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一、选择题1．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b<B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥2．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <D ．c c a b <3．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，则ac 2>bc 2D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd4．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b c b a c a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >5．已知1a >，实数,x y 满足x y a a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11x y x y+>+ B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y >D ．33x y >6．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 7．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 28．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（ ） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b> 9．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >10．给出以下四个命题：（ ） ①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③11．若0a b >>，则（ ）A ．11a b>B ．22log log a b <C ．22a b <D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b >B ．33a b >C ．11a b< D ．22a b <二、填空题13．设()23f x x x =-+-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______.14．关于x 的不等式22a x x ->-在[]0,2上恒成立，则a 的取值范围是__________. 15．若关于x 的不等式215x a x x -+-≥-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为________．16．若存在实数x ，使得12-++<x x a 成立，则实数a 的取值范围为______. 17．已知不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是__________．18．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是 ．19．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 20．若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____.三、解答题21．已知()211f x x x =-++.（1）画出函数()f x 的图象； （2）求不等式()()1f x f x <-的解集. 22．已知函数()f x x x m =-. （1）若3m =，解不等式()2f x >；（2）若0m >，且()f x 在[]0,2上的最大值为3，求正实数m 的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c ∈R ， 2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.24．当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22+px qy 的大小. 25．已知函数()12f x x a x a=-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()222f x m m ≥-+对任意实数x 及a 恒成立，求实数m 的取值范围.26．已知函数()|21|||2g x x x =-+++. （1）解不等式()0g x ≤；（2）若存在实数x ，使得()||g x x a ≥--，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解. 【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b > A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确； C . 若0c,则20c a b=-，故本选项不成立；D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥ 故选：D 【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确； 对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.3．B解析：B 【分析】对于A ，C ，D 举反例即可判断，对于B ，根据不等式的性质即可判断． 【详解】解：对于A ，例如1a =，0b =，2c =，则不满足，故A 错误， 对于B ，若a b >-，则a b -<，则c a c b -<+，成立，故B 正确， 对于C ，若0c ，则不成立，故C 错误，对于D ，例如1a =，0b =，2c =-，3D =-，则不满足，故D 错误，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，要注意不等式应用条件的判断，属于基础题.4．A解析：A 【分析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c abb a+∴<+，B 选项错误； 对于C 选项中的不等式，01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据指数函数的单调性，得到x y >，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【详解】根据指数函数的单调性，由1a >且x y a a >，可得x y >，对于A 中，由111()()(1)x y x y x y x y x y xy xy-+--=--=--，此时不能确定符号，所以不正确；对于B 中，当x 1,y 2==-时，2211x y +<+，此时()()22ln 1ln 1x y +<+，所以不正确；对于C 中，例如：当2,32x y ππ==时，此时sin sin x y <，所以不正确； 对于D 中，由33222213()()()[()]024x y x y x xy y x y x y y -=-++=--+>，所以33x y >，所以是正确的．故选D ． 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．C解析：C 【分析】主要利用排除法求出结果． 【详解】 对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立； 对于选项D ：当0a b >>时，不成立； 故选C ． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．C解析：C 【解析】 【分析】由不等式性质及举反例逐个分析各个选项可判断正误。
一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +BCD2．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（ ） A ．14B ．114C ．29D ．1293．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．20214．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2B ．1CD ．5．已知,,a b c R +∈ ，则()()()222222a abc b b ac c c ab -+-+- 的正负情况是（ ）A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．小于等于零6．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠= ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，则121e +的最大值为（ ） ABC．D．7．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11A x ,y ，()22B x ,y，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：()1f x x (x 0)x①=+>； ()f x lnx(0x 3)=<<②； ()f x cosx =③； ()2f x x 1=-④．其中为“柯西函数”的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．99．已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c++的最小值为 A ．9 B ．8 C ．3D ．1310．已知A ，B ，C 是ABC 的三个内角的弧度数，则111A B C ++与9π的大小关系为( ) A ．1119πA B C ++≥ B ．1119πA B C ++≤ C ．1119πA B C ++> D ．1119πA B C ++< 11．若5x 1+6x 2-7x 3+4x 4=1,则222212343x 2x 5x x +++的最小值是（ ） A ．78215B ．15782C ．3D ．25312．已知,,(0,1)a b c ∈，且1ab bc ac ++=，则111111a b c++---的最小值为（ ） A ．33- B ．93- C ．632- D ．933+ 二、填空题13．函数2223y x x =-+-的最大值为_______.14．已知22221x y a b+= (a >b >0)，则利用柯西不等式判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系为________．15．若,,x y z R ∈，且226x y z ++=，则222x y z ++的最小值为________. 16．函数()122f x x x =-+-的最大值为______________.17．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则3a 13b 13c 1+++++的最大值为________．18．已知实数x y 、、z 满足231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为 . 19．设x ，y ，z ∈R ，且满足：，则x+y+z=___________．20．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．三、解答题21．若a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2. （1）求abc 的最大值； （2）证明：11192a b c ++≥. 