人教版高考文科数学一轮复习课件-函数及其表示

202X
高中总复习优化设计
GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第二章
2.1 函数的概念及其表示
课标要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关
系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的要
图象、求值及方程(不等式)问题,提升数学运算和数学抽象素养.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.函数的概念
内容
两个集合 A,B
函数
设 A,B 是两个非空数集
如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的
对应关系 f:A→B 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它
[-1,2]
.
因为 y=f(x2-1)的定义域为[-√3, √3],
所以 x∈[-√3, √3],x2-1∈[-1,2],所以 y=f(x)的定义域为[-1,2].
能力形成点3
例4
求函数的解析:式
2
(1)已知 f + 1 =lg x,求 f(x);
(2)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x);
4.设 f(x)= 0, = 0,g(x)=
则 f(g(π))的值为( B )
0,为无理数,
1, < 0,
A.1
B.0
C.-1
D.π

C )


g(x)=

C.f(x)= 与 g(x)=|x|
0
D.f(x)=1,x∈R 与 g(x)=x
解析:A选项中函数f(x)的定义域为[1,+∞),g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同
一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义
域不同,不是同一个函数;C选项中函数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同,
2
所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=x -x+3.
义域.
求函数的解析式


1.(2022·黑龙江哈尔滨月考)已知 f( +1)=lg x,则 f(x)的解析式为


解析:令 +1=t(t>1),则 x=
所以 f(t)=lg
所以 f(x)=lg

(t>1),
-

(x>1).
-

答案:f(x)=lg
(x>1)
பைடு நூலகம்-

,
-
.
2.若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为
所以f(x)的定义域为[-5,5],所以f(1-2x)满足-5≤1-2x≤5,所以-2≤x≤3,
所以函数f(1-2x)的定义域为[-2,3].
3.若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(x-1)的定义域为
解析:因为f(x)的定义域为[0,2],
所以0≤x-1≤2,即1≤x≤3,
所以函数f(x-1)的定义域为[1,3].
答案:[1,3]

A.有最小值-1,最大值1
B.有最大值1,无最小值
C.有最小值-1,无最大值
D.有最大值-1,无最小值
)
答案:C
解析:如图,画出|f(x)|=|2x-1|与g(x)=1-x2的图象,它们交于A,B两点.由“规定”,
在A,B两侧,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之间,|f(x)|<g(x),故h(x)=-g(x).
C.
规律方法 函数图象的识别方法
特殊
点法
函数
性质法
极限
思想
图象
变换法
根据已知函数的解析式选取特殊的点,判断选项中的图象是否
经过这些点,若不满足,则排除
根据选项中的图象特点,结合函数的奇偶性、单调性等来排除
选项,有时需要借助导数工具求解
应用极限思想来处理,可以使解题过程费时少、准确率高
有关函数y=f(x)与函数y=af(bx+c)+h的图象问题的判断,熟练掌
+
, 对称.
函数y=f(x)的图象关于点
2 2
3.两个函数图象之间的对称关系
-
(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=
对称(由a+x=b-x得对称
2
轴方程);
(2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称;
(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称;
那么不等式 () <0的解集为
cos
.
答案:
π
- ,-1,4
2
∪
π
0,
2
π
1,
2
时,y=cos x>0.

故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
=a 1 +
1
−1
,
( )'(-1)- (-1)' (-1)-
(方法 2 导数法)f'(x)=
常用结论
1.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:
(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;
(3)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个
6.利用单调性求参直观想象
3.数学运算
强基础 固本增分
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
类别 增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的
任意两个自变量的值x1,x2
显然D⊆I
定义
当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2) ,
A.(-∞,-1]
B.(-∞,2]
C.[2,+∞)
D.[5,+∞)
)
答案:(1)D (2)D
-2, ≥ 1,
解析:(1)由题意可得,f(x)=|x-1|-1=
-, < 1.
作出函数f(x)的图象如图所示:
由图可知,函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,

