ASB 的面积. DA. α>2π B. α+β>π C. α<2π且α+β<π D.α>2π且α+β>π 5. 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物于A 、B 两点，若线段AF 、BF的长分别为m , n ，则n m mn +等于（ ）D A ．a 21 B ．a 41 C ．2a D ．4a 6. 函数)(x f 对任意实数x 都有)1()(+<x f x f ，那么（ ）CA ．)(x f 是增函数B ．)(x f 没有单调减区间C ．)(x f 可能存在单调增区间，也可能不存在单调增区间D ．)(x f 没有单调增区间7.定义在R 上的奇函数f(x)为增函数,偶函数g(x)在区间[0,)+∞上的图象与f(x)的图象重合,设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(a)-f(-b)> g(b)-g(-a); ③f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).其中正确的是是 .①②8.由下列各式1>12;1+12+13>1; 1+12+13+14+15+16+17>32;1+12+13…+115>2…,你能得出一般的结论吗?是 .1+12+13…+n 1n 212>-. A B CD E F9.已知椭圆22x y 143+=,F 1,F 2是焦点,问椭圆上是否存在点M,使M 到左准线的距离d 是1MF 和2MF 的比例中项?解:若椭圆上存在满足条件的点,则有121212MF MF 4MF e dd MF MF ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⋅⎪⎩,解得d=85,但椭圆的左准线方程x=-4,左顶点是(-2,0),即椭圆上的点到左准线的最近距离为2,而d=85<2,不可能. 不存在点M,使M 到左准线的距离d 是1MF 和2MF 的比例中项.10. 某产品中有15只正品，5只次品，每次取1只测试，取后不放回，直到5只次品全部测出为止，求经过10次测试，5只次品全部被发现的概率。