22．（1）已知,,1a b R a b +∈+=，求证：114a b+≥.（2）已知23x y z ++=222x y z ++的最小值.23．已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤. （1）求m 的值； （2）若,a b +∈R ，且112m a b a+=+，求3a b +的最小值. 24．已知函数()2f x m x =-+，m R ∈，且()20f x -≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且23++=a b c m ，求证：111323a b c++≥.25．已知函数()2f x x =．(1)求不等式()1f x >的解集； (2)若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值． 26．已知,,a b c +∈R ，且满足1abc =， （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．B解析：B 【分析】直接利用柯西不等式得到答案. 【详解】根据柯西不等式：()()2221492231x y zy z ++++≥++=，即222114xy z ++≥， 当且仅当114x =，17y =，314z =时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.3．B解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-， 取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()1222224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ． 【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．4．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）≥2()()a b a c ++=22， 当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．5．B解析：B 【分析】设0a b c >，所以333a b c ，根据排序不等式即可得出答案. 【详解】设0a b c >，所以333a b c根据排序不等式得333333a a b b c c a b b c c a ⋅+⋅+⋅++又ab ac bc ，222a b c ，所以333222a b b c c a a bc b ca c ab ++++. 所以444222a b c a bc b ca c ab ++++ 即()()()2222220aabc b b ac c c ab-+-+-.故选：B 【点睛】本题主要考查了排序不等式的应用，属于中档题.6．D解析：D 【分析】先设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得12||,||PF PF ,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】 如图所示:设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,不妨设点P 在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得,121||||2PF PF a += ,122||||2PF PF a -=,所以,112||PF a a =+, 212||PF a a =-, 设12||2F F c =,123F PF π∠=,则在△1212PF F 中,由余弦定理得2221212121214()()2()()2c a a a a a a a a =++--+-⨯, 即2221243=+c a a ,所以222212134c c a a =+,即2212134e e +=,由柯西不等式得2222212121313(11)(11)([()()]e e ⨯+⨯≤++, 即12132422e +≤⨯=.当且仅当12113e =,即12e =,26e =时,等号成立.故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题.7．C解析：C 【分析】问题转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，利用方程思想与数形结合思想，逐一判断即可. 【详解】由柯西不等式得：对任意实数2222112212121122,,,,0x y x y x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立(当且仅当1221x y x y =取等号），若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于① ,方程()10kx x x x=+>,即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，过原点的直线与函数()ln 03y x x =<<的图象在点(),1e 处相切，由图可知这样的直线存在；对于③，由图可知存在；对于④，由图可知存在,所以“柯西函数”的个数为2，故选C. 【点睛】本题考查了新定义,以及转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．8．B解析：B 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7． 故选B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．A解析：A 【分析】利用柯西不等式可得最小值． 【详解】 因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦29≥= 当且仅当13a b c ===时等号成立，故所求最小值为9，故选A ． 【点睛】 一般地，如果12,,,n a a a ，12,,,n b b b 是实数，那么()()()222222212121111n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++，进一步地，（1）如果1111n n a b a b a b M +++=，那么()()2222221212n n a a a b b b ++++++有最小值2M ，当且仅当1111nna a ab b b ===时取最小值； （1）如果()()2222221212n n a a a b b b M ++++++=，那么1111n n a b a b ab +++有最大1111nna a ab b b ===时取最大值． 10．A解析：A 【分析】直接利用柯西不等式即可得结果. 【详解】 由柯西不等式,()111A B C A B C ⎛⎫++++⎪⎝⎭得≥29,=A B C π++=,1119.πA B C ∴++≥当且仅当 πA B C 3=== ，时等号成立，故选A.【点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答.11．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意结合柯西不等式有：()222212342549325181635x x x x ⎛⎫+++⨯+++ ⎪⎝⎭()212345674x x x x ≥+++()2123456741x x x x ≥+-+=.故2222123415325782x x x x +++≥. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式其最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D解析：D 【解析】21110,,1,()3()33,()111a b c a b c ab bc ca a b c a b c<<∴++≥++=∴++≥++---(1a -+11)b c -+-2111111[(1)(1)(1)]9,111111a b c a b c a b c-+-+-=∴++≥------9(111)a b c -+-+-≥=D.，故选 【点睛】本题考查柯西不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题.本题想用基本不等式公式求得a b c ++≥利用柯西不等式公式求得111()(111)111a b c a b c++-+-+----9,≥从而求得1119111(111)a b c a b c ++≥≥=----+-+- 二、填空题13．【分析】拆解函数利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值【详解】∵当且仅当即时等号成立∴函数的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用属于基础题【分析】拆解函数，利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值． 【详解】∵y ==111++53x =时等号成立， ∴函数y【点睛】本题主要考查了三维形式的柯西不等式在求解函数最值中的应用，属于基础题．14．a2＋b2≥(x ＋y)2【解析】【分析】首先分析题目由已知判断a2＋b2与(x ＋y)2的大小关系可得然后应用柯西不等式即可得到答案【详解】∵∴a2＋b2＝＝(x ＋y)2故答案为：a2＋b2≥(x ＋y解析：a 2＋b 2≥(x ＋y )2【解析】 【分析】首先分析题目，由已知22221(0)x y a b a b+=>>，判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系，可得22222222()()x y a b a b a b+=++，然后应用柯西不等式即可得到答案. 【详解】 ∵22221x y a b+=， ∴a 2＋b 2＝2222222()()[()()]x y x y a b a b a b a b++≥⋅+⋅＝(x ＋y )2， 故答案为：a 2＋b 2≥(x ＋y )2.【点睛】 该题考查的是有关利用柯西不等式比较两个式子的大小的问题，在解题的过程中，注意应用题中的条件对式子进行转化，属于简单题目.15．4【分析】根据条件及所求式子的特征可利用柯西不等式即可求得的最小值【详解】由柯西不等式可知即所以当且仅当时即当时等号成立即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等式在求最值中的应用属于基础题 解析：4【分析】根据条件及所求式子的特征,可利用柯西不等式,即可求得222x y z ++的最小值.【详解】由柯西不等式可知()()()222222221222x y z x y z ++++≥++， 即()222936x y z ⨯++≥，所以2224x y z ++≥， 当且仅当22226x z y x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩时，即当4323x z y ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 即222x y z ++的最小值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查了柯西不等式在求最值中的应用，属于基础题.16．【分析】利用函数表达式即可求得函数的定义域为构造柯西不等式模型即可得解【详解】因为所以解得：所以函数的定义域为：又所以所以当且仅当时等号成立所以函数的最大值为【点睛】本题主要考查了构造思想及利用柯西【分析】利用函数表达式即可求得函数()f x 的定义域为[]1,2，构造柯西不等式模型即可得解．【详解】因为()f x =所以1020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：12x ≤≤，所以函数()f x 的定义域为：[]1,2.