考点 2 函数的解析式
【典例引领】
[例 1] (1)(一题多法)已知 f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则 f(x)＝________.
t－1
t－1
t－1
解析：法一(换元法) 令 2x＋1＝t(t∈R)，则 x＝ 2 ，所以 f(t)＝4( 2 )2－6· 2 ＋
5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以 f(x)＝x2－5x＋9(x∈R).
3．函数的表示法 表示函数的常用方法有_解__析__法___、图象法和_列__表__法___． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因_对__应__关__系___不同而分别用几个不同的式子来 表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各 段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
解析：因为 f(x)＝1x＋
x≠0， 1－x，所以1－x≥0，解得 x∈(－∞，0)∪(0，1].
答案：(－∞，0)∪(0，1]
4．已知函数 f(x)＝ln (ax2＋x＋1)的定义域为 R，则 a 的取值范围为________.
解析：由条件知，ax2＋x＋1>0 在 R 上恒成立，当 a＝0 时，x＋1>0，x>－1，不满
)
A．(0，4)
B．[0，2)∪(2，4]
C．(0，2)∪(2，4)
D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
4x－x2>0， 解析：使函数有意义，需满足x－2≠0， 解得 0<x<2 或 2<x<4.
答案：C
2．已知函数 f(x＋1)的定义域为( －2，0)，则 f(2x－1)的定义域为( )
A．(－1，0)

.
x
解析:(3)在 f(x)=2f( 1 )· x -1 中, x
将 x 换成 1 , 1 换成 x, xx
得 f( 1 )=2f(x)· 1 -1,
x
x
由

f

x

2
f

1 x



f

1 x


2
f

x

答案:(3) 2 x + 1
33
x 1,
解得 f(x)= 2
解析:由题意知点(-1,4)在函数f(x)=ax3-2x的图象上,所以4=-a+2,则a=-2. 答案:-2
︱高中总复习︱一轮·文数
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 函数与映射的概念 【例1】 有以下五个命题:
①f(x)=
x x
与
g(x)=
1, x 1,
0, x0
表示同一函数;
②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个;
⑥分段函数不是一个函数而是多个函数.
其中是真命题的个数是( A )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
︱高中总复习︱一轮·文数
解析:由函数定义知,函数f:A→B的值域是B的子集,可能不是B,①假;函数与映 射是两个概念,函数是特殊的映射,但映射不一定是函数,②假;函数的定义中要 求,集合A中的任意一个数在集合B中都有唯一的数与之对应才是函数,③ 假;f(x)与g(t)的定义域和对应关系相同,④真;函数y=x与y=2x+1的定义域 和值域都是R,但它们的对应关系不同,不是相等函数,⑤假;分段函数是一个函 数含有几段,⑥假.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知 f(x3)＝lg x，则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3＝10，则x＝103.
1 D. 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y＝x－2 1与 v＝t－2 1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相 同，所以是同一个函数，故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)＝lenx，x，x≤x>00，，
则函数
f
f
13等于
A.3
B.－3
√C.13
D.－13
由题意可知，f 13＝ln 13＝－ln 3，
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其 中的x的取值集合； (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出； (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a，b]上的值域.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x， 按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，那 么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函 数为同一个函数.

解析:法一
1 5 1 2 f =x +5x= + , 2 1 x 1 x x
1 5 故 f(x)= 2 + ,x≠0, x x
法二
1 令 =t,则 t≠0, x
1 则 x= . t
1 1 5 1 ∴f(t)= +5· = 2 + , t t t t
4.(2013 年高考福建卷)已知函数
2 x 3 , x 0, f(x)= π 则 f tan x,0 x , 2
π f = 4
.
π π 解析:f =-tan =-1, 4 4
f
π 3 =f(-1)=2 × (-1) =-2. f 4
以二者不是同一函数;
对于(2),若 x=1 不是 y=f(x)定义域内的值,则直线 x=1 与 y=f(x) 的图象没有交点,若 x=1 是 y=f(x)定义域内的值,由函数的定义 可知,直线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交点,即 y=f(x)的图象 与直线 x=1 最多有一个交点;对于(3),f(x)与 g(t)的定义域、 值域和对应关系均相同,所以 f(x)与 g(t)表示同一函数;对于
1 1 1 (4),由于 f = 1 =0,∴f 2 2 2
综上可知,正确的判断是(2),(3). 答案:(2)(3)
1 f =f(0)=1. 2
反思归纳
判断一个对应关系是否是函数关系,就
看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任 意一个自变量值都有唯一确定的函数值”这个核心点.
双基自测
1.下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是( D )