探索型问题一（开放性问题）【考点透视】习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者为开放题型.开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯一），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答.开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的.教育部在《2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中特别指出：数学考试“应设计一定结合情境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视. 【典型例题】 一、条件开放题解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一.例1 （1）如图7.1，△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上的一点，要使 △ABC∽△BCD，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________ _______________________（只需填写一个你认为适当的条件即可）.（2001年淄博市中考题） （2）如图7.2，在△ABC 和△FED 中，AD=FC ，AB=FE ，当添加条 件：__________________时，就可得到△ABC≌△FED（只需填写一个你认为正确的条件）. （2003年无锡市中考题） 解：（1）BD=BC.（也可以是：∠ABC=∠BDC；或∠A=∠DBC；或BC∶CD=AC∶BC；或BC 2=AC•CD 中的某一个）（2）∠A=∠F. （或BC=ED 等） 说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性. 第（1）小题中，我们只需给出能使结论成立的一个答案即可.例2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2,4x y =⎧⎨=⎩和2,4x y =-⎧⎨=-⎩，试写出符合要求的方程组____________________________.（只要填写一个即可）（2000年安徽省中考题）分析：我们只要分别构造出一个既含x ，又含y 的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方程实际上就是寻找x 与y 之间的关系.解：2,8.y x xy =⎧⎨=⎩说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点A （2，4），B （-2，-4），则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式（也是一个二元一次方程）和一个二次函数的解析式（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）.B A CD 图7.1AB C DEF 图7.2本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合——一种重要的数学思想方法）；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也可用直觉思维的方法来解，所以本题既是一个条件开放题，也是一个策略开放题.例3 已知：如图7.3.1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是BD 的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点E.（1）求证：AB•DA=CD•BE；（2）若点E 在CB 延长线上运动，点A 在BD 上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）（2000年北京海淀区中考题）分析：本题的（2）是一个条件开放题.由于本题的结论与（1）相同，所以这一条件的获得，我们可以从（1）的证明过程中受到启示.（1）证明：连结AC.∵A 是BD 的中点,∴AB AD =,∠ACB=∠ACD.∵EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB=∠ACB.又∵∠ABE=∠D，∴△EAB∽△ACD，∴AB∶CD=EB∶AD， ∴AB•AD=CD•BE.（2）解：如图7.3.2中，若有△EAB∽△ACD，则原结论成立，故我们只需探求使△EAB∽△ACD 的条件. 由于∠ABE=∠D，所以只要∠BAE=∠DAC 即可，这只要BF CD =即可.所以本题只要BF AD =，原结论就成立.说明：探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法——分析法. 例4 如图7.4，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧AC 上一点，DE⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点.（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？（2）点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE·DF？为什么？ (2002年济南市中考题)分析：（1）连OC.要使PC 与⊙O 相切，则只需∠PCO=900即可. 由∠OCA=∠OAC，∠PFC=∠AFH，即可寻找出△PCF 所要满足的条件 （2）要使AD 2=DE·DF，即AD DFDE AD=，也就是要使△DAF∽△DEA， 这样问题就较容易解决了.解：（1）当PC=PF （或∠PCF=∠PFC，或△PCF 是等边三角形）时，PC 与⊙O 相切. 连OC.∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC，图7.3.1图7.3.2H BAEP O CD F 图7.4∴∠PCO=∠PCF+∠OCA=∠PFC+∠OAC=∠AFH+∠AHF=900, ∴PC 与⊙O 相切.（2）当点D 是AC 的中点时，AD 2=DE·DF. 连结AE.∵AD CD =，∴∠DAF=∠DEA. 又∵∠ADF=∠EDA，∴△DAF∽△DEA， ∴AD DF DE AD=，即AD 2=DE·DF. 说明：本题是探索性开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件.如第(1)小题中,若要PC 与⊙O 相切,则我们需要怎样的条件.第(2)小题也是如此.二、结论开放题结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论. 例5 如图7.5.1，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE⊥AC 于E ，可得结论DE 是⊙O 的切线.问：（1）若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 长为半径的圆 仍交BC 于D ，DE⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由.（2）如果AB=AC=5cm, sinA=35,那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O与AC 相切？ （2001年黑龙江省中考题）分析：（1）连OD. ∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB=∠C，∴ OD∥AC， 从而可得OD⊥DE，结论仍然成立.（2）若⊙O 与AC 相切，设切点为F ，连OF ，则由Rt△AOF 中可 求得OF=158，即OB=158. 解：（1）结论仍然成立. 如图7.5.2，连OD ，则OD=OB ，∠OBD=∠ODB. 又AB=AC ，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C， ∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE， ∴DE 是⊙O 的切线.（2）如图7.5.3，若AC 与⊙O 切于点F ，连OF ，则OF⊥AC，即△AOF 是直角三角形，∴sinA=355OF OB AO OB ==-， ∴OB=158， 即当OB=158时，⊙O 与AC 相切.说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题. 第（1）小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用图7.5.1AOBECD图7.5.2ABCO F图7.5.3方法.例6 如图7.6.1，⊙O 的直径AB ，过半径OA 的中点G 作弦CE⊥AB，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M.（1）求∠COA 和∠FDM 的度数；（2）求证：△FDM∽△COM；（3）如图7.6.2，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一 点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线 AB 于点F 、M. 试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？ 证明你的结论. （2003年苏州市中考题）（1）解：∵AB 是⊙O 的直径，CE⊥AB，∴AC CE ，CG=EG.在Rt△COG 中，∵OG=12OC ，∴∠OCG=30，∴∠COA=60. 又∠CDE 的度数=12CAE 的度数=AC 的度数=∠COA=60，∴∠FDM=180-∠COA=120.（2）证明：∵∠COM=180-∠COA=120，∴∠COM=∠FDM. 在Rt△CGM 和Rt△EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt△CGM≌Rt△EGM， ∴∠GMC=∠GME.又∠DMF=∠GME，∴∠OMC=∠DMF， ∴△FDM∽△COM.（3）解：结论仍然成立.∵∠FDM=180-∠CDE， ∴∠CDE 的度数=12CAE 的度数=AC 的度数=∠COA， ∴∠FDM=180-∠COA=∠COM.∵AB 为直径，CE⊥AB，∴在Rt△CGM 和Rt△EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt△CGM≌Rt△EGM， ∴∠GMC=∠GME， ∴△FDM∽△COM.说明：本题的第（3）小题是在第（2）小题改变条件的情况下，探求结论是否还成立. 