又()()()2221212x x -+-+≥⎤⎦⎡⎣所以25+≤.，当且仅当65x =时，等号成立．所以函数()f x =【点睛】 本题主要考查了构造思想及利用柯西不等式求最值，考查观察能力，属于中档题． 17．【解析】分析：根据柯西不等式将原式进行配凑并结合已知条件加以计算即可得到的最大值详解：根据柯西不等式可得当且仅当即时的最大值为18因此的最大值为点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题在解题的过解析：【解析】分析：根据柯西不等式2222222112233123123()()()x y x y x y x x x y y y ++≤++++，将原式进行配凑，并结合已知条件1a b c ++=最大值.详解：根据柯西不等式，可得22(111=222222(111]≤++++3[3()3]18a b c =+++=，13a b c ===时，2的最大值为18，=.点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题，在解题的过程中，需要对柯西不等式的形式要熟悉，并能对式子进行正确的配凑，从而求得结果.18．【分析】利用条件构造柯西不等式进行解答即可【详解】由柯西不等式可知:即故当且仅当即的最小值为故答案为【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配 解析：114【分析】利用条件231x y z ++=,构造柯西不等式()()()222222223123x y z x y z ++≤++++，进行解答即可.【详解】由柯西不等式可知:()()()222222223123x y z x y z ++≤++++, 即()222141x y z ++≥ 故222114x y z ++≥,当且仅当123x y z ==, 即222x y z ++的最小值为114. 故答案为114. 【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 19．【解析】根据柯西不等式得（x+2y+3z ）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14（x2+y2+z2）当且仅当时上式的等号成立∵x2+y2+z2=1∴（x+2y+3z ）2≤14结合可得x+ 解析：【解析】根据柯西不等式，得（x+2y+3z ）2≤（12+22+32）（x 2+y 2+z 2）=14（x 2+y 2+z 2）当且仅当时，上式的等号成立 ∵x 2+y 2+z 2=1，∴（x+2y+3z ）2≤14，结合，可得x+2y+3z 恰好取到最大值 ∴=，可得x=，y=，z= 因此，x+y+z=++= 故答案为20．12【解析】试题分析：由题∵a+2b+3c=6∴根据柯西不等式得;（a+2b+3c ）2=（1×a+1×2b+1×3c ）2≤（12+12+12）a2+（2b ）2+（3c ）2化简得62≤3（a2+4b2解析：12【解析】试题分析：由题∵a+2b+3c=6，∴根据柯西不等式，得;（a+2b+3c ）2=（1×a+1×2b+1×3c ）2≤（12+12+12）[a 2+（2b ）2+（3c ）2]化简得62≤3（a 2+4b 2+9c 2），即36≤3（a 2+4b 2+9c 2）∴a 2+4b 2+9c 2≥12，当且仅当a ：2b ：3c=1：1：1时， 即22,1,3a b c ===,时等号成立，a 2+4b 2+9c 2的最小值为12. 考点：柯西不等式的应用．三、解答题21．（1）827；（2）证明见解析. 【分析】（1）直接利用三个数的基本不等式求最值即可；（2）将a ＋b ＋c ＝2代入，利用柯西不等式证明即可.【详解】(1)因为a ，b ，c ∈R ＋，所以2＝a ＋b ＋c ≥827abc ≥，故827abc ≤. 当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立，所以abc 的最大值为827； (2)证明：因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝2，所以根据柯西不等式， 可得111a b c ++＝12 (a ＋b ＋c ) 111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝22222212⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎡⎤⎣⎣+⎢⎥⎦+⎦ 21922≥=，当且仅当23a b c ===时等号成立. 所以11192a b c ++≥. 【点睛】 本题的解题关键是利用已知条件拼凑111a b c ++＝12 (a ＋b ＋c ) 111a b c ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，观察使用柯西不等式求最值，突破难点即可.22．（1）证明见解析（2）1【分析】（1）利用“1”的变形，由均值不等式求证即可；（2）根据柯西不等式，直接求最值即可.【详解】（1）,,1a b R a b +∈+=1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b =，即12a b ==时，等号成立. （2）由柯西不等式知，()()2222222(23)123x y z x y z ++++++ 2221x y z ∴++， 当且仅当112314x y z ===时取等号， 即222x y z ++的最小值为1【点睛】本题主要考查了均值不等式，柯西不等式的应用，属于中档题.23．（1）2m =；（2）2.【分析】（1）先整理()1f x ≥，可得21x m -≤-，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可.【详解】（1）()1f x ≥即21m x --≥， 得21x m -≤-，∴()121m x m --≤-≤-，得31m x m -+≤≤+∵()1f x ≥的解集是{}13x x ≤≤， 得3113m m -+=⎧⎨+=⎩， 2m =，∴2m =.（2）由（1）得1122a b a+=+，由柯西不等式得，222224⎡⎤⎡⎤⎢⎥+⋅+≥=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 即()224a b a ++=，得32a b +≥.当12a =，32b =时，等号成立. ∴3a b +的最小值是2.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题.24．(1) 3m =;(2)证明见解析.【分析】(1)根据(2)0f x -≥的解集为[3,3]-,结合绝对值不等式的解法,即可求m 的值;(2)利用柯西不等式,即可证明结论.【详解】(1)依题意(2)||0f x m x -=-≥,即||x m m x m ≤-≤≤，，3m ∴=； (2)证明: 233(,,0)a b c a b c ++=>, 所以由柯西不等式得3=≤ 所以111323a b c ++≥,当且仅当23a b c ==,即111,,23a b c ===时取等号. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用，属于中档题.25．（1）22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1963． 【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将()f x 转换为分段函数，再求解即可.(2)代入可得()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再根据柯西不等式求最小值即可. 【详解】解：(1)化简得321x x -->①当0x ≤时，()()323f x x x x =---=+，由()1f x >即31x +>，解得2x >-，又0x ≤，所以20x -<≤；②当03x <<时，()33f x x =-，由()1f x >，即231x ->，解得23x <，又02x <<，所以203x <<； ③当3x ≥时，()3f x x =--，不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． (2)249233a b c f ⎛⎫++=+=⎪⎝⎭， 所以()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式((22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦((213⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c++的最小值为1963. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题. 26．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先将1abc =代入不等式左边可得()2223a b c ++，再由柯西不等式证明即可. （2）设1a x =，1b y =，1c z =，则1xyz =，将式子中的,,a b c 用1x ，1y ，1z 替换左边等于3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++，化为()1113x y z y z x z x y ⎛⎫++++-⎪+++⎝⎭，再利用柯西不等式即可证明. 【详解】 （1）左边()2223a b c =++， 由柯西不等式得：()()()2222111a b c a b c ++++≥++⋅（取等号的条件是a b c ==）， 即所以()2333a b c a b c bc ac ab++≥++，原不等式得证． （2）由于,,a b c +∈R ，1abc =，设1a x =，1b y =，1c z =，则1xyz =， 所以()()()222111x y z a b c b a c c a b y z x z x y++=++++++++， 则3x y z x y z y x z z x y y z x z x y y z x z x y++++++++=++-++++++ ()1113x y z y z x z x y ⎛⎫=++++- ⎪+++⎝⎭()()()111132y z x z x y y z x z x y ⎛⎫=+++++⋅++-⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭． 由柯西不等式可得：()()()()21111119y z x z x y y z x z x y ⎛⎫+++++⋅++≥++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭， （当且仅当x y z ==时等号成立） 所以93322x y z y z x z x y ++≥-=+++， 故()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++（当且仅当a b c ==时等号）， 则原不等式得证．【点睛】本题主要考查利用柯西不等式证明不等式成立的问题，考查考生的运算求解能力和推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题.。