解析：函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，所以③不是映射也不是函 数；①②④表示的对应是映射；①②是函数，由于④中集合A， B不是数集，所以不是函数．
[典题1]
(1)下列四个图象中，是函数图象是( B )
A．① C．①②③
B．①③④ D．③④
[解析]
①中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图
解析：①②中，对于定义域内任意一个数 x，可能有两个不 同的 y 值，不满足对应的唯一性，所以①②错误；③中，定义域 是空集，而函数的定义域是非空的数集，所以③错误．
函数与映射理解的误区：唯一性；非空数集．
①②④ 是映 如图表示的是从集合A到集合B的对应，其中________ ①② 是函数． 射，________
x
( C ) A．[0,2) B．(2，＋∞) C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
(2)[教材习题改编]若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－ 2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可 能是( B )
A
B
C
D
定义域问题的两个易错点：忽略定义域；化简后求定义 域． (1)已知长方形的周长为12，设一边长为x，则其面积y关于x
y＝x(6－x)(0＜x＜6) 的函数解析式为_______________________ ．
12－2x 解析：因为长方形一边长为x，则另一边长为 ＝6－ 2 x，所以y＝x(6－x)．又x＞0,6－x＞0，所以0＜x＜6.如果不考虑 x的范围，会扩大x的范围，这样会使实际问题失去意义．
(3)下列各组函数中，表示同一函数的是( A ) A．f(x)＝ |x|，g(x)＝ x2 B．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 x2－1 C．f(x)＝ ，g(x)＝x＋1 x－1 D．f(x)＝ x＋1· x－1 ，g(x)＝ x2－1

4
映射 设 A,B 是两个非空 集合
设 A,B 是两个非空 数集
名称 记法
-5-
2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域
x 的取值范围 A 叫做函数 的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)|x∈A}
在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量, 叫做函数的值域,显然,值域是集合 B 的子集. (2)函数的三要素: 吗? 答案:只有定义域和对应法则都相同,才能为同一函数;定义域和
第二章1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概 念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、 解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.
-4-
1.函数与映射的概念
函数 两集 合 A,B 对应 关系 f:A→B 如果按照某种确定的对应关系 f,使对 于集合 A 中的 任意 一个 数 x , 在集合 B 中 都有唯一确定 的 数 f(x) 和它对应 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数 y=f(x)(x∈A,y∈B) 如果按某一个确定的对应关 系 f,使对于集合 A 中的 任 意 一个 元素 x 在集合 B 中 都有唯一确定 的 元素 y 与之对应 称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 对应 f:A→B 是一个映射
-15-
举一反三 1：已知集合 A={x|y=- 2x-x 2 },B={y|y=2x,x>0},R 是实数集, 则(∁ RB)∩A=( ) A.R C.[0,1] B.(1,2] D.⌀
关闭
解析:∵ A={x|y=- 2������-������ 2 }={x|2x-x2≥0}=[0,2],B={y|y=2x,x>0}=(1,+∞),