在探求时应寻着（2）的解题思路来进行.三、解题策略开放题解题策略开放题，现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目.例7 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成，利用这副三角板构成一个含15DAF C EDM OG BAF CEMO G B 图7.6.1图7.6.20角的方法很多，请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法.（2000年荆州市中考题）分析：本题可利用这副三角板中的角做“加减运算”：600-450，或450-300，或600+450-900等来得到150的角.解：如图所示. 图7.7.1中就包含有两中构造方法，∠ABD和∠ACD都等于15；图7.7.2中，∠EFG=15.请同学们试着拼出其它的图形.说明：这类拼图组合，给出了一定的条件，但解决问题的办法需要我们自己来寻找. 通常解决这类问题的方法不惟一. 用现有的工具去解决问题，这在实际生产和生活中常会遇到.例8 如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图1按实际大小画在方格纸内（方格为1cm×1cm）.（1）不是正方形的菱形（一个）；（2）不是正方形的矩形（一个）；（3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）. （2001年徐州市中考题）解：（1）（2）3）（4）（5）（6）说明：本例是一道设计图形的开放性试题，这类题近几年在全国各地的中考试题中经常出现.设计型开放题，有利于培养学生的发散性思维能力，有利于充分发挥学生的想象力和创造力，这对培养学生的创新意识和创新精神具有着积极的作用，例9 有一种“二十四点”游戏，其规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可以运算得（1＋2＋3）×4＝24（注意上述运算与4×（1＋2＋3）应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3，4，－6，10，用上述规则写出三种不同方法的算式，使其结果等于24，运算如下：（1）_____________________；（2）________________________；（3）_________________________.AB CD EFG图7.7.1 图7.7.1图7.8另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）____________________________，使其结果等于24. （2001年杭州市中考题）分析：“二十四点”游戏，小学生也可参加. 本题将数的范围扩大到整数范围，变成新的游戏，其实就是有理数的运算.本题具有开放性，答案是不唯一的.解：（1）3×[4＋（－6）＋10]＝24；（2）4－（－6）÷3×10＝24；（3）（10－4）－3×（－6）＝24. （4）[（－5）×（－13）＋7]÷3＝24.说明：本题将有理数的运算与学生熟知的游戏结合起来，使数学学习更具趣味性.四、题目结构开放题以看作是一个条件开放题.例10 某一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答.（2001年吉林省中考题）分析：这里“距离”和“速度”都有了，故我们可以考虑从时间上去把本题补完整. 解一：摩托车和运货汽车同时从甲地驶向乙地，则摩托车比运货汽车早到几分钟？设摩托车比运货汽车早到x 分钟，则4040603545x ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，x=4021.答：摩托车比运货汽车早到4021分钟. 解二：摩托车和运货汽车分别从甲地和乙地同时相向而行，则几分钟后它们相遇？ 设摩托车与运货汽车出发x 分钟后相遇，则（45+35）×60x= 40，x=30. 答：摩托车与运货汽车出发30分钟后相遇.解三：运货汽车从甲地出发10分钟后，摩托车从甲地出发去追赶运货汽车，问在到达乙地前，摩托车能否追上运货汽车？运货汽车走完全程需408357=小时，摩托车走完全程需408459=小时， 摩托车比运货汽车少用88167963-=小时.∵1610906360126-=>， ∴摩托车在运货汽车到达乙地前能追上.解四：摩托车和运货汽车分别从甲、乙两地沿由甲地往乙地的方向同向而行，问经过几小时摩托车可追上运货汽车？设经过x 小时摩托车可追上运货汽车，则 45x=40+35x ，解得x=4.答：经过4小时摩托车可追上运货汽车.说明：由于行程问题是大家比较熟悉的应用问题，所以我们还可以编出很多这样的问题来，同学们不妨试试.习题七一、填空题 1．（1）写出和为6的两个无理数_________________.（2003年绍兴市中考题）（2）若关于x 的方程x 2+kx-12=0的两根均是整数，则k 的值可以是______________.（只要求写出两个） （2001年浙江省中考题） 2．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，连结AD ，请你添加一个条件，使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由. 你添加的条件是_________________________.（2002年金华市中考题） 二、解答题3.做一做:用四块如图1的瓷砖聘成一个正方形,使 拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3 图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不 相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.（2003年无锡市中考题）4．先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题.编写要求：（1）编写一道行程问题的应用题，使得根据题意列出的方程为120120110x x -=+； （2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且解符合实际. （2001年青岛市中考题）5．同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）. 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形. 方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等.（2000年广东省中考题）6．如图，⊙O 与⊙O 1完外切于点T ，PT 为其内公切线，AB 为其外公切线，A 、B 为切点，AB 与TP 相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明.（2001年杭州市中考题） 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，给出5个论断： ①CD⊥AB；②BE⊥AC；③AE=CE；④∠ABE=30；⑤CD=BE. （1）如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗？ 答：____________;（2）从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论， 组成一个真命题，那么你选的3个论断是__________________ （只需填论断的序号）；（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组图1 图2 图3 图4 第3题A BP TO O 第6题ABD C E第7题BAE成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明.（2003年徐州市中考题）8．如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点.（1）求证：AF⊥CD；（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）.（2002年江西省中考题）9．已知在直角坐标系中，直线y=+x轴、y轴分别交于点A、点B，以AB为一边的等腰△ABC的底角为300，请在坐标系中画出△ABC，并求出点C的坐标.（2000年北京市崇文区中考题）10．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28.（1）求∠ACM的度数；（2）在MN上是否存在点D，使AB•CD=AC•BC？为什么？（2001年广州市中考题）参考答案：1. （1（2） 1,-1(或4，-4；或11，-11)2．答案不唯一. 添加的条件可以是：①AB=AC；②∠B=∠C；③BD=DC（或D是BC中点）；④∠BAD=∠CAD （或AD平分∠BAC）等.3．略.4．所编应用题符合编写要求. 正确设未知数、列方程，正确求出方程的解.5．方案（2）：若这角是直角，则这两个三角形全等.方案（3）：在两个钝角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（4）：在两个锐角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.6．AB=2PT. 证明略.7．（1）一定. （2）①、③、④. （3）已知，如图，在△ABCD、E分别在AB、AC上，CD⊥AB，AE=CE，∠ABE=30. 求证：CD=BE. 证明：作EF∥CD交AB于F. ∵AE=CE，∴AF=FD，∴CD=2EF. ∵CD⊥AB，∴EF⊥AB. 在Rt△EFB中，∠EFB=90，∠EBF=30，∴BE=2EF，∴CD=BE. 图要正确.8．（1）证明：连结AC、AD，∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，∴△ABC≌△AED，∴AC=A D. 又∵F为CD的中点，∴AF⊥CD.（2）①BE∥CD；②AF⊥BE；③△ACF≌△ADF；④∠BCF=∠EDF；⑤五边形ABCDE是以直线AF为对称轴的轴对称图形. （还可写出其它的结果）9．如图，C1（6，0），C2（0，-，C3（0），C4（-4，A BCMN第10题ACBDEF第7题C5（2），C6（2，.10．（1）∵AB是直径，∠ACB=90. 又∠A=28，∴∠B=62.又MN是切线，C为切点，∴∠ACM=62.（2）在MN上存在符合条件的点D. 证明：过点A作AD⊥MN 于D. 在Rt△ABC和Rt△ACD中，MN切半圆ACB于点C，∴∠B=∠ACD，∴△ABC∽△ACD，∴AB BCAC CD，即AB•CD=AC•BC.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