第1讲绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x |＞c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|＜2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a ＞b ＞0时等号成立.( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立.( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4D.－4或8解析 分类讨论：当a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－a ，x <－1，－x ＋1－a ，－1≤x ≤－a2，3x ＋1＋a ，x >－a2，显然，x ＝－a 2时，f (x )min ＝a2＋1－a ＝3，∴a ＝－4，当a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－a ，x <－a2，x －1＋a ，－a 2≤x ≤－1，3x ＋1＋a ，x >－1，显然x ＝－a 2时，f (x )min ＝－a2－1＋a ＝3，∴a ＝8. 答案 D3.(2019·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集为________. 解析 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4).答案 (－∞，4)4.若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 25.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________.解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x ＜－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12，当x ＜－2时，y ＝－3x －1＞5； 当－2≤x ＜12时，5≥y ＝－x ＋3＞52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12考点一 含绝对值不等式的解法 【例1】 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.解 法一 如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A ，B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间[－2，1]不是不等式的解集.把A 向左移动一个单位到点A 1，此时A 1A ＋A 1B ＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时B 1A ＋B 1B ＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).法二 原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔⎩⎨⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5或⎩⎨⎧－2＜x ＜1，－（x －1）＋x ＋2≥5或⎩⎨⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).法三 将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0. 令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5，则f (x )＝⎩⎨⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，2x －4，x ≥1.作出函数的图象，如图所示.由图象可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).规律方法 形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ， ＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解. 【训练1】 (2019·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧x |x <13或}1<x <3或x >5.考点二 含参数的绝对值不等式问题【例2】 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值； (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值. 解 (1)∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， ∴|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3. ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.规律方法 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法.【训练2】 (1)若关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解，求实数d 的取值范围；(2)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，求实数a 的取值范围.解 (1)∵|2 014－x |＋|2 015－x |≥|2 014－x －2 015＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解时，d ≥1. (2)∵x ＋1x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ∈[2，＋∞)，其最小值为2. 又∵sin y 的最大值为1，故不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 恒成立时，有|a －2|≤1，解得a ∈[1，3]. 考点三 含绝对值的不等式的应用【例3】 (2019·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以实数a 的取值范围是[2，＋∞).规律方法 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法. 【训练3】 (2019·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以实数a 的取值范围为(2，＋∞).[思想方法]1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决. [易错防范]1.可以利用绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求函数最值，要注意其中等号成立的条件.2.掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.(建议用时：60分钟)1.设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值.解 (1)法一 令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4. 原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，3x －3＞2或⎩⎨⎧x ≥4，x ＋5＞2.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，x ＜－7或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，x ＞53或⎩⎨⎧x ≥4，x ＞－3，∴x ＜－7或x ＞53.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53.法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－123x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4x ＋5 （x ≥4）画出f (x )的图象，如图所示.求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2.由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53.(2)由(1)的法二图象知：当x ＝－12时，知：f (x )min ＝－92.2.(2019·长沙一模)设α，β，γ均为实数.(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|； (2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.证明 (1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤ |cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|； |sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋ |cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|， 而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1. 3.(2019·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数. (1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值；(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围. 解 (1)∵|2a ＋b |＋（2a －b ）|a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min.由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集. 解不等式得－2≤x ≤2.故实数x 的取值范围为[－2，2].4.(2019·广州二测)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a ). (1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域；(2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ，求实数a 的最大值. 解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞7，①当x ＞2时，得x ＋1＋x －2＞7，解得x ＞4. ②当－1≤x ≤2时，得x ＋1＋2－x ＞7，无解. ③当x ＜－1时，得－x －1－x ＋2＞7，解得x ＜－3. ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞). (2)不等式f (x )≥3，即|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8， ∵当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 又不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8的解集是R ， ∴a ＋8≤3，即a ≤－5， ∴a 的最大值为－5.5.设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ；(2)当x ∈(M ∩N )时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14. (1)解 f (x )＝⎩⎨⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1， 得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1. 