高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 函数
两集合 A，B 对应关系 f：A→B 名称 记法
函数 设 A，B 是 非空 的实数集 如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一 个数 x，在集合 B 中都有 唯一 确定的数 y 和它对应 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数
A．－3
B．3
C．1
D．－1
答案1 答案2
高考一轮总复习•数学
第23页
解析：1由3－x x>0， cos x≠0，
0<x<3， 得x≠π2＋kx，k∈Z，
∴0<x<3 且 x≠π2.∴函数 fx＝lg 3－x x＋co1s x的定义域为0，π2∪π2，3.故选 C．
2由xx2＋＋22>x0＋，a≥0， 得xx2>＋－22x，＋a≥0，
y＝f(x)，x∈A
高考一轮总复习•数学
第6页
二 函数的有关概念 1．函数的定义域、值域：在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫 做 函数的定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫 做 函数的值域 ． 2．函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 3．相等函数：如果两个函数的定义域相同并且对应关系完全一致，那么这两个函数相 等，这是判断两函数相等的依据． 4．函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第11页
4．已知函数 f(x)＝ l2oxg－2xx2，则 f12＝_－___2_3___，函数 f(x)的定义域为__(_0_,1_)_∪__(_1_,2_]___．

如：= ≥ 与= .
2.分段函数
不同
若函数在其定义域的④______子集上,因对应关系不同而分别用几个
不同的式子
⑤____________来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段
定义域的并集,值域是各段值域的并集.
1.直线 = 与函数 = 的图象至多有1个交点.
若
+ , ≥ ,
−
=____.
解析：由题意得，
所以






= × + = ，
= = + = −,
所以 = −, = − × = −.


−
= −,则实数 =____，
关于分段函数求值问题的解题思路
B.3
C.1
)
D.−
+ + ≥ ,
+ + ≥ ,
解析：选A.由
得
由题知不等式组的解
+ > ,
> −,
集为[, +∞)，所以 = 为方程 + + = 的一个根，即
+ + = ,解得 = −.经检验 = −符合题意，故选A.
+
= + ，则 =______.
解析：设 = + ≠ ，则

= + + = + + = + ，
= ,
= ,
故
解得
故 = + .

2 ( 2 + ),0 ≤ ≤ 1,
(2)已知函数f(x)= +1 2
若在区间[-1,1]上方程f(x)=1只有
2 - -,-1 ≤ < 0,
一个解,则实数m的取值范围为
.
答案:(1)C (2) ∣ −1 ≤ <
1
− , 或
2
=1
x 2
解析:(1)函数 f(x)=2 - -a 在区间(1,2)内连续,
f(x)在选项 A,B,D 的区间上没有零点.故选 C.
规律方法 判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的方法
当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落
解方程法
在给定区间上
首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看
利用函数零点存
是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有
直接法
利用函数
的零点存
在性定理
图象法
利用函
数性质
令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个不同的解就有几个零点
利用函数的零点存在性定理时,不仅要求函数的图象在区间
[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象
与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
画出函数f(x)的图象,函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数
对点训练2(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
)
1
- , ≥ 0,
(2) 已知函数f(x)=
则函数y=f(f(x))的零点个数为(

f(x)－k
f(x)－h
(2)伸缩变换 ①y＝f(x)―a0―><1a―，<1―横，―坐横―标坐―缩标―短伸为―长原为―来原―的来―1a的―倍a1―，倍―纵，―坐纵―标坐不―标变不―变→ y＝__f(_a_x_)__． ②y＝f(x)―0―<a>a―<1，1―，纵―纵坐―坐标―标伸―缩长―短为为―原原―来来―的的―a倍a―倍，―，横―横坐―坐标―标不不―变变→ y＝__a_f(_x_)__．
(2) (2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象， 则该函数是( )
x2－2x－1，x≥0， (3)y＝x2＋2x－1，x<0， 其图象如图③所示．
【思维升华】 作函数图象的两种常用方法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据 这些函数的特征直接作出； (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得 到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
(4)函数 y＝f(x)与 y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y＝f(1－x)的图象可由 y＝f(－x)的图象向左平移 1 个单位长度得到．( ) (2)当 x∈(0，＋∞)时，函数 y＝|f(x)|与 y＝f(|x|)的图象相同．( ) (3)函数 y＝f(x)与 y＝－f(－x)的图象关于原点对称．( ) (4)若函数 y＝f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．将函数 y＝log2(2x＋2)的图象向下平移 1 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，