中考数学二轮复习考点解密开放探索性问题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1：（2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．解：若四边形ABCD的对角线相等，则由AB=DC，AD=BC可得．△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等．评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2：（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为．分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵一次函数的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3：（2010•玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：先连接BE，再过D作DF∥BE交BC于F，可构造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=BC，等量减等量差相等，可证AE=CF，利用SAS可证三角形全等．解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE 与△CDF．理由：∵平行四边形ABCD，AE=ED，∴在△ABE与△CDF中，AB=CD，∠EAB=∠FCD，又∵DE∥BF，DF∥BE，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE=BF ，又AD=BC ，∴AD ﹣DE=BC ﹣BF ，即AE=CF ，∴△ABE ≌△CDF ．（答案不唯一，也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程． 分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x 元，则2班人均捐款（x +4）元，根据题意得1800x ·90%=1800x +4解得x =36 经检验x =36是原方程的根∴x +4=40答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？设1班有x 人，则根据题意得1800x+4=180090x%解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根∴90x % =45答：1班有50人，2班有45人．评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．（二）探究型问题考点五：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目．例5：（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求错误！未找到引用源。

考点透析23 探索探索开放性问题的解题策略探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备．要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求．它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程．问题1：条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．例1（02年上海）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是 ．分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数∴ )22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即．由此可得)(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或 ∴)(412Z k k t ∈+=π 点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力问题2：结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．例3．（04年上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组．（写出所有符合要求的组号）．①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n ．(其中n 为大于1的整数，S n 为{}n a 的前n 项和．) 思路分析：研究能否由每一组的两个量求出{}n a 的首项和公比．解：（1）由S 1和S 2，可知a 1和a 2．由q a a =12可得公比q ，故能确定数列是该数列的“基本量”． （2）由a 2与S 3，设其公比为q ，首项为a 1，可得211132112,,q a q a a S q a a q a a ++=== ∴q a a qa S 2223++=，∴0)(23222=+-+a q S a q a 满足条件的q 可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列{}n a 的基本量．（3）由a 1与a n ，可得1111,a a q q a a n n n n ==--，当n 为奇数时，q 可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量．（4）由q 与a n ，由1111,--==n n n n q a a qa a 可得，故数列{}n a 能够确定，是数列{}n a 的一个基本量． 故应填①、④评注：本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义．如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．问题3：存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．例4．（05年广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）．（Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．例5．（06年福建）已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+（I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t （II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．问题4：条件重组型 这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题．此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段．一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求．应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力．例6．（99年全国）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ． 思路分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证．解：依题意可得以下四个命题：(1)m ⊥n ， α⊥β， n ⊥β⇒ m ⊥α；(2)m ⊥n ， α⊥β， m ⊥α⇒n ⊥β；(3)m ⊥α， n ⊥β， m ⊥α⇒ α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α⇒m ⊥n ．O图4不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题．故填上命题(3)或(4)．点评：本题的条件和结论都 不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的．例7．（05福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g =．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）五、规律探究型这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．例8：（06年上海春）已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）． （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？思路分析：()22203011010d d d a a ++=+=，()323304011010d d d d a a +++=+=，()4324405011010d d d d d a a ++++=+=，由此得到()nn d d a +++=+Λ110)1(10 解：（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a ．（2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ， 当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞．（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列．研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n n n Λ 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等．专题小结1、 条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．2、 结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．3、条件重组型问题，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．4、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．5、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．。