所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}.(2)证明 由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤34.当x ∈(M ∩N )时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.6.(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式：|g (x )|＜5；(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5， 所以－7＜|x －1|＜3， 解不等式得－2＜x ＜4，所以原不等式的解集是{x |－2＜x ＜4}.(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.第2讲不等式的证明最新考纲通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.知识梳理1.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法.②求商比较法由a>b>0⇔ab>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明ab>1即可，这种方法称为求商比较法.(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法.(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立. 2.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立).②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立.③柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ， 则（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2 ≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2.④柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. (2)算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时假设为“a ，b ，c 全不为0”.( ) (2)若实数x ，y 适合不等式xy ＞1，x ＋y ＞－2，则x ＞0，y ＞0.( ) 答案 (1)× (2)√2.(2019·泰安模拟)若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b ，则x 与y 的大小关系是( ) A.x ＞yB.x ＜yC.x ≥yD.x ≤y解析 x －y ＝a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab .由a ＞b ＞1得ab＞1，a －b ＞0，所以（a －b ）（ab －1）ab ＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y .答案 A3.(2019·聊城模拟)下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2(x ＞1)，①正确. ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确； 因为ab ≠0，b a 与ab 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知， |x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确， 综上①③④正确. 答案 C4.设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________.解析 由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，∴m 2＋n 2≥5，∴所求最小值为 5. 答案55.(2019·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集.(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0， 即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.考点一 用分析法证明不等式【例1】 设a ，b ，c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＝1. 求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab ≥ 3(a ＋b ＋c ).证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥ 3， 由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca ). 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得. ∴原不等式成立. (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc .由于(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立， 只需证明1abc≥ a ＋b ＋c .即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .规律方法 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. 【训练1】 (2019·宜昌一中月考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .解 (1)由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6， 令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，则g (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－2，4，－2＜x ＜2，2x ，x ≥2.当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3； 当－2＜x ＜2时，4≥6不成立，此时无解； 当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞). (2)证明 要证f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，只需证|ab －1|＞|b －a |， 只需证(ab －1)2＞(b －a )2.而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)·(b 2－1)＞0，从而原不等式成立. 考点二 用综合法证明不等式【例2】 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ×a b ＋4＝8. ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab ＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 规律方法 (1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键. (2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.【训练2】 (2019·重庆适应性测试)设a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥2.证明 (1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca ，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c ＋bc a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2. 考点三 柯西不等式的应用 【例3】 已知x ，y ，z 均为实数.(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值.(1)证明 因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3.当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号.(2)解 因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9， 所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.规律方法 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.【训练3】 已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y≥32.证明 由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝ 6(x ＋y ＋z )＝183，∴x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立.[思想方法]证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等.(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的在本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据.[易错防范]1.在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.2.柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件.(建议用时：60分钟)1.设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.解(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}.(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.2.已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：a＋b＋c＜1a＋1b＋1c.证明法一∵a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，∴a＋b＋c＝1bc＋1ca＋1ab＜1b＋1c2＋1c＋1a2＋1a＋1b2＝1a＋1b＋1c.∴a＋b＋c＜1a＋1b＋1c.法二∵1a＋1b≥21ab＝2c；1b ＋1c ≥21bc ＝2a ；1c ＋1a ≥21ac ＝2b .∴以上三式相加，得1a ＋1b ＋1c ≥ a ＋b ＋c .又∵a ，b ，c 互不相等，∴1a ＋1b ＋1c ＞a ＋b ＋c . 法三 ∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2＞abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .3.(2019·衡阳二联)已知函数f (x )＝|x －3|.(1)若不等式f (x －1)＋f (x )＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围； (2)若|a |＜1，|b |＜3，且a ≠0，判断f （ab ）|a |与f⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 的大小，并说明理由. 解 (1)因为f (x －1)＋f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|x －4＋3－x |＝1， 不等式f (x －1)＋f (x )＜a 的解集为空集， 则1≥a 即可，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]. (2)f （ab ）|a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .证明：要证f （ab ）|a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，只需证|ab －3|＞|b －3a |， 即证(ab －3)2＞(b －3a )2，又(ab －3)2－(b －3a )2＝a 2b 2－9a 2－b 2＋9＝(a 2－1)(b 2－9). 因为|a |＜1，|b |＜3，所以(ab －3)2＞(b －3a )2成立， 所以原不等式成立.4.(2019·陕西卷)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎨⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t≤[（3）2＋12][（（4－t ））2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.5.(2019·全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |， 则(a －b )2＜(c －d )2,即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)得a ＋b ＞c ＋d . ②若a ＋b ＞c ＋d ， 则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.6.已知a，b，c均为正实数.求证：(1)(a＋b)(ab＋c2)≥4abc；(2)若a＋b＋c＝3，则a＋1＋b＋1＋c＋1≤3 2.证明(1)要证(a＋b)(ab＋c2)≥4abc，可证a2b＋ac2＋ab2＋bc2－4abc≥0，需证b(a2＋c2－2ac)＋a(c2＋b2－2bc)≥0，即证b(a－c)2＋a(c－b)2≥0，当且仅当a＝b＝c时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(a＋b)(ab＋c2)≥4abc成立.(2)因为a，b，c均为正实数，由不等式的性质知a＋1·2≤a＋1＋22＝a＋32，当且仅当a＋1＝2时，取等号，b＋1·2≤b＋1＋22＝b＋32，当且仅当b＋1＝2时，取等号，c＋1·2≤c＋1＋22＝c＋32，当且仅当c＋1＝2时，取等号，以上三式相加，得2(a＋1＋b＋1＋c＋1)≤a＋b＋c＋92＝6，所以a＋1＋b＋1＋c＋1≤32，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号.。
选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式[基础达标]一、填空题(每小题5分,共25分)1.若不等式A={x||3x+2|>1},B={x||x-2|≤3},则A∩B=.【解析】解不等式|3x+2|>1得3x+2<-1或3x+2>1,解得x<-1或x>-,则A=;解不等式|x-2|≤3得-3≤x-2≤3,则-1≤x≤5,则B={x|-1≤x≤5},所以A∩B=.2.(2015·某某统测)不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为.[-2,3]【解析】不等式|x-2|+|x+1|≤5⇔解得-2≤x<-1或-1≤x≤2或2<x≤3,所以不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为[-2,3].3.(2015·某某巴蜀中学三诊)已知关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,则a的取值X围为.(-2,2)【解析】由关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,得关于x的不等式|x+2|+|x-2|>a2解集为R,则(|x+2|+|x-2|)min>a2.又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以a2<4,-2<a<2.4.若关于x的不等式|x-a|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值X围是.【解析】由题意可得(|x-a|+|x-1|)min≥a,又|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以|a-1|≥a,则a-1≤-a,a≤.5.(2015·某某三模)若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,则|2x+3y+1|的最大值为.7【解析】由|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,得|2x+3y+1|的最大值为7.二、解答题(每小题10分,共50分)6.(2015·某某高考)解不等式x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7.(2015·东北三省四市二模)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,某某数t的取值X围.【解析】(1)f(x)=当x<-1时,-x-4>2,x<-6,∴x<-6;当-1≤x<2时,3x>2,x>,∴<x<2;当x≥2时,x+4>2,x>-2,∴x≥2.综上所述.(2)易得f(x)min=f(-1)=-3,若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,则只需f(x)min=-3≥t2-t⇒2t2-7t+6≤0⇒≤t≤2,综上所述≤t≤2.8.(2015·某某实验中学质检)设函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若不等式f(x)≤a的解集非空,某某数a的取值X围.【解析】(1)函数f(x)=方程f(x)=2的根为x1=,x2=3,由函数f(x)的图象知f(x)>2的解集为.(2)设g(x)=a,g(x)表示过点,斜率为a的直线,f(x)≤a的解集非空,即y=f(x)的图象在g(x)图象下方有图象,或与g(x)图象有交点,由图象可知a<-或a≥.9.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+5|,且f(x)≥m恒成立.(1)求m的取值X围;(2)当m取最大值时,解关于x的不等式|x-3|-2x≤2m-8.【解析】(1)f(x)=当-≤x≤时,函数有最小值6,所以m≤6.(2)当m取最大值6时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,等价于可得x≥3或-≤x<3.所以原不等式的解集为.10.(2015·某某模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x+a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4;(2)若a>0,且∀x∈R,f(x)≥5恒成立,求a的取值X围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|x-1|+|x+2|,由f(x)≥4得|x-1|+|x+2|≥4.当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+1≥4,其解集为.当-2<x≤1时,不等式化为x+2-x+1≥4,其解集为⌀.当x>1时,不等式化为x+2+x-1≥4,其解集为.综上得f(x)≥4的解集为.(2)因为a>0,所以f(x)=|x-1|+|x+a|=因此f(x)的最小值为a+1,由f(x)≥5恒成立,即a+1≥5恒成立,解得a≥4,所以当a>0时,对于∀x∈R,使f(x)≥5恒成立的a的取值X围是[4,+∞).[高考冲关]1.(5分)集合A=[1,5],集合B={x∈R‖x+3|+|x-2|≤a+2},且A⊆B,则实数a的取值X围是.[9,+∞)【解析】由题意可得当x∈[1,5]时,关于x的不等式|x+3|+|x-2|≤a+2恒成立,则(|x+3|+|x-2|)max≤a+2,又|x+3|+|x-2|=所以当x=5时,|x+3|+|x-2|取得最大值11,故a+2≥11,解得a≥9.2.(5分)(2015·某某调研)设函数f(x)=|x-1|+|2x-a|,若关于x的不等式f(x)≥a2+1对x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.[-2,0]【解析】当<1,a<2时,f(x)=f(x)min=f=-a+1≥a2+1,解得-2≤a≤0;当>1,a>2时,f(x)=f(x)min=f a-1≥a2+1,无解;当a=2时,不成立.综上可得实数a的取值X围是[-2,0].3.(10分)(2015·某某测试)设函数f(x)=|x-1+a|+|x-a|.(1)若a≥2,x∈R,证明f(x)≥3;(2)若f(1)<2,求a的取值X围.【解析】(1)|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以此时f(x)≥3.(2)f(1)=|a|+|1-a|,当a≤0时,f(1)=(-a)+(1-a)=1-2a,由f(1)<2,得1-2a<2,即-<a≤0;当0<a≤1时,f(1)=a+(1-a)=1<2恒成立,故0<a≤1;当a>1时,f(1)=a+(a-1)=2a-1,由f(1)<2,得2a-1<2,解得1<a<.综上a的取值X围是.4.(10分)(2015·某某监测)(1)已知a和b是任意非零实数.证明:≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,某某数k的取值X围.【解析】(1)∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,∴≥4.(2)记h(x)=|2x+1|-|x+1|=如图,若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,则函数h(x)的图象在直线g(x)=k(x-1)-的上方,又g(x)的图象恒过定点,即g(x)的图象只能在图中阴影区域内,可得k∈.5.(10分)(2015·某某二中二模)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,某某数a的取值X围.【解析】(1)由‖x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,-2<x<4,∴不等式|g(x)|<5的解集为(-2,4).(2)∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,则|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,即实数a的取值X围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).。