没有比脚更长的路，没有比人更高的山，老师助你走向人生的辉煌！1C A B D开放性与探索性问题★★ 【 概述】所谓探索性问题，是从问题给定的题设条件中探索其相应的结论并加以证明，或从给定的题目要求中探索相应的条件和存在性。

开放性问题是相对传统封闭题（问题条件完备、结论确定）而言的，它具有条件不完整、结论不确定（或不唯一）、解决方案多样化等特点。

开放性、探索性题目涉及知识面广，综合性强，要求学生具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，已作为压轴题或次压轴题型之一。

通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：§1、条件探索型：结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目．§2、结论探索型：给定条件但无明确结论或结论不惟一，需探索发现与之相应的结论的题目．§3、存在探索型：在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．§4、规律探索型：在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目．★★ 【探究性问题的解题策略】：（1）大胆猜想，小心求证；（2）观察分析，全面探究；（3）多练习，勤总结。

通常可尝试以下方法：§1、利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．§2、反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．§3、分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果． §4、类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．★★【典型例题解析】【考点题型1】------条件开放与探索型:【例1】如图，D 为△ABC 边AB 上一点，满足 条件时，△ADC ∽△ACB ．【例2】（呼和浩特市）在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E F G H ，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 添加一个条件，使四边形EFGH 成为一个菱形．这个条件是 。