一、选择题1．函数()f x cosx = ，则()f x 的最大值是（ ）A B C ．1D ．22．已知三个正实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，给出以下几个结论：①22213a b c ++≤；②13ab bc ca ++≤；③2221b c a a b c++≥；≥则正确的结论个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．43．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A 1 BC 1D 4．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11A x ,y ，()22B x ,y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：()1f x x (x 0)x①=+>； ()f x lnx(0x 3)=<<②； ()f x cosx =③；()2f x x 1=-④．其中为“柯西函数”的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．65 B ．6 35C ．36 35D ．66．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,497．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．98．设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ）A ．2B ．165C ．3D ．259．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（ ） A ．12B ．14 C ．1 D ．3410．若,,a b c R +∈，且1a b c ++= ）A ．2B ．32C D ．5311．不等式2313x x a a ++-<-有解的实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),14,-∞-+∞ B ．()1,4-C ．()(),41,-∞-+∞D ．()4,1-12．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（ ） A ．（2，3） B ．（1，3） C ．（0，2） D ．（1，2）二、填空题13．已知x ，y ∈R ，且3x y +=______. 14．已知,,x y z 为正实数，且1111x y z++=，则49x y z ++的最小值为________． 15．已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为______．16．已知0,0,3a b a b >>+=______． 17．已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是__________． 18．在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________．19．已知实数x y 、、z 满足231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为 . 20．已知x 、y 、z ∈R,且2331x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______.三、解答题21．已知函数3()|3|(0)f x x a x a a =-++>．（1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为4，且1(0,0)am m nn +=>>≤ 22．已知函数()|2||21|f x x x =-++．（1）求不等式()3f x 的解集；（2）已知222(1)(1)6a b c +-++=，证明：824a b c --+． 23．已知函数()223f x x x =++-. （1）求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为m ，a 、b 、c 为正数且a b c m ++=，求证：222253a b c ++≥. 24．已知x ，y ，z 均为正实数，且222111149x y z ++=． 证明：（1）1111263xy yz xz++≤； （2）222499x y z ++≥．25．已知正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.（1）求的最大值； （2）求证：14936a b c++≥ 26．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝3，a 2＋b 2＋2c 2＝6，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将()f x 化为()f x cosx =，利用柯西不等式即可得出答案.【详解】因为()f x cosx =所以()()(21f x cosx=+=当且仅当cosx =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的最值，涉及了柯西不等式的应用，属于中档题.2．B解析：B利用基本不等式及柯西不等式计算可得； 【详解】解：①：222222222a b ab b c bc a c ac ⎧+⎪+⎨⎪+⎩，222a b c ab bc ac ∴++++ 2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ∴++=+++++++．22213a b c ∴++，故①不正确． ②：由2222()2()3()a b c a b c ab bc ac ab bc ac ++=+++++++，13ab bc ca ∴++，故②正确．③：222222b a b ac b c ba c c c⎧+⎪⎪⎪+⎨⎪⎪+⎪⎩，∴2221b c a a b c a b c ++++=∴2221b c a a b c++，故③正确． ④：由柯西不等式得2()(111)(a b c a b +++++，∴≤④错误．故选：B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式即柯西不等式证明不等式，属于中档题．3．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy-+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =； 令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.4．C解析：C 【分析】问题转化为存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点，利用方程思想与数形结合思想，逐一判断即可. 【详解】由柯西不等式得：对任意实数2222112212121122,,,,0x y x y x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立(当且仅当1221x y x y =取等号），若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得,OA OB 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于① ,方程()10kx x x x=+>,即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，过原点的直线与函数()ln 03y x x =<<的图象在点(),1e 处相切，由图可知这样的直线存在；对于③，由图可知存在；对于④，由图可知存在,所以“柯西函数”的个数为2，故选C. 【点睛】本题考查了新定义,以及转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．5．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可. 【详解】 由柯西不等式,得： x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项. 【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100, 则x 2+y 2+z 2≥100.29当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,23423410,x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立可得x 203040,,.292929y z === 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.8．B解析：B 【解析】解：根据柯西不等式可知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2， ∴4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2， ∴5e 2-16e ≤0， ∴0≤e ≤165， 本题选择B 选项.点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．9．B解析：B 【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c da b c d ++++++≥+++，因为1a b c d +++=，于是由上式得()222241a b c d +++≥，于是222214a b c d +++≥，当且仅当14a b c d ====时取等号，故选B ． 考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．10．C解析：C 【解析】试题分析：(()()22221111113a b c ≤++++=，因此，≤==13a b c ===时取等号，故选C ． 考点：柯西不等式．11．A解析：A 【解析】试题分析：因为31(3)(1)4x x x x ++-≥+--=，则要使不等式2313x x a a ++-<-有解，则有243a a <-，解得1a <-或4a >，故选A ．考点：1、绝对值不等式的性质；2、不等式的解法．12．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x xxxf x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2xy =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．二、填空题13．【分析】凑配进而根据柯西不等式结合已知求解即可【详解】解：根据柯西不等式得：当且仅当时上述两不等式取等号所以因为所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值问题解题的关键在于解析：【分析】 凑配==，进而根据柯西不等式结合已知求解即可.【详解】解：根据柯西不等式得：()()()222221121xx ++≥+，()()()2222222428y y ++≥+，当且仅当2,1x y ==时，上述两不等式取等号，21x +28y +因为3x y +=，29x y ++=≥==当且仅当2,1x y ==时，等号成立.故答案为： 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值问题，解题的关键在于根据已知条件凑配使得=，再根据柯西不等式求解，考查运算求解能力，是中档题.14．36【分析】直接利用柯西不等式求最小值及取最小值的条件【详解】由柯西不等式得当且仅当即时等号成立；所以当时取得最小值36故答案为：36【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值意在考查学生对这些知识的理解解析：36【分析】直接利用柯西不等式求最小值及取最小值的条件． 