C 第五十八讲 探索开放性问题【知识提要】1、条件探索型问题2、结论探索型问题3、条件重组型问题4、规律探究型问题 【例题讲解】例1. 若函数()sin()sin(),044f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数，则有序实数对(,)a b 可以是（写出你认为正确的一组数字即可） ； 例2. 两相同的正四棱锥构成如图所示的几何体，可放入棱长为1的正方形内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方形的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体的可能值有 个。

例3. 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p 而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？例4. 若函数1)(2++=ax c bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数）是奇函数，f (x )有最大值21，且f (1)＞52，（1）求函数f (x )的解析式；（2）是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点(1,0)对称，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。

例5. （见例4图），三条直线a 、b 、c 两两平行，直线a 、b 间的距离为p ，直线b 、c 间的距离为2p，A 、B 为直线a 上两定点，且｜AB ｜=2p ，MN 是在直线b 上滑动的长度为2p 的线段， （1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN 的外心C 的轨迹E ；（2）接上问，当△AMN 的外心C 在E 上什么位置时，d +｜BC ｜最小，最小值是多少？（其中d 是外心C 到直线c 的距离）。

例6. 已知函数22()1x f x x =+，（1） 求111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++的值；（2） 根据上述结论得到的启发，提出一个真命题，并加以论述。

初中数学开放探究题的类型及解题策略数学是一门需要探究和思考的学科，其中开放性探究题更加强调学生自主探究和思考的能力。

下面将介绍几种常见的开放性探究题类型以及解题策略。

1. 探究型问题探究型问题需要学生根据所给条件进行推理和验证，最终得出结论。

这类问题往往需要学生进行多个实验或思考多个可能性，因此策略包括：1）充分利用已知条件，画图或列式子进行推导；2）从多个角度思考问题，可能会有多个解决方法；3）用反证法或递归法进行验证，避免一时心急导致得出错误结论。

例如：（1）一个5 × 5的正方形，任取其中的9个小正方形，把它们涂黑，使得剩下的小正方形正好可以用4个3 × 3的正方形铺满，求涂黑的9个小正方形数量。

策略：画图和列式子推导，尝试多种涂黑情况。

（2）如图，在ΔABC中，AD∥BC，BE∥AC，CF∥ AB。

作EF、BF、DE交BC、CA、 AB 分别于G、H、I，求∠IHC+∠IGB的数值。

策略：画图，用已知条件推导，运用角度平分线的性质解决。

发散型问题需要学生将问题向外发散，探索问题的不同可能性和解决方法。

策略包括：1）通过改变条件或角度，寻找问题的新解法；2）考虑问题的特殊情况或边界问题；3）随时记录自己的想法，避免思路重复且可能会得到新的启示。

（1）从一张普通的2n × 2n的网格中选取n × n的一部分，使得去掉这一部分后，留下的2 × 2的方块能完全地填满这张网格。

请你找出所有这样的选法，并请说明你的思路。

策略：寻找不同的选取方法，分析可能的情况，记录可能解法。

（2）甲、乙两人摇骰子赌博，每人每次投掷一枚骰子，谁先投掷到6谁就胜利，求甲必胜策略。

策略：考虑甲可以如何控制骰子，尝试不同的思路，列出各种情况并进行分析。

应用型问题需要学生将数学知识运用到现实生活中，解决实际问题。

策略包括：1）理解问题，并用合适的数学语言进行简要描述；2）运用所学知识分析问题，寻找解决方法；3）将所得结果进行合理解释和推广应用。

中考专题训练——开放性问题、探索性问题
目录1
目录2
一、开放型问题
问题特点：问题所提供的条件具有不确定性，解决问题的策略具有多样性，不同但合理的答案的多解性，问题结构的可改变性。

解题方法：牢固掌握基础知识，加强“一题多解”“一题多
变”“一题多用”“多题同法”“多题同果”等调练，经过归纳、类比、楔拟、联想等推理手段，得出正确结论。

二、探索型问题
问题特点：问题的条件或结论不直接给出，需要通过观察、分析、概括、推理、判断等一系列探索活动逐步确定。

解题关键：通过对命题或式子的结构特征、相应的图形等进行细致的研究，把握规律、合理推理、认真验证，从而得出问题的正确答
案。