【详解】 由柯西不等式得222222149][()]x y zx ++=++++2111(23)36xyzx y z ++=当且仅当23x y z ==，即6x =，3y =，2z =时，等号成立； 所以当6x =，3y =，2z =时，49x y z ++取得最小值36． 故答案为：36. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【分析】由二维柯西不等式即可得解【详解】解：∵(32＋42)(x2＋y2)≥(3x ＋4y)2当且仅当3y ＝4x 时等号成立∴25×10≥(3x ＋4y)2即∴(3x ＋4y)max ＝5故答案为：5【点睛】【分析】由二维柯西不等式即可得解. 【详解】解：∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立， ∴25×10≥(3x ＋4y )2，即34x y -≤+≤ ∴(3x ＋4y )max ＝.故答案为： 【点睛】本题考查了柯西不等式，重点考查了柯西不等式的应用，属基础题.16．【解析】由柯西不等式可得所以当且仅当即时等号成立故的最大值是故答案为解析：【解析】由柯西不等式可得()2222211()12≤++=，所以≤=2a =，1b =时，等号成立，故故答案为17．【解析】令则∵∴∴由柯西不等式得：当且仅当u=v=即或时的最小值是1故填1解析：1【解析】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， ∵222x y +=，∴22()()8u v u v ++-=，∴224u v ，由柯西不等式得：222211()()4u v u v ++≥,当且仅当x =0y =或0x =，y =2211()()x y x y ++-的最小值是1,故填1. 18．64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为则根据柯西不等式所以时最小值为64考点：柯西不等式解析：64【解析】 试题分析：设依次填入的三个数分别为,,x y z ，则根据柯西不等式()()21916134x y z x y z ⎛⎫++++≥++⎪⎝⎭64=，所以8,24,32x y z ===时，最小值为64． 考点：柯西不等式．19．【分析】利用条件构造柯西不等式进行解答即可【详解】由柯西不等式可知:即故当且仅当即的最小值为故答案为【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值属于中档题利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配 解析：114【分析】 利用条件231x y z ++=,构造柯西不等式()()()222222223123x y z x y z ++≤++++，进行解答即可.【详解】由柯西不等式可知:()()()222222223123x y z x y z ++≤++++, 即()222141x y z ++≥ 故222114x y z ++≥,当且仅当123x y z ==, 即222x y z ++的最小值为114.故答案为114. 【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式求最值,属于中档题.利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 20．【解析】试题分析：由柯西不等式因为所以当且仅当即时取等号所以的最小值为考点：柯西不等式 解析：122【解析】试题分析：由柯西不等式，2222222(233)()(233)x y z x y z ++++≥++，因为2331x y z ++=.所以222222122()122x y z x y z ++≥⇒++≥，当且仅当233x y z ==，即13,1122x y z ===时取等号.所以222x y z ++的最小值为122. 考点：柯西不等式三、解答题21．（1）()4,2-；（2）证明见解析.【分析】（1）当1a =时，由()6f x <，得|1||3|6x x -++<．利用零点分段法去绝对值,分三段解不等式即可求解；（2）由绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为334a a +=，解得1a =，可得11m n+=， 利用柯西不等式即可求证.【详解】（1）当1a =时，由()6f x <，得|1||3|6x x -++<．当3x ≤-时，136x x ---<，即226x --<，解得：4x >-，所以43x -<≤-； 当31x -<<时，136x x -++<，即46<，所以31x -<<；当1≥x 时，136x x -++<，即226x +<，解得2x <，所以12x ≤<．综上所述：不等式()6f x <的解集为()4,2-．（2）证明：因为333()|3|(3)3f x x a x a x a x a a a =-++≥--+=+，且0a >，所以()f x 的最小值为334a a +=．因为函数3()3g a a a =+为增函数，且()14g =，所以1a =． 从而11m n+=，因为0m >，0n >， 所以由柯西不等式得()222112m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，即25≥，≤（当且仅当15m =，54n =时等号成立） 【点睛】方法点睛：解绝对值不等式的常用方法（1）基本性质法：a 为正实数，x a a x a <⇔-<<，x a x a >⇔<-或x a >；（2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于x a x b -<-或x a x b ->-型的不等式的求解；（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图像求解.22．（1）(-∞，2][03-，)+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）分三种情况讨论解不等式得解；（2）由柯西不等式得2(22)36a b c -++，化简即得证.【详解】（1）()3f x 即为2213x x -++，等价为2{2213x x x -++或12{22213x x x -<<-++或1{22213x x x ----， 解得2x 或02x <或23x -， 综上可得，原不等式的解集为(-∞，2][03-，)+∞； （2）证明：由柯西不等式可得2222222[(1)(1)][2(1)1][2(1)1]a b c a b c +-++⨯+-+--++，当112a b c =-=+时，上式取得等号． 又222(1)(1)6a b c +-++=，则2(22)36a b c -++，即6226a b c --++，即824a b c --+．即得证.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查柯西不等式的应用，考查不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．（1）(]11,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求出不等式的解集；（2）先求出最小值m ，然后利用柯西不等式可证明. 【详解】 （1）当2x -≤时，()()()22322334f x x x x x x =++-=----=-+，由()7f x ≥，得347x -+≥，解得1x ≤-，此时2x -≤； 当23x -<<时，()()()2232238f x x x x x x =++-=+--=-+，由()7f x ≥，得87x -≥，解得1x ≤，此时21x -<≤；当3x ≥时，()()()22322334f x x x x x x =++-=++-=-，由()7f x ≥，解得113x ≥， 综上所述，不等式()7f x ≥的解集为(]11,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭； （2）由（1）可知()34,28,2334,3x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩. 当2x -≤时，()3410f x x =-+≥；当23x -<<时，()()85,10f x x =-∈；当3x ≥时，()345f x x =-≥.所以，函数()y f x =的最小值为5m =，则5a b c ++=.由柯西不等式可得()()()2222111a b c a b c ++++≥++，即()222235a b c ++≥， 即222253a b c ++≥，当且仅当53a b c ===时，等号成立. 因此，222253a b c ++≥. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，考查柯西不等式证明不等式，属于中档题.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）运用基本不等式，可得221114x y xy +≥，22111493y z yz +≥，2211293x z xz+≥三式相加，结合题设条件，即可求解；（2）由乘“1”法，结合柯西不等式证明，即可证明.【详解】（1）由基本不等式，可得221114x y xy +≥，22111493y z yz +≥，2211293x z xz+≥， 所以22211111224933x y z xy yz xz ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭． 当且仅当11123x y z==时等号成立，即22211111149263x y z xy yz xz ++≥++， 又由222111149x y z ++=，所以1111263xy yz xz++≤． （2）由题意知222111149x y z ++=， 可得()22222249491x y z x y z ++=++⨯()2222221114949x y z x y z ⎛⎫=++⋅++ ⎪⎝⎭()21119≥++=． 当且仅当23x y z ==时等号成立，所以222499x y z ++≥．【点睛】本题主要考查了不等式的证明，其中解答中合理运用均值不等式和柯西不等式是解答的关键，属于中档题．25．（1）18；（2）证明见解析. 【分析】（1）变换得到22a a abc b c ++=+++，再利用均值不等式解得答案. （2）直接利用柯西不等式得到证明.【详解】（1）22a a a b c b c ++=+++≥42144a bc ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴，6212a bc ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 31128⎛⎫= ⎪⎝⎭∴，当且仅当124a b c ===，即12a =，14b c ==时取得最大值18. （2）由柯西不等式得：()()222222149a b c a b c ⎛⎫⎛⎫ ⎪++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2212336≥=++=， 当16a =，13b =，12c =时等号成立，1a b c ++=，14936a b c ++≥∴. 【点睛】本题考查了均值不等式求最值，柯西不等式证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.26．1205a ≤≤【分析】 由题意可得222222162(2)(1)32a b c b c -=+=++，结合柯西不等式即可得到2226(3)3a a -≥-，解一元二次不等式即可． 【详解】解：∵222222162(2)(1)32a b c b c -=+=++2222()(3)33b c a +=-≥， 即25120a a -≤， ∴1205a ≤≤． 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，属于